Revista Integración

Abstract. This is a survey paper on dendroids, smooth dendroids and mainly on pointwise smooth dendroids based on the work of J. J. Charatonik and C. Eberhart (dendroids and smooth dendroids) and S. T. Czuba (pointwise smooth dendroids). We present several characterizations of pointwise smooth dendroids, including one using the strict point τ Tasymmetry property, defined by D. P. Bellamy. MSC2010: 54F15, 54F50, 54F55.

Resumen. Éste es un artículo expositorio sobre dendroides, dendroides suaves y, principalmente, sobre dendroides puntualmente suaves basado en el trabajo de J. J. Charatonik y C. Eberhart (dendroides y dendroides suaves) y S. T. Czuba (dendroides puntualmente suaves). Presentamos varias caracterizaciones de dendroides puntualmente suaves, incluyendo una utilizando la propiedad de t -asimetría puntual estricta, definida por D. P.Bellamy.

Abstract. Let n, m ∈ N with m ≤ n and X be a metric continuum. We con-sider the hyperspaces C n (X) (respectively, F n (X)) of all nonempty closed subsets of X with at most n components (respectively, n points). The (n, m)−fold hyperspace suspension on X was introduced in 2018 by Anaya, Maya, and Vázquez-Juárez, to be the quotient space C n (X)/F m (X) which is obtained from C n (X) by identifying F m (X) into a one-point set. In this paper we prove that C n (X)/F m (X) contains an n−cell; C n (X)/F m (X) has prop-erty (b); C n (X)/F m (X) is unicoherent; C n (X)/F m (X) is colocally connected; C n (X)/F m (X) is aposyndetic; and C n (X)/F m (X) is finitely aposyndetic. MSC2010: 54B20, 54F15.

Resumen. Sean n, m ∈ N con m ≤ n y X un continuo métrico. Conside-ramos el hiperespacio de todos los subconjuntos cerrados, no vacíos de X con a lo más n componentes (respectivamente, n puntos) C n (X) (respecti-vamente, F n (X)). El (n, m)−ésimo hiperespacio suspensión de X lo intro-dujeron, en 2018, Anaya, Maya y Vázquez-Juárez, como el espacio cociente C n (X)/F m (X) que se obtiene de C n (X) al identificar F m (X) a un conjunto de un punto. En este artículo demostramos que C n (X)/F m (X) contiene una n−celda; C n (X)/F m (X) tiene la propiedad (b); C n (X)/F m (X) es unicohe-rente; C n (X)/F m (X) es colocalmente conexo; C n (X)/F m (X) es aposindético y C n (X)/F m (X) es finitamente aposindético.

Abstract. In this paper, we present numerical procedures to compute so-lutions of partial diﬀerential equations posed on fractals. In particular, we consider the strong form of the equation using standard graph Laplacian ma-trices and also weak forms of the equation derived using standard length or area measure on a discrete approximation of the fractal set. We then intro-duce a numerical procedure to normalize the obtained diﬀusions, that is, a way to compute the renormalization constant needed in the definitions of the actual partial diﬀerential equation on the fractal set. A particular case that is studied in detail is the solution of the Dirichlet problem in the Sierpinski triangle. Other examples are also presented including a non-planar Hata tree. MSC2010: 65N30, 28A80, 35J20, 35J15.

Resumen. En este artículo, se presenta un procedimiento numérico para cal-cular la solución de ecuaciones diferenciales parciales planteadas sobre un dominio fractal. En particular, consideramos la forma fuerte de la ecuación diferencial usando matrices Laplacianas y también la forma débil de la ecua-ción usando medidas estándar de longitud o área en una aproximación dis-creta al conjunto fractal. Luego se presenta un procedimiento numérico para normalizar las difusiones que se obtienen, es decir, una forma de calcular la constante de renormalización necesaria en las definiciones de la ecuación dife-rencial parcial real en el conjunto fractal. Un caso particular que se estudia en detalle es la solución del problema de Dirichlet en el triángulo de Sierpinski, también se presentan otros ejemplos, incluido el árbol Hata en el espacio.

ABSTRACT. In this paper we prove among others that, if the positive definite matrices A, B of order n satisfy the condition 0 < mIn ≤ B − A ≤ M In, for some constants 0 < m < M, where In is the identity matrix, then 0 ≤ (1 − t) [det (A)]−1 + t [det (A + mIn)]−1 − [det (A + mtIn)]−1 ≤ (1 − t) [det (A)]−1 + t [det (B)]−1 − [det ((1 − t) A + tB)]−1 ≤ (1 − t) [det (A)]−1 + t [det (A + M In)]−1 − [det (A + M tIn)]−1 , for all t ∈ [0, 1] . MSC2010: 47A63, 26D15, 46C05.

RESUMEN. En este trabajo demostramos entre otros que, si las matrices defi-nidas positivas A, B de orden n satisfacen la condición 0< mIn ≤ B − A ≤ M In, para algunas constantes 0 < m < M, donde In es la matriz identidad, entonces 0≤ (1 − t) [det (A)]−1 + t [det (A + mIn)]−1 − [det (A + mtIn)]−1 ≤ (1 − t) [det (A)]−1 + t [det (B)]−1 − [det ((1 − t) A + tB)]−1 ≤ (1 − t) [det (A)]−1 + t [det (A + M In)]−1 − [det (A + M tIn)]−1 , para todo t ∈ [0, 1] .