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Revista Colombiana de Matemáticas

versión impresa ISSN 0034-7426

Rev.colomb.mat. vol.49 no.1 Bogotá ene./jun. 2015

https://doi.org/10.15446/recolma.v49n1.54176 

Doi: http://dx.doi.org/10.15446/recolma.v49n1.54176

Topology of Random Real Hypersurfaces

Topología de hipersuperficies reales aleatorias

JEAN-YVES WELSCHINGER1

1Université de Lyon, CNRS, Université Lyon 1, Lyon, France. Email: welschinger@math.univ-lyon1.fr


Abstract

These are notes of the mini-course I gave during the CIMPA summer school at Villa de Leyva, Colombia, in July 2014. The subject was my joint work with Damien Gayet on the topology of random real hypersurfaces, restricting myself to the case of projective spaces and focusing on our lower estimates. Namely, we estimate from (above and) below the mathematical expectation of all Betti numbers of degree d random real projective hypersurfaces. For any closed connected hypersurface Σ of Rn, we actually estimate from below the mathematical expectation of the number of connected components of these degree d random real projective hypersurfaces which are diffeomorphic to Σ.

Key words: Random polynomials, Real algebraic manifolds, Random matrices.


2000 Mathematics Subject Classification: 14P25, 60D05.

Resumen

Las siguientes son las notas de un mini curso que dí durante la escuela de verano CIMPA en Villa de Leyva, Colombia, en julio de 2014. El tema fue el trabajo que en conjunto se desarrolló con Damien Gayet sobre la topología de las hipersuperficies reales aleatorias, restringiéndonos al caso de los espacios proyectivos y enfocándonos en nuestras estimaciones inferiores. Particularmente, estimamos (por arriba y) por abajo la esperanza matemática de todos los números de Betti de las hipersuperficies reales proyectivas aleatorias de grado d. De hecho, para cualquier hipersuperficie cerrada y conexa Σ de Rn, estimamos por abajo la esperanza del número de componentes conexas de éstas hipersuperficies reales proyectivas aleatorias de grado d, las cuales son difeomorfas a Σ.

Palabras clave: Polinomos aleatorios, variedades algebraicas reales, matrices aleatorias.


Texto completo disponible en PDF


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(Recibido en septiembre de 2014. Aceptado en diciembre de 2014)

Este artículo se puede citar en LaTeX utilizando la siguiente referencia bibliográfica de BibTeX:

Doi: http://dx.doi.org/ @ARTICLE{RCMv49n1a07,
    AUTHOR  = {Welschinger, Jean-Yves},
    TITLE   = {{Topology of Random Real Hypersurfaces}},
    JOURNAL = {Revista Colombiana de Matemáticas},
    YEAR    = {2015},
    volume  = {49},
    number  = {1},
    pages   = {139--160}
}