Revista Colombiana de Matemáticas

Introduction to Representations of Braid Groups

These are lecture notes prepared for a minicourse given at the Cimpa Research School Algebraic and geometric aspects of representation theory, held in Curitiba, Brazil in March 2013. The purpose of the course is to provide an introduction to the study of representations of braid groups. Three general classes of representations of braid groups are considered: homological representations viamapping class groups, monodromy representations via the Knizhnik-Zamolodchikov connection, and solutions of the Yang-Baxter equation via quasi-triangular bialgebras. Some of the remarkable relations between these three different constructions are described.

Estas notas fueron preparadas para un minicurso enseñado en la escuela Cimpa Algebraic and geometric aspects of representation theory, en Curitiba, Brazil en Marzo de 2013. El propósito del curso es presentar una introducción al estudio de las representaciones de los grupos de trenzas. Tres clases generales de representaciones son consideradas: representaciones homológicas de mapping class groups, representaciones de monodromía de la connección de Knizhnik-Zamolodchikov, y soluciones de la equación de Yang-Baxter en términos de quasi-triangular bialgebras. Algunas de las notables relaciones entre estas construcciones son descritas.

Sectional-Anosov Flows in Higher Dimensions

A sectional-Anosov flow on a manifold is a C¹ vector field inwardly transverse to the boundary for which the maximal invariant is sectional hyperbolic [10]. We prove that every attractor of every vector field C¹ close to a transitive sectional-Anosov flow with singularities on a compact manifold has a singularity. This extends the three-dimensional result obtained in [9].

Un flujo seccional-Anosov sobre una variedad es un C¹ campo vectorial transversal a la frontera apuntando hacia el interior, para el cual su conjunto maximal invariante es un conjunto seccional hiperbólico [10]. Probamos que todo atractor de todo campo vectorial C¹ próximo a un flujo seccional-Anosov transitivo con singularidades sobre una variedad compacta tiene una singularidad. Este resultado extiende el resultado tres-dimensional obtenido en [9].

New Candidates for Multivariate Trapdoor Functions

We present a new method for building pairs of HFE polynomials of high degree, such that the map constructed with one of these pairs is easy to invert. The inversion is accomplished using a low degree polynomial of Hamming weight three, which is derived from a special reduction via Hamming weight three polynomials produced by these two HFE polynomials. This allows us to build new candidates for multivariate trapdoor functions in which we use the pair of HFE polynomials to fabricate the core map. We performed the security analysis for the case where the base field is GF(2) and showed that these new trapdoor functions have high degrees of regularity, and therefore they are secure against the direct algebraic attack. We also give theoretical arguments to show that these new trapdoor functions over GF(2) are secure against the MinRank attack as well.

Presentamos un nuevo método de reducción que permite construir parejas de polinomios HFE de grado alto, tal que la función construida con cada una de estas parejas de polinomios es fácil de invertir. Para invertir la pareja de polinomios usamos un polinomio de grado bajo y de peso de Hamming tres, el cual es derivado mediante un método especial de reducción que involucra polinomios de peso de Hamming tres producidos a partir de los dos polinomios HFE. Esto nos permite construir nuevas candidatas para funciones trampa multivariadas usando la pareja de polinomios HFE para construir la función central. Realizamos un análisis de seguridad cuando el campo base es GF(2) y mostramos que estas nuevas funciones trampa multivariadas tienen grado de regularidad alto, y por lo tanto resisten el ataque algebraico. Además damos argumentos teóricos para mostrar que estas nuevas funciones trampa sobre GF(2) también resisten el ataque MinRank.

Grüss Type Inequalities for Complex Functions Defined on Unit Circle with Applications for Unitary Operators in Hilbert Spaces

Some Grüss type inequalities for the Riemann-Stieltjes integral of continuous complex valued integrands defined on the complex unit circle C( 0,1) and various subclasses of integrators are given. Natural applications for functions of unitary operators in Hilbert spaces are provided.

Se proporcionan algunas desigualdades tipo Grüss para la integral de Riemann-Stieltjes de integrandos de valores continuos complejos definidos sobre el circulo unitario complejo C(0,1) y varias subclases de integradores son dados. Aplicaciones naturales para funciones de operadores unitarios en espacios de Hilbert son proporcionadas.

A Lower Bound for the First Steklov Eigenvalue on a Domain

In this paper we provide a lower bound for the first eigenvalue of the Steklov problem in a star-shaped bounded domain in Rn. This result extends to higher dimensions a lower estimate of Kuttler-Sigillito in a two dimensional star-shaped bounded domain.

En este trabajo proveemos una cota inferior para el primer valor propio del problema de Steklov en un dominio estrellado acotado en Rn. Este resultado extiende a dimensiones altas un estimativo inferior de Kuttler-Sigillito en un dominio estrellado acotado dos dimensional.

Time Dependent Quantum Scattering Theory on Complete Manifolds with a Corner of Codimension 2

We show the existence and orthogonality of wave operators naturally associated to a compatible Laplacian on a complete manifold with a corner of codimension 2. In fact, we prove asymptotic completeness i.e. that the image of these wave operators is equal to the space of absolutely continuous states of the compatible Laplacian. We achieve this last result using time dependent methods coming from many-body Schrödinger equations.

Demostramos la existencia y ortogonalidad de operadores de onda naturalmente asociados a un Laplaciano compatible sobre una variedad completa con una esquina de codimensión 2. De hecho, probamos su completitud asintótica, es decir que la imagen de esos operadores de onda es igual al espacio de estados absolutamente contínuos del Laplaciano compatible. Logramos esto último usando métodos dependientes del tiempo que provienen del estudio de operadores de Schrödinger de varios cuerpos.

Topology of Random Real Hypersurfaces

These are notes of the mini-course I gave during the CIMPA summer school at Villa de Leyva, Colombia, in July 2014. The subject was my joint work with Damien Gayet on the topology of random real hypersurfaces, restricting myself to the case of projective spaces and focusing on our lower estimates. Namely, we estimate from (above and) below the mathematical expectation of all Betti numbers of degree d random real projective hypersurfaces. For any closed connected hypersurface Σ of Rn, we actually estimate from below the mathematical expectation of the number of connected components of these degree d random real projective hypersurfaces which are diffeomorphic to Σ.

Las siguientes son las notas de un mini curso que dí durante la escuela de verano CIMPA en Villa de Leyva, Colombia, en julio de 2014. El tema fue el trabajo que en conjunto se desarrolló con Damien Gayet sobre la topología de las hipersuperficies reales aleatorias, restringiéndonos al caso de los espacios proyectivos y enfocándonos en nuestras estimaciones inferiores. Particularmente, estimamos (por arriba y) por abajo la esperanza matemática de todos los números de Betti de las hipersuperficies reales proyectivas aleatorias de grado d. De hecho, para cualquier hipersuperficie cerrada y conexa Σ de Rn, estimamos por abajo la esperanza del número de componentes conexas de éstas hipersuperficies reales proyectivas aleatorias de grado d, las cuales son difeomorfas a Σ.

Convex Lattice-Ordered Subrings of von Neumann Regular f-Rings

The purpose of this paper is to characterize the lattice-ordered convex subrings of von Neumann regular f-rings. They turn out to be the reduced projectable f-rings satisfying the convexity property, i.e.: for all a, b, if 0 < a < b then b divides a. A real closed version of this result can also be stated.

El propósito de este artículo es caracterizar los subanillos convexos de los f-anillos von Neumann regulares. Estos son los f-anillos reducidos, proyectables y que satisfacen la propiedad de convexidad, i.e.: para todo a, b, si 0 < a < b entonces b divide a. También se da una versión real cerrada de este resultado.

Voronovskaya Type Asymptotic Expansions for Error Function Based Quasi-Interpolation Neural Network Operators

Here we examine the quasi-interpolation error function based neural network operators of one hidden layer. Based on fractional calculus theory we derive a fractional Voronovskaya type asymptotic expansion for the error of approximation of these operators to the unit operator, as we are studying the univariate case. We treat also analogously the multivariate case.

Aquí se examinan funciones de error basadas en cuasi-interpolación de operadores de redes neuronales de una capa oculta. Basado en teoría de cálculo fraccional se deriva una expansión de asintótica de tipo Voronovskaya para el error de aproximación de estos operadores al operador unitario, así como el caso univariado. También se trata análogamente el caso multivariado.

Examples of Extensions of Hopf Algebras

We give some examples of, and raise some questions on, extensions of semisimple Hopf algebras.

Damos algunos ejemplos de, y planteamos algunas preguntas sobre, extensiones de álgebras de Hopf semisimples.