Revista Colombiana de Matemáticas

The Principal Symbol Map for Lagrangian Distributions with Complex Phase

ABSTRACT The present paper focus on Lagrangian distributions with complex phase. We provide an alternative construction of their principal symbol map, which allows us to compute the principal symbol after clean composition of Fourier integral operators with complex phase.

RESUMEN El presente artículo se centra en el estudio de las distribuciones lagrangianas con fase compleja. Proponemos una construcción alternativa del símbolo principal, que nos permite calcular el símbolo principal de la distribución resultante de la composición de operadores integrales de Fourier con fase compleja.

Vainikko operator on discrete Morrey spaces

ABSTRACT We prove boundedness of a discrete version of Vainikko operator on discrete Morrey spaces. We also show that the commutator of this Vainikko operator with a multiplication operator by an element of a discrete version of BMO is bounded on these spaces.

RESUMEN Probamos que una versión discreta del operador de Vainikko en espacios de Morrey discretos es acotado. También probamos que el conmutador de este operador de Vainikko con un operador de multiplicación discreto de tipo BMO es acotado en espacios de Morrey discretos.

Normality of k-Matching Polytopes of Bipartite Graphs

ABSTRACT The k-matching polytope of a graph is the convex hull of all its matchings of a given size k when they are considered as indicator vectors. In this paper, we prove that the k-matching polytope of a bipartite graph is normal, that is, every integer point in its t-dilate is the sum of t integers points of the original polytope. This generalizes the known fact that Birkhoff polytopes are normal. As a preliminary result, we prove that for bipartite graphs the k-matching polytope is equal to the fractional k-matching polytope, having thus the H-representation of the polytope. This generalizes the Birkhoff-Von Neumann Theorem which establish that every doubly stochastic matrix can be written as a convex combination of permutation matrices.

RESUMEN El politopo de k-emparejamientos de un grafo es la envolvente convexa de todos sus emparejamientos de un tamaño dado k cuando estos son considerados como vectores indicadores. En este artículo, demostramos que el politopo de k-emparejamientos de un grafo bipartito es normal, es decir, todo punto entero en su t-dilatación es la suma de t puntos enteros del politopo original. Esto generaliza el resultado conocido de que los politopos de Birkhoff son normales. Como resultado preliminar, demostramos que para grafos bipartitos el politopo de k-emparejamientos es igual al politopo de k-emparejamientos fraccional, teniendo así la H-representación del politopo. Esto generaliza el Teorema de Birkhoff-Von Neumann que establece que toda matriz doblemente estocástica puede ser escrita como una combinación convexa de matrices de permutación.

Noise estimation of a local energy image

RESUMEN La congruencia de fase es una técnica de procesamiento de imágenes relativamente desconocida y potente para la segmentación. No obstante, una limitación de este método es su alta sensibilidad al ruido; en ese sentido, para evitar que el ruido afecte los resultados de la segmentación, es necesaria una buena estimación de su nivel, teniendo en cuenta que en la congruencia de fase, esta estimación se realiza a partir de la imagen de la energía local. Por lo tanto, con el fin de mejorar los resultados de la técnica, es indispensable realizar una buena detección del umbral de ruido. Por esta razón, en este trabajo se introduce un método eficiente para la estimación de los parámetros de una distribución Weibull, empleada para modelar el ruido de la imagen de energía de la congruencia de fase.

ABSTRACT Phase congruency is a relatively unknown and powerful image processing technique for segmentation, which has been used in image processing. However, a limitation of this technique is its sensitivity to noise. Therefore, to prevent that noise affects segmentation results, it is necessary a good estimation of its level, considering that in phase congruency, this estimation is based on the local energy image. Consequently, to improve the results of this technique, it is essential to perform a good detection of the noise threshold. In this work, we introduce an efficient method to estimate parameters of a Weibull distribution which is used to modelate the noise of energy image in phase congruency.

Quantization functions in phase congruence calculation

RESUMEN La congruencia de fase es una técnica de detección de bordes de imágenes que, mediante el análisis de la fase de los componentes de frecuencia de una señal, permite encontrar la ubicación de los bordes. Según la función matemática utilizada para la cuantificación de la congruencia de fase, el resultado de la segmentación presenta variabilidad, lo cual puede resultar en una mejora potencial en la detección. Por ello, en este trabajo se realiza un estudio de la función exponencial, boxcar y cuártica utilizando dos métricas para la evaluación de técnicas de segmentación, el índice de Dice-Sorensen y la figura de mérito de Pratt. Para este estudio, se introduce una pequeña base de datos que incluye 30 imágenes originales y sus correspondientes imágenes de referencia. Además, para comparar la congruencia de fase con las técnicas basadas en el gradiente, se compararon los resultados con los obtenidos con el método de detección Canny, encontrando que la congruencia de fase permite una mejor detección de bordes en la mayoría de los casos.

ABSTRACT Phase congruency is an image edge detection technique that allows for the localization of edges by analyzing the phase of frequency components within a signal. The quantification of phase congruency using different mathematical functions introduces variability in the segmentation results, which can potentially enhance edge detection. Therefore, this study investigates the exponential, boxcar, and quartic functions, employing two metrics, namely the Dice-Sorensen index and Pratt's figure of merit, for segmentation evaluation. For this study, a small database comprising 30 original images and their corresponding ground truth images is introduced. Furthermore, to compare phase congruency with gradient-based techniques, the results were compared with those obtained with the Canny detection method, finding that phase congruency allows better edge detection in most cases.

A geometric mean algorithm of symmetric positive definite matrices

RESUMEN Este trabajo presenta un algoritmo de media geométrica para matrices positivas definidas utilizando problemas de valores propios generalizados y la factorización de Cholesky. La media geométrica de un conjunto finito de matrices positivas definidas minimiza la suma de los cuadrados de las distancias al conjunto de matrices, donde la distancia es una métrica de Riemann invariante afín en la variedad de matrices definidas positivas simétricas \(S_{++}^{N}\). Para calcular aproximaciones numéricas de la media geométrica se proponen varios algoritmos. Algunos de estos algoritmos requieren el cálculo de varias diagonalizaciones en cada paso. Mostramos que al reescribir las iteraciones de estos pasos en términos de un problema de valores propios generalizados, es posible omitir algunas de las diagonalizaciones a costa de introducir problemas de valores propios que pueden resolverse utilizando factorizaciones de Cholesky. Comparamos numéricamente el rendimiento de los métodos clásicos y los algoritmos modificados que utilizan problemas de valores propios generalizados. El método resultante se aplica al análisis de vídeo utilizando la media de matrices de covarianza como un descriptor compacto para la clasificación de acciones. El descriptor medio propuesto con solo 105 valores escalares logró una precisión promedio del 75% en un conjunto de datos de vídeo.

ABSTRACT This work introduces a geometric mean algorithm for positive definite matrices using generalized eigenvalue problems and Cholesky factorization. The geometric mean of a finite set of positive definite matrices minimizes the sum of square distances to all the matrices where the distance is an affine invariant Riemannian metric in the manifold of the symmetric positive definite matrices \(S_{++}^{N}\). In order to compute numerical approximations of the geometric mean several algorithms have been proposed. Some of these algorithms require the computation of several diagonalizations in each iteration. We show that by rewriting the iterations in terms of generalized eigenvalue problems, it is possible to omit some of the diagonalizations at the cost of introducing much less generalized eigenvalue problems that can be solved using Cholesky factorizations. We numerically compare the performance of classical methods and the modified algorithms that use generalized eigenvalue problems. The resulting method is applied to video analysis using the mean of covariance matrices as a compact descriptor for actions classification. The proposed mean descriptor with just 105 scalar values achieved an average accuracy of 75% over a public action video dataset.