Resumen

KIRIU, YUKI  y  MEJIA, DIEGO A.. Sobre residuos de potencias módulo primo. Integración - UIS [online]. 2022, vol.40, n.1, pp.1-23.  Epub 26-Ago-2022. ISSN 0120-419X.  https://doi.org/10.18273/revint.v40n1-2022001.

Sea q un número primo. Clasificamos los primos impares p ≠ q tal que la ecuación x2 ≡ q (mód p) tiene solución, concretamente, hay un subgrupo 𝕃4q del grupo multiplicativo 𝕌4q de los enteros primos relativos con 4q (módulo 4q) tal que x 2 = q (moód p) tiene solución si y solo si p ≡ c (mod 4q) para algún c ∈ 𝕃4q. Aún más, 𝕃4q es el único subgrupo de 𝕌4q con la mitad del orden que contiene a - 1 .

En conexión con el anillo ℤ [√2], para cualquier primo impar p se sabe que la ecuación x2 ≡ 2 (mod p) tiene solución si y solo si x2 - 2y2 = p tiene solución en los enteros. Nos preguntamos si esta situación se puede extender al contexto de ℤ [n√2] con n ≥ 2, a saber: para cualquier primo p ≡ 1 (mód n), ¿la ecuación x n ≡ 2 (mód p) tiene solución si y solo si D 2 n (x 0 ,..., x n -1)= p tiene solución en los enteros? Aquí D 2 n (x̄) representa la norma de ℚ (n√2) como extensión del campo ℚ. Solucionamos algunas versiones débiles de este problema, donde igualdad con p se reemplaza por 0 (mód p) (divisible por p), y la "norma" D 2 n (x̄) se considera para cualquier r ∈ ℤ en lugar de 2.

Palabras clave : Residuos de potencias módulo primo; residuos cuadráticos; símbolo de Legendre; normas de extensiones de campos; polinomios irreducibles.

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