En el diseño factorial de dos niveles, se fijan el número de variables y se establece los valores o niveles (bajo y alto), e igualmente se definen los factores respuesta. El número de experimentos son todas las posibles combinaciones y se determina con , donde k es el número de variables de diseño. Una vez que los experimentos son realizados, se puede obtener la influencia de cada variable en el factor respuesta. El efecto se calcula como el valor absoluto del promedio de las diferencias en el factor respuesta al pasar la variable de un nivel bajo a un nivel alto. Se puede esperar que la variable de mayor influencia sea aquella con el efecto promedio más grande.

Si el efecto del cambio de la variable 1 con un nivel bajo en la variable 2, es igual al efecto del cambio de la variable 1 con un nivel alto en la variable 2, y viceversa, indica que posiblemente las dos variables afectan independientemente el factor respuesta y no existe interacción. Pero frecuentemente, el efecto del cambio de la variable 1 no es igual para ambos niveles de la variable 2; el problema ahora es evaluar dicha interacción. El efecto de la interacción de dos variables se calcula como el valor absoluto de la suma de los valores del factor respuesta cuando ambas variables se encuentran en un nivel bajo o en un nivel alto, luego se restan los demás valores y se divide por el número de términos sumados (o restados). Para mayor detalle de la metodología consultar a Saxena y Pavelic (1971).

3. CONSIDERACIONES TEÓRICAS

3.1. Desarrollo del Simulador de Fracturamiento Hidráulico

En la construcción del simulador se desarrollan los siguientes modelos:

3.1.1. Modelo Físico

El modelo físico se basa en las siguientes suposiciones:

3.1.2. Modelo Matemático

Para formular apropiadamente el modelo matemático de flujo de fluidos acoplado con deformación geomecánica de la roca en yacimientos sensitivos a esfuerzos y deformaciones, se considerarán los siguientes aspectos:

• Modelo de flujo de fluidos: Describe el comportamiento del flujo de fluidos.
• Modelo de deformación geomecánica: Describe la deformación de la roca ante un cambio en el estado de esfuerzos.

Modelo diferencial

Son las ecuaciones diferenciales que permiten describir el comportamiento del flujo de fluidos acoplado con la deformación geomecánica y los criterios de fractura.

Modelo de deformación geomecánica. Describe el comportamiento de la deformación de la parte sólida de la roca ante un cambio en el estado de esfuerzos del yacimiento generado por la producción/inyección de fluidos en el pozo, en un sistema de coordenadas cartesianas. El modelo de deformación geomecánica está conformado por el acople de las siguientes relaciones básicas constitutivas:

Ecuaciones de equilibrio de esfuerzos. Estiman la variación de los esfuerzos en un intervalo de tiempoy de un punto a otro en un elemento de volumen infinitesimal en coordenadas cartesianas. El equilibrio de fuerzas después de un cambio en el tiempocumplen la siguiente relación (Chen, Teufel y Lee, 1995; Osorio, Chen y Teufel, 1999):

(1)

es el incremento del esfuerzo total. El primer subíndice en la notación se refiere al plano en el cual actúa el esfuerzo, el segundo subíndice indica la dirección del esfuerzo.

En la ecuación anterior se asume que las fuerzas de cuerpo (fuerzas gravitacionales) son despreciables o permanecen constantes con el tiempo debido a que tienen poca o ninguna influencia sobre los objetivos de este proyecto.

Ecuaciones de deformación–desplazamiento. Las relaciones existentes entre los desplazamientos y las deformaciones son expresadas en forma incremental con la siguiente expresión (Osorio, Chen y Teufel, 1999):

(2)

Donde es la deformación de la roca y los incrementos en los desplazamientos.

Ecuaciones de esfuerzo–deformación–presión. Las componentes del esfuerzo total se describen por (Osorio, Chen y Teufel, 1999):

(3)

Donde es el modulo de cizalla de la roca, es la constante de Lamé y a constante de Biot. El Símbolo es el operador de Kronecker, definido como uno para y cero para todo .

El modelo de deformación geomecánica para medios porosos en coordenadas cartesianas resultan del acoplamiento de las ecuaciones (1), (2), (3), y se puede escribir como:

(4)

Donde

Es el vector de desplazamientos en forma incremental, dado por:

v = Es el operador gradiente en coordenadas cartesianas. Se aplica a una función escalar

= Representa el producto punto entre dos vectores, dado por:

Debe anotarse que las ecuaciones que conforman el modelo de deformación geomecánica se expresan en términos de los desplazamientos y no de los esfuerzos. Esto se debe a que las matrices generadas en el modelo numérico utilizando los desplazamientos son diagonalmente dominantes, lo que facilita la solución del sistema de ecuaciones. Es importante aclarar que físicamente es equivalente expresar las ecuaciones del modelo de deformación geomecánica en términos de los desplazamientos o de los esfuerzos.

Modelo de flujo de fluidos. La descripción detallada del modelo de flujo de fluidos debe acoplar las siguientes relaciones básicas:

Conservación de masa del fluido. La ecuación de continuidad se expresa en forma diferencial por:

(5)

Donde es la densidad del fluido, es la porosidad, es el vector de velocidad real del fluido, son los vectores unitarios en dirección x,y,z , respectivamente. se define como la cantidad de masa de fluido que entra o sale por fuentes ó sumideros por unidad de volumen total por delta de tiempo.

Conservación de masa del sólido. En forma diferencial, la ecuación de continuidad para el sólido, se expresa por:

(6)

Donde es el vector de velocidad real del sólido.

Ecuación de difusividad. Se expresa por la ecuación de Darcy:

(7)

Donde es la viscosidad del fluido, k es el tensor de permeabilidades y es el gradiente de presión.

Ecuación de estado. Se utiliza el concepto de compresibilidad:

(8)

El término en la ecuación (8) es la compresibilidad del fluido.

El modelo de flujo de fluidos para medios porosos en coordenadas cartesianas resulta del acoplamiento de las ecuaciones deducidas anteriormente. El modelo de flujo de fluidos en términos de la presión de poro y la deformación volumétrica:

(9)

La porosidad involucrada en la ecuación de flujo es obtenida de la siguiente ecuación diferencial Osorio, Chen y Teufel (1999),

(10)

Donde es la compresibilidad total efectiva, es la compresibilidad de la roca y es el esfuerzo total medio. La compresibilidad total efectiva mide el efecto de la variación del esfuerzo medio sobre el volumen total de la roca a presión de poro constante. La compresibilidad de la roca es obtenida a partir de pruebas de laboratorio.

Criterios de fractura

El estudio del fracturamiento hidráulico implica el estudio de la generación y propagación de la fractura; para ello se utiliza modelos de fractura, también denominados como criterios de falla, y en el simulador de fracturamiento hidráulico se incorporan el criterio de falla por tensión y el criterio de falla por cizalladura de Mohr–Coulomb.

Criterio de falla por tensión. La fractura por tensión se presenta cuando el esfuerzo efectivo mínimo en la formación es igual a la resistencia a la tensión de la roca. La fractura o plano de falla que se obtiene, es perpendicular al esfuerzo mínimo principal. Para verificar una falla por tensión se compara la presión de poro con la presión de fractura, cuando la presión de poro es igual o mayor a la presión de fractura, se considera que el bloque se fractura por tensión. La presión de fractura se obtiene por la siguiente expresión:

(11)

Donde es el esfuerzo total mínimo, es la resistencia a la tensión de la roca y es la constante de Biot del material rocoso.

Criterio de falla por cizalladura. Las fracturas por cizalladura se asocian a una alta diferencia en los esfuerzos principales. El criterio de falla por cizalladura más popular es el criterio de Mohr–Coulomb.

(12)

Donde es la resistencia a la cizalladura o cohesión del material poroso, es el ángulo de fricción interna.

Las ecuaciones que gobiernan el flujo de fluidos acoplado a deformación geomecánica se aplican tanto a la matriz como a la fractura, la diferencia se determina por la magnitud de las propiedades petrofísicas y mecánicas de cada uno de estos medios. Las propiedades mecánicas de la roca, la permeabilidad y la porosidad del yacimiento, son funciones del esfuerzo efectivo medio.

3.1.3. Modelo Numérico

El sistema de ecuaciones diferenciales son discretizadas por el método de aproximación en diferencias finitas de segundo orden (en el espacio) sobre una malla irregular con nodos distribuidos. Un esquema completamente implícito es asumido en la solución del conjunto de ecuaciones para garantizar máxima estabilidad numérica. Aproximaciones centrales y progresivas son desarrolladas para el espacio y el tiempo, respectivamente. La discretización de la ecuación del modelo flujo de fluidos en términos del incremento de presión , se expresa en forma de stencil:

(13)

En la ecuación (13), representan los stencils: Central Inferior, Sur, Oeste, Central, Este, Norte, Central Superior, y Término Independiente, respectivamente.

La discretización de la ecuación del modelo esfuerzo-deformación en la dirección x , en términos del incremento del desplazamiento en x , , se expresa en forma de stencil:

(14)

La discretización de la ecuación del modelo esfuerzo-deformación en la dirección y , en términos del incremento del desplazamiento en y,, se expresa en forma de stencil:

(15)

La discretización de la ecuación del modelo esfuerzo-deformación en la dirección z , en términos del incremento del desplazamiento la dirección z ,, se expresa en forma de stencil:

(16)

La discretización la ecuación diferencial de porosidad (10), se obtiene:

(17)

Condiciones Iniciales

A un tiempo , la presión es la misma en todo el yacimiento para el modelo de flujo de fluidos, en términos del incremento de presión, . Los incrementos en los desplazamientos en las direcciones x,y,z son iguales a cero para el modelo de deformación geomecánica. Se asume que el sistema de coordenadas x-y-z está alineado inicialmente con la orientación de los esfuerzos principales.

Condiciones de frontera

Para el flujo de fluidos se considera que el yacimiento está cerrado por todos los límites del dominio interno. Para los desplazamientos se tiene en cuenta los alrededores del yacimiento y se establece que los desplazamientos son iguales a cero a una distancia lejana de los bordes del yacimiento, esto refleja condiciones mucho más reales para el sistema esfuerzo-deformación.

3.2. Diseño Factorial de Corridas

El fracturamiento hidráulico es un fenómeno complejo y muchas variables afectan el proceso, pero el objeto de estudio en esta investigación es la importancia de las variables geomecánicas. Pensando en lo anterior, se establecen cuatro variables para dos niveles en el diseño factorial (Véase la Tabla 1). En la Figura 1 se muestran las curvas de permeabilidad de la matriz versus el esfuerzo efectivo correspondientes al nivel bajo y alto.

Tabla 1 Factores en el diseño factorial de dos niveles

Figura 1 Curvas de permeabilidad en el nivel bajo y alto

Se establecieron dos factores respuesta: El primer factor es el índice de efectividad de fractura, definido como el área bajo la gráfica que relaciona el número de bloques fracturados con el tiempo, el segundo factor es el número final de bloques fracturados. Los factores respuesta seleccionados tiene una gran relación, porque al aumentar el número final de nodo fracturados se espera que el índice de efectividad de fractura aumente, pero los dos tienen significado físico e importancia diferente (Véase la Figura 2).

Figura 2 Representación de los factores respuesta

En la Tabla 2 se presenta los parámetros base empleados en el conjunto de corridas, con 120 minutos simulados en cada corrida; el sistema completo, yacimiento y alrededores, contiene 878,460 bloques, con 124,820 bloques pertenecientes al dominio interno. En el centro del yacimiento se ubica un pozo vertical y la inyección de fluido se realiza en 8 pies completados.

Tabla 2 Parámetros base del conjunto de corridas

4. ANÁLISIS DE RESULTADOS Y DISCUSIÓN

El análisis de resultados utiliza el método simplificado de análisis factorial. El primer paso, es evaluar el efecto de cada una de las variables o factores investigados de manera independiente, estableciendo el orden de importancia de los factores respecto a cada uno de los factores respuesta; en el segundo, se procede a la evaluación del efecto de las interacciones para cada factor respuesta y finalmente analizar los resultados.

4.1. Importancia de los Factores Investigados Individualmente

En la Tabla 3 se presenta la matriz del diseño factorial con los factores respuesta: El índice de efectividad de fractura y el número final de bloques fracturados. La identificación del orden de importancia de cada factor investigado, se realiza al calcular el efecto promedio que genera cada factor al cambiar de nivel de estudio con cada variable de respuesta.

Tabla 3 Matriz no codificada del diseño factorial con los factores respuesta

Se observa que el factor de mayor importancia en el rango de valores utilizado es la permeabilidad, se identifica fácilmente, que en un nivel alto de permeabilidad no se crea fractura, lo que resalta la importancia de este parámetro en el diseño de un fracturamiento hidráulico, de hecho, se conoce que al aumentar la permeabilidad en una formación se requiere aumentar el caudal de inyección para tratar de garantizar la generación de la fractura. En la Tabla 4 se presenta el efecto promedio de cada factor investigado en el índice de efectividad de fractura y en el número final de bloques fracturados.

Tabla 4 Efecto promedio de cada factor investigado en los factores respuesta

4.2. Efecto de la Permeabilidad

La permeabilidad de la matriz de la roca es una de las propiedades petrofísicas más importantes en el desarrollo de un yacimiento de hidrocarburos e influye en las operaciones de campo, por ello, es uno de los parámetros de diseño para un tratamiento de fracturamiento hidráulico. En el conjunto de corridas ejecutadas, se muestra la importancia de la permeabilidad y, a un nivel alto de permeabilidad no se alcanza a fracturar, con excepción de la corrida 09, en la que se fracturan por cizalladura unos pocos bloques en la cercanía a los bloques inyectores. La permeabilidad a un nivel alto con los parámetros base establecidos, no crea un escenario propicio para una fractura por tensión.

4.3. Importancia de las Interacciones

En el análisis de la interacción de los factores investigados no se tendrá en cuenta la permeabilidad para evitar su influencia en el estudio de las interacciones de los demás factores, por ello, se reduce el análisis a las primeras ocho corridas. En la Figura 3, se presenta el número de nodos fracturados con el tiempo.

En la Tabla 5, se presenta por orden de importancia, el efecto promedio individual e interacciones bifactorial y trifactorial de los factores investigados sobre los factores respuesta. Al analizar el efecto promedio de los factores e interacciones con cada una de las variables respuesta en el rango de datos utilizado, se observa que coinciden en afirmar que la Razón de Poison (v) es el efecto de mayor importancia, seguido de la interacción entre Razón de Poison (v) y la Compresibilidad Total

Tabla 5 Estimación de la importancia sobre el índice de efectividad de fractura

4.4. Efecto de la Anisotropía

La anisotropía se muestra como un factor con un efecto medio en comparación con los factores investigados, pero no es un efecto sin importancia. En la Figura 3, se exhiben las corridas 03 y 07 en las mismas condiciones, excepto la anisotropía, y en dichas condiciones el índice de efectividad de fractura se reduce aproximadamente a la mitad al eliminar cualquier diferencia en los esfuerzos. En general se puede decir que la anisotropía facilita el fracturamiento hidráulico, con el aumento de las fracturas por cizalla.

Figura 3 Gráfica de nodos fracturados vs tiempo.

4.5. Efecto de las Variables Geomecánicas

Las variables geomecánicas no son parámetros de diseño en un fracturamiento hidráulico, lo que implica que no es posible cambiar el valor de las propiedades geomecánicas en un yacimiento, pero es importante tener en cuenta el impacto en el tratamiento de estimulación. La Razón de Poison (v) y la Compresibilidad Total son las variable con un mayor y menor efecto respectivamente en el rango de datos del análisis, pero la interacción entre estos dos parámetros representa un efecto considerable, dicha conclusión se basa en la estimación del efecto promedio (véase la Tabla 5).

El mecanismo de fractura buscado en un fracturamiento hidráulico es la fractura por tensión, en la Figura 4, se muestra un ejemplo del cambio en los mecanismos de fractura con el cambio en la Razón de Poison (v). En la corrida 05 el 83% de los bloques se fracturaron solo por cizalla, mientras que en la corrida 06 fue el 42%. No es posible una generalización de la tendencia por la complejidad de las relaciones y de la variedad de factores que pueden influir.

El simulador numérico desarrollado no puede determinar la estructura interna de las fracturas, pero si delimitar la zona fracturada. En la Figura 5, se ilustra el cambio en la geometría de fractura con el cambio en la Razón de Poison (v), para las corridas 05 y 06.

Figura 4 Mecanismos de fractura con el cambio en la Razón de Poison

Figura 5 Geometría de fractura corridas 05 y 06 con el cambio en la Razón de Poison

En una campaña de fracturamiento hidráulico se acumula conocimiento empírico a medida que se fractura un mayor número de pozos, por ello, se espera que el último pozo de la campaña de fracturamiento hidráulico, resulte ser el mejor tratamiento de estimulación. Analizar el impacto de las propiedades geomecánicas puede ayudar a ahorrar sumas importantes de dinero a una empresa, al permitir conocer de antemano el comportamiento de la presión, de los esfuerzo, de los desplazamientos y los mecanismos de fractura. La utilización del simulador numérico desarrollado para el análisis del impacto de las variables geomecánicas posibilitaría un mayor número de fracturamientos exitosos, representando un ahorro significativo, dado que la tecnología de fracturamiento hidráulico es de alto costo.

En una roca homogénea o sólido isotrópico se espera que el conocimiento de dos variables geomecánicas o constantes elásticas determine el valor de las demás constantes elásticas, en este estudio se consideraron la Razón de Poison (v) y la Compresibilidad Total . La relación entre las constantes elásticas no son relaciones lineales, lo que implica, que no se puede estimar el orden de importancia de las demás constantes elásticas sobre cada una de las variables de respuesta en el diseño factorial, pero se ilustra el impacto de las variables geomecánicas o constantes elásticas sobre el fracturamiento hidráulico.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a COLCIENCIAS por su apoyo en esta investigación. Igualmente expresan sus agradecimientos a todas aquellas personas que de alguna forma participaron en el proyecto, en especial, a José Gildardo Osorio Gallego, Ph.D., Guillermo Arturo Alzate Espinosa, M.Sc., Hans Rusman Vásquez Urrea, I.P., Raúl Mauricio Cañas Trejos, I.P., Jhon Henry Alzate Buitrago, I.P. y al Grupo de Investigación en Geomecánica Aplicada - GIGA.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Avasthi, J. M. et al., 1991. In - Situ Stress Evaluation in the McElroy Field, West Texas, SPEPE, Sept., 301-9.        [ Links ]

[2] Brechtel, C. E., Abou-Sayed, A. S., y Jones, A. H., 1978. Fracture Containment Analysis Conducted on the Benson Pay Zone in Columbia Well 20538-T, Proc. U. S. DOE Morgantown Energy Technology Center Second Eastern Gas Shales Symposium, Morgantown, WV, Oct. 16-18.        [ Links ]

[3] Charlez, P. A. et al., 1998. Understanding the Present Day In - Situ State of Stress in the Cusiana Field, Colombia, paper SPE 47208, presented at Eurock’98 Congress, Norway, July 8-10.        [ Links ]

[4] Chen, H. Y. y Teufel, L. W., 2001. Reservoir Stress Changes Induced by Production/Injection, Paper SPE 71087-MS, SPE Rocky Mountain Petroleum Technology Conference, Keystone, Colorado, May 21-23.        [ Links ]

[5] Chen, H. Y., Teufel, L. W. y Lee, R., 1995. Coupled Fluid/Flow and Geomechanics in Reservoir Study – I. Theory and Governing Equations, paper SPE 30752, presented at the 1995 Annual Technical Conference and Exhibition, Dallas, Oct. 22-25.        [ Links ]

[6] Daneshy, A.A., 1978. Hydraulic Fracture Propagation in Layered Formations, SPEJ, Feb., 33-41.        [ Links ]

[7] Hansen, K. S. y Purcell, W. R., 1989. Earth Stress Measurements in the South Belridge Oil Field, Kern County, California, SPEPE, Dec., 541-49.        [ Links ]

[8] Last, N. C. y Mclean, M. R., 1995. Assessing the Impact of Trajectory on Wells Drilled in a Oveerthrust Region. Paper SPE 30465, presented at the 1995 SPE Annual Congress, Dallas, Texas, October 22-25.        [ Links ]

[9] Osorio, J.G., Chen, H.Y. y Teufel, L.W., 1999. Numerical Simulation of the Impact of Flow-Induced Geomechanical Response on the Productivity of Stress-Sensitive Reservoir. Paper SPE 51929, presented at the 1999 SPE Reservoir Simulation Symposium held in Houston, Texas, 14-17 February.        [ Links ]

[10] Saxena, U. y Pavelic, V., 1971. Factorial Designs as an Effective Tool in Mining and Petroleum Engineering, Society of Petroleum Engineers Journal, Paper SPE: 3333.        [ Links ]

[11] Simonson, E. R., Abou - Sayed, A. S., y Clifton, R. J., 1978. Containment of Massive Hydraulic Fractures, SPEJ, Feb., 27-32.        [ Links ]

[12] Teufel, L. W. y Farrell, H. E., 1990. Distribution of In Situ Stress and Natural Fractures in the Ekofisk Field, North Sea, Proc. Third North Sea Chalk Symposium, Copenhagen, June 11-12.        [ Links ]

[13] Warpinski, N. R. et al., 1982. In - Situ Stress: The Predominant Influence of Hydraulic Fracture Containment, JPT, March, 653-64.        [ Links ]

[14] Warpinski, N.R. y Teufel, L.W., 1987. Influence of Geological Discontinuities on Hydraulic Fracture Propagation, JPT, Feb., 209-20.        [ Links ]

[15] Warpinski, N. R. y Teufel, L. W., 1991. In - Situ Stress Measurements at Rainier Mesa, Nevada Test Site - Influence of Topography and Lithology on the Stress State in Tuff, Int. Rock Mechs Mining Sci & Geomech. Abstr., 28, pp. 143-61.        [ Links ]

[16] Wright, C. A. et al., 1995. Hydraulic Fracture Orientation and Production/Injection Induced Reservoir Stress Changes in Diatomite Waterfloods. Paper SPE 29625, presented at the 1995 SPE East Regional Meeting, Bakersfield, California, March 8-10.        [ Links ]