Un paseo por los anillos de bucles

CARMEN ROSA GIRALDO VERGARA

Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Matemática, Belo Horizonte, MG, Brasil.

Dedicado a Rafael Isaacs, a quien recuerdo siempre con mucho cariño e
infinita gratitud por su valioso aporte en mi formación académica.

Resumen. La teoría de anillos de bucles no es solamente una generalización de los anillos de grupos: es una teoría en sí misma, con origen y aún en movimiento. El concepto de anillo de bucles surge en 1944 en los trabajos de R.H. Bruck con la construcción de anillos no asociativos. En los últimos años esta teoría se desarrolló ampliamente. Como ejemplo de esto tenemos la descripción completa del bucle de los elementos invertibles del Álgebra de Zorn. En este trabajo se hace un recorrido a lo largo del desarrollo de esta teoría que ha intrigado a matemáticos de diversas áreas.

Palabras Claves: cuasigrupos, bucles, Moufang, anillos alternantes, anillos de bucles.
MSC2010: 20N05, 20H05, 11F06.

A walk through the loop rings

Abstract. The loop ring theory is more that a generalization of group rings; in fact, it is a theory with its own spirit, with origin and still in development. The loop rings borns in 1944 with the works of R. H. Bruck about construction of non-associative rings. In recent years, this theory was developed largely, and as an example of this we know now the complete description of the loop of invertible elements of the Zorn algebra. In this paper we travel through the development of this theory that has intrigued mathematicians from different areas.

Keywords: quasigroup, loops, Moufang, alternative ring, loop rings.

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Referencias

[1] Bruck R.H., "Some results in the theory of linear nonassociative algebras", Trans. Amer. Math. Soc. 56 (1944), 141–199.         [ Links ]

[2] Gagola S.M. and Hall J.I., "Lagrange's theorem for Moufang loops", Acta Sci. Math. 71 (2005), 45–64.         [ Links ]

[3] Garabini C.M., Classificação dos RA loops, Ph.D. Thesis, Universidade Federal de Minas Gerais, ICEx, 2006.         [ Links ]

[4] Giraldo C.R., Grupos de congruências e matrizes de Zorn, Ph.D. Thesis, Universidade Federal de Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2002.         [ Links ]

[5] Giraldo C.R. and Brochero F.E., "Zorn's matrices and finite index subloops", Comm. Algebra 33 (2005), no. 10, 3691–3698        [ Links ]

[6] Goodaire E.G. and Milies C.P., "Normal subloops in the integral loop ring of an RA loop", Canad. Math. Bull. 44 (2001), no. 1, 27–37.         [ Links ]

[7] Goodaire E.G., "Alternative loop rings", Publ. Math. Debrecen 30 (1983), no. 1-2, 31–38.         [ Links ]

[8] Goodaire E.G., Jesper E. and Milies C.P., Alternative loop rings. North-Holland Math. Studies 184, Amsterdam, 1996.         [ Links ]

[9] Grishkov A.N. and Zavarnitsine A.V., "Lagrange's theorem for Moufang loops", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 139 (2005), no. 1, 41–57.         [ Links ]

[10] Jespers E., Leal G. and Milies C.P., "Classifying indecomposable R.A. loops", J. Algebra 176 (1995), no. 2, 569–584.         [ Links ]

[11] Liebeck M.W., "The classification of finite simple Moufang loops", Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 102 (1987), no. 1, 33–37.         [ Links ]

[12] Moufang R., "Zur Struktur von Alternative Korpern", Math. Ann. 110 (1935), no. 1, 416–430.         [ Links ]

[13] Pierce R., Associative Algebras, Springer–Verlag, New York, 1980.         [ Links ]

[14] Zhevlakov K.A, Slin'ko A.M., Shestakov I.P. and Shirshov A.I., Rings that are nearly associative, Academic Press, New York-London, 1982.         [ Links ]

^*E-mail : carmita@mat.ufmg.br
Recibido: 22 de enero de 2012, Aceptado: 22 de mayo de 2012