TOMÁS BARRERO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
atomas@lycos.com

La revista Manuscrito ha decidido conmemorar los 60 años de la profesora Itala D´Ottaviano, su editora, con un número especial dedicado a temas relacionados con lógica, filosofía de las matemáticas y de la lógica, y filosofía de la ciencia. No puedo dejar de unirme a esta celebración de quien ha sido una de las discípulas más brillantes del profesor Newton Da Costa y, por mérito propio, una de las más importantes figuras de la reconocida escuela brasileña de lógica; ni desconocer los vínculos de agradecimiento y cariño que me atan con la actual directora del Centro de Lógica, Epistemología e Historia de la Ciencia (CLE) de la Unicamp.

Abre la revista el trabajo de Rodolfo Értola ("On the Mathematics of Logic and the Logic of Mathematics") acerca de la enseñanza de las matemáticas en los Departamentos de Filosofía, y de la necesidad de retomar la vertiente algebraica o booleana de la lógica, relegada por la corriente fregeana, enmienda que permitiría un mayor énfasis en el aspecto propiamente combinatorio de la disciplina, y una perspectiva más completa donde los dos enfoques se complementaran mutuamente.

En "Platonism in Mathematics", Oswaldo Chateaubriand nos ofrece un análisis de los argumentos usados por Benacerraf y Chihara en contra del realismo matemático propuesto por Gödel. En el primer caso, y debido a una interpretación semántica à la Tarski, se hace uso de una noción causal de conocimiento que no consigue explicar con un grado razonable de exactitud el conocimiento empírico, y que, por lo tanto, no puede dar cuenta de la analogía de Gödel entre conocimiento físico y matemático. En cuanto al segundo grupo de objeciones, el profesor Chateaubriand consigue despertar sospechas con respecto a la pertinencia –que no veracidad– de una interpretación metafísico-dualista de la posición de Gödel, y opta por una interpretación epistemológica de su propuesta, para lo cual defiende, apoyado en Gibson, la idea de que existen aspectos abstractos de la realidad, de aire inconfundiblemente platónico, que se presentan ya en la percepción.

El artículo "Towards a Stronger Notion of Translation between Logics", de Marcelo Coniglio, se pregunta por la preservación de las propiedades deductivas al traducir una lógica a otra, mostrando diversos enfoques y estableciendo una jerarquía de procedimientos de traducción: el conservativo, que se utilizó para probar la consistencia de un sistema en términos de otro; el algebraico, que se basa en el estricto mecanismo de los isomorfismos; el de transferencia (transfer), que utiliza técnicas de la Teoría de Modelos, y consigue representar algunas propiedades metalógicas de un sistema en otro (no-trivialidad, por ejemplo), y los de fibrilación (fibring y meta-fibring) entre lógicas que, a partir de la combinación entre lenguajes, usando técnicas de la Teoría de Categorías, consigue una combinación entre lógicas en la que algunas de las meta-propiedades del sistema, como el comportamiento de la negación y la disyunción, se pierden, aunque se conserven otras muy sencillas del operador de consecuencia. El autor evalúa positivamente los dos últimos procesos de traducción, por permitir obtener conclusiones meta-teoréticas, aunque reconoce que las virtudes de cada procedimiento dependen de los objetivos que se busquen con él.

Los profesores Da Costa, Bueno y French presentan, en "A Coherency Theory of Truth", una versión de la Teoría de la Casi-Verdad (Quasi- Truth Theory): partiendo del fenómeno de incompletitud de información que alcanza a las diferentes ciencias, introducen estructuras parciales donde es posible representar las relaciones que sabemos que se dan, las que no se dan y las que no sabemos si se dan o no, estipulando un conjunto de oraciones de información disponible que ayuden en la determinación de esas relaciones. En este enfoque pragmatista, la estructura clásica de Tarski representaría un caso límite para el cual tenemos toda la información disponible, un estado ideal de la ciencia en cuestión. Esta formulación sintáctica se complementa semánticamente con la teoría coherentista de la verdad, pues el criterio para las oraciones informativas complementarias es que no resulten contradictorias con la estructura parcial original, y que puedan incluirse en un conjunto máximamente consistente, o bien, máximamente no-trivial (si la lógica subyacente es paraconsistente). Esta postura evita el compromiso ontológico con cualquier tipo de objeto científico o matemático, como lo muestra su aplicación natural a una versión nominalista de las matemáticas, donde, por una parte, se enfatiza la coherencia interna como principal criterio de aceptabilidad científica y, por otra, se llama la atención sobre su carácter sintáctico- constructivo a posteriori.

En "A Phenomenological Inquire into the Concept of Set", Jairo Da Silva presenta una justificación de los axiomas de la teoría de conjuntos desde el punto de vista de la fenomenología, enfatizando el carácter conceptual de tal disciplina, y fundamentando la idea de conjunto en el producto de un acto individual de recolección, que puede ser considerado, a su vez, como un objeto que sólo consiste en una colección de objetos. Señala, además, el carácter ontológicamente dependiente del conjunto con respecto a sus elementos, y la consiguiente división del mundo en niveles que genera la clasificación en elementos y conjuntos. Muestra también el carácter propiamente numérico de cualquier conjunto, la necesidad de considerar el conjunto vacío como un acto de recolección fallido, y la posibilidad conceptual de recoger todos los conjuntos finitos en un conjunto de otra naturaleza, infinito.

La Hipótesis del Continuo –todo conjunto no-numerable de reales tiene la misma cardinalidad del conjunto de los reales– ha sido uno de los problemas más profundos de la teoría de conjuntos, porque una respuesta afirmativa o negativa podría cambiar notoriamente la estructura del sistema y, por lo tanto, nuestra propia concepción de conjunto. En "Are We Closer to a Solution of the Continuum Problem?" Carlos di Prisco presenta la historia de tal hipótesis, los resultados clásicos de Gödel (consistencia) y Cohen (independencia), y otros más recientes, incluyendo nuevos axiomas como el de Martin y algunos resultados sobre cardinales fuertemente inaccesibles y conjuntos de Borel, mostrando cómo probablemente Gödel estaba en lo cierto, en 1947, al afirmar que una posible solución implicaría la introducción de nuevos axiomas, en particular con respecto a los grandes cardinales, y no implicaría una respuesta para la Hipótesis Generalizada del Continuo (para cada alfa dos elevado a la aleph alfa, es igual a aleph alfa más uno).

En "Modulated Logic, Modal Logic and Translations between Logics", Hércules Feitosa y Frank Sautter presentan una evaluación de la lógica modulada (introducida para formalizar nociones del lenguaje común como "la mayoría" o "casi todos"), y una revisión de algunos aspectos de la traducción entre lógicas modales. Con respecto al primer tema, los autores presentan la propuesta de los cuantificadores generalizados en sus aspectos sintáctico y semántico, la lógica modulada que los incluye y la familia de estructuras que la interpreta, llamando la atención sobre el uso de ultrafiltros o filtros primos (prime filters). Una segunda perspectiva de la lógica modulada puede presentarse desde el punto de vista modal a través de la noción de modalidades generalizadas, cuya interpretación se discute en términos de modelos standard extendidos. Mediante el uso de las nociones de traducción y traducción conservativa, los autores comparan diversos sistemas modales generalizados, articulándolos en una jerarquía, discuten las modalidades deónticas –de claro origen kantiano– y critican la confusión entre "deber ser" y "ser".

Maria E. Gonzales, Mariana Broens, Willem Haselager y Ettore Bresciani dan una introducción sistemática al concepto de auto-organización en "Self-Organization and Life: a systemic approach". Presentan un breve esquema de los dos tipos de auto-organización (primaria, donde elementos orgánicos o inorgánicos se reúnen por azar en unidades; secundaria, donde las unidades comienzan a interactuar con el fin de alcanzar cierta estabilidad y supervivencia), y la conectan con la explicación aristotélica de las cuatro causas, mostrando cómo, si se lo interpreta de una manera naturalista y no teológica, Aristóteles puede adaptarse al esquema conceptual de la auto-organización como explicación del surgimiento, regulación y permanencia de la vida.

Edgard López Escobar presenta, en "Set Theories as Extensions of Propositional Logics", una sugestiva interpretación de la teoría polisintética de conjuntos de Morse en términos de un álgebra extendida de clases (o conceptos), EAC, siguiendo los lineamientos de Boole, y haciendo énfasis en la conexión entre esta teoría y la idea de Cantor de conjuntos con atributos con una valoración bivalente para cada atributo, aunque, como era de esperarse, no se pueda dar una prueba de consistencia absoluta, debido al primer teorema de la incompletitud de Gödel. Se presenta el sistema axiomático de tal teoría, sus reglas de inferencia (de cuño intuicionista), así como algunos teoremas inmediatos y sobre clases (por ejemplo, con respecto a los conjuntos unitarios o singletons), el modelo booleano y la construcción del operador "clasificador" (análoga a la definición de "concepto" fregeano). Se rescriben los axiomas del Infinito y la Elección en términos de la teoría, y se examina su parte proposicional, AoC, a partir de la cual se establecen algunos teoremas y se muestra cómo dichas funciones proposicionales no son invariantes bajo bicondicional, debido a la aparición del predicado de pertenencia.

Completan el volumen "A Short Note on Intuitionistic Propositional Logic with Multiple Conclusions" de Valéria de Paiva y Luiz Carlos Pereira; "A Fabricação dos Humanos"de Zeljko Loparic; "Logic, Partial Orders and Topology" de Francisco Miraglia y Hugo Mariano; "Decidability and Gödel Incompleteness in AFC*-Algebras" de Daniele Mundici, "Trapped Ion Quantum Conputing and the Principles of Logic" de Alfredo Pereira y Roberson Saraiva y "Bounded Conmutative B-C-K Logic and £ukasiewicz Logics" de Marta Sagastume.