2.1 Planteamiento del modelo

El modelo matemático va a considerar inicialmente una población homogénea dividida en seis subpoblaciones: Susceptibles, S, una población de protegidos bajo la acción de la profilaxis previa a la exposición, P, y una población de infectados diagnosticados con SIDA, A, en donde se considera que no influyen en la transmisión de la enfermedad, puesto que conocen su estado seropositivo, no tienen contactos sexuales debido a su estado de salud y están en el TAR. En la población de protegidos no se considera mortalidad, puesto que se supone que la tasa de perdida de la protección es mayor que la tasa de adquisición (m > c). Además, se considera las poblaciones de infectados que si influyen en la propagación del VIH: la de infectados no diagnosticados, 1_A, y dos poblaciones de infectados diagnosticados, que se diferencian por su estado de supresión viral debido al tratamiento antirretroviral, entonces hay una población de infectados diagnosticados que no ha logrado la supresión viral, I _k1 y una población de infectados diagnosticados que ya logro la supresión viral I _k2 .

Se establece el modelo de acuerdo a la ley de acción de masas, donde la población de susceptibles S, tiene una razón de entrada de nuevos susceptibles A₁, y además puede ser infectada por las tres poblaciones de infectados, I _A, I _k1 e I _k2 a una tasa β ₁, β ₂ y β ₃ respectivamente, suponiendo además que ß₁ > ß₂ > ß₃, esto porque los no diagnosticados transmiten más la enfermedad debido a la alta carga viral de VIH en la sangre y a que no conocen su estado de infectados; seguido de ellos, los diagnosticados sin supresión viral con menor carga viral y por último los diagnosticados con supresión viral. También, hay una tasa de protección debido a la PrEP, c, y una tasa de perdida de protección, m. Además, se considera mortalidad natural, µ ₁.

Debido a la naturaleza de la enfermedad, los nuevos infectados se vuelven no diagnosticados asintomáticos, y son diagnosticados a una tasa α ₁ , desarrollando el estado del SIDA con diagnostico a una tasa de progresión γ ₁. Hay una razón de entrada λ₂, que es la inmigración o por nacimientos de nuevos infectados y hay una tasa de muerte µ ₂.

Luego de recibir el diagnóstico, se convierten en infectados diagnosticados. De acuerdo a la OMS, una vez el paciente VIH positivo conoce su estado, inmediatamente debe someterse al tratamiento antirretroviral [¹]. Si el infectado es responsable con el tratamiento, la indetectabilidad se logra a los seis meses de iniciado el tratamiento [⁴]. Considerando esto, en el modelo se supone que los nuevos diagnosticados inician inmediatamente con el TAR y no tienen contacto sexual mientras logran la indetectabilidad a los seis meses, lo cual conlleva a que los diagnosticados entren inicialmente en la población de infectados que logran la supresión viral, I _k2 .

De la población de infectados diagnosticados, hay una tasa de perdida de la supresión viral α₂, y una tasa de adquisición de la supresión viral α₃. De igual forma, en los infectados sin supresión viral, se considera una razón de entrada de inmigrantes o nacimientos de nuevos infectados, λ₃, y una tasa de progresión al SIDA, γ₂. Por último, en la población de infectados sin supresión, con supresión y con SIDA, se considera tasas de mortalidad µ ₃, µ ₄ y µ ₅ respectivamente.

El siguiente diagrama de flujo representa la interacción entre las poblaciones descritas anteriorment.

Luego, el planteamiento del modelo es el siguiente:

Donde el conjunto de interés biológico es:

Las tasas y razones de entrada se resumen en la Tabla 1.

2.2 Puntos de equilibrio

En la siguiente sección, se hallará los puntos de equilibrio asociados al sistema (1).

Para encontrar los puntos de equilibrio, se procede a resolver el sistema homogéneo asociado a (1):

Si reemplazamos la ecuación (7) en ecuación (2), el termino - cS + mP se anula. Por tanto se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

De la ecuación (8) del nuevo sistema, al despejar la variable S se obtiene:

De la ecuación (10) del nuevo sistema se despeja de donde se obtiene:

Reemplazando el valor de I_k1 en la ecuación (11) del nuevo sistema y despejando I _k2 , se obtiene:

Note que el termino (α₃ + µ ₃ + γ₂)( α₂ + µ ₄) - α ₂ α ₃ es positivo, ya que al resolver el producto, se anula el termino α ₂ α ₃. Luego I _k2 es:

Luego I _k1 es:

Con los valores de I _k1 y S, en términos de I _A se trabaja en la ecuación (9) del nuevo sistema, con el fin de despejar I _a en términos de los parámetros del modelo. Con el fin de simplificar los cálculos, se hace las siguientes sustituciones:

Luego de realizar las sustituciones y simplificar, se obtiene una ecuación cuadrática de la forma α I _a ² + b · I _a + c = 0, de donde:

Por tanto, la solución para I _a es I _a =

Note que a > 0, c < 0y b puede ser tanto positivo como negativo. Para el caso de b < 0 ocurre que -b > 0 y además , por lo que - b- , por lo que para este caso, se toma la solución positiva de I _a =

Si b > 0, entonces , de ahí que . Por tanto, también se toma la solución positiva de I _a = De ambos casos, se demuestra que solo hay un punto de equilibrio.

Con el valor de I _a , el valor de la componente A es:

Simplificando y aplicando las sustituciones se obtiene:

Simplificando los términos en la componente S, se obtiene:

Finalmente, la componente P es:

Nota. Debido a que en el modelo se considera inmigración, siempre va a existir la enfermedad. Esto conlleva a que no exista el punto de equilibrio trivial o libre de la enfermedad y por tanto, no se puede calcular el número reproductivo básico de la enfermedad o R₀ [⁵].

3.1 Resultados numéricos

A continuación se presentan resultados numéricos teniendo en cuenta varios escenarios epidemiológicos, con unas poblaciones iniciales de 405885 susceptibles, 200 infectados sin diagnóstico, 50 infectados diagnosticados sin supresión viral, 80 infectados diagnosticados con supresión viral, 100 pacientes diagnosticados con SIDA y 100 protegidos bajo la acción del PrEP. Estos datos son estimaciones propias a las distintas poblaciones para VIH/SIDA en la ciudad de Pasto, de donde no hay fuentes certeras de los infectados que pertenecen a cada categoría. Para realizar las simulaciones del 1 al 7, usamos los parámetros que se encuentran en la tabla 1, donde «EP» significa Estimación Propia y los valores de la columna A son los datos obtenidos de la cita mencionada (si la hay), los otros datos son propios:

Simulación 1. En esta simulación, lo más influyente son las tasas de contagio β ₁ y β ₂ (valor A), pertenecientes a las poblaciones de infectados no diagnosticados e infectados sin supresión viral, las cuales se consideran elevadas. También se considera una tasa de diagnóstico pequeña (valor A), y una tasa media de adquisición de la supresión viral (valor C).

Como se puede apreciar en la Figura 2, el número de no diagnosticados aumenta y los pacientes con TAR adecuado o supresión viral disminuyen, pasando parte de esta población a los infectados sin supresión viral para posteriormente adquirir SIDA.

Simulación 2. En comparación con la simulación 1, solo se modifica la tasa de diagnóstico, aumentándola (valor B). Se puede ver en la Figura 3, como la población de no diagnosticados disminuye y crecen las poblaciones de diagnosticados. Debido a que la adquisición de la supresión viral no es muy grande, los infectados de a poco desarrollan el SIDA.

Simulación 3. En comparación con la simulación 2, se modifica la tasa de adquisición de la supresión viral, aumentándola (valor C) y como se puede ver en la Figura 4, los infectados con supresión viral crecen y empiezan a disminuir su población de una manera más lenta. Los infectados sin supresión viral por su parte, no sobrepasan los 60 casos, a diferencia de lo que ocurría con la simulación 2, donde se acercaban a los 180 casos.

Simulación 4. En este caso se disminuye la tasa de diagnóstico (valor C) y de protección (valor B) y se aumenta la tasa de perdida de la supresión viral (valor C).

En la Figura 5, se puede ver que los protegidos descendieron a 400 y todas las poblaciones de infectados empiezan a crecer, en especial la de no diagnosticados que llega hasta los 800, donde se ve nuevamente la importancia de la tasa de diagnóstico.

Simulación 5. Para esta simulación, el principal factor es las altas tasas de adquirir SIDA (valor B), la baja tasa de diagnóstico (valor A) y las altas tasas de contagio (valor B).

Se puede ver en la Figura 6, como disminuyen las poblaciones de infectados, pero aumentando en gran medida la población que adquiere SIDA.

Simulación 6. A diferencia de la simulación 5, en este caso se aumenta la tasa de diagnóstico (valor B) y se deja los demás parámetros igual.

En la Figura 7, se puede ver que si bien los pacientes con SIDA crecen, la población no sobrepasa las 400 personas, en comparación con la simulación 5, que llegan hasta las 800 personas. También se puede ver que en un principio, las poblaciones de diagnosticados crecen y luego empiezan a decrecer, esto debido a la alta tasa de adquirir SIDA.

Simulación 7. En comparación con las simulaciones 5 y 6, se aumenta la tasa de adquisición de la supresión viral y se disminuye la tasa de pérdida de la misma (valor A).

En la figura 9, se puede ver que nuevamente disminuye el crecimiento de los infectados con SIDA y en concordancia con las simulaciones anteriores, se aprecia la importancia del diagnóstico oportuno y la adquisición de la supresión viral.

3.2 Estimación de parámetros

El modelo propuesto se usa para estimar las tasas de contagio de los infectados no diagnosticados, infectados diagnosticados sin supresión viral, y la tasa de diagnóstico, es decir las tasas β ₁, β ₂ y α₁ respectivamente. La estimación de los parámetros se implementó en el programa Octave, con un algorítmo genético que es una técnica de optimización y que forma parte de los algorítmos evolutivos; se inspira en los conceptos genéticos como mutaciones, cruces entre otros [⁶]. Para inicializar se debe tener una función a optimizar en nuestro caso, es la función f (I _ka , parámetros) = (I _ka - I _k2 datos)², donde I _k2datos es la solución del sistema de ecuaciones diferenciales que corresponde a los infectados diagnosticados con supresión viral, I _k2datos son los datos de persona infectadas diagnosticadas en la ciudad de Pasto entre los años 2009-2019 y parámetros es el conjunto de parámetros que se desea estimar que corresponde a β ₁, β ₂ y α₁ , para una explicación más detallada ver [⁷, ⁸]. El algorítmo genético implementado en Octave se inicializa asi: ga(f ,3,opts), donde f es la función descrita anteriormente, 3 indica el número de parámetros a estimar y opts corresponde a opciones adicionales como número de generaciones, probabilidad de mutaciones, probabilidad de cruce, entre otros. La ventaja de los algorítmos genéticos radica en que es un optimizador global, es decir no se quedará atrapado en mínimos locales.

Para esta estimación, se toma la población de San Juan de Pasto, ubicada en el departamento de Nariño, en el suroccidente colombiano. La ciudad contaba con una población de 455678 habitantes en 2018, [⁹] y alrededor de 1765 personas vivían con VIH para el año 2019 [¹⁰,⁸]. Esta ciudad se caracteriza por estar cerca de la frontera con Ecuador, lo que conlleva a que haya una alta afluencia de inmigrantes. Por otra parte, en los últimos once años, se ha visto como los casos positivos por VIH han incrementado notablemente, pasando de 105 casos nuevos en 2009 a 287 casos en 2019. Adicional a eso, entre estos años ha habido un número considerable de inmigrantes venezolanos, lo que también ha influido en la diseminación de la enfermedad. Para la estimación de parámetros, se usa unos valores dados para las razones y tasas que no se van a estimar, las cuales se encuentran en la Tabla 2, utilizando todos los valores de la columna correspondiente al valor A.

Los parámetros están trabajados en meses. De las tasas presentadas, en el caso de la tasa de mortalidad natural µ ₁ de acuerdo a [¹¹], la esperanza de vida en Colombia para el año 2019 era de 77 años, que en meses equivalen a 924, y por tanto, el valor de µ ₁ se obtiene con la relación entre esperanza de vida y mortalidad.

De acuerdo a la Organización Mundial de la Salud [¹], debido al TAR, la esperanza de vida de las personas que viven con VIH en tratamiento, es muy similar a la de una persona que vive sin el virus.

Teniendo en cuenta esto, para el caso de la tasa de mortalidad µ ₄, se usa la misma tasa de mortalidad natural, y, para el caso de la tasa µ ₃, se asume que las personas que viven con VIH, sin supresión viral, tienen una esperanza de vida de 76 años, equivalentes a 912 meses y para el caso de la tasa de mortalidad para los no diagnosticados, se asume que su esperanza de vida es de 75 años, equivalentes a 900 meses.

Respecto a la tasa de mortalidad por SIDA, de acuerdo al Fondo Colombiano de Enfermedades de Alto Costo [¹⁰]:

Para el corte del 31 de enero de 2019 se presentaron 1.802 muertes en las personas con diagnóstico de VIH, de las cuales el 34,07 % correspondieron a muerte por Sida, el 14,59% se consideró muerte por otra enfermedad no definitoria de Sida y el 29,74 % fue por muerte por causa externa. Se desconoce la causa de la muerte en el 21,59% de los casos. (p. 76)

En el caso de Nariño, hubo 21 muertes de 1558 personas que vivían con VIH. Con esta información, la tasa de mortalidad por SIDA en meses es de µ ₅ =

Por otra parte, respecto a las tasas de adquisición de la supresión viral y perdida de la misma, de acuerdo al Fondo Colombiano de Enfermedades de Alto Costo [¹⁰], "De las Personas que viven con VIH, con tratamiento y activos (n = 86257), 62.186 tuvieron supresión viral (carga viral menor de 50 copias), es decir el 72,09 %" (p. 87). Particularmente en Nariño hubo un 72,97 % de personas con supresión viral y un 27.03 % con TAR pero sin supresión. Estos porcentajes en decimal son los que se usan para las tasas α₃ y α₂ respectivamente.

Con estos valores, y tomando datos de los diagnosticados en Pasto de los años comprendidos entre 2009 y 2019, se obtuvo la siguiente estimación de parámetros:

En la gráfica, la curva de color verde con Naranja representa los datos acumulados de infectados en la ciudad de Pasto entre los años 2009-2019, y la curva de color azul es la estimación hecha con el modelo matemático.

Esto indica que existen altas tasas de infección β ₁ y β ₂ y una baja tasa de diagnóstico α ₁ , lo cual explica el crecimiento de infectados en esta población. Si esto prevalece, los infectados crecerán notablemente y habrá una alta mortalidad a causa del SIDA. En este caso, en Pasto, se requieren implementar estrategias de diagnóstico principalmente, ya que esto contribuye a disminuir notablemente los infectados no diagnosticados.