Johan Bogoya*, Carlos Montenegro*

e-mail: mbogoya@math.cinvestav.mx

Departamento de Matemáticas Universidad de los Andes Bogotá, Colombia

e-mail: cmontene@uniandes.edu.co

Resumen. El axioma de elección dice que para cada colección de conjuntos (es decir conjunto de conjuntos) X, existe una función f tal que f(x) ∈ x para todos los x ∈ X no vacíos, es decir, la función f selecciona un elemento de cada conjunto de la colección X; a dicha función la llamamos función electora. Se acostumbra debilitar dicho axioma imponiendo condiciones sobre el conjunto X como por ejemplo: "X es una colección de n-conjuntos, es decir que los elementos de X son conjuntos finitos de tamaño n" o debilitando la función electora f al cambiar la condición f(x) ∈ x por Ø 6= f(x) ¢ x, en este último caso decimos que f es una función selectora. Decimos que el criterio S_n es válido en un modelo M si todas las colecciones de n-conjuntos X en M, tienen una función selectora. En el presente trabajo se exhibe un modelo de permutación de soporte finito [2, capítulo 4] donde el criterio S_n es falso para todos los enteros n de la forma 2^k, con k natural y es válido para el resto de los naturales.

Keywords and phrases. Logic, models, axiom of choice.

2000 Mathematics Subject Classification. Primary: 03C50. Secondary: 03E25.

Abstract. The axiom of choice says that for any collection of sets (or for any set of sets) X, exists a function f such that f(x) ∈ x for all non empty x ∈ X, i.e. f takes an element in each set of the collection X, such function is called a choice function, it is customary to weak the axiom of choice by putting some extra condition for the set X such that: "X is a n-set collection, meaning that the elements of X are finite sets of size n" or in the other hand, weakening the choice function f by changing the condition f(x) ∈ x by the simpler one Ø 6= f(x) ¢ x, in this last case we say that f is a sellector function. We say that the S_n criterion is true in a model M if all the possible collections of n-sets X in M, have a sellector function. In the present work we exhibit a permutation model of finite support [2, chapter 4] where the S_n criterion fails for all the naturals n of the form 2^k with k natural, and works for the rest of the naturals.

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[1] J. Fraleigh, Abstract Algebra, Wilmington Delaware E.U.A., 1987.         [ Links ]

[2] T. Jech, The Axiom of Choice, North-Holland, 1973.         [ Links ]

[3] T. Jech & A. Sochor, Applications of the Θ-model, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 14 (1966), 351-355.        [ Links ]

(Recibido en abril de 2006. Aceptado en noviembre de 2006)