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Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

Print version ISSN 0370-3908

Rev. acad. colomb. cienc. exact. fis. nat. vol.46 no.179 Bogotá Jan./June 2022  Epub Sep 06, 2023

https://doi.org/10.18257/raccefyn.1623 

Ciencias físicas

Resolviendo el problema de valores propios complementarios mediante un algoritmo cuasi-Newton

Solving the eigenvalue complementarity problem using a quasi-Newton algorithm

1 Departamento de Matemáticas, Universidad del Cauca, Popayán, Colombia


Resumen

En este artículo consideramos el problema de valores propios complementarios, de gran interés para muchos investigadores por sus numerosas aplicaciones en Ingeniería y Física, y abordamos su solution como un problema de complementariedad no lineal usando mi método cuasi-Newton, un tipo de método que, hasta donde conocemos, no ha sido utilizad para dicho fin. Verificamos que el problema satisface ciertas hipótesis que permiten utilizar un algoritmo global cuasi-Newton y realizamos pruebas numéricas que muestran la eficacia del algoritmo utilizado y lo hacen una buena alternativa de solución para problema de rotores propios complementarios.

Palabras clave: valores propios complementarios; problema de complementariedad no lineal; programmation no lineal; cuasi-Newton

Abstract

In this article we consider the complementarity eigenvalue problem, which is of great interest to many researchers due to its numerous applications in Engineering and Physics. We approach its solution as a nonlinear complementarity problem using a quasi-Newton method, a type of method that, as far as we know, has not been used for this purpose. We verify that the problem satisfies certain hypotheses that allow the use of a global quasi-Newton algorithm and we analyze its numerical performance. Numerical tests show the efficiency of the algorithm used and make it a good alternative to solve complementary eigenvalue problems

Keywords: eigenvalue complementarity; nonlinear complementarity problem; nonlinear programming; quasi-Newton, AMS Subject Classification: 93B60; 90C30; 90C33

Introducción

Sean A y B enxn, con B una matriz definida positiva. Ul problema de Valores Propios Complementarios, abreviadamente VPC(A,B), consiste en encontrar un escalar positivo λ y un vector x en , no nulo, tal que

Este problema tiene numerosas aplicaciones en ingenieríayfísica tales como, el estudio de la frecuencia de resonancia en estructuras y la estabilidad de sistemas dinamicos (Pinto da Costa, Martins, Figueiredo, y Judice, 2004).

Una solución al problema VPC(A, B) es un par (λ,x), donde X es llamado un valor propio complementario, y x es llamado vector propio complementario asociado a λ.

Como ocurre con los vectores propios convencionales, los vectores propios complementarios asociados a un valor propio complementario tambien forman un conjunto infinito, el cual es un cono convexo (Iusem, jUdice, Sessa, y Sarabando, 2019). Esto puede verse faícilmente con las siguientes matrices,

En este caso, las soluciones del problema VPC (A, B) son de la forma: (λ 1, x) = (2, (α, 0) T ) y (λ 2,x) = (15, (0, α) T ), con α > 0. En efecto, si x = (x 1 ,x 2 ) T entonces

Teniendo en cuenta que x ≥ 0, tenemos que

  • Si λ = 2 entonces x T (λB−A)x = 0 si, y solo si x 2 = 0 y x 1 0.

  • Si λ = 1/5 entonces x T (λB−A)x = 0 si, y solo si x 1 = 0 y x 2 0.

Mas aun, para los pares (X1,x) = (2, (α,0) T ) y (X2,x) = (15, (0, α) T ), con α > 0, es facil verificar que (λB - A)x ≥ 0. Por lo tanto, son soluciones del VPC(A, B).

Observe que, para cada valor propio hay infinitos vectores propios. Como es de esperarse, se prefiere un vector representante, como si fuera un "generador". Con el fin de obtener este vector propio complementario, el problema VPC (A, B), se puede transformar en el siguiente problema equivalente (Facchinei y Pang, 2003).

Dado p > 0 encontrar un escalar positivo λ y un vector x ∈n tal que

Por la nonegatividad del vector x, se tiene que ∥x∥1 = Σ n k =1 xk, lo cual se puede expresar como e T x, donde e T = (1,. Así, el problema (2) se transforma en

que llamaremos problemaVPC2(A,B).

El caso particular, en el cual las matrices A y B son simétricas, generalmente se analiza independientemente, ya que pueden aplicarse métodos especiales para su solución (Iusem y cols., 2019); este tipo de problemas se les llama problema de valores propios complementarios simétrico. Cuando alguna de las matrices A o B no es simétrica, que es el caso más general, el problema es llamado no simétrico.

El problema VPC (A, B) puede reformularse como un problema de minimization con restricciones de complementariedad (Sherali y Tuncbilek, 1992), como uno de minimization global (Judice, Sherali, y Ribeiro, 2007) y como un problema de complementariedad no lineal (Facchinei y Pang, 2003). Nuestro interés esta en esta ultima reformulation debido a que existen algoritmos competitivos, en particular, tipo cuasi-Newton que permiten resolver en forma eficiente problemas de complementariedad no lineal y no han sido utilizados, hasta donde conocemos, para resolver problemas de valores propios complementarios.

En este artículo, consideramos el problema de los valores propios complementarios y su reformulation como un problema de complementariedad no lineal. Verificamos que este problema satisface ciertas hipótesis que permiten usar un algoritmo global cuasi-Newton propuesto en (Arias, Martínez, y Pérez, 2017) para resolver problemas de complementariedad no lineal en general. Implementamos dicho algoritmo adaptándolo al caso particular de los valores propios complementarios y realizamos un análisis numérico de su desempeño. Pruebas numéricas preliminares indican que es una buena alternativa para resolver dichos problemas.

El resto de este documento está organizado de la siguiente forma: en la siguiente sección, se reformula el problema de valores propios complementarios como uno de complementariedad no lineal, se mencionan métodos numéricos tradicionales para resolverlo y se introduce el algoritmo cuasi-Newton global que se usara para resolver indirectamente el VPC(A,B), luego, se verifica que el problema de valores propios complementarios satisface las hipótesis necesarias para que el algoritmo utilizado converja, posteriormente, se incluyen las pruebas numéricas que se realizaron para analizar la eficacia de esta estrategia y finalmente, se presentan algunos comentarios sobre el trabajo realizado.

Reformulación del VPC (A, B) como un problema de complementariedad no lineal

En general, dada F: ℝ n+1 -n+1, F (y) = (F 1 (y),...,F n+1 (y)) T , continuamente diferenciable, el Problema de Complementariedad No Lineal consiste en encontrar un vector y en+1 que satisfaga las tres condiciones siguientes,

Veamos a continuación que, en efecto, el problema VPC2(A,B) puede reformularse como un problema de complementariedad no lineal.

A partir de (3), VPC2(A,B) puede expresarse de la siguiente forma (Júdice y cols., 2007): hallar λ > 0 y x ∈ n tal que

Haciendo un cambio de variable, se definen F: ℝn+1 -n+1 y e Rn+1 tales que,

con lo cual, el problema VPC2(A, B), es de la forma (4); es decir, es un problema de complementariedad lineal.

Una estrategia de solución para problemas de complementariedad no lineal, tal vez, la más popular y ampliamente usada, consiste en reformularlo como un sistema de ecuaciones no lineales mediante ciertas funciones especiales, ϕ: ℝ2 , llamadas funciones de complementariedad (Yong, 2010) que satisfacen la equivalencia, ϕ(a,b) = 0 ⇐⇒ a ≥ 0, b ≥ 0, ab = 0.

En este artículo usaremos la familia de funciones de complementariedad introducida en (Kanzow y Kleinmichel, 1998), y definida por,

la cual ha resultado competitiva en la reformulación de problemas de complementariedad (Arenas, Martínez, y Perez, 2014) (Perez, Arenas, Martínez, y Arias, 2019). Así, la reformulación del problema de valores propios complementarios puede, a su vez, reformularse como el siguiente sistema de ecuaciones no lineales no diferenciable

Este sistema se puede resolver mediante un método tipo Newton generalizado (Ferris y Pang, 1997; Facchinei y Pang, 2003; Kanzow y Kleinmichel, 1998) o cuasi-Newton (Arenas y cols., 2014; Arias y cols., 2017), entre otros (Arenas, Martínez, y Perez, 2020; Sanchez, Perez, y Martínez, 2021). En el primer caso, la iteración básica, es de la forma

donde Hk ∈ ∂Φ τ (y k ), es decir B k es una matriz en el jacobiano generalizado de Φ τ en y k (Clarke, 1975). En el caso, de un método cuasi-Newton, la iteración básica, es de la forma

donde B k ≈ Hk ∈ ∂Φτ (y k ) .

Por otra parte, con el fin de globalizar este tipo de algoritmos que resuelven sistemas de ecuaciones no lineales como el planteado en (7), se introduce una función de merito y se resuelve un problema de minimization (Dennis y Schnabel, 1996). La función de mérito natural y ampliamente usada es Ψ τ definida por Ψ τ (y) = 12 Φ τ (y)T Φ τ (y) , y el problema de minimización es el siguiente:

En (Arias y cols., 2017), los autores proponen un algoritmo global cuasi-Newton, concretamente un algoritmo secante de cambio mínimo, para resolver problemas de complementariedad no lineal, como el problema (8), el cual usa búsqueda lineal como estrategia de globalization. Este algoritmo mostro resultados excelentes al ser probado con funciones de difícil comportamiento numérico. Por ello, consideramos que es la mejor opción para resolver el problema VPC (A, B) vía la reformulation como un problema de complementariedad no lineal. En la experimentation numérica, presentamos más detalles de este algoritmo; en lo que sigue, nos referiremos a el como Algoritmo 1.

Verificación de hipótesis

El Algoritmo 1 converge con tasa superlineal, y esta convergencia esta condicionada a que satisfaga las siguientes hipotesis:

H.1 Existe una solution y* del sistema Φ T (y) = 0.

H.2 Las funciones F i son continuamente diferenciables y su gradiente es una funcion semi-suave.

H.3 La matriz jacobiana de F es Lipschitz continua en una vecindad de y*.

A continuation, analizaremos hasta que punto la función F satisface las hipótesis que requiere el Algoritmo 1 para alcanzar la convergencia. Para ello, usamos (5) y deducimos que la matriz Jacobiana de F, esta dada por

Estas expresiones nos facilitaran la verification de las hipótesis que garantizan la viabilidad del Algoritmo 1 para este problema particular.

H.1 En general, para determinar si un problema de complementariedad tiene solución, bastaría verificar que la función que define el problema es estrictamente monótona (Ferris y Pang, 1997); sin embargo, para el problema (4) con F definida en (5), este camino conduce a imponer condiciones muy fuertes sobre A y B para garantizar la monotonía de F y con ello, la solución al problema.

Una alternativa para garantizar la existencia de al menos una solución del problema VPC (A, B) es imponer condiciones menos restrictivas sobre A y B. Esto fue hecho en (Queiroz, Judice, y Humes, 2004), donde los autores demuestran que, si todas las componentes de A son positivas y B = I n , el problema VPC (A, B) tiene solución. Adicionalmente, si A es simétrica la solución es única. Este resultado, nos permite verificar la hipótesis H1 y diseñar experimentos numéricos, como veremos más adelante.

Vale la pena mencionar que la cantidad maxima de soluciones que puede tener el problema VPC (A, B) es n2n-1 (Seeger, 1999).

H.2 Las funciones F i son diferenciables. En efecto, cuando 1 ≤ i ≤ n, su respectivo gradiente está dado por

y, para n+1, el ∇Fi(y) es el vector de unos de n+1 componentes. Cada uno diferenciable, con además para 1 ≤ i ≤ n

y, para i = n +1, la ∇ 2 F i (y) es la matriz nula de orden n +1. Esto demuestra que cada gradiente ∇F i es continuamente diferenciable; por lo tanto, es también una función semisuave .

H.3 Probemos que F' es Lipschitz continua en todo su dominio. Sean y,z Gn+1 de tal forma que

Considérese la diferencia

Caso 1. Si máx

Caso 2. Si máx

por lo tanto, F' es Lipschitz continua con constante ∥A∥1.

Al satisfacer de manera razonable las hipótesis del algoritmo, se procede á mostrar los resultados numéricos.

Experimentación numérica

En esta sección, resolvemos numericamente la reformulation del problema VPC2(A, B) como un problema de complementariedad no lineal, el cual a su vez, lo hemos reformulado como el problema de minimization (8). Para ello usaremos el algoritmo propuesto en (Arias y cols., 2017), el cual hemos denominado en este documento Algoritmo 1. Este es un algoritmo cuasi-Newton, exactamente secante de cambio mínimo (Martínez, 1992), globalizado mediante una estrategia de busqueda lineal (Dennis y Schnabel, 1996). Para mayor claridad en la lectura de este documento lo incluimos a continuation.

Algoritmo 1 Cuasi Newton 

El Algoritmo 1, hace un llamado al Algoritmo 2, que selecciona la actualización secante, que actualizara la matriz B k y que será usada en la siguiente iteración. Las actualizaciones que consideraremos son las siguientes: buena de Broyden (Broyden, 1965), mala de Broyden (Brown y Saad, 1994), Schubert (Schubert, 1970), COLUM (Martínez, 2000) e ICUM (Martínez, 1992).

Algoritmo 2 Función Actualizar 

Se considero como algoritmo para hacer las comparaciones respectivas el método de Newton generalizado, el cual llamaremos Algoritmo 3, y lo incluimos a continuación para claridad en la lectura de la sección. Por supuesto, aprovechamos la estructura del jacobiano de F indicada en (9) ya que, no es muy costosa su evaluación, ni su implementación.

Algoritmo 3 Newton generalizado 

Construcción de los problemas

Para construir los problemas VPC (A, B) usamos el lineamiento descrito en (Júdice y cols., 2007); es decir, dos categorías de problemas: simétricos y no simétricos; en todos, la matriz B es la identidad de tamaño n x n. La matriz A se construye como se indica en la Tabla 1, donde Escala significa el valor más grande que puede tomar cada componente de A, randn(n) es una matriz aleatoria de tamaño n x n y p esta dado por (3), generando un total de ocho configuraciones de parámetros.

Tabla 1 Selection de las matrices A y B en la experimentation. 

Tipo de problema p Escala A B
Simeítrico 1 y6 V= Escala x randn( n) I n
1 y 50 U= triu(V )
A=U+U T
No simétrico 1 y6 1 y 50 A= Escalax randn(n) In

Para escribir los códigos de los algoritmos y de las funciones objetivo de cada problema usamos el software Matlab® . Realizamos las pruebas numéricas en un computador Intel (R) Core (TM) i7-9700F CPU de 3.00 GHz.

Experimento preliminar

Uno de los interrogantes planteados antes de comenzar la experimentation fue el siguiente, ¿cual es el valor de x adecuado para la función ϕ τ definida en (6)? En (Kanzow y Klein-michel, 1998) se presento un algoritmo dinámico para variar x con buenos resultados, sin embargo, en el caso particular del problema VPC (A, B), en pruebas preliminares no se obtuvo un decrecimiento eficaz, al compararlo con el valor de x = 2 estático, el cual es un valor muy utilizado en funciones de complementariedad, esto llevo a diseñar el siguiente experimento.

Encontrar en cada paso el valor de x en el cual se pueda obtener el mayor decrecimiento de la función objetivo Ψ t . Para ello, se utilizaron diferentes valores de t desde 0.01 hasta 3.99 y se seleccionó para cada paso aquel valor de t en que se obtuvo el máximo descenso de Ψ t utilizando el método de Newton generalizado. Luego se repitió esta experiencia 10000 veces, los promedios de los 9110 ejecuciones exitosas se muestran en la Figura 1.

Figura 1 Valores de t que producen mayor decrecimiento y su respectivo Ψ t (x k ) en las primeras 7 iteraciones. 

Podemos observar que el mayor decrecimiento se obtiene en las primeras 3 iteraciones, en los cuales λ toma valores muy pequeños, es por ello que hemos decidido realizar todos los experimentos con un valor de λ = 10-2.

Experimento principal

Realizamos para cada valor de n, cada valor de Escala y cada valor de p, 1000 ejecuciones; en cada ejecución se generó aleatoriamente un problema. El punto inicial y 0 también se genero aleatoriamente con el comando randn(n + 1,1). Cada uno de estos problemas, se resolvió con los algoritmos 1 y 2 respectivamente.

Los resultados más relevantes obtenidos en esta experimentación, se presentan en las Tablas 2 a 4, donde n, es el tamaño de las matrices A y B, p, es el valor de la constante dada en (3); escala, es el valor mas grande que puede tener cada componente de la matriz A; en cada una de las actualizaciones E, indica el porcentaje de éxitos con cada una de las actualizaciones; es decir, el número de veces que se obtuvo convergencia entre 1000 expresado como porcentaje; Iter, indica el promedio de iteraciones redondeado a un entero de las ejecuciones que tuvieron éxito; finalmente, tiempo indica el promedio de tiempo CPU redondeado a cuatro decimales en las ejecuciones que tuvieron éxito.

Tabla 2 Caso asimétrico con p = 1 y Escala = 1. 

Newton Broyden B Broyden M
n P E Iter tiempo E Iter tiempo E Iter tiempo
2 97.1 16 0.0012 85.1 23 0.0016 27.9 10 0.0003
3 99.1 14 0.0009 91.4 24 0.0017 28.1 12 0.0003
4 99.4 13 0.0008 91.1 22 0.0014 24.2 13 0.0004
5 99.5 12 0.0007 90.8 24 0.0016 24.9 14 0.0004
10 99.7 13 0.0009 92.1 34 0.0025 17.9 18 0.0006
20 99.7 16 0.0015 89.1 56 0.0063 9.9 22 0.0011
30 99.9 20 0.0026 85.6 70 0.0098 8.3 24 0.0016
50 98.1 23 0.0052 72.5 105 0.0246 5.1 27 0.0030
100 92.5 26 0.0297 47.3 123 0.1364 2.1 31 0.0207
Schubert COLUM ICUM
n p E Iter tiempo E Iter tiempo E Iter tiempo
2 35.7 13 0.0007 76.9 21 0.0017 34.7 9 0.0003
3 33.4 15 0.0008 80.3 19 0.0013 30.2 11 0.0004
4 33.8 16 0.0007 77.5 19 0.0012 28.8 11 0.0004
5 32.0 17 0.0007 74.7 22 0.0015 24.2 13 0.0004
10 17.9 26 0.0019 52.0 27 0.0018 13.1 15 0.0006
20 5.9 41 0.0043 21.0 30 0.0024 8.5 17 0.0010
30 2.5 47 0.0073 14.5 31 0.0033 7.1 18 0.0013
50 0.7 39 0.0068 7.4 33 0.0061 4.0 20 0.0024
100 0.1 27 0.0254 4.5 36 0.0418 2.5 19 0.0138

En los resultados presentados en la Tabla 2 se destacan las actualizaciones Broyden M.e ICUM por su rapidez de convergencia, sin embargo, tienen poco éxito, por lo cual afirmamos que no son muy efectivas al tomar valores iniciales aleatorios, si el problema tuviese una forma de iniciar el algoritmo en una vecindad pequeña de la solución esta falencia pudiera ser superada. Por otro lado, los métodos de Newton generalizado y Broyden B son los métodos más eficaces para este caso no simétrico con valores pequenos de las entradas de la matriz A.

Tabla 3 Caso asimétrico con p = 6y Escala = 50. 

Newton Broyden B Broyden M
n P E Iter tiempo E Iter tiempo E Iter tiempo
2 6 77.4 14 0.0007 24.0 54 0.0030 0.8 18 0.0013
3 6 78.6 14 0.0006 10.0 59 0.0047 1.1 18 0.0012
4 6 80.6 14 0.0007 4.4 59 0.0050 0.6 35 0.0031
5 6 81.1 14 0.0007 2.7 42 0.0033 1.3 24 0.0024
10 6 82.4 14 0.0008 1.7 41 0.0035 0.8 54 0.0064
20 6 84.5 15 0.0012 0.5 81 0.0129 0.5 42 0.0067
30 6 82.9 16 0.0017 0.4 106 0.0246 0.2 51 0.0088
50 6 83.3 17 0.0030 0.5 107 0.0327 0.4 75 0.0293
100 6 86.9 19 0.0178 1.3 52 0.0793 0.3 101 0.1431
Schubert COLUM ICUM
n p E Iter tiempo E Iter tiempo E Iter tiempo
2 6 0.7 23 0.0021 34.9 49 0.0040 0.4 20 0.0012
3 6 0.0 - - 15.4 66 0.0056 0.5 11 0.0004
4 6 0.2 50 0.0056 7.5 50 0.0037 0.4 12 0.0004
5 6 0.5 15 0.0004 3.3 56 0.0044 0.1 12 0.0004
10 6 0.1 17 0.0007 1.1 27 0.0015 0.2 18 0.0007
20 6 0.2 13 0.0006 0.7 29 0.0018 0.1 22 0.0011
30 6 0.0 - - 0.3 13 0.0010 0.2 13 0.0009
50 6 0.4 25 0.0031 0.0 - - 0.0 - -
100 6 0.0 - - 0.1 40 0.0361 0.0 - -

Los resultados de la Tabla 3 muestran que el método más eficiente en el caso no simétrico con entradas menores o iguales que 50, sigue siendo el método de Newton generalizado, seguido por la actualización de Broyden B también la actualización ICUM es la que converge mas rapidamente, aunque tiene poco exito.

Tabla 4 Caso simétrico con p =1 y Escala = 1. 

Newton Broyden B Broyden M
n P E Iter tiempo E Iter tiempo E Iter tiempo
2 100.0 13 0.0032 90.0 21 0.0017 50.0 10 0.0003
3 100.0 14 0.0009 90.0 17 0.0009 20.0 9 0.0002
4 100.0 10 0.0004 90.0 34 0.0035 0.0 - -
5 100.0 10 0.0004 90.0 29 0.0018 20.0 14 0.0004
10 100.0 16 0.0010 100.0 44 0.0042 10.0 15 0.0005
20 100.0 40 0.0055 80.0 46 0.0047 0.0 - -
30 100.0 32 0.0052 60.0 68 0.0091 0.0 - -
50 90.0 42 0.0115 70.0 116 0.0302 20.0 28 0.0033
100 70.0 17 0.0109 30.0 160 0.1602 0.0 - -
Schubert COLUM ICUM
n p E Iter tiempo E Iter tiempo E Iter tiempo
2 30.0 17 0.0017 70.0 23 0.0024 30.0 6 0.0014
3 10.0 7 0.0002 70.0 23 0.0017 70.0 11 0.0004
4 0.0 - - 50.0 16 0.0006 30.0 14 0.0005
5 30.0 14 0.0004 60.0 27 0.0015 30.0 12 0.0004
10 10.0 16 0.0005 50.0 70 0.0114 10.0 23 0.0008
20 0.0 - - 20.0 23 0.0018 0.0 - -
30 0.0 - - 10.0 18 0.0015 10.0 26 0.0022
50 0.0 - - 10.0 21 0.0026 0.0 - -
100 0.0 - - 0.0 - - 0.0 - -

De la Tabla 4 deducimos que para el caso simétrico, el método de Newton generalizado es el más indicado, por efectividad y eficiencia, en contraste, el método de Shubert no parece ser recomendable para problemas de tamaño mayor a 5. También llama la atención que en muchos casos no se alcanza la convergencia en algunos métodos cuasi-Newton, salvo el método Broyden Bueno, que es muy confiable.

Comentarios finales

En este artículo, utilizamos un método cuasi-Newton para resolver el problema de valores propios complementarios basado en su reformulation como un problema de complementariedad no lineal. Un método de este tipo es una buena alternativa cuando las derivadas del sistema son muy costosas o difíciles de obtener. Particularmente en este caso no es muy costoso su computo, aun así, por las valiosas aplicaciones que tiene el reducir el tiempo de ejecución es un incentivo para utilizar esta propuesta.

Como pudimos verificar en los resultados de las pruebas numéricas, la cantidad de experimentos numéricos que se hicieron fue bastante amplia, por lo cual podemos concluir que los métodos cuasi-Newton aplicados a este problema pueden ser competitivos frente al método de Newton generalizado, especialmente el método de Broyden Bueno. Por otro lado también observamos que al aumentar la dimension del problema el número de éxito se reduce considerablemente, creemos que la razón de este fenómeno es que la norma del vector solución es igual a p y al ser muy pequeno (1 o 6) y la dimension muy grande, obliga a que cada componente del vector solución sea casi cero, lo cual genera problemas de estabilidad en el algoritmo.

Por otro lado, en cuanto a la selection del "mejor" valor de T en (6) todavía que da mucho por hacer. Dicho lo anterior concluimos que este algoritmo es una buena alternativa, pues el costo computacional es menor en comparación con el método de Newton generalizado.

Agradecimientos

Expresamos nuestro agradecimiento a la Universidad del Cauca por brindar tiempo para este trabajo a traves del proyecto de investigación VRI ID 5247 y a los árbitros anónimos por las sugerencias constructivas lo cual nos permitió mejorar la presentation de este artículo.

Referencias

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Editor: Luis Español González

Contribución de los autores FA: programmation, diseño de experimentos, análisis de resultados, discusión y conclusiones; CA: Construction y desarrollo de la propuesta de investigation, análisis de resultados; RP: Organization de la information, análisis de resultados, revision de forma y contenido del documento, discusión y conclusiones.

Recibido: 25 de Enero de 2022; Aprobado: 06 de Mayo de 2022; Publicado: 28 de Junio de 2022

*Correspondencia: Favian Arenas; farenas@unicauca.edu.co

Conflicto de intereses

Los autores declaran no tener conflicto de intereses con respecto al contenido de este artículo.

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