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1 Introducción
La investigación y desarrollo de los músculos artificiales ha ido aumentando a través de los años, debido al interés de los ingenieros y científicos en simular el comportamiento real de los músculos biológicos. Para lograr este objetivo se han desarrollado actuadores cuyo principio físico de funcionamiento puede ser neumático, hidráulico o electromagnético, esto genera que el actuador pueda doblarse, expandirse y contraerse gracias a la influencia de fuerzas extremas.
Los actuadores SMA (Shape Memory alloy) o actuadores de aleación con memoria de forma, son utilizados comúnmente en robots biomimeticos debido a su alta relación potencia-masa, conformidad inherente, niveles bajos de ruido y peso ligero [1]. Los actudores SMA permiten al material recuperar su estado inicial mediante estímulos de calentamiento interno o externo. Sin embargo, este tipo de actuadores presenta una alta no linealidad y una incertidumbre paramétrica y es un reto para desarrollar una estrategia de control para este tipo de músculos con base en SMA [2].
El material más utilizado para la fabricación de los SMA es la aleación de Níquel y Titanio (NiTi) [3, 4, 5]. En la tabla 1 se pueden observar las propiedades que prestan los SMA activados térmicamente.
En la literatura se han desarrollado estrategias de control de los SMA, [6, 1]. El modelo Tanaka [4], describe las variables termoplasticas de los SMA, [7] en donde realizan un control feedback para medir la intensidad de corriente inducida en el material y realizar su caracterización. Las estrategias de control sugeridos en la literatura son los siguientes:
Feedforward control: Realizado para compensar las no linealidades del sistema o para realizar tareas simples.
ON-OFF control: Para robots auto configurables y la locomoción de robots biomimeticos.
Feedback control: Mejora el rendimiento de los actuadores, tener un mayor control de posición del SMA.
Sliding mode control: Control de posición de los SMA.
PID control: Control de posición de los SMA.
Variable structure control: Control de posición de los SMA.
Este tipo de actuadores es muy utilizado para aplicaciones de la robótica como: robótica médica, robots auto-configurables, robots biomimeticos, manos robóticas y manipuladores y fabricación de exoesqueletos, [8, 9].
El objetivo principal de este articulo, es diseñar un actuador tipo rotoide usando muscúlos artificiales. Para cumplirlo, se debe determinar el modelo matemático del músculo-tendón con el fin de calcular los parámetros del modelo CAD, necesario para la implementación futura de un prototipo real. Este documento está escrito de la siguiente manera: la sección 2 describe el modelo dinámico del músculo-tendón. La sección 4 contiene el modelo CAD del prototipo propuesto para el actuador tipo rotoide. La sección 5 presenta los resultados de la simulación y validación del prototipo. Finalmente, en la sección 6 se concluye sobre el trabajo de esta investigación.
2 Modelo matemático del músculo-tendón
La figura 1 muestra que un modelo de músculo-tendón comprende la dinámica de activación y contracción. Las entradas para el modelo músculo-tendón son las excitaciones musculares u y la longitud de las fibras del músculo-tendón l mt (q), el cual depende de la posición articular q. La variable intermedia a corresponde al nivel de activación del músculo. La salida f t es la fuerza desarrollada por el músculo-tendón. En el modelo propuesto en [10], la dinámica de contracción se describe en términos de cuatro parámetros y cuatro curvas. Los parámetros son la fuerza isométrica máxima f o , la longitud óptima de las fibras musculares lo, la longitud en reposo del tendón l s , y el ángulo de peneación* entre tendones y fibras musculares. Aquí, se asume que este ángulo es igual a cero. El modelo del tendón es definido por la función ft que describe la relación entre la fuerza y la longitud de la fibra, mientras el modelo del músculo requiere la definición de una fuerza pasiva f p y la fuerza activa fa. Este último se define como el producto de tres términos: la activación muscular a, relación fuerza-longitud y relación fuerza-velocidad, respectivamente denotado como f i y f v (fa = a・f l ・f v). Las fuerzas f t , fp y fa están normalizadas con respecto a la fuerza isométrica máxima fo.
2.1 Dinámica de activación
La dinámica de activación establece la relación entre la excitación muscular u y la activación mecánica a. Aquí, el modelo es lineal y por partes, [11].
τα = 1, ms y τd = 4 ms son constantes de tiempo de activación y desactivación, respectivamente. Los niveles de excitación y desactivación son asumidos en el intervalo [0, 1].
2.2 Dinámica de contracción
La dinámica de contracción establece la relación entre la fuerza ejercida por el tendón f t y la fuerza f α ejercida por el músculo. La interacción entre las fuerzas f t , f p y f α se ilustra en la figura 2.
Figura 2 Modelo de Hill's para la dinámica de contracción. f t es la fuerza del tendón, f p es la fuerza pasiva muscular, y fa es la fuerza muscular activa. fl (l m ) y fv(l m ) son funciones no lineales que dependen de la longitud muscular l m y su respectiva derivada con respecto al tiempo lm.
El tendón se modela como un elemento pasivo:
Donde f t es la fuerza desarrollada por el tendón, l t es la longitud del tendón, l s es la longitud del tendón en reposo, y kt es la constante de rigidez. Se asume que l s ≤ l t ≤ 1.1 l s. El valor 1.1 l s es la longitud máxima antes de la ruptura de las fibras del tendón. La fuerza pasiva es debido a la elasticidad del tejido muscular. Esta fuerza, denotada por f p, esta descrita por [12]:
• Relacion fuerza-longitud:
• Relacion fuerza-velocidad:
Siendo :
Niveles de saturacion
m
min
y f
vmax
,
m
max
y fv
min
se deducen para asegurar la continuidad de f
v con respecto a
m
.
La figura 3 muestra la relacion grafica de la funcion fuerza-longitud (4) y de la funcion fuerzavelocidad f v. A partir del balance entre las fuerzas f t , f p, y fa alrededor del punto de union entre el musculo y el tendon (figura 2) y considerando la igualdad l t = l mt −l m , obtenemos:
La dinamica de contraccion es obtenida mediante la inversion de la funcion f v :
Con:
Cuando f
v ∈ [f
vmin
, f
vmax
], ˙
m
pertenece a [
].
Las indeterminaciones y divisiones por cero se evitan limitando el valor de α a 10-3. Las variables a y l mt son las entradas del modelo que representa la dinámica de contracción. Escribiendolo como una ecuacion de estado:
3. Recuperacion de energia vinculada al accionamiento con musculotendones
Consideremos el sistema mecanico de la figura 4. Suponemos un torque Γ constante de valor estrictamente positivo y una distribucion de fuerzas:
f 1 = Γ/r+Δf , f2 = Δf (Δf > 0).
Esta distribución de fuerzas es equivalente a la activación simultanea de dos músculos en una configuración antagónica en un sistema biomecánico.
Si no consideramos la recuperación de energía vinculada a los actuadores, la energía total producida por ellos en un intervalo de tiempo T viene dada por:
Llevamos los valores de f1 y f2 en la ecuacion anterior:
Dado que Γ, r y Δ f son positivos, entonces:
El primer término en la ecuación anterior es la energía transferida por los actuadores al sistema mecánico para hacer que el péndulo se mueva. Si el valor de Δ f es cero, dicha energía es igual a la energía producida por los actuadores. De lo contrario, solo una parte de la energía generada por los actuadores se transfiere al sistema mecánico.
Destacamos que si Γ ≡ Γd, la energia Eg depende solo del movimiento deseado y de los parametros musculoesqueleticos : k
α, k
β
. Una vez definido el movimiento de referencia, la recuperacion de energia solo es posible gracias a los elementos elasticos presentes en el actuador.
4 Materiales y metodos
El actuador tipo rotoide más utilizado en la robótica es el servomotor, [13]. Por esta razón en el diseño mecánico del prototipo propuesto tiene una forma geométrica similar al servomotor convencional. La figura 5 ilustra la parte interior del prototipo, se colocaron resortes para la recuperación de la energía elástica almacenada en el actuador, tal como se observa en la figura 4. Las características más importantes de un servomotor comercial POWER HD se resumen en la tabla 2.
4.1 Diseno conceptual del actuador
Para el diseño conceptual del prototipo se tuvieron en cuenta los siguientes requerimientos:
Forma geométrica similar a la de un servomotor comercial.
Rango de giro ±20◦
Recuperación de la energía mecánica.
Músculos artificiales SMA.
Control electrónico para la activación de los músculos SMA.
Teniendo en cuenta los requerimientos anteriores, se diseño en Solid Edge el modelo CAD presentado en la figura 5, en el cual se mantiene la forma geométrica de un servomotor comercial. En el diseño mecánico se colocaron dos resortes en su parte interna, emulando la recuperación de la energía mecánica similar al modelo matemático del músculo-tendón presentado en la sección 2. Los alambres tienen las propiedades del Nitinol (NiTi), un material SMA, que permite tener un comportamiento dinámico de activación y contracción, el control electrónico se puede hacer mediante activación térmico y/o eléctrica. El modelo CAD se importa a MATLAB y gracias al uso del toolbox Simscape Multibody™ es posible calcular el torque máximo y el rango de movimiento del actuador tipo rotoide propuesto.
5 Resultados y discusión
Simscape Multibody ™ permite integrar sistemas de control al modelo CAD obtenido en Solid Edge; para una referencia de θ d = 11.5° en la posición angular del eje, el actuador alcanza la posición deseada en un intervalo de 11.5 ± 0.5° a los 3 segundos como se puede observar en la figura 6.
El actuador diseñado tiene una respuesta dinámica subamortiguada, típica de los servomecanismos, [14], la evolución velocidad angular se muestra en la figura 7, cuando es cercana a cero el actuador llega al posición angular θ d deseada, se valida que el actuador la alcanza en 3 segundos para el intervalo de 11.5 ± 0.5°. A partir de los resultados de la simulación es posible obtener el torque máximo ejercido sobre el eje de rotación del actuador, de la figura 8 el torque máximo ejercido es de 0.06kg-cm ≈ 6kg - m, este valor es 1.7 veces el valor del torque de un servomotor comercial (ver Tabla 2). La principal desventaja frente a un servomotor comercial es el rango del ángulo de giro, debido principalmente a la limitada dilatación del Nitinol (NiTi) (< 8.5%) de la longitud total, [5]. Sin embargo, la mayoría los movimientos articulares de un ser humano están alrededor de este valor ±20°, [15]. Las características del prototipo propuesto se resumen en la Tabla 3.
La aplicación esperada de este prototipo esta para el uso de pequeñas cargas que emulen el movimiento del ser humano, al ser bioinspirado y accionado por músculos artificiales, sus potenciales aplicaciones serán en robótica médica y humanoide.
6 Conclusiones
En este trabajo se presenta el modelo matemático de un músculo-tendón, usado para el diseño conceptual de un actuador tipo rotoide accionado por músculos artificiales. El análisis de recuperación de energía solo es posible en el caso de actuadores con elementos elásticos como el propuesto en este trabajo, a diferencia de un servomotor convencional donde la energía total es disipada por el servo en forma de calor. Los parámetros obtenidos del modelo permitieron diseñar un actuador bioinspirado y los resultados de simulación permiten validar su construcción mediante protipado rápido usando impresión 3D.
Como trabajo futuro construiremos el actuador usando el Nitinol (NiTi) y un sistema de control electrónico para controlar su deformación, también se espera comparar los datos del prototipo virtual y su funcionamiento real.
