^* Este artículo se basa en el documento de investigación registrado como propiedad intelectual ante la Facultad de Ciencias Sociales y Económicas de la Universidad del Valle, Cali, Colombia. Fue desarrollado entre febrero de 2006 y junio de 2007. El artículo se recibió el 03-10-2007 y se aprobó el 18-03-2008.

^** Magíster en Economía, Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá, Colombia (2006); Magíster en Economía del Medio Ambiente y de los Recursos Naturales, Universidad de losAndes, Bogotá, Colombia (2003); profesor del Departamento de Economía, Facultad de Ciencias Sociales y Económicas, Universidad del Valle, Cali, Colombia. Miembro del grupo de investigación Economía Regional y Ambiental (GERA), Universidad del Valle. Cali, Colombia. Correo electrónico: jhmendez@univalle.edu.co

RESUMEN

Este artículo presenta los resultados de evaluaciones empíricas de pronósticos de la tasa de cambio nominal en Colombia realizados a partir de especificaciones lineales (modelo de rezagos distribuidos) y no lineales (redes neuronales artificiales y sistemas neurodifusos). Todas las especificaciones econométricas emplean el flujo de órdenes como determinante del tipo de cambio, la variable más representativa de los modelos que tratan de explicar la tasa de cambio nominal, apoyados en la microestructura del mercado cambiario. Las medidas de error de pronóstico utilizadas para evaluar la habilidad predictiva de los modelos evidenciaron las ventajas de los modelos lineales y no lineales sobre la caminata aleatoria, atribuible al flujo de órdenes. Los modelos no lineales mostraron alguna superioridad sobre el modelo lineal en términos de la raíz del error cuadrado medio, el coeficiente de Theil y el porcentaje de cambios correctos predichos, tan leve que no permite confirmar la hipótesis de no linealidad del proceso generador de la tasa de cambio.

Palabras clave: tasa de cambio, flujo de órdenes, redes neuronales artificiales, sistemas neurodifusos.

Clasificación JEL: F31, C45, C53.

ABSTRACT

This article presents the results of empirical assessments of the nominal exchange rate in Colombia, conducted using linear specifications (distributed lag model) and non-linear specifications (artificial neural networks and neural diffusion systems). All of the econometric specifications employ order flow as the determinant for the exchange rate, the most representative variable for models that attempt to explain the nominal exchange rate, supported by the exchange market microstructure. The forecast error measurements used to assess the predictive ability of the models evidenced that linear and non-linear models had an advantage over a random path models, attributable to the order flow. Nonlinear models were somewhat superior to the linear model in terms of the root mean square error, Theil’s coefficient, and the percentage of predicted correct changes, but the difference was so slight that it does not enable confirming the hypothesis that the exchange rate generation process is non-linear.

Key Words: exchange rate, order flow, artificial neural networks, neural diffusion systems.

JEL Classification: F31, C45, C53

Introducción

Investigar las causas que determinan el comportamiento de la tasa de cambio y predecir su evolución es un tema fundamental para la política cambiaria que provee información útil a los inversionistas para la distribución de sus recursos y la cobertura del riesgo cambiario de las firmas. El tratamiento más común es que los modelos que buscan explicar el nivel que alcanza la cotización de una divisa en un momento dado lo hagan con base en las relaciones entre variables macroeconómicas. Este enfoque macroeconómico ha experimentado diversas etapas, desde las teorías tradicionales de la paridad del poder adquisitivo y la teoría de la balanza de pagos hasta la teoría de activos, que hace hincapié en el movimiento de los flujos financieros para explicar el movimiento del tipo de cambio. La teoría de la paridad descubierta de interés, los modelos monetarios de precios rígidos y flexibles, y el modelo de equilibrio de cartera forman parte de dicha corriente.

A pesar de lo intuitiva, la teoría económica sobre la tasa de cambio entró en crisis a partir de los años ochenta, cuando algunos economistas sugirieron que los modelos macroeconómicos fallaban empíricamente; se planteó así la pregunta respecto a si las principales determinantes de la tasa de cambio eran las variables macroeconómicas. Jalil y Misas (2007, p. 143) advierten que las dinámicas de los tipos de cambio en los mercados de divisas más importantes tienen una baja correlación con los balances comerciales, debido a que el mercado de bienes y servicios es una fracción muy pequeña del total de transacciones de moneda. La teoría de los mercados de activos tampoco se ha podido corroborar empíricamente. Meese & Rogoff (1983) concluyeron que el paseo aleatorio tenía mejor capacidad que los modelos monetarios y de equilibrio de cartera para explicar el comportamiento de diferentes tasas de cambio nominales, aun utilizando información con temporánea de las variables explicativas en sus pronósticos.

Una alternativa de modelación reciente se fundamenta en los modelos de microestructura, los cuales analizan cómo la estructura de negociación del mercado modela las reglas del comportamiento de los precios. El mayor sustento de esta propuesta se encuentra en los hallazgos de Evans & Lyons (1999), quienes modelaron la tasa de cambio incorporando el flujo de órdenes, una medida de la presión a la compra-venta de divisas en el mercado cambiario. Evans y Lyons probaron empíricamente que el tipo de cambio nominal de corto plazo y el flujo de órdenes están fuertemente correlacionados.

Otra posibilidad es que la inconsistencia empírica se deba a la no linealidad del proceso generador de la tasa de cambio, el cual por lo común es aproximado mediante especificaciones lineales, lo que causaría los pronósticos incorrectos (Baillie y McMahon 1989, citados por Kuan y Liu, 1995).

Gradojevic & Yang (2000) sintetizaron las dos últimas propuestas en un modelo en el que utilizaron el flujo de órdenes como variable determinante para el pronóstico de la tasa de cambio diaria del dólar canadiense y del americano en un modelo de redes neuronales artificiales para atacar las no linealidades. Ellos encontraron que su modelo podía predecir mejor los movimientos de la tasa de cambio que la caminata aleatoria.

Jalil y Misas (2007) compararon pronósticos provenientes de un modelo de redes neuronales con los de un modelo lineal tradicional ARIMA. Los pronósticos se evalúan con respecto a medidas tanto simétricas como asimétricas (estas últimas permiten diferenciar los errores dependiendo no solamente de su magnitud sino de su signo). Los autores concluyeron que de acuerdo con las funciones de pérdida asimétricas, los modelos no lineales tienen una mejora considerable en capacidad de pronóstico con respecto a los modelos lineales.

Todo lo anterior motiva a que en este artículo se trate de explicar el comportamiento de corto plazo de la tasa de cambio nominal mediante modelos no lineales de redes neuronales y sistemas neurodifusos, en los cuales lo que determina la tasa de cambio es un híbrido entre la aproximación macroeconómica tradicional y el flujo de órdenes, la variable más representativa de los modelos que tratan de explicar la tasa de cambio nominal, apoyados en la microestructura del mercado cambiario. La competencia de los modelos no lineales se evalúa comparando sus medidas de error de pronóstico con las de un modelo dinámico lineal y el modelo de caminata aleatoria.

1. Modelos para la predicción del tipo de cambio

Siguiendo a Evans y Lyons (1999), los modelos para la determinación tipo de cambio pueden ser agrupados en dos grandes enfoques: los modelos macroeconómicos tradicionales y los modelos más recientes con fundamento en la microestructura del mercado cambiario. Esta clasificación se apoya en el papel que tiene la dinámica de la negociación en la determinación de la tasa de cambio.

1.1 Modelos macroeconómicos tradicionales

La teoría económica para la determinación de la tasa de cambio tiene su origen en la paridad del poder adquisitivo atribuida originalmente a David Ricardo, pero desarrollada por Gustav Cassel (1916). Esta teoría se basa en la ley del precio único, que sostiene que los bienes similares deben tener el mismo precio en todos los mercados, lo que implica que es indiferente adquirir el bien en un país u otro cualquiera. Por tanto, el tipo de cambio corresponde a la razón entre los precios domésticos (P) e internacionales (P*), expresado en su moneda respectiva para la misma cesta de bienes.

En el registro histórico a continuación aparece el enfoque de la balanza de pagos que tiene origen en Meade (1951), en el cual el tipo de cambio se ajusta para equilibrar los ingresos y pagos resultantes del comercio internacional de bienes, servicios y activos. Las predicciones del modelo son que la moneda interna se deprecie (aprecie) si disminuye (aumenta) el precio relativo de los bienes y servicios externos (P*/P), si aumenta (disminuye) la renta interna o si disminuye (aumenta) la renta externa. Otros desarrollos que forman parte de esta misma línea son los de Mundell (1962) y Fleming (1963), que extienden el modelo con la incorporación de los tipos de interés interno i y externo i*.

La fuerte volatilidad de las monedas después de la caída del sistema de Bretton Woods y el incremento en los movimientos de capitales provocó que el enfoque teórico de la balanza de pagos dejara de ser eficaz y se buscaran nuevas alternativas. Así, surgen los modelos de activos, que hacen hincapié en el movimiento de los flujos financieros para explicar el movimiento del tipo de cambio. Forman parte de esta corriente la teoría de la paridad descubierta de los tipos de interés, los modelos monetarios de precios rígidos y flexibles y el modelo de equilibrio de cartera.

La teoría de la paridad descubierta de interés de Fisher (1930) plantea que si se tiene en cuenta el tipo de cambio, la rentabilidad del inversor internacional estará formada por dos componentes: el tipo de interés y las variaciones del tipo de cambio. Esta rentabilidad debe ser igual entre los dos países, y aquel que ofrezca un menor tipo de interés nominal verá elevado el valor de su moneda, para dar al inversor un beneficio que compense la menor tasa de interés.

En los modelos monetarios el tipo de cambio es el precio del dinero de una economía expresado en términos de la divisa de otro país, y se determina para equilibrar las ofertas y demandas monetarias de ambos países. En el modelo monetario de precios flexibles los aumentos del tipo de interés interno son originados por un aumento de la tasa de inflación interna esperada. Por la paridad del poder adquisitivo, el aumento de la tasa de inflación interna esperada se traduce también en un aumento de la depreciación esperada de la moneda interna. La depreciación esperada de la moneda provoca una disminución de la demanda de la moneda en el mercado de divisas, lo que conduce a la depreciación inmediata de la moneda doméstica. En el modelo de precios rígidos los aumentos del tipo de interés interno son originados por un descenso de la oferta monetaria nominal (si los precios son fijos, la oferta real disminuye); el aumento de la tasa de interés atrae capital externo que aprecia la moneda. Las mayores aportaciones a los modelos monetarios de precios flexibles vienen de Frenkel (1976) y Bilson (1978), y la principal referencia de los modelos monetarios de precios rígidos es Dornbusch (1976).

Los modelos de equilibrio de cartera se fundamentan en que en la determinación del tipo de cambio no solo incide el mercado mnetario, también el mercado de bonos y el mercado de bienes. El tipo de cambio (dada la renta y la restricción de la riqueza financiera) se determina en función del equilibrio de los mercados de dinero y bonos. Los cambios en las preferencias de los agentes, respecto a las tenencias de activos en diferentes monedas, provocan una redistribución de la riqueza entre países, modificando las demandas relativas de activos y alterando así el tipo de cambio, lo que se conoce como efecto cartera. Una referencia de este modelo es Branson (1976).

Generalizando, los modelos macroeconómicos toman la forma:

∆P_t=f(∆i,∆m,…)+e_t (1)

Donde “ΔP_t” es el cambio en logaritmo de la tasa de cambio nominal entre dos periodos. Las variables explicativas en (1) incluyen los cambios en las tasas de interés nominal doméstica y extranjera “i”; en la oferta monetaria “m”, y otros determinantes macroeconómicos. Los cambios en estas variables son información pública que incide en la cotización de la tasa de cambio.

1.2 Modelos con fundamento en la microestructura del mercado cambiario

La teoría de la microestructura de los mercados de activos financieros es el estudio de los procesos y resultados de la negociación de activos financieros bajo reglas de negociación explícitas en sus sesiones diarias (Marín & Rubio, 2001). Ya que la divisa puede ser considerada un activo financiero, la microestructura del mercado cambiario tiene que ver con la configuración del mercado cambiario, la asimetría de la información, la heterogeneidad de los participantes y las reglas de negociación de dicho mercado.

Según la microestructura del mercado el origen inmediato de los cambios de corto plazo¹ de la tasa de cambio son los cambios a corto plazo de las demandas y expectativas de los agentes. Esta información sobre quién está demandando en la economía y cuánto, de un día a otro, se descubre observando el mercado. Mucha información está dispersa por toda la economía, y cada agente conoce sólo su pequeño pedazo de la demanda agregada. El papel del mercado es agregar esa información que existe entre los agentes y así formar un agregado que refleja las necesidades y los cambios en las expectativas de la economía a corto plazo.

La contribución fundamental de los modelos de microestructura en la comprensión de la dinámica de la tasa de cambio es señalar el papel del mercado y la presión que los operadores del mercado sienten cuando están fijando precios (Barreiro, 2004). Esta presión se mide a través de la variable llamada flujo de órdenes, una variable que cuantifica tanto la cantidad que es transada en el mercado como la dirección en la cual esta cantidad se está moviendo. El signo lo dicta la dirección en la cual presiona el agente que inicia la transacción. Esta dirección es importante, porque el precio responderá en esta dirección a medida que el precio fijado obtiene información de la orden.

La mayoría de los modelos de microestructura son variaciones de la siguiente especificación:

ΔP_t=g(Δx,ΔI,…)+n_t (2)

Donde “ΔP_t” es la tasa de variación del tipo de cambio entre dos períodos. Las variables independientes en la función g(Δx,ΔI,..) incluyen el flujo de órdenes “Δx”, el cambio en la posición neta de los operadores del mercado (o inventario) “ΔI” y otros determinantes macroeconómicos denotados por “n_t”.

El flujo de órdenes puede tomar valores positivos o negativos, ya sea por compras del público (+) a la oferta de los operadores, o ventas a la demanda de los mismos (–). Se utiliza la convención que un Δx positivo es una compra neta, haciendo que la relación teórica entre ΔP_t y Δx sea positiva, ya que las compras netas de moneda extranjera hacen subir el tipo de cambio. La relación entre ΔP_t y ΔI recoge el efecto en los precios por el manejo de inventario. Este efecto surge cuando un operador ajusta sus precios para controlar la fluctuación de su inventario respecto a un valor determinado. Por ejemplo, si un operador tiene una posición más larga que la deseada, este puede ajustar su demanda y ofrecer a la baja para inducir la compra de los clientes.

La dinámica entre el tipo de cambio y el flujo de órdenes puede abordarse desde tres hipótesis diferentes, dependiendo de la sincronización entre el flujo de órdenes y el ajuste del tipo de cambio. Si en el modelo existe concurrencia en la realización del tipo de cambio y el flujo de órdenes, pero la causalidad ocurre del flujo de órdenes al tipo de cambio, entonces el modelo obedece a la hipótesis de ajuste del tipo de cambio por presión del mercado.

Los modelos en los cuales el flujo de órdenes precede al tipo de cambio están basados en la hipótesis de ajuste del tipo de cambio por anticipación. Si el flujo de órdenes contiene rezagos de la tasa de cambio, entonces el modelo está basado en la hipótesis de ajuste del tipo de cambio por retroalimentación. La sustentación de las diferentes hipótesis puede ser consultada en Azañero (2003).

2. Redes neuronales artificiales

Las redes neuronales artificiales (RNA) son en esencia un mecanismo de inferencia estadística no paramétrica inspirado en el sistema nervioso biológico y que tratan de simular el proceso de aprendizaje humano (Montenegro, 2001). Swanson y White (1995) definen las RNA como una clase de modelos no lineales flexibles desarrollados por científicos cognitivos.

En el contexto de la regresión en estadística las RNA pueden asociarse al siguiente planteamiento: existe una función desconocida a priori, “f(x)” con cierto componente estocástico. El proceso de aprendizaje del modelo de RNA consiste en calcular un estimador de la función desconocida, “ƒ(x;Θ)≡ƒ^(x)”, siendo “Θ” el vector de parámetros desconocidos y “x” el conjunto de datos observados. El modelo neural definido es por lo tanto un estimador no paramétrico de la esperanza matemática de “y” condicionada a “x”, es decir E(y|x).

“Una red neural se configura para una aplicación específica de forma tal que el reconocimiento de patrones y la clasificación de información se alcanza a través de un proceso de aprendizaje durante el cual la red modifique sus conexiones “Θ” en respuesta a la información de entrada o estímulo” (Jalil y Misas, 2007). Los algoritmos de aprendizaje se clasifican como supervisados y no supervisados.

El aprendizaje supervisado se puede describir como un algoritmo que modifica las conexiones de la red, a través de la orientación de un maestro externo o supervisor que ajusta de forma iterativa los pesos de la red, en proporción a la diferencia existente entre la salida actual de la red y la salida deseada, con el objetivo de minimizar el error actual de la red. Por tanto, en todo algoritmo supervisado se requiere conocer la salida deseada. En este artículo se emplea el algoritmo de aprendizaje supervisado denominado Backpropagation,² desarrollado en Rumelhart, Hinton y Williams (1986), para la estimación de las conexiones de la red perceptrón multicapa y del sistema neurodifuso.

El objetivo del aprendizaje no supervisado (o auto-organizado) es categorizar los datos que se introducen en la red. De esta forma, las informaciones similares son clasificadas en la misma categoría y por tanto activan la misma neurona de salida. Las clases o categorías son creadas por la propia red a través de las correlaciones entre los datos de entrada.

A diferencia de lo que sucede en el aprendizaje supervisado, en el no supervisado no existe ningún maestro externo que indique si la red neuronal está operando correcta o incorrectamente, pues no se dispone de ninguna salida objetivo hacia la cual la red neuronal deba tender. Así, durante el proceso de aprendizaje la red debe descubrir por sí misma rasgos comunes, regularidades, correlaciones o categorías en los datos de entrada, e incorporarlos a su estructura interna de conexiones (Montaño, 2002b). El algoritmo de aprendizaje Kohonen´s Feature Maps de Kohonen (1988) es usado aquí para encontrar el número de funciones miembro del sistema neurodifuso y sus respectivas medias y varianzas. Dicho algoritmo está asociado a la red denominada mapas auto-organizados SOM (Self-Organizing Maps) propuesta por Kohonen (1982a, 1982b).

2.1 Selección de modelos neuronales

El procedimiento de selección de un modelo neural involucra tres pasos: escoger la forma funcional idónea (especificación del modelo), estimar los parámetros y establecer los criterios de ajuste para la evaluación modelo. La especificación consiste en definir los componentes del modelo: conjunto de modelos neuronales disponibles y arquitectura (número de inputs “p” y número de neuronas en la capa oculta “Q”). En cuanto al conjunto de modelos neuronales disponibles, este trabajo se concentra en dos tipos: la red perceptrón multicapa (MLP), la red más común y con mayor éxito en el pronóstico de series de tiempo, y los sistemas neurodifusos (NFS), un híbrido entre las RNA y la lógica difusa.

Los aspectos restantes de la identificación del modelo y la estimación de los parámetros se tratarán en los siguientes numerales; sin embargo, vale la pena anotar que las RNA presentan tres limitaciones (véase Min Qi, 1996, pp. 537-538). En primer lugar, no existe ninguna teoría formal para determinar la estructura óptima de un modelo neuronal; así, aspectos como la determinación del número adecuado de capas, el número de neuronas en cada capa oculta, etcétera, deben decidirse en muchos casos de manera heurística. En segundo lugar, no hay un algoritmo óptimo que garantice el mínimo global en la superficie de error cuando esta presenta mínimos locales. Por último, las propiedades estadísticas de las RNA generalmente no están disponibles y por tanto no se puede llevar a cabo ninguna inferencia estadística con garantías.

El ajuste de los modelos se determina mediante medidas de error de pronóstico. Aquí se emplean la raíz del error cuadrado medio (RMSE) y el índice de Theil.

“T” es el número de observaciones, _“ŷ_t” el valor estimado por el modelo y _“y_t” es el valor observado.

El otro criterio que permite determinar la bondad de los modelos propuestos tiene que ver con su capacidad para determinar el signo correcto de la dirección del cambio diario de la tasa de cambio. Si se considera la divisa un activo financiero, puede ser de tanto interés para los inversores o el Gobierno predecir su revaluación o devaluación como obtener pronósticos próximos a los valores observados.

2.2 Red neural perceptrón multicapa (MLP)

Esta es una red de propagación hacia adelante construida por capas que tiene como unidad básica el Perceptrón; este nombre se debe a que su función de activación es una función sigmoide. La arquitectura de la red comprende una capa de entrada, una o más capas ocultas y una capa de salida. No obstante, por el teorema de aproximaciones universales (Funahashi, 1989) se sabe que una red de una sola capa oculta, con el suficiente número de neuronas, puede actuar como una función de aproximación de cualquier función continua con exactitud satisfactoria. Este caso especial de la red MLP recibe el nombre de Single Hidden Layer Network (SHLN) y se muestra el gráfico 1.

La forma funcional de la red es:

Donde “ŷ_t” es el valor de salida de la red en el periodo t, y “G(.)” y “λ(.)” representan la función de activación.

La función de activación comúnmente más usada es la logística, por sus características de derivación y se recomienda para problemas de predicción, aunque se puede trabajar con cualquier otra función de activación que sea diferenciable (Llano, Hoyos, Arias, Velásquez, 2007). “De cualquier forma no existe un criterio estándar para la elección de la función y comúnmente la selección de funciones de activación se realiza de acuerdo con el problema y a criterio del investigador, en ocasiones por ensayo y error” (Llano et al., 2007, p. 1). Siguiendo la tendencia común, y con las salvedades reseñadas, en esta aplicación se emplea la función logística:

Esta función limita la señal de salida al intervalo [0,1], ya que ƒ(–∞) = 0 y ƒ(∞)=1.

Los parámetros {w,c} y {θ,d} corresponden a los pesos y umbrales de la red respectivamente. Dichos parámetros son ajustados mediante el algoritmo de aprendizaje.

2.2.1 Estimación de los parámetros con Backpropagation (BP)

El algoritmo BP es en la práctica el procedimiento más utilizado en el entrenamiento de las redes neurales MLP. Como en el caso de un modelo de regresión lineal, la estimación de los parámetros está vinculada a alguna función objetivo, como la minimización de suma de los cuadrados de los errores “S”:

“T” es el tamaño del set de entrenamiento en (7).

La regla de aprendizaje del algoritmo BP tiene como objetivo minimizar el error de salida de la red al cuadrado³: pero en este proceso también se logra la minimización planteada en la ecuación (7).

Para empezar, se requiere inicializar el vector de pesos llenando sus posiciones con valores aleatorios. En cada iteración “t” el algoritmo actualiza el vector de pesos en alguna dirección, obedeciendo una regla de aprendizaje "Δ^(t)":

Los métodos de descenso como BP generan una dirección de búsqueda Δ^(t) tal que un ligero movimiento en esta dirección, desde un punto inicial Θƒ^  hace decaer el valor de la función objetivo. Del cálculo se sabe que la dirección más rápida de descenso es la del negativo del gradiente:

En la expresión (8) el parámetro “η” corresponde a la tasa de aprendizaje⁴ y “φ” es el factor de momentum.⁵

El algoritmo que se implementó en este trabajo permite que la tasa de aprendizaje varíe de acuerdo con el rendimiento que presente la red para cada dato de entrenamiento; si el error disminuye, la regla de aprendizaje sigue la dirección correcta y se puede ir más rápido incrementando la tasa de aprendizaje; si el error aumenta, es necesario disminuir la tasa de aprendizaje, esto de acuerdo con las reglas ilustradas el gráfico 2.

La práctica común es detener el algoritmo BP cuando la función objetivo alcanza su mínimo o su cambio durante varios ciclos es nulo. En los métodos de descenso se recomienda ejecutar el algoritmo repetidas veces con distintos valores iniciales para “ Θ^” y quedarse con aquellos que conducen a un menor valor de S(Θ^). Esto se debe a que el algoritmo puede quedar atrapado en un mínimo local. Para tratar de superar este inconveniente se empleó el algoritmo BP con tasa de aprendizaje y momentum variable, ya que esta modificación le permite a BP escapar de los mínimos locales y continuar su camino hacia el mínimo global.

El proceso de aprendizaje pretende lograr la generalización de la red, es decir, obtener los outputs correctos para un conjunto de inputs que no han sido incluidos en el set de entrenamiento. Un problema común en la modelación de RNA que atenta contra la generalización de la red es la memorización. Esto consiste en que la red graba la entrada-salida del set de entrenamiento, pero la relación no se entiende, por lo que no queda almacenada en los pesos sinápticos. Para asegurar la generalización de la red el modelo debe ser validado. Esto se puede lograr con datos que no forman parte del set de aprendizaje, pero que sirven para medir el ajuste del modelo. A dicho set de datos se les conoce como set de validación.

En este artículo se recurrió a la estrategia de realizar el proceso de validación durante la estimación de los parámetros del modelo para optimizar su generalización, por lo que el vector de pesos resultado del algoritmo de BP corresponde a aquel en el cual se alcanza el mínimo de la medida de ajuste del set de validación.

2.2.2 Selección de los inputs y dimensión de la capa oculta

Los mecanismos de elección de las variables de entrada a la red pueden ser de diferente índole. A continuación se presentan tres posibilidades: mediante una regresión de la variable dependiente contra un grupo extenso de variables independientes; la utilización de técnicas multivariantes, como el análisis de componentes principales, y la regresión stepwise, que supone una selección secuencial mediante criterios estadísticos.

En cuanto al número de neuronas de la capa oculta, esto representa un problema, ya que si es demasiado grande se puede producir la memorización de la red. Refenes (1995) ha tratado algunos métodos para este propósito, pero lo más frecuente es la reducción paulatina de los parámetros del modelo, eliminando las conexiones redundantes o con menor sensibilidad. Los procedimientos adoptados en este artículo se pueden incluir en esta línea y son tomados de Kaashoek & Van Dijk (1999).

En principio, la regla de Thumb puede servir de guía para fijar un valor inicial para el número de neuronas de la capa oculta (H) que evite la sobreparametrización:

En (9) “o” es la dimensión de la capa de salida.

Partiendo de una preselección inicial de los inputs y de la dimensión de la capa oculta según la regla de Thumb, se procede a recortar la red eliminando inputs y neuronas de la capa oculta con fundamento en los siguientes criterios: contribución incremental de los nodos de la red y el análisis del componente principal de los residuales.

2.2.2.1 Contribución incremental de los nodos de la red

Esta medida se determina mediante la expresión:

Donde “y” y “ŷ” son respectivamente los vectores formados por los valores observados y estimados de la variable dependiente del modelo completo. “ŷ_–h” es el vector de valores estimados de la variable dependiente sin incluir la h-ésima neurona en la capa de salida (o algún input).

La técnica consiste en computar “ŷ” con el número máximo de neuronas y luego calcular “ŷ_–h” eliminando neuronas de la capa oculta (o inputs), pero conservando el mismo vector de pesos, excepto el parámetro “d”, el cual debe ser re-ajustado por medio de un nuevo proceso de optimización. Después se calcula “R² _inc ” de cada una de las neuronas y se eliminan las de menor aporte. El proceso se repite hasta que las neuronas que quedan tengan una contribución incremental significativa.

2.2.2.2 Análisis del componente principal de los residuos de la red

Para la capa oculta se define la matriz:

E_–Q=(e_–1,e_–2,.,e_–h,.,e_–Q),

e_–h=y – ŷ_–h (11)

Los componentes principales de E_–H son los eigenvectores ortogonales “v” obtenidos a partir de los eigenvalores de la matriz simétrica y definida positiva E_–H’E_–H.

El uso de componentes principales es motivado por la siguiente premisa: la cantidad relativa de varianza de cada componente principal es proporcional a su correspondiente eigenvalor. El eigenvector “v_max” producto del eigenvalor más grande “λ_max” define la combinación lineal de los elementos de “e_–h ” con mayor varianza. Los elementos de este vector “v_max” revelan cual nodo puede ser excluido. El nodo “h” para el cual su elemento correspondiente en el componente principal “v_max” es mínimo en valor absoluto puede ser excluido, porque su exclusión del modelo no contribuye mucho al peor caso.

Para decidir si un nodo puede excluirse o no de la red con fundamento en el componente principal “v_max”, este componente debe tener un peso alto con relación a los demás. El peso “w_k” del k-ésimo componente se determina por la magnitud relativa del correspondiente eigenvalor λ_max:

Esta técnica también se emplea para recortar los inputs de la red.

2.3 Sistema neurodifuso (NFS)

Este sistema predictor inteligente es básicamente una red neural multicapa, que integra los elementos básicos de la lógica difusa tradicional en una red neural. La ventaja radica en que el sistema híbrido resultante reúne la capacidad de aprendizaje de las redes neuronales, con la facilidad de trabajo con información incierta, y su traducción a reglas de los sistemas difusos (Li, Ang, Gray, 1999, p. 181).

A diferencia de la las redes neuronales, la información contenida en un sistema neurodifuso es interpretable, y la velocidad de aprendizaje del algoritmo de entrenamiento es más veloz comparado con el de las redes neuronales (Pan, Liu, Mejabi, 1997, p. 1). Las reglas borrosas pueden extraerse del sistema neurodifuso, modificarse y aplicarse a la predicción (Li et al., 1999, p. 181). El sistema ha probado su mejor desempeño sobre la red neural simple, en algunas aplicaciones como control de procesos, reconocimiento del lenguaje, clasificación de datos, diagnóstico de procesos, aprendizaje de maquinas y en el pronóstico de series de tiempo financieras.

2.3.1 Especificación de NFS

La especificación y estimación del sistema neurodifuso desarrollado sigue a Li et al. (1999). Como lo muestra el gráfico 3, el sistema esta conformado por cinco capas:

Capa-1: los nodos de esta primera capa transmiten los valores de los inputs u_i¹ a la segunda capa, sin ninguna transformación. Para el nodo i en la capa-1 se tiene lo siguiente:

Capa-2: en esta capa a cada input se le define cierto número de conjuntos difusos, que pueden ser identificados por etiquetas, por ejemplo valor {alto, medio, bajo} de la variable, y para cada conjunto difuso se define una función de pertenencia al conjunto {µ_bajo(.),µ_medio(.),µ_alto(.)}. El objetivo de los conjuntos difusos es poder agrupar los inputs y establecer su grado de pertenencia al grupo de acuerdo con la magnitud de la observación. Las funciones de pertenencia utilizadas son distribuciones normales con rango {0,1}. Para el j-ésimo nodo se tiene:

u_ij ²=u_i¹ (14)

m_ij ² y σ_ij ² son respectivamente, la media y la varianza de la función miembro del nodo j.

Capa-3: en esta capa se realiza la operación lógica AND sobre las señales que se reciben de la capa-2. Esto consiste en filtrar las señales que se reciben de esa capa y transmitir a la capa-4 únicamente las señales mínimas.

Para un nodo en esta capa se tiene:

u_ij ³=f(net_i²) (17)

net_j ³=min_i{u_i³ _j} (18)

o_j ³=f(net_j ³)=net_j ³ (19)

Para i=1,2,.....n; j=1,2,....h.

Capa-4: los nodos de esta capa realizan la operación lógica OR sobre sus señales de entrada. Para un nodo en esta capa se tiene:

U_ij⁴ = f(net_i³) (20)

U_cj⁴=max{f(net₁³), f(net₂³),…, f(net_h³)} (21)

o_j⁴ =f(net_j⁴)=net_j⁴=u_cj⁴_* r_ij (22)

Para i=1,2,....h; j=1,2....m; y c∈ [1,2,...h].

El nodo “c” en la capa-3 es el nodo ganador de la operación lógica mín-máx. Los “r_ij ” son los valores de las reglas, que son ajustados mediante un algoritmo de aprendizaje supervisado.

Capa-5: en esta capa realiza la desfusificación de la señal para producir la salida de la red. Para esto se utiliza el método del centro de gravedad de Kosko, en el cual la señal de salida es el centróide de la función miembro. Así, si m_j ⁵ y σ_j ⁵ son respectivamente la media y la varianza de las funciones miembro de esta capa.

La salida desfusificada se calcula de la siguiente manera:

2.3.2 Estimación de NFS

La estimación de la red comprende las siguientes subrutinas:

• Algoritmo de aprendizaje auto-organizativo.

• Identificación de las reglas difusas y ajuste de los pesos de las reglas mediante el algoritmo BP.

2.3.2.1 Algoritmo auto-organizativo

El algoritmo de Kohonen (1988) tiene como objetivo agrupar las observaciones de las distintas variables en alguna de las funciones de pertenencia asignadas a la variable; en este proceso se determinan las medias y las varianzas de dichas funciones de pertenencia. El algoritmo opera de la siguiente manera: para un conjunto de datos X_i=(x_1,...x_n) de la i-ésima variable de entrada se asignan arbitrariamente k valores iniciales a las medias, de forma tal que:

mín(x₁, x₂,....x_n) < m_i < máx(x₁, x₂,....x_n) (26)

A continuación los datos son agrupados alrededor de las medias iniciales de forma tal que:

“m_c” es la media asociada al dato “x_j” y “k” es el número de funciones miembro de la iésima variable.

Las medias “m_c” son optimizadas mediante el algoritmo:

 “α^(t)” es una tasa de aprendizaje monotónicamente decreciente ∈[0,1]

La varianza de la función de pertenencia puede ser determinada por:

Donde:

“σ_i” y “m_i” son respectivamente la varianza y la media de la i-ésima función de pertenencia; “p_i” es el número de datos agrupados alrededor de la i-ésima función de pertenencia; “R” es el parámetro de traslapo.

El número de funciones de pertenencia de cada variable se determina a prueba y error.

2.3.2.2 Identificación de las reglas difusas y ajuste de los pesos

El máximo número posible de reglas de la red esta limitado por T(x₁)*..*T(x_i)*..*T(x_p), donde “T(x_i)” es el número de funciones de pertenencia de la i-ésima variable de entrada. Cada observación del conjunto de datos de entrenamiento quedará asociada a una regla particular del conjunto factible, que será la regla ganadora (regla difusa IF-AND-THEN) de las operaciones lógicas AND y OR realizadas en las capas 3 y 4.

Posteriormente se afinan los pesos de las reglas ganadoras asociados a las distintas observaciones de la muestra de entrenamiento mediante el algoritmo de aprendizaje supervisado BP, para minimizar el error de salida de la red. La expresión para el ajuste iterativo del peso “r_ij” asociado con la regla representada por la conexión del nodo i de la capa-3 con el nodo j en la capa-4 es:

Si los pesos de las reglas difusas de algunos valores de las variables de entrada de los pronósticos no han sido ajustadas durante el proceso de aprendizaje (porque a ninguna de las observaciones del conjunto de entrenamiento correspondió esta regla), se debe escoger de forma aleatoria un reemplazo de la regla entre las reglas que tengan un mayor número de funciones miembro en común.

3. Modelo para la determinación de la tasa de cambio

El pronóstico del tipo de cambio nominal de corto plazo (un día adelante) propósito de este artículo se realizó bajo la hipótesis de ajuste del tipo de cambio por anticipación. La manera de abordar esta hipótesis es a través de un modelo dinámico lineal y de modelos no lineales MLP y NFS. El modelo propuesto incluye variables de los dos enfoques: el macroeconómico tradicional y el flujo de órdenes. Su representación matemática es:

Variable dependiente:

∆LTCN: Es la primera diferencia del logaritmo de la tasa de cambio nominal. La fuente es el Banco de la República.

Variables explicativas:

- ODF: esta variable se construye mediante la diferencia entre el volumen diario de operaciones propuestas por compradores y el volumen diario de operaciones propuestas por vendedores en el mercado de divisas SET FX⁶. Esto corresponde al exceso de demanda, que puede ser positivo o negativo, lo cual en teoría es lo que presiona los movimientos de la tasa de cambio. El gráfico 4 muestra las magnitudes de los excesos de demanda para el período de estimación.

- DINTER: diferencia entre las tasas de interés interbancarias nacional y extranjera. Esta variable buscar recoger el efecto en el tipo de cambio por el manejo de porta-folio de los agentes. Corresponden a las tasas de interés interbancaria overnight diarias en moneda nacional y moneda extranjera. La fuente de la tasa de interés interbancaria en Colombia es el Banco de la República. Para Estados Unidos, la tasa interés overnight diaria proviene de los Fed Funds.

- ∆EMBI: esta variable intenta recoger la percepción de los inversionistas del riesgo soberano por títulos financieros emitidos por países emergentes. Como variable proxy se toma el cambio diario del EMBI+⁷. Fuente: JP Morgan.

- ∆LPPETRO: es el diferencial del logaritmo del precio diario del barril de petróleo en dólares. La fuente es Corfinsura. La inclusión del precio del petróleo se fundamenta en la teoría avanzada de economistas tales como Krugman (1983) que muestra que la volatilidad en la tasa de cambio puede ser capturada por los cambios en el precio del petróleo.

- ∆LRINT: es el cambio diario del logaritmo de las reservas internacionales. La fuente es el Banco de la República. La inclusión de la variable sigue el enfoque de la balanza de pagos para la determinación del tipo de cambio.

4. Estimación

La muestra⁸ consta de un año completo entre el 16 de abril del 2003 y el 15 de abril del 2004. El período de evaluación de los pronósticos comprende las cuarenta últimas observaciones y las restantes son usadas para entrenamiento y validación de los parámetros de las redes.

En un modelo de series de tiempo una muestra pequeña puede generar reservas sobre la capacidad de los parámetros estimados de los modelos para colegir ciertas regularidades como la estacionalidad o el ciclo económico que afectan la demanda de dólares en el mercado cambiario. Es evidente que la posibilidad de involucrar estos eventos, y los impactos que tienen sobre los parámetros estimados de los modelos, depende fundamentalmente del número de repeticiones que se tengan del mismo día a través de los años.

Con la incorporación del flujo de órdenes se puede esperar que los parámetros estimados logren recoger parte de estas regularidades, mitigando así el problema del tamaño de la muestra. Esto se debe a que con la presencia de esta variable se establece una relación directa entre el mercado representado por el flujo de ordenes y la tasa de cambio, por tanto, los cambios en la demanda de dólares son transmitidos directamente al precio de la divisa a través de los parámetros asociados con el flujo de órdenes, con un menor papel para la repetición del evento.

4.1 Estimación modelo dinámico lineal

Con el propósito de preseleccionar las variables a emplear en los modelos no lineales (RNA y NFS) y para comparar sus pronósticos, se estimó un modelo dinámico lineal denominado modelo autorregresivo de rezagos distribuidos (ADL), que tiene forma:

α(L)(1–L)^dy_t=δ+β(L) x_t+ε_t (33)

Donde “x_t” representa a las variables exógenas incluidas como explicativas que aparecen en la expresión (32). La estimación en e-views del modelo ADL⁹ se presenta en el cuadro 1.

Se puede observar en la salida que los signos de los coeficientes de las variables que recogen el flujo de órdenes son los esperados¹⁰ y su significancia en la explicación de la tasa de cambio es evidente.

4.2 Paseo aleatorio (RW)

A partir de los descubrimientos de Meese y Rogoff (1983), RW se ha convertido en un modelo de referencia para la comparación de pronósticos del tipo de cambio. El proceso generador de datos de un paseo aleatorio sin deriva es:

y_t=y_t–1+ε_t donde ε_t~iid(0,σ²) (34)

RW debe su nombre a que avanza dando pasos al azar. A partir del punto donde se encuentre el proceso, digamos “y_t-1”, dará un paso “ε_t” para llegar a “y_t”; allí dará un paso “ε_t+1” para llegar a “y_t+1” y así sucesivamente, vagando sin rumbo y con muy pocos o ningún cruce por el eje cero.

Si bien el paseo aleatorio no es estacionario, su primera diferencia sí lo es:

∆y_t=y_t–y_t–1=ε_t (35)

Bajo la hipótesis de que el proceso generador del nivel de la tasa de cambio es la caminata aleatoria, el mejor pronóstico de ∆LTCN es cero, ya que:

4.3 Estimación de modelos no lineales

De forma preliminar, los datos son normalizados en el intervalo [0,1] mediante (37) para evitar problemas de convergencia (ver Riaz, 2000) y atenuar la sensibilidad de las redes neurales a datos que no han hecho parte del proceso de aprendizaje.

4.3.1 Estimación red MLP

Se parte de la especificación MLP(7,4,1), en donde “7” es el número preliminar de inputs según el modelo ADL, la cantidad inicial de neuronas de la capa oculta responde a la aplicación de la regla de Thumb = 150/(5*8) ≈4, y 1, por la única neurona de la capa de salida. La estimación del vector de pesos de la red se efectúo mediante BP.

En seguida se muestra la aplicación de las técnicas de contribución incremental y análisis del componente principal de los residuos de los nodos de la red, para la selección definitiva de sus inputs y la determinación de la dimensión de la capa oculta. Los resultados son los que se muestran en los cuadros 2, 3, 4 y 5.

4.3.1.1 Análisis

1. El cuadro 3 muestra que la contribución incremental de la neurona “H₄” es la más baja. Sin embargo, “H₃” tiene el menor valor absoluto en v_max, y su ausencia tiene el menor efecto sobre SIC. A pesar de la ambigüedad, se puede deducir que sobra una neurona de la capa oculta.

2. Según el cuadro 5 la contribución incremental más alta la tienen las variables de flujo de órdenes ODF_t-1 y ODF_t-2. Lo contrario ocurre con las variables ∆LTCN_-1, ∆EMBI_t-1, y ∆LPPETRO_t-1 que tienen los aportes incrementales más bajos, los menores valores absolutos en v_max, y son los inputs cuyas ausencias tienen menor efecto sobre SIC. Por tanto, estas últimas variables son excluidas de la red.

3. Posteriormente, una nueva corrida de BP mostró la necesidad de excluir otra neurona de la capa oculta y eliminar el input ∆LPPETRO_t-5. En definitiva, el análisis confirma la importancia de las variables rezagadas del flujo de órdenes en la determinación de la tasa de cambio.

4.3.2 Estimación (NFS)

Ya que NFS es un modelo no lineal tal como MLP, parece lógico emplear los mismos inputs en ambos casos. Definidos los inputs, se procede a asignar el número de funciones de pertenencia a cada variable, para lo que se recomienda la inspección visual de cada serie de tiempo. Los centros se pueden asignar tomando de forma aleatoria valores del conjunto de datos de entrenamiento de cada variable. En la práctica se usaron cuatro funciones de pertenencia y se repartieron los centros entre el intervalo [0,1] (cuadros 6 y 7). En seguida el algoritmo auto-organizativo las perfeccionó (cuadros 8 y 9). Los gráficos 5 y 6 muestran las funciones de pertenencia para “∆LTCN” antes y después de su optimización.

La dimensión del conjunto de reglas corresponde al producto del número de funciones de pertenencia de cada input: 4×4=16. Cuando la red es alimentada, a cada dato se le asigna una regla como resultado de la operación IF. Los pesos de estas reglas son en principio generados a partir de una distribución uniforme [0,1] y posteriormente optimizados con el algoritmo BP según (31). Parte de los resultados se observan en el cuadro 10.

El cuadro 11 muestra las funciones de pertenencia que le corresponden a los inputs de los datos a pronosticar y las reglas que se le asignan a los mismos.

5. Resultados

El gráfico 7 muestra los pronósticos de los modelos ADL, MLP y NFS. El cuadro 12 resume los errores de pronóstico de cada modelo. El mismo cuadro muestra los resultados de la regresión del logaritmo de la tasa de cambio contra el pronóstico de cada modelo.

Según RMSE y el índice de Theil, el modelo MLP muestra una pequeña ventaja sobre NFS y el modelo ADL. El paseo aleatorio presenta pronósticos significativamente menos precisos que los demás, lo que sin lugar a dudas se atribuye al flujo de órdenes.

La medida MAPE marca una ligera ventaja del modelo lineal sobre los modelos no lineales NFS y MLP; sin embargo, esta medida no es muy confiable cuando la variable es cercana a 0, como en esta aplicación.

En el cuadro 12 se observa que los modelos no lineales logran predecir correctamente el signo del 80% de los cambios de la tasa de cambio, mientras que ADL lo hace un 75% de las veces.

Según el “p_valor ” de la prueba “α=0;β=1” para la regresión planteada en (38), los pronósticos del sistema neurodifuso presentan una clara aceptación la hipótesis nula. En Montenegro (2005, p. 129) se afirma que aceptar “H₀” implica un buen pronóstico.

Conclusiones

Este artículo compara pronósticos de la tasa de cambio nominal en Colombia provenien tes de modelos no lineales (red neuronal MLP y sistemas neurodifusos) con los de un modelo lineal ADL. La especificación de los modelos para pronóstico se fundamenta en Evans y Lyons (1999) al incorporar como variable explicativa el flujo de órdenes, la variable más representativa de la microestructura del mercado cambiario. Dicha variable fue generada como la diferencia entre volumen de las operaciones propuestas por compradores y vendedores en el mercado de divisas SET FX cada día.

Los p-valor de los dos primeros rezagos del flujo de órdenes de la salida del modelo de rezagos distribuidos prueban la importancia del flujo de órdenes en la determinación de la tasa de cambio. Más contundentes aún son los resultados de los análisis de contribución incremental de las variables y de componentes principales, de los que se concluye que estos rezagos no son solamente las variables más importantes en la determinación del tipo de cambio en Colombia, sino que en su presencia la información macroeconómica disponible no tiene ningún aporte significativo para la explicación de su dinámica.

Las medidas de error de pronóstico RM-SE y el índice de Theil revelan una ventaja significativa de los modelos de pronóstico MLP, NFS y ADL sobre el paseo aleatorio, atribuible sin duda a los rezagos del flujo de órdenes. Este hallazgo es importante, porque implica que las posiciones especulativas de los agentes (capturadas en el modelo por el flujo de órdenes) influencian los movimientos futuros del tipo de cambio, lo que prueba que el mercado cambiario colombiano no es eficiente.

Las medidas RMSE y el índice de Theil también muestran una pequeña ventaja de MLP sobre NFS yADL en el pronóstico del tipo de cambio. En términos del porcentaje de aciertos correctos, los modelos no lineales logran predecir correctamente el signo del 80% de los cambios de la tasa de cambio, mientras que el modelo ADL lo hace un 75% de las veces. Por el contrario, la medida MAPE señala alguna ventaja del modelo lineal sobre los modelos no lineales.

La regresión de los valores observados de la tasa de cambio sobre sus pronósticos permitió concluir que solo el pronóstico de NFS cumple con las condiciones especificadas para ser catalogado como un buen pronóstico.

A la luz de los resultados, la ligera ventaja del modelo de redes neuronales y el sistema neurodifuso no parece ser evidencia suficiente para apoyar la hipótesis de no linealidad del proceso generador de los datos, sin que pueda ser descartado tampoco.

Notas al pie de página

1. Los modelos con fundamento en la microestructura del mercado tienen una periodicidad más alta que los modelos macroeconómicos tradicionales, usualmente diaria.

2. La técnica fue desarrollada inicialmente por Paul Werbos (1974) a mediados de los años setenta, y después independientemente redescubierta por varios grupos de investigadores (Le Cun, 1985; Parker, 1985; Rumelhart, Hinton y Williams, 1986). Es por tanto un caso de descubrimiento múltiple (véase Montaño, 2002a).

3. El factor ½ aparece sólo por conveniencia.

4. Es un valor en el intervalo [0,1] y tiene como propósito atenuar el cambio en el vector de pesos para evitar saltarse el mínimo de la función objetivo.

5. Trata de evitar oscilaciones no deseadas en el proceso de búsqueda del mínimo global.

6. Gran parte de las operaciones legales de compra y venta de dólares en Colombia correspondientes al mercado regulado se desarrollan a través del Sistema Electrónico de Transacciones e Información del mercado de divisas SET FX de la Bolsa de Valores de Colombia. Este es un mecanismo electrónico mediante el cual, en las sesiones de negociación, sus asociados pueden ingresar ofertas y demandas, cotizar y/o celebrar entre ellas operaciones, contratos y transacciones relacionadas con la divisa. Las negociaciones se realizan todos los días hábiles de lunes a viernes de 8:00 a.m. a 1:00 p.m.

7. Mide el riesgo país de quince naciones: Argentina, Brasil, Colombia, Ecuador, México, Panamá, Perú, Venezuela, Bulgaria, Corea del Sur, Marruecos, Nigeria, Filipinas, Polonia y Rusia. El riesgo país es un concepto utilizado con frecuencia para expresar la relación riesgo-rendimiento asociada a una inversión en un país determinado.

8. El tamaño de la muestra fue limitado por el flujo de órdenes. A diferencia de las variables macroeconómicas, la información disponible para crear el flujo de órdenes no está disponible fácilmente, porque no es de dominio público.

9. Bajo la hipótesis del tipo de cambio por retroalimentación los estimadores del modelo ADL serían sesgados.

10. Los signos positivos implican que a mayor demanda neta de dólares, la variación del precio de la tasa de cambio es positiva.

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