Mike Hilden¹ - José M. Montesinos² - Débora Tejada³ - Margarita Toro⁴

¹Department of Mathematics. University of Hawaii. 2565 The Mall, Honolulu. HI 96822 USA

e-mail: mike@math.hawaii.edu

²Facultad de Matemáticas. Universidad Complutense. 28040 Madrid, España

e-mail: montesin@mat.ucm.es

³Posgrado en Matemáticas. Facultad de Ciencias. Universidad Nacional de Colombia. Apartado Aéreo 3840, Medellín

e-mail: dtejada@unalmed.edu.co

⁴Posgrado en Matemáticas. Facultad de Ciencias. Universidad Nacional de Colombia. Apartado Aéreo 3840, Medellín

e-mail: mmtoro@unalmed.edu.co

Abstract. A triangulation Δ of S³ defines uniquely a number m ≤ 4; a subgraph T of Δ and a representation ω(Δ) of Π1(S³\T) into Σ_m: It is shown that every (K,ω), where K is a knot or link in S³ and ω is transitive representation of Π1(S³\K) in Σ_m, 2 ≤ m ≤ 3, equals ω(Δ), for some Δ. From this, a representation of closed, orientable 3-manifolds by triangulations of S³ is obtained. This is a theorem of Izmestiev and Joswig, but, in contrast with their proof, the methods in this paper are constructive. Some generalizations are given. The method involves a new representation of knots and links, which is called a butter y representation.

Keywords and phrases. Knot, Link, 3-manifold, Triangulation, Representation,Branched covering, Coloration.

2000 Mathematics Subject Classification. Primary: 57M25. Secondary: 57M12.

Resumen. Una triangulación Δ de S³ define un único número m ≤ 4; un subgrafo T de Δ y una representación ω(Δ) de Π1(S³\T): Se sabe que cada (K, ω), donde K es un nudo o eslabón en S³ y ω es una representación transitiva de Π1(S³\K) en Σ_m 2 ≤ m ≤ 3; es igual a ω(Δ) para algún Δ. De esto se obtiene una representación de 3-variedades cerradas y orientables por triangulaciones de S³. Este es un teorema de Izmestiev y Joswig pero, en contraste con su prueba, el método en este artículo es constructivo. Este trae consigo una nueva representación de nudos y eslabones llamada representación mariposa. Se dan algunas generalizaciones.

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(Recibido en agosto de 2005. Aceptado en noviembre de 2005)