1 Introducción

Las ecuaciones de Lorenz con algunas variaciones pueden ser aplicadas para analizar algunos fenómenos de la naturaleza. Por ejemplo, algunos modelos sobre climatología [³, ⁴], teoría semiclásica de amplificación y emisión de laser aplicando el modelo Lorenz-Haken [⁵, ⁷, ⁸, ⁹], generadores eléctricos [¹⁰], señales electrocardiográficas [¹¹], entre otros. Dada su importancia, se resalta el interés en la identificación y caracterización de atractores de familias tipo Lorenz [¹²] o análisis sobre la dinámica de sistemas tipo Lorenz [¹]. En [¹⁷] se analiza la bifurcación de Hopf del sistema introducido por Xianyi Li y Qianjun Ou [¹⁸], donde se muestran condiciones de una región de parámetros del sistema donde la bifurcación de Hopf es no degenerada y supercrítica para el caso en que a = b. En este artículo, mostraremos una clasificación analítica de la dinámica del sistema en el espacio tridimencional de parámetros abd donde se encuentran bifurcaciones de Hopf supercríticas, Hopf degeneradas y una bifurcación horquilla. Por lo tanto, la estructura del artículo se conforma en dos teoremas, uno para demostrar la bifurcación horquilla, y el segundo para demostrar la bifurcación de Hopf en el cual se emplea el teorema de la variedad central para obtener una expresión en términos de los parámetros a y b y de esta forma calcular el primer coeficiente de Lyapunov con el fin de caracterizar la estabilidad de los ciclos límites. Finalmente, los resultados teóricos son comparados con simulaciones numéricas y con diagramas de bifurcaciones. Algunos modelos presentados en [³, ⁴, ¹¹,⁵] se pueden representar por la familia tipo Lorenz de la ecuación (1) para ciertos valores de los parámetros.

2 Materiales y métodos

Se pueden enlistar los diferentes materiales usados en el proyecto y los métodos con los cuales se desarrolló. Si no aplica, se puede omitir esta sección.

3 Sistema Li-Ou y puntos de equilibrio

Considerando el sistema dinámico autónomo continuo de (2) formulado en [¹⁸] y que puede ser representado por el campo vectorial dado en (1), donde X = ( x, y, z) G ℝ³ es el vector de variables de estado y ρ =(a,b,g,d) ∈ [0,∞)2×(0,∞)× ℝ =Ω el vector de parametros.

El sistema (2) tiene solución única ya que el campo vectorial F es continuo, pues las derivadas parciales existen y son continuas en Ω x ℝ ³, la matriz jacobiana del campo F está dada por la ecuación (3)

Dependiendo del valor del parámetro d Є ℝ se ve afectado el comportamiento del sistema de LiOu. Por ejemplo, para d ≤ 0, el sistema (2) tendrá sólo el punto P ₀ = (0,0,0) como equilibrio. Ahora si d > 0, tendrá tres puntos de equilibrio, el punto P₀ y los puntos P^₂ dados en la ecuación (4) para (a, b, g, d) ∈ [0,∞)²×(0,∞)².

3.2 Análisis de estabilidad en el punto de equilibrio P 0

3.2.1 Caso a.b = 0

Si α = 0, el sistema de la ecuación (2) obliga a que x = x0 sea constante. Luego la estabilidad del sistema se discute a traves del sistema lineal planar dado en la ecuación (6), el cual tendá un subespacio de equilibrio si bd - gx ² ₀ = 0. En caso contrario, se obtiene el punto de equilibrio (x₀,0,0) que será estable si d ≤ 0 e inestable para d > 0.

Si b = 0, el sistema de la ecuación (2) queda como se muestra en la ecuación (7) y admite un subespacio de equilibrios ( 0, 0, z) que coexiste con el punto de equilibrio P₀.

3.3 Bifurcación Tridente u Horquilla en el origen

Sea (a, b, g, d) ∈ (0,∞)3× ℝ. Dependiendo de la variación del parámetro d ∈ ℝ, se ve afectado el comportamiento del sistema, ya que para d ≤ 0, se tendrá sólo el punto de equilibrio estable P0, ya que al evaluar en la matriz jacobiana de la ecuación (3) en el punto P0 se obtiene una matriz triángular superior DF(P₀), con valores propios {-a,d, -b} lo que garantiza que el punto de equilibrio es estable para d < 0 e inestable si d > 0, caso en el cual coexiste con los puntos de equilibrio P _1,2. Es de notar que cuando d = 0, los puntos de equilibrio P _1,2 y P₀ colisionan ocasionando cambio de estabilidad en el punto P0, generando una bifurcación horquilla. La demostración de esta bifurcación se realizará de forma análoga como se hizo en [⁶].

Teorema 1. Sean (a, b, g) Є (0, ∞)³ fijo, d Є ℝ, P ₀ el origen de coordenadas, d* = 0 y el sistema X = F (X, d) conformado por las ecuaciones (1) y (2). Entonces el sistema experimenta una bifurcación horquilla en el punto P ₀ cuando el parámetro d varía a través del valor de bifurcación d ^* . Además, si d = d*, existe una cuenca de atracción para el punto P ₀ .

Demostración. Es evidente que para d = d ^* = 0, se tiene que F (P0, d*) = 0, σ (DF (P)) = {λ1 = 0, λ_2,3 ≠ 0}. Además, para0 Є σ (DF (P0)) se obtienen los vectores propios a derecha v₀ e izquierda w0 dados en la ecuación (8).

Luego,

Además,

El teorema de Sotomayor [¹⁵] da condiciones suficientes más no necesarias para garantizar la bifurcación tridente u horq₍uilla en este caso₎, ya que no se puede garantizar que (W ^T ₀ D ³ F(P ₀ , d*)) (v ₀ , v ₀ , v ₀ ) ≠ 0. Esto se debe a que no depende del parámetro d y así D³F = (0)₃3_x3 y portanto ⁽ w ^T D ³ F(P0,d*) ⁾ (v ₀ ,v ₀,v ₀) = 0.

Ahora, para d ≠ - a y d ≠ - b, la matriz DF(P ₀ ) tiene como vectores propios v₁ = (a; a + d;0), v₂ = (1;0;0) y v₃ = (0;0; 1) asociados respectivamente a los valores propios λ = d, λ = -α y λ = -b. De esta forma, para el caso en que d = 0, una base para el espacio vectorial tangente a la variedad estable esta dado en la ecuación (13)

y el espacio vectorial tangente a la variedad central viene dado por la ecuación (14)

de donde DF(P ₀ ) puede ser representada por la ecuación (15)

Al introducir el cambio de variable X = PW para rotar los espacios E ^s y E ^c tenemos la ecuación (16)

De esta forma, W = P ^-1 X y al derivar respecto del tiempo, y al reemplazar las ecuaciones dadas en (2) se tiene el siguiente sistema de la ecuación (17)

Al reemplazar las variables del vector X en términos de W de la ecuación (16) en (17), tenemos el sistema de la ecuación (18).

De esta forma, al definir

y al reemplazar las expresiones de (19) en la ecuación homológica (20) y al simplificar y considerar sólo los términos de orden 3, se obtiene el sistema de la ecuación (21).

Al resolver el sistema (21), se obtiene como solución a₁ = b/(ag), α₂ = 0, b₁ = 1 y b₂ = 0. De esta forma, se procede a definir la variedad central por la ecuación (42).

que verifica para δ > 0 que h₁ (0) = h₂(0) = 0 y Dh1 (0) = Dh2(0) = 0 y el comportamiento de las soluciones sobre W ^c _loc(0) del sistema de las ecuaciones relacionadas en (18) está determinado por la solución de la ecuación diferencial sobre E ^c :

y cuyo comportamiento se ve reflejado en la Figura 1, la cual representa que dada una condición inicial w₁ > 0, la solución de la ecuación converge a P₀, pero si w₁ < 0, la solución converge a -(ag)/b y cuya dinámica respecto de las variables de estado se concluye de la ecuación (24).

4 Análisis de estabilidad para el punto P ₁

La matriz Jacobiana en el punto de equilibrio P ₁ = viene dada por la ecuación (25) y el respectivo polinomio característico en la ecuación (26).

Al tener en cuenta los coeficientes del polinomio y al aplicar el teorema de Routh-Hurwitz [¹⁶], se obtiene la relación dada en (27), que indica los valores de los parámetros para los cuales el punto de equilibrio P ₁ será inestable.

De esta forma, la clasificación de la estabilidad del punto de equilibrio P1 se establece como:

1. Estable: {(a,b,d): d < }.

2. Inestable: {(a, b, d): d ≥ }.

5 Bifurcación de Hopf en el sistema Li-Ou

Teorema 2. Sean (a, b, g, d ) G (0, ∞)⁴. El sistema X = F (Ẋ, d) conformado por las ecuaciones (1) y (2) admite una configuración de parámetros invariante para g, donde se garantiza la existencia de la bifurcación de Hopf supercritica en el punto de equilibrio P1 = cuando d*=

Demostración. Suponemos que λ₁ = -λ₂ = iω₀>0 es un cero del polinomio característico de la ecuación (26) con ω₀ > 0. Al reemplazar λ = iω₀ en (26) y al igualar las partes complejas tenemos:

y al igualar las partes reales tenemos:

Dado que a > 0, b > 0y d > 0se debe tener que 0 < d < a + b. por tanto, la superficie paramétrica donde se puede alcanzar la bifurcación de Hopf se obtiene al reemplazar la ecuación (28) en (29), obteniendo el parámetro de bifurcación dado por la ecuación (30).

El Punto de equilibrio para el valor d = d* viene dado por P ₁ ^* = y los valores propios de la matriz jacobiana en el punto P ₁ ^* son:

Al emplear el teorema de la función implícita en (26) tenemos que ℜ (λ) es una función creciente para cierta vecindad de d * = , cumpliendo así la condición de transversalidad de la ecuación (32).

Transladando el punto P ₁ ^* al origen mediante la transformación X = P ₁ ^* + Y, se obtiene la ecuación (33) y haciendo A = DF(P ₁ ^*) que se obtiene al sustituir P ₁ ^* en la ecuación (25), se obtiene la ecuación (34) , que permite descomponer Ẋ = F(X) como la suma de la parte lineal A(X - P ₁ ^*) con la parte no lineal N _x = F (X) - A (X - P ₁ ^* ).

Dado que X = P ₁ ^* + Y, se obtiene la ecuación (34). En donde N _y representa la parte no lineal y viene dada por la ecuación (35).

Al solucionar el sistema Aq = iq, se obtiene el vector propio complejo q de la ecuación (36).

y dado que λ₃ de la ecuación (31) es un valor propio de A, al resolver el sistema Av = - v, se obtiene el vector propio real v asociado a λ₃ dado en la ecuación (37).

Ahora, considerando la matriz de cambio de base de la ecuación (38), se transforma el sistema (34) en (39).

Donde J es la matriz de Jordan real dada por:

Haciendo el cambio de variable Y = PZ, con Z = [z₁ z₂ µ]^T y al sustituir en la ecuación (35), obtenemos que el sistema (39) se puede escribir como en la ecuación (41).

Como consecuencia de la variedad central, existe δ > 0 y una función H en una vecindad del origen B _δ (0), que define la variedad central local de la ecuación (42),

De esta manera, se propone H como en la ecuación (43):

donde los coeficientes αi para i = 1, 2,3 se pueden determinar bajo el siguiente procedimiento:

I al derivar µ de (43), se obtiene:

donde ż₁ y ż₂ estan definidas por (41) y en las cuales se debe sustituir ß por H dado en (43).

II Debido a que la tercera componente de Ż es , se reemplaza en esta componente µ por H.

III Igualando polinómicamente (I) con (II) y despreciando los términos de orden superior, en este caso, los que satisfacen z ⁱ ₁ z ₂ ^j tales que i + j ≥ 3, se obtiene un sistema de ecuaciones lineales cuyas variables son los ai que dependen de los parámetros a y b. Es decir, sólo se tendrá en cuenta para la igualdad, los coeficientes independientes y los que acompañan a las variables de la forma z ₁ , z ₂ , z ₁ ² y z ₂ ² .

Al realizar el procedimiento antes mencionado, los valores de los coeficientes α _i vienen dados en la ecuación (45),

Donde ψ está definida por:

De esta forma, el Flujo en la variedad central

viene definido por el sistema planar de la ecuación (47):

y las partes no lineales N _k vienen dadas por:

Donde

El primer coeficiente de Lyapunov dado en la ecuación (50) se calcula como en [¹⁹].

Por la relacion dada en (32) y la relación obtenida en (50) se puede clasificar la bifurcación de Hopf en función de los parámetros del espacio abd como sigue:

1. bifurcación de Hopf supercrítica con L ₁ < 0, se generan ciclos límites estables.

2. bifurcación de Hopf degenerada con L₁ = 0.

3. ,No se generan ciclos límites.

5.1 Prueba numérica de la Bifurcación de Hopf supercrítica

En el Teorema 2 se demostró la existencia de la bifurcación de Hopf, la cual es invariante respecto al parámetro g. Para mostrar la existencia de un ciclo límite estable bajo la variación del parámetro d Є [d* - ε, d* + 2ε] con ε = 0,1. Sean g = 1, (a,b,d*) = (5,6,11/3) ЄΣ₁. La condición de transversalidad dada en la ecuación (32) con 0,537, se verifica en la Figura 3, la cual muestra la variación de la parte real de los valores propios λ _1,2 a medida que P ₁ varia mediante lo hace d, donde la línea punteada de color azul representa que ℜ (λ₁,₂) = 0 cuando d = d ^*, para este valor del parámetro, la Figura 4 muestra que se obtienen dos valores puros conjugados.

La estabilidad del punto P1 mediante la variación del parámetro d se determina con la clasificación presentada en la sección 4 y es representada por la Figura 5, donde muestra que el punto P1 de color negro es estable cuando d < d ^* y para d ≥ d ^* el punto de equilibrio representado de color azul es inestable. Esto sucede cuando la terna (a, b, d*) ЄΣ₁ correspondiente a la región azul de la Figura 2.

Las órbitas de la Figura 5 fueron obtenidas por el método de Runge kuta de orden 4 con paso constante Δt = 0,05 y cuya condición inicial y tiempo de integración se especifica en cada caso. El plano gris de ecuación d = d ^* - ε/2 contiene la órbita que converge al punto de equilibrio P1, la cual se obtuvo dado el punto inicial de color azul x₀ = (6,556,6,821, 6,289) y al integrar para t Є [0,2000]. El plano azul de ecuación d = d ^* muestra que a partir de este valor se originan los ciclos límites estables. Para ver dicho comportamiento, consideramos el plano d = 3,755 > d ^* , el punto inicial como el punto de equilibrio P1 redondeado a tres cifras decimales y al integrar para t Є [0,1000], se observa que la órbita se aleja del punto de equilibrio acercándose al ciclo límite representado de color rojo sobre el mismo plano, el último valor de la integración es tomado como condición inicial y se integra para t Є [0,5000] para generar la órbita de periodo T = 1,5155 de color roja. Para comprobar la convergencia al ciclo límite, dada la condición inicial x₀ = (5,942,8,144,4,810) sobre el mismo plano d = 3,755, se integra para t Є [0,2000] donde se muestra que la órbita converge al ciclo límite.

La Figura 6 muestra la dinámica sobre la variedad central cuando d = d ^* , cuyas ecuaciones se relacionan en (47) y el ciclo límite de color rojo tiene periódo T = ≈ 1,147. El primer coeficiente de Lyapunov L₁ = -0,0054 se calcula con la ecuación (50) y de esta manera se justifica que el ciclo límite es estable y por tanto, se tiene la bifurcación de Hopf supercrítica.

5.2 Diagramas de bifurcaciones

Sean Q1 = (5,6,0), Q ₂ = (5,3,12), Q ₃ = (5,0,4) y Q4 = (5,12,4) y los segmentos ζ₁(d) := Q₁Q₂ para d Є [0,12], que intersecta a Σ₁ en el punto (5,6,11/3) y, el segmento ζ ₂(b) := Q₃Q₄ con b Є [0,12] que intersecta a Σ₁ en el punto (5,7,4), como se puede apreciar en la Figura 2. De esta forma, para cada variación de los parámetros (a, b, d) Є ζ ₁ se analizará el comportamiento del sistema en un entorno del punto de equilibrio P ₁ bajo un diagrama de bifurcaciones, que se obtiene bajo el siguiente procedimiento:

La Figura 7 muestra el diagrama de bifurcaciones bajo la variación de d, donde indica que apartir del valor de d = d ^* se originan ciclos límites estables hasta un valor cercano a d = 4, que es donde las órbitas empiezan a presentar mayor como se muestra en el zoom de la figura.

La Figura 8 muestra el diagrama de bifurcaciones bajo la variación de b Є [0,0,67), donde se representan órbitas de periódo alto y caos. Cuando b = 0, 67, el coeficiente a₂ de la variedad central de la ecuación (42) se anula y es representado con la linea punteada de color verde. El primer coeficiente de Lyapunov es positivo (L₁ > 0) para b Є [0,1). Cuando b = 1, se tiene que L₁ = 0 y para b Є (1,7) se tiene que L₁ < 0 y el punto de equilibrio es inestable como lo muestra el diagrama de bifurcaciones. En b = 7, el segmento ζ ₁ intersecta el plano d = de esta forma para b > 7 el segmento ζ ₁ esta por debajo del plano d= como se muestra en la Figura 2. Es decir, > d y el punto de equilibrio es estable para estos valores.

6 Resumen

Se presenta una clasificación analítica de la dinámica del sistema de Li-Ou en el espacio tridimencional de parámetros abd donde se encuentran bifurcaciones de Hopf supercríticas, Hopf degeneradas y una bifurcación horquilla. Finalmente los resultados teóricos son comparados con simulaciones numéricas y con diagramas de bifurcaciones.

7 Conclusiones

Los resultados analíticos de la clasificación de la dinámica del sistema de Li-Ou en cuanto a la bifurcación de Hopf supercrítica fueron comparados con simulaciones numéricas que permitieron obtener ciclos límites estables.

En la sección 4 se clasificó la estabilidad del punto P ₁ y el teorema 2 divide al plano d = en tres regiones Σ₁, Σ₂ y Σ₃. Por lo anterior, cuando la órbita atraviesa el conjunto Г₁ representado por la sección azul se alcanza la bifurcación de Hopf supercrítica y de esta forma se garantiza la existencia de ciclos límites estables para ciertos valores del parámetro ≤ d ≤ a + b.