Revista Colombiana de Matemáticas

Pillai's problem with Padovan numbers and powers of two

ABSTRACT. Let (P n ) n≥0 be the Padovan sequence given by P 0 = 0, P 1 = P 2 = 1 and the recurrence formula P n+3 = P n+1 + P n for all n ≥ 0. In this note we study and completely solve the Diophantine equation P n - 2 m = P n1 -2 m1 in non-negative integers (n,m,n 1 ,m 1 ).

RESUMEN. Sea (P n ) n≥0 la sucesión de Padovan dada mediante P 0 = 0, P 1 = P 2 = 1 y la fórmula de recurrencia P n+3 = P n+1 + P n para todo n ≥ 0. En esta nota estudiamos y resolvemos completamente la ecuación diofántica P n - 2 m = P n1 -2 m1 en enteros no negativos (n,m,n 1 ,m 1 ).

Quasi Partial Sums of Harmonic Univalent Functions

ABSTRACT. In this work, we obtain some conditions under which the quasi partial sums of the generalized Bernardi integral operator consisting of the harmonic univalent functions belongs to a similar class.

RESUMEN. En este trabajo obtenemos algunas condiciones bajo las cuales las sumas cuasi-parciales del operador integral Bernardi generalizado que consiste de funciones armónicas univalentes pertenece a una clase similar.

Topological degree methods for a Strongly nonlinear p(x)-elliptic problem

ABSTRACT. This article is devoted to study the existence of weak solutions for the strongly nonlinear p(x)-elliptic problem Our technical approach is based on the recent Berkovits topological degree.

RESUMEN. Este artículo está dedicado a estudiar la existencia de soluciones débiles para el problema p(x)-elíptico fuertemente no lineal Nuestro enfoque técnico se basa en el reciente grado topológico de Berkovits.

The Gauss decomposition of products of spherical harmonics

ABSTRACT. The product of two homogeneous harmonio polynomials is ho-mogeneous, but not harmonic, in general. We give formulas for the Gauss decomposition of the product of two homogeneous harmonic polynomials.

RESUMEN. El producto de dos polinomios armónicos y homogéneos es homogéneo pero no armónico, en general. Damos fórmulas para la descomposición de Gauss del producto de dos polinomios armónicos y homogéneos

Blow up and globality of solutions for a nonautonomous semilinear heat equation with Dirichlet condition

ABSTRACT. In this paper we prove the local existence of a nonnegative mild solution for a nonautonomous semilinear heat equation with Dirichlet condition, and give sufficient conditions for the globality and for the blow up in finite time of the mild solution. Our approach for the global existence goes back to the Weissler's technique and for the finite time blow up we uses the intrinsic ultracontractivity property of the semigroup generated by the diffusion operator.

RESUMEN. En este artículo demostramos la existencia local de una solución "mild" no negativa para una ecuación de calor semilineal no autónoma con condición de Dirichlet, y damos condiciones suficientes para la globalidad y la explosión en tiempo finito de la solución "mild". Nuestro enfoque para la existencia global se remonta a la técnica de Weissler y para la explosión en tiempo finito utilizamos la ultracontractividad intrínseca del semigrupo generado por el operador de difusión.

Spectral Inclusions for Quasi-Fredholm and Saphar Spectra for Integrated Semigroups

ABSTRACT. In this paper, we show a spectral inclusion of integrated semigroups for Saphar, essentially Saphar and quasi-Fredholm spectra.

RESUMEN. En este trabajo mostramos inclusiones espectrales de semigrupos integrados para el espectro de Saphar, el espectro esencial de Saphar y el espectro cuasi-Fredholm.

Existence of periodic standing wave solutions for a system describing pulse propagation in an optical fiber

ABSTRACT. We establish existence of periodic standing waves for a model to describe the propagation of a light pulse inside an optical fiber taking into account the Kerr effect. To this end, we apply the Lyapunov Center Theo-rem taking advantage that the corresponding standing wave equations can be rewritten as a Hamiltonian system. Furthermore, some of these solutions are approximated by using a Newton-type iteration, combined with a collocation-spectral strategy to discretize the system of standing wave equations. Our numerical simulations are found to be in accordance with our analytical results.

RESUMEN. Establecemos existencia de soluciones estacionarias periódicas para un modelo que describe la propagación de un pulso de luz en el interior de una fibra óptica teniendo en cuenta el efecto Kerr. Para este fin, aplicamos el Teorema Central de Lyapunov tomando ventaja de que las correspondientes ecuaciones de onda estacionaria pueden escribirse como un sistema Hamiltoniano. Además, algunas de estas soluciones son aproximadas usando una iteración de tipo Newton, combinada con un estrategia colocación-espectral para discretizar el sistema de ecuaciones de onda estacionaria. Las simulaciones numéricas presentadas se encuentran de acuerdo con nuestros resultados analíticos.