Revista Integración

Some notes about power residues modulo prime

Abstract. Let q be a prime. We classify the odd primes p ≠ q such that the equation x2 ≡ 2 (mod p) has a solution, concretely, we find a subgroup 𝕃4q of the multiplicative group 𝕌4q of integers relatively prime with 4q (modulo 4q) such that x2 ≡ q (mod p) has a solution iff p = c (mod 4q) for some c ∈ 𝕃4q. Moreover, 𝕃4q is the only subgroup of 𝕌4q of half order containing -1. Considering the ring ℤ [√2], for any odd prime p it is known that the equation x2 = 2 (mod p) has a solution iff the equation x2 - 2y2 = p has a solution in the integers. We ask whether this can be extended in the context of ℤ [n√2] with n ≥ 2, namely: for any prime p = 1 (mod n), is it true that x n ≡ 2 (mod p) has a solution iff the equation D 2 n (x 0 ,..., x n-1 ) = p has a solution in the integers? Here D 2 n (x̄) represents the norm of the field extension ℚ (n√2) of ℚ. We solve some weak versions of this problem, where equality with p is replaced by 0 (mod p) (divisible by p), and the "norm" D 2 n (x̄) is considered for any r ∈ ℤ in the place of 2. MSC2010: 11A15, 11C20, 11R04.

Resumen. Sea q un número primo. Clasificamos los primos impares p ≠ q tal que la ecuación x2 ≡ q (mód p) tiene solución, concretamente, hay un subgrupo 𝕃4q del grupo multiplicativo 𝕌4q de los enteros primos relativos con 4q (módulo 4q) tal que x 2 = q (moód p) tiene solución si y solo si p ≡ c (mod 4q) para algún c ∈ 𝕃4q. Aún más, 𝕃4q es el único subgrupo de 𝕌4q con la mitad del orden que contiene a - 1 . En conexión con el anillo ℤ [√2], para cualquier primo impar p se sabe que la ecuación x2 ≡ 2 (mod p) tiene solución si y solo si x2 - 2y2 = p tiene solución en los enteros. Nos preguntamos si esta situación se puede extender al contexto de ℤ [n√2] con n ≥ 2, a saber: para cualquier primo p ≡ 1 (mód n), ¿la ecuación x n ≡ 2 (mód p) tiene solución si y solo si D 2 n (x 0 ,..., x n -1)= p tiene solución en los enteros? Aquí D 2 n (x̄) representa la norma de ℚ (n√2) como extensión del campo ℚ. Solucionamos algunas versiones débiles de este problema, donde igualdad con p se reemplaza por 0 (mód p) (divisible por p), y la "norma" D 2 n (x̄) se considera para cualquier r ∈ ℤ en lugar de 2.

The multi-patch logistic equation with asymmetric migration

Abstract. This paper is a follow-up to a previous work where we considered a multi-patch model, each patch following a logistic law, the patches being coupled by symmetric migration terms. In this paper we drop the symmetry hypothesis. First, in the case of perfect mixing, i.e when the migration rate tends to infinity, the total population follows a logistic law with a carrying capacity which in general is different from the sum of the n carrying capacities, and depends on the migration terms. Second, we determine, in some particular cases, the conditions under which fragmentation and asymmetrical migration can lead to a total equilibrium population greater or smaller than the sum of the carrying capacities. Finally, for the three-patch model, we show numerically the existence of at least three critical values of the migra-tion rate for which the total equilibrium population equals the sum of the carrying capacities. MSC2010: 37N25, 92D25, 34D23, 34D15.

Resumen. Este artículo es un seguimiento de un trabajo anterior, donde consideramos un modelo de múltiples parches, cada parche siguiendo una ley logística, los sitios estando relacionados por términos de migración simétrica. En este artículo eliminamos la hipótesis de simetría. Primero, en el caso de una mezcla perfecta, es decir, cuando la tasa de migración tiende al infinito, la población total sigue una ley logística con una capacidad de carga que en general es diferente de la suma de las capacidades de carga de los sitios, y depende de los términos de migración. En segundo lugar, determinamos, en algunos casos particulares, las condiciones bajo las cuales la fragmentación y la migración asimétrica pueden llevar a una población total de equilibrio mayor o menor que la suma de las capacidades de carga. Finalmente, para el modelo de tres sitios, mostramos numéricamente la existencia de al menos tres valores críticos de la tasa de migración para los cuales la población total de equilibrio es igual a la suma de las capacidades de carga.

Polynomial stability of a thermoelastic system with linear boundary dissipation and second sound

Abstract. This paper shows a thermoelastic system defined in Ω × ℝ +, Ω ⊂ ℝ n, n ≥ 2 with heat conduction given by Cattaneo’s law. By introducing a linear dissipation mechanism on a part of the boundary, we obtain the well-posedness of the system and the polynomial decay of the energy in the solution. MSC2010: 39A30, 39A60, 58J45.

Resumen. En este artículo se considera un sistema termoelástico definido en Ω × ℝ +, Ω ⊂ ℝ n, n ≥ 2, con ley de difusión de calor dada por la ley de Cattaneo. Introduciendo un mecanismo disipativo lineal en una parte de la frontera se obtiene la buena postura y el decaimiento polinomial de la energía de las soluciones del sistema.

A new sum of graphs and caterpillar trees

Abstract. Caterpillar trees, or simply Caterpillar, are trees such that when we remove all their leaves (or end edge) we obtain a path. The number of nonisomorphic caterpillars with n ≥ 2 edges is 2 n−3 + 2 ⌊(n−3)/2⌋ . Using a new sum of graphs, introduced in this paper, we provided a new proof of this result. MSC2010: 05C30, 05C76, 05C05, 05C60.

Resumen. Árboles oruga, o simplemente oruga, son árboles tales que cuando les quitamos todas sus ramas (o arista final) obtenemos un camino. La cantidad de orugas no isomorfas con n ≥ 2 aristas es 2 n−3 + 2 ⌊(n−3)/2⌋ . Usando una nueva suma de grafos, introducida en este artículo, proporcionamos una nueva prueba de este resultado.

Lie algebras whose Lie groups have negative sectional curvature

Abstract. The aim of this work is to completely describe two families of Lie algebras whose Lie groups have negative sectional curvature. The first family consists of Lie algebras satisfying the following property: given any two vectors in the Lie algebra, the linear subspace spanned by them is a Lie subalgebra. On the other hand, the second family consists of reduced Lie algebras of Iwasawa type. MSC2010: 53C30, 17B30, 17B05.

Resumen. El propósito de este trabajo es describir completamente dos familias de álgebras de Lie cuyos grupos de Lie asociados tienen curvatura seccional negativa. La primera familia consiste de álgebras de Lie que satisfacen la siguiente propiedad: dados cualesquiera dos vectores en el álgebra de Lie, el subespacio vectorial que generan es una subálgebra de Lie. Por otro lado, la segunda familia consiste de álgebras de Lie de tipo Iwasawa reducidas.

An identity of Fink type for the integral of analytic complex functions on paths from general domains

Abstract. In this paper we establish an identity of Fink type for approximat-ing the integral of analytic complex functions on paths from general domains. Error bounds for these expansions in terms of p-norms are also provided. Examples for the complex logarithm and the complex exponential are given as well. MSC2010: 30A10, 26D15, 26D10.

Resumen. En este artículo se establece una identidad de tipo Fink para aproximar la integral de funciones analíticas complejas en caminos desde dominios generales. También se proporcionan límites de error para estas expansiones en términos de normas p. Adicionalmente, se dan ejemplos para el logaritmo complejo y el exponencial complejo.

Generalized Fractional Ostrowski and Grüss type inequalities involving several Banach algebra valued function

Abstract. Using generalized Caputo fractional left and right vectorial Taylor formulae, we establish mixed fractional Ostrowski and Grüss type inequalities involving several Banach algebra valued functions. The estimates are with respect to all norms ∥·∥p, 1 ≤ p ≤ ∞. MSC2010: 26A33, 26D10, 26D15.

Resumen. Usando fórmulas de Taylor vectoriales fraccionarias izquierda y derecha de Caputo generalizadas, establecemos desigualdades fraccionarias mixtas de tipo Ostrowski y Grüss que involucran varias funciones valoradas del álgebra de Banach. Las estimaciones son con respecto a todas las normas ∥·∥p, 1 ≤ p ≤ ∞.