Revista Colombiana de Matemáticas

Quasiconvex functions on regular trees

Abstract We introduce a definition of a quasiconvex function on an infinite directed regular tree that depends on what we understand by a segment on the tree. Our definition is based on thinking on segments as subtrees with the root as the midpoint of the segment and extends a previous notion of convexity on a tree. A convex set in the tree is then a subset such that it contains every midpoint of every segment with terminal nodes in the set. Then, a quasiconvex function is a real map on the tree such that every level set is a convex set. For this concept of quasiconvex functions on a tree, we show that given a continuous boundary datum, there exists a unique quasiconvex envelope on the tree, and we characterize the equation that this envelope satisfies. It turns out that this equation is a mean value property that involves a median among values of the function on successors of a given vertex. We also relate the quasiconvex envelope of a function defined inside the tree to the solution of an obstacle problem for this characteristic equation.

Resumen Se introduce una definición de función cuasiconvexa en el árbol regular dirigido e infinito, que depende de lo que se entienda por segmento en el árbol. Nuestra definición se basa en pensar segmentos como subárboles con la raíz como el punto medio del segmento, lo que extiende una noción previa de convexidad en un árbol. Un conjunto convexo en el árbol es entonces un subconjunto tal que contiene cada punto medio de cada segmento con nodos terminales en el conjunto. Entonces, una función cuasiconvexa es una función real en el árbol tal que cada conjunto de nivel es convexo. Para este concepto de funciones cuasiconvexas en un árbol, se muestra que dado un dato de borde continuo, existe una única envolvente cuasiconvexa en el árbol, y se caracteriza la ecuación que satisface esta envolvente. La ecuación resultante es una propiedad de valor medio que involucra una mediana entre los valores de la función en los sucesores de un vértice dado. También se relaciona la envolvente cuasiconvexa de una función definida dentro del árbol con la solución de un problema de obstáculo para esta ecuación característica.

New results of the ρ-Jafari transform and their application to linear and nonlinear generalized fractional differential equations

Abstract Recently Hossein Jafari introduced a new general integral transform called Jafari transform to solve higher order initial value problems and integral equations. The main objective of this paper is to modify this integral transform that we call the ρ-Jafari transform and to study its properties. Then, we present interesting results and apply them to solve linear and nonlinear generalized fractional differential equations. The results obtained confirmed that the ρ-Jafari transform acts as a powerful tool for generalized fractional problems. As a result, we assert that in the future, the modified transform can be applied to many generalized fractional differential equations that arise in applied science and engineering.

Resumen Recientemente, Hossein Jafari introdujo una nueva transformada integral general llamada transformada de Jafari para resolver problemas de valores iniciales de orden superior y ecuaciones integrales. El principal objetivo de este trabajo es modificar esta transformada integral que llamamos transformada ρ-Jafari y estudiar sus propiedades. Luego, presentamos resultados interesantes y los aplicamos para resolver ecuaciones diferenciales fraccionarias generalizadas lineales y no lineales. Los resultados obtenidos confirmaron que la transformada ρ-Jafari actúa como una poderosa herramienta para problemas fraccionarios generalizados. Como resultado, afirmamos que en el futuro, la transformada modificada se podrá aplicar a muchas ecuaciones diferenciales fraccionarias generalizadas que surgen en las ciencias aplicadas y la ingeniería.

Independence numbers of some double vertex graphs and pair graphs

Abstract The combinatorial properties of the double vertex graph of a graph have been widely studied since the 90’s. However only very few results are know about the independence number of such graphs. In this paper we obtain the independence numbers of the double vertex graphs of fan graphs and wheel graphs. Also we obtain the independence numbers of the pair graphs, that is a kind of generalization of the double vertex graphs, of some families of graphs.

Resumen Las propiedades combinatorias del grafo de vértice doble de un grafo han sido ampliamente estudiadas desde los años 90. Sin embargo, sólo se conocen pocos resultados sobre el número de independencia de dichos grafos. En este artículo obtenemos los números de independencia de los grafos de vértice doble de los grafos abanico y rueda. También obtenemos los números de independencia de los grafos de pares, que es un tipo de generalización de los grafos de vértice doble, de algunas familias de grafos.

On k-Pell numbers close to power of 2

Abstract For k ≥ 2, let Pn(k) be the k-generalized Pell sequence which starts with 0, ..., 0, 1 (k terms) and each term afterwards is given by the linear recurrence Pn(k) = 2Pn-1(k) + Pn-2(k) + ... + Pn-k(k), for all n ≥ 2. An integer n is said to be close to a positive integer m if n satisfies |n - m| < √m. In this paper, we solve the Diophantine inequality |Pn(k) - 2m| < 2m/2, in positive unknowns k, n, and m.

Resumen Para k ≥ 2 sea Pn(k) la k-sucesión generalizada de Pell que comienza en los valores 0, ..., 0, 1 (k términos en total) y que satisface la relación de recurrencia Pn(k) = 2Pn-1(k) + Pn-2(k) + ... + Pn-k(k), para todo n ≥ 2. Un entero n se denomina cercano a otro entero m si n satisface |n - m| < √m. En este artículo se resuelve la desigualdad Diofantina |Pn(k) - 2m| < 2m/2, para las indeterminadas enteras k, n, y m.

New results regarding the existence, uniqueness and convergence of the solution for nonlinear fractional Volterra integro-differential equations via Caputo-Fabrizio operator

Abstract In this paper, we study new results regarding the existence, uniqueness and convergence of the solution of nonlinear fractional Volterra integro-differential equations via Caputo-Fabrizio operator. The main results of this paper are based on the Banach contraction principle. Furthermore, we investigate the approximate analytical solutions of the proposed problem using a new combination method called Khalouta decomposition method. Some illustrated examples of our results are provided with some numerical simulations of the solutions.

Resumen En este artículo estudiamos nuevos resultados sobre la existencia, unicidad y convergencia de la solución de ecuaciones integro-diferenciales fraccionarias no lineales de Volterra mediante el operador Caputo-Fabrizio. Los principales resultados de este artículo se basan en el principio de contracción de Banach. Además, investigamos las soluciones analíticas aproximadas del problema propuesto utilizando un nuevo método de combinación llamado método de descomposición de Khalouta. Se proporcionan algunos ejemplos ilustrados de nuestros resultados con algunas simulaciones numéricas de las soluciones.

Entropy solutions for variable exponents nonlinear anisotropic elliptic equations with natural growth terms

Abstract In this paper, we prove existence results for entropy solutions of a nonlinear boundary value problems represented by a class of nonlinear elliptic anisotropic equations with variable exponents and natural growth terms. The functional setting involves variable exponents anisotropic Sobolev spaces.

Resumen En este artículo, probamos la existencia de soluciones de entropía para problemas de frontera no lineales correspondientes a una clase de ecuaciones anisotrópicas elípticas no lineales con exponentes variables y términos de crecimiento natural.