Revista Colombiana de Matemáticas

Stability and Deformation Criteria in Free Boundary CMC Immersions

Abstract Let (n and M n+1 be smooth manifolds with smooth boundary. Given a free boundary constant mean curvature (CMC) immersion φ: ( → M, we found results related to the existence and uniqueness of a deformation family of φ, {φ t } t∈I , composed by free boundary CMC immersions. In addition, we give to some criteria of stability and unstability for this type of deformations. These results are obtained from properties of the eigenvalues and eigenfunctions of the Jacobi operator J φ associated to φ and establishing conditions for this operator such as Dim(Ker(J φ)) = 0, or if Dim(Ker(J φ)) = 1 and, for f ∈ Ker(J φ), f ≠ 0, ∫( vol φ* (g) ≠ 0. The deformation family is unique up to diffeomorphisms.

Resumen Sean (n y M n+1 variedades suaves con frontera suave. Dada una inmersión φ: ( → M con curvatura media constante (CMC) y frontera libre, encontramos resultados relacionados con la existencia y unicidad de una familia de deformación de φ, {φ t } t∈I , compuesta por inmersiones con curvatura media constante y frontera libre. Adicionalmente, damos algunos criterios de estabilidad e inestabilidad para este tipo de deformaciones. Estos resultados son obtenidos a partir de las propiedades de los valores propios y las funciones propias del operador de Jacobi J φ asociado a φ, y condiciones de estabilidad para este operador, tales como, Dim(Ker(J φ)) = 0, o si Dim(Ker(J φ)) = 1, para f ∈ Ker(J φ), f ≠ 0, ∫( vol φ* (g) ≠ 0. La familia de deformación es única, salvo difeomorsmos.

On a Family of Polyhedral Singular Vertices

Abstract We provide a local description of the curves with minimal length based at singularities in a family of polyhedral surfaces. These singularities are accumulation points of vertices with conical angles equal to ( and 4( (or 3(, in a variation). While a part of the minimizing curves behaves quite like the ones reaching conical vertices, the singularities present features such as being connected to points arbitrarily close to them by exactly two minimizing curves. The spaces containing such singularities are constructed as metric quotients of an euclidean half-disk by certain identification patterns along its edge. These patterns are examples of what is known as paper-folding schemes, and we provide the foundational aspects about them which are necessary for our analysis. The arguments are based on elementary metric geometry and calculus.

Resumen Proporcionamos una descripción local de las curvas con una longitud mínima basada en singularidades en una familia de superficies poliédricas. Estas singularidades son puntos de acumulación de vértices con ángulos cónicos iguales a ( y 4( (o 3(, en una variación). Si bien una parte de las curvas minimizadoras se comporta como las que alcanzan los vértices cónicos, las singularidades tienen características tales como la posibilidad de estar conectadas a puntos arbitrariamente cercanos a ellas mediante exactamente dos curvas minimizadoras. Los espacios que contienen tales singularidades se construyen como cocientes métricos de un semidisco euclidiano por ciertos patrones de identificación de su borde. Estos patrones son ejemplos de lo que se conoce como esquemas de plegado de papel, y proporcionamos los aspectos fundamentales sobre ellos necesarios para nuestro análisis. Las técnicas se basan en geometría métrica elemental y cálculo.

Some inequalities of the Hermite-Hadamard type for two kinds of convex functions

Abstract In this paper, we obtain new inequalities of the Hermite-Hadamard type, in two different classes of convex dominated functions. Several known results from the literature are obtained as particular cases of our more general perspective.

Resumen En este artículo, obtenemos nuevas desigualdades del tipo Hermite-Hadamard, en dos clases diferentes de funciones convexas dominadas. Varios resultados conocidos de la literatura se obtienen como casos particulares de nuestra perspectiva más general.

Hölder continuous maps on the interval with positive metric mean dimension

Abstract Fix a compact metric space X with finite topological dimension. Let C 0(X) be the space of continuous maps on X and H α(X) the space of α-Hölder continuous maps on X, for α ∈ (0, 1). Let H 1(X) be the space of Lipschitz continuous maps on X. We have H 1(X) ⊂ H β (X) ⊂ H α (X) ⊂ C 0 (X), where 0 < α < β < 1. It is well-known that if Φ ∈ H 1 (X), then Φ has metric mean dimension equal to zero. On the other hand, if X is a manifold, then C 0 (X) contains a residual subset whose elements have positive metric mean dimension. In this work we will prove that, for any α ∈ (0, 1), there exists Φ ∈ H α (0, 1) with positive metric mean dimension.

Resumen Fijemos un espacio métrico compacto X con dimensión topológica finita. Sea C 0(X) el espacio de funciones continuas en X y H α(X) el espacio de funciones α-Hölder continuas en X, para α ∈ (0, 1). Sea H 1(X) el espacio de funciones Lipschitz continuas en X. Tenemos la siguiente inclusión: H 1(X) ⊂ H β (X) ⊂ H α (X) ⊂ C 0 (X), donde 0 < α < β < 1. Es bien sabido que si Φ ∈ H 1 (X), entonces Φ tiene dimensión métrica media igual a cero. Por otro lado, si X es una variedad Riemanniana compacta, entonces C 0 (X) contiene un subconjunto residual cuyos elementos tienen dimensión métrica media positiva. En este trabajo demostraremos que, para cualquier α ∈ (0, 1), existe Φ ∈ H α ((0, 1)) con dimensión métrica media positiva.

A note about Simpson's Inequality via weighted generalized integrals

Abstract In this work we establish a Simpson-type identity and several Simpson-type inequalities for generalized weighted integrals operators.

Resumen En este trabajo establecemos una identidad de tipo Simpson y varias desigualdades de tipo Simpson para operadores integrales pesados generalizados

The Plykin and Solenoid attractor are homoclinic classes

Abstract A homoclinic class is the closure of the transverse intersection points of the stable and unstable manifolds of a hyperbolic periodic orbit. In this paper, we prove, using the techniques presented in (1), that the Plykin and the Solenoid attractors are a homoclinic class.

Resumen Una clase homoclínica es la clausura de puntos de intersecciones transversales entre las variedades estables e inestables sobre una órbita periódica hiperbólica. En este trabajo, usamos la técnica presentada en (1), para probar que los atractores Plykin y Solenoide son clases homoclínicas.