Revista Integración

Ejemplos de codificación de la dinámica de una función racional en un árbol topológico

Abstract In 1736 L. Euler gave solution to the famous Seven Bridges of Königsberg problem, considerin a graph consisting of nodes representing the landmasses and arcs representing the bridges. This problem is a referent of how to codify the information given of a problem into a simpler and richer structure. In the case of the Dynamics of rational functions, Shishikura in [5] explores this idea in the context of rational functions, and he stated a connection between a certain kind of topological tree with a p-cycle of Herman rings associated to a rational function. In this work we develop some examples of realizable configurations for rational functions, two of them sketched in [5], and an example of a non realizable configuration which we modify in order to be realizable. MSC2010: 37F10, 32H50, 30D05, 32H50.

Resumen. En 1736 L. Euler dio solución al famoso problema de los Siete Puentes de Königsberg, considerando un grafo formado por nodos que representaban las masas de tierra y arcos que representaban los puentes. Este problema es un referente de cómo codificar la información proporcionada de un problema en una estructura más simple y más rica. En el caso de Dinámica de funciones racionales, Shishikura en [5] explora esta idea en el contexto, y enuncia una conexión entre un tipo específico de árbol topológico y un pciclo de anillos de Herman asociados a una función racional. En este trabajo desarrollamos algunos ejemplos de configuraciones realizables por funciones racionales, dos de ellas bosquejadas en [5], y un ejemplo de una configuración no realizable, la cual modificamos para que sea realizable.

Grafos extremales para α-índice

Abstract. Let N(G) be the number of vertices of the graph G. Let Pl(Bi) be the tree obtained of the path Pl and the trees B1,B2,...,Bl by identifying the root vertex of Bi with the i-th vertex of Pl. Let V m n = {Pl(Bi) : N(Pl(Bi)) = n;N(Bi) ≥ 2;l ≥ m}. In this paper, we determine the tree that has the largest α-index among all the trees in V m n . MSC2010: 05C50, 05C76, 15A18, 05C12, 05C75.

Resumen. Sea N(G) el número de vértices del grafo G. Sean Pl(Bi) los árboles obtenidos del camino Pl y los árboles B1,B2,...,Bl, identificando el vértice raíz de Bi con el i-th vértice de Pl. Sea V m n = {Pl(Bi) : N(Pl(Bi)) = n;N(Bi) ≥ 2;l ≥ m}. En este artículo determinamos el árbol que tiene el α-índice más grande entre todos los árboles en V m n .

¿Podemos detectar la curvatura gaussiana contando caminos y midiendo sus longitudes?

Abstract. The aim of this paper is to associate a measure for certain sets of paths in the Euclidean plane ℝ2 with fixed starting and ending points. Then, working on parameterized surfaces with a specific Riemannian metric, we define and calculate the integral of the length over the set of paths obtained as the image of the initial paths in ℝ2 under the given parameterization. Moreover, we prove that this integral is given by the average of the lengths of the external paths times the measure of the set of paths if, and only if, the surface has Gaussian curvature equal to zero. MSC2010: 53B99, 05A10, 33C10.

Resumen. El objetivo de este artículo es asociar una medida a ciertos conjuntos de caminos en el plano euclídeo ℝ2 con puntos inicial y final fijos. Luego, trabajando en superficies parametrizadas con una métrica riemaniana específica, definimos y calculamos la integral de la longitud sobre el conjunto de caminos obtenidos como imagen bajo la parametrización dada de los caminos considerados inicialmente en ℝ2. Además, demostramos que esta integral está dada por el promedio de las longitudes de los caminos externos multiplicada por la medida del conjunto de caminos si, y solo si, la superficie tiene curvatura gaussiana constante igual a cero.

La independencia de una versión débil de la conjetura del espacio normal de Moore

Resumen. Nuestro propósito es presentar una exposición elemental de un resultado clásico en topología general, que es una versión débil de un problema conocido como la conjetura del espacio normal de Moore. Con este fin, se definen y estudian algunas propiedades básicas de los espacios de Moore y se caracterizan aquellos que a su vez son segundo contables y de Lindelöf. Además, se enuncia la hipótesis del continuo y el Axioma de Martin, y se aplican para establecer la independencia del problema en cuestión. MSC2010: 03E35, 03E50, 03E65, 54E30, 54E35.

Abstract. Our purpose is to present an elementary exposition of a classical result in general topology which is a weak version of a problem known as the normal Moore space conjecture. With this aim we study some of the basic properties of Moore spaces and characterize those which are both Lindelof and second countable. We also make use of the continuum hypothesis along with Martin’s axiom to establish the result in question.

La propiedad de Kelley para continuos de Hausdorff

Abstract We introduce the concepts Hausdorff maximal limit continuum and Hausdorff strong maximal limit continuum, for Hausdorff continua; these definitions extend the concepts of maximal limit continuum and strong maximal limit continuum, respectiveley, introduced by J. J. Charatonik and W. J. Charatonik in 1998 for metric continua [1, Definitions 2.2 and 2.3]. We show that in metric continua, being a maximal limit continuum is equivalent to being a Hausdorff maximal limit continuum. We also show that in metric continua, being a strong maximal limit continuum implies being a Hausdorff strong maximal limit continuum. Finally, we show an equivalence of having the property of Kelley, in terms of these new definitions, whose analog version for metric continua was given by J. J. Charatonik and W. J. Charatonik. MSC2010: 54B20, 54F15, 54F65.

Resumen. Introducimos los conceptos de continuo límite maximal de Hausdorff y continuo límite maximal fuerte de Hausdorff, para continuos de Hausdorff; estos conceptos extienden los ya definidos para continuos métricos: continuo límite maximal y continuo límite maximal fuerte, los cuales fueron dados por J. J. Charatonik y W. J. Charatonik en 1998 [1, Definitions 2.2 and 2.3]. Mostramos que en los continuos métricos el ser continuo límite maximal es equivalente a ser continuo límite maximal de Hausdorff. Probamos que en los continuos métricos todo continuo límite maximal fuerte es un continuo límite maximal fuerte de Hausdorff. Por último, mostramos una equivalencia para que un continuo de Huasdorff tenga la propiedad de Kelley en términos de estos nuevos conceptos, cuya versión análoga para continuos métricos fue dada por J. J. Charatonik y W. J. Charatonik.

La traza de Dixmier y el residuo de Wodzicki para operadores pseudodifferenciales globales sobre variedades compactas

Abstract. In this note, we announce the results of our investigation on the Dixmier trace and the Wodzicki residue for pseudo-differential operators on compact manifolds. We give formulae for the Dixmier trace and the non-commutative residue (also called Wodzicki’s residue) of invariant pseudo-differential operators on compact manifolds with or without boundary. For every closed manifold, the notion of global symbol for invariant pseudo-differential operators will be based on the Fourier analysis associated to every elliptic and positive operator (developed by M. Ruzhansky, V. Turunen and J. Delgado). In particular, for each compact Lie group we will use its representation theory. For the analysis of operators on compact manifolds with boundary, we will use the non-harmonic analysis associated with boundary valued problems (developed by M. Ruzhansky, N. Tokmagambetov, and J. Delgado). MSC2010: 81Q10, 47B10.

Resumen. En esta nota se anuncian los resultados de nuestra investigación sobre la traza de Dixmier y el residuo de Wodzicki para operadores pseudodiferenciales sobre variedades compactas. Se calcula la traza de Dixmier y el residuo no conmutativo (residuo de Wodzicki) de operadores pseudodiferenciales invariantes sobre variedades compactas con o sin borde. Para cada variedad cerrada (suave, compacta y sin borde), se emplea la noción de símbolo global que viene dada por el análisis de Fourier asociado a cada operador elíptico y positivo (desarrollado por M. Ruzhansky and V. Turunen para para grupos de Lie y por M. Ruzhansky, N. Tokmagambetov y J. Delgado para variedades cerradas). En particular, para cada grupo de Lie compacto, se usa su teoría de representación. Respecto al análisis de operadores sobre variedades con borde, se usa el análisis no armónico asociado a problemas con valores de frontera (introducido por M. Ruzhansky, N. Tokmagambetov, y J. Delgado).