KIRIU, YUKI    MEJIA, DIEGO A.. Some notes about power residues modulo prime. []. , 40, 1, pp.1-23.   26--2022. ISSN 0120-419X.  https://doi.org/10.18273/revint.v40n1-2022001.

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Let q be a prime. We classify the odd primes p ≠ q such that the equation x2 ≡ 2 (mod p) has a solution, concretely, we find a subgroup 𝕃4q of the multiplicative group 𝕌4q of integers relatively prime with 4q (modulo 4q) such that x2 ≡ q (mod p) has a solution iff p = c (mod 4q) for some c ∈ 𝕃4q. Moreover, 𝕃4q is the only subgroup of 𝕌4q of half order containing -1.

Considering the ring ℤ [√2], for any odd prime p it is known that the equation x2 = 2 (mod p) has a solution iff the equation x2 - 2y2 = p has a solution in the integers. We ask whether this can be extended in the context of ℤ [n√2] with n ≥ 2, namely: for any prime p = 1 (mod n), is it true that x n ≡ 2 (mod p) has a solution iff the equation D 2 n (x 0 ,..., x n-1 ) = p has a solution in the integers? Here D 2 n (x̄) represents the norm of the field extension ℚ (n√2) of ℚ. We solve some weak versions of this problem, where equality with p is replaced by 0 (mod p) (divisible by p), and the "norm" D 2 n (x̄) is considered for any r ∈ ℤ in the place of 2.

Sea q un número primo. Clasificamos los primos impares p ≠ q tal que la ecuación x2 ≡ q (mód p) tiene solución, concretamente, hay un subgrupo 𝕃4q del grupo multiplicativo 𝕌4q de los enteros primos relativos con 4q (módulo 4q) tal que x 2 = q (moód p) tiene solución si y solo si p ≡ c (mod 4q) para algún c ∈ 𝕃4q. Aún más, 𝕃4q es el único subgrupo de 𝕌4q con la mitad del orden que contiene a - 1 .

En conexión con el anillo ℤ [√2], para cualquier primo impar p se sabe que la ecuación x2 ≡ 2 (mod p) tiene solución si y solo si x2 - 2y2 = p tiene solución en los enteros. Nos preguntamos si esta situación se puede extender al contexto de ℤ [n√2] con n ≥ 2, a saber: para cualquier primo p ≡ 1 (mód n), ¿la ecuación x n ≡ 2 (mód p) tiene solución si y solo si D 2 n (x 0 ,..., x n -1)= p tiene solución en los enteros? Aquí D 2 n (x̄) representa la norma de ℚ (n√2) como extensión del campo ℚ. Solucionamos algunas versiones débiles de este problema, donde igualdad con p se reemplaza por 0 (mód p) (divisible por p), y la "norma" D 2 n (x̄) se considera para cualquier r ∈ ℤ en lugar de 2.

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