Introducción

La probabilidad es una medida matemática adimensional que cuantifica la posible ocurrencia futura de un evento [¹] [²] [³]; que definida de forma axiomática establece que el valor de la probabilidad de cualquier evento es positivo, la probabilidad del espacio muestral es igual a uno y la probabilidad de la unión de eventos independientes entre sí, es la suma de sus probabilidades [²]. Una de las formas de calcular la probabilidad, es mediante la frecuencia relativa, definida como el cociente entre la cantidad de veces que se presenta tal resultado y el total de repeticiones del experimento [³]. El presente estudio hará uso de la probabilidad teórica y no estadística, ya que se busca el establecimiento de un método matemático predictivo que sea aplicable a cada dinámica particular.

La caminata al azar, es un modelo desarrollado para el estudio de fenómenos probabilistas. En su estudio se ha definido el desplazamiento medio, que es la distancia recorrida durante el movimiento, este valor está en función del número de pasos dados [²]; este concepto ha mostrado ser de utilidad para acotar movimientos altamente variables como se ha podido evidenciar en las epidemias de dengue, malaria [⁴] y VIH, así como en fenómenos de la ecología, biología, o economía entre otros [⁵] [⁶] [⁷] [⁸] [⁹] [¹⁰] [¹¹]. Una de las aplicaciones de la caminata al azar es el movimiento browniano, el cual dio paso a grandes avances científicos, como es la deducción de la existencia del átomo [⁵]. La geometría fractal también ha logrado avances significativos al caracterizar este tipo de movimiento [⁶]. La camina al azar también se ha usado en el campo teórico y económico [⁷] [⁸] [⁹] [¹⁰] [¹¹] [¹²].

El SIDA es una causa importante de Morbi-mortalidad en el mundo. Hacia Finales del año 2007, ONUSIDA estimó que aproximadamente unos 33,2 millones de personas estaban infectadas por VIH en el mundo; y durante ese mismo año, la mortalidad se calculó que se encontraba alrededor de 2.1 millones a nivel mundial [¹³]. La región más afectada del mundo corresponde al África Subsahariana con aproximadamente 24.2 millones de infectados por VIH [¹³]. Según el informe epidemiológico de ONUSIDA, los Estados Unidos es uno de los países que ha reportado mayor número de infectados, con 1200000 personas en promedio viviendo con el VIH y con 16000 muertes atribuibles al SIDA para el año 2006 [¹⁴]. Por otro lado, la población afroamericana constituyó el 48% de los casos nuevos de infectados de Estados Unidos, para el año 2007 que el VIH/SIDA fue la cuarta causa de muerte en los Estados Unidos en población afroamericana. A pesar de las estrategias implementadas para la prevención de la enfermedad, ésta sigue siendo un problema de salud pública [¹³].

Diferentes teorías físicas y matemáticas han permitido diagnosticar y predecir comportamientos considerados altamente irregulares y no predecibles, como son la dinámica cardiacaneonatal y de adulto [¹⁵] [¹⁶] [¹⁷] [¹⁸] [¹⁹] [²⁰]. En el campo de las epidemias, se han realizado predicciones tanto a nivel municipal [²¹] como anual. A partir del cargamiento de rangos de probabilidades de infectados de malaria y dengue [²²] [²³], se desarrolló una metodología que logra porcentajes de predicción del 100% para el 2007. Así mismo, con base en una analogía con la caminata al azar se han logrado predicciones de diferentes epidemias, analizadas desde una perspectiva acausal. Entre estos nuevos estudios, se encuentra el análisis de la dinámica temporal de la epidemia de dengue en Colombia para el año 2007, basado en la caminata al azar probabilista, estudiándose la dinámica geométrica del número de casos anuales registrados durante los años 1960 - 2006. Se predijo los valores para el número de infectados en el año 2007 con un porcentaje de acierto del 90,4% respecto al número de casos reportados [⁴]. Esta misma metodología fue utilizada para la predicción de la dinámica de malaria en Colombia, logrando un porcentaje de predicción de 95.60% [²⁴]. Así también, se han logrado predicciones de la dinámica de obesidad y sobrepeso infantil en diferentes países como Colombia, México, Estados Unidos, Australia, e Inglaterra entre otros [²⁵] [²⁶].

El propósito del presente trabajo es evaluar el comportamiento de la dinámica del número de personas viviendo con VIH (PV-VIH), aplicando el concepto de la caminata al azar probabilista, en busca de realizar predicciones acausales en el tiempo para esta variable para los años 2010, 2011 y 2012.

Metodología

Se tomaron los valores anuales de PV-VIH a nivel mundial desde el año 1990 hasta el 2009, de las bases de datos de la ONU-AIDS [²⁷], estos valores se graficaron en un espacio dimensional en el que el eje de las abscisas corresponde a los años, mientras que las ordenadas corresponden a los valores anuales de personas viviendo con VIH (Figura 1).

Figura 1 Valores anuales de personas viviendo con VIH a nivel mundiales del año 1990 hasta el 2009, valores en la tabla 1.  

Posteriormente, se calcularon las longitudes de las variaciones anuales del número de personas viviendo con VIH (PV-VIH) en el intervalo de tiempo de 1990 a 2009, a partir de la ecuación 1.

(1)

Siendo X₀ y Y₀ las coordenadas cartesianas del valor correspondiente al año inicial y X_f y Y_f son las coordenadas cartesianas del año siguiente, debido a que el estudio se está realizando desde el modelo de caminata al azar, el valor de las coordenadas en X que corresponde al tiempo en años, al efectuar la operación indicada entre paréntesis es igual a cero, el comportamiento del número de PV-VIH es estudiado solamente en el eje de las Y.

Con esta distribución de longitudes se estableció el espacio total de probabilidad de la dinámica del número de PV-VIH, donde cada variación anual es considerada como un evento, y la probabilidad de dicho evento se define como la longitud de esta variación dividida entre el total de las longitudes, como puede observarse en la ecuación 2:

(2)

El total de longitudes corresponde a la suma de las longitudes entre los años estudiados, en este caso 1990 a 2009. Posteriormente la proporción entre la variación anual de cada una de las longitudes respecto al menor valor hallado en dicho periodo fue hallada. De igual forma se construyó otro espacio de probabilidad con el número de PV-VIH reportados en un año, para esto se utilizó la ecuación 3:

(3)

Donde el total de casos corresponde a la suma de todos los valores desde el año 1990 al 2009.

Para evaluar si en este espacio de probabilidad existen probabilidades cargadas, es decir probabilidades más probables se utiliza la desviación media cuadrática del número de PV-VIH mediante la siguiente fórmula:

(4)

Donde N es el número de eventos del espacio muestral, esto es el total de casos.

También, se definieron otros dos espacios de probabilidad compuestos por dos eventos: el aumento o disminución del número de casos con respecto al año anterior con el fin de evaluar los aumentos y las disminuciones de la dinámica del fenómeno, con estos aumentos y disminuciones se construyeron triplas, estas triplas constituyen otro espacio de probabilidad, estos dos espacios se tendrán en cuenta para refinar la predicción.

Finalmente se desarrolló la predicción para el año 2010, para esto, se tomaron los valores de PV-VIH de los últimos tres años consecutivos; es decir, 2007, 2008 y 2009 y se construyó un espacio de probabilidad con las longitudes de estos 3 años, luego se definió el promedio aritmético de estos tres años como el valor de la probabilidad para la longitud del año 2010, y posteriormente se llevó este valor a la ecuación 2, de la cual es posible despejar el valor para el año 2010; ecuación 5,

(5)

Donde TL es la suma de las longitudes de los tres últimos años, y P_(L) es la probabilidad de TL; con esta ecuación se obtienen dos soluciones pues es una ecuación cuadrática, así que se analizan los espacios de probabilidad de aumentos y disminuciones, así como el compuesto por triplas, para hallar la predicción.

Una vez obtenido el valor para el año 2010, se comparó con el valor real obtenido para hallar el porcentaje de acierto de la predicción. Posteriormente se desarrolló el mismo proceso para hallar las predicciones del 2011 y 2012.

Consideraciones éticas

Este trabajo cumple con las normas éticas, científicas, técnicas y administrativas para la investigación en salud, basada en la resolución No. 008430 de 1993, y específicamente con el Título II, Capitulo 1, artículo 11 en enciso a, que hace referencia a la investigación sin riesgo en seres humanos, dado a que se hizo cálculos sobre datos de acceso público en internet, cuyos resultados no implican la intervención directa sobre los pacientes.

Resultados

Los valores del número PV-VIH para el periodo comprendido entre los años 1990-2009, oscilaron entre 9.100.000 y 32.800.000.

Las longitudes de las variaciones anuales calculadas para los valores anuales de PV-VIH estuvieron entre 100.000 y 9.100.000 y los valores de la probabilidad para estas longitudes estuvieron entre 0,003 y 0,277 (tabla 1). Los valores de probabilidad del número de PV-VIH variaron entre 0,018 y 0,066.

Tabla 1 No. de PV-VIH en miles, Longitud (L), probabilidad (P) para cada año del número de PV-VIH, en el periodo 1991-2009 de acuerdo a datos de UNAIDS (1). 

Los valores de la proporción de las distancias respecto a la distancia mínima encontrada para este periodo estuvieron entre 1 y 91. La desviación media cuadrática para los valores PV-VIH osciló entre un rango de 0,018 y 0,066, encontrando que la diferencia entre estos últimos y el valor esperado varía en un rango de -2,24E x10^-5 y 2,24 x10^-5 (Tabla 2). Los valores de probabilidades halladas para el número de PV-VIH anual a nivel mundial y los valores de la desviación media cuadrática para el periodo comprendido entre los años 1990-2009, muestran que no son equiprobables, presentándose probabilidades cargadas que determinan la predicción para los años 2010, 2011 y 2012.

Tabla 2: valores de probabilidad (P) del número de PV-VIH, desviación media cuadrática (+D_mc, -D_mc) y diferencia entre estos, (+D_mc-P, -D_mc-P), para el período 1990-2009. 

Al analizar los aumentos y disminuciones del periodo 1990 a 2009, se observa que sólo se presentaron aumentos, de tal forma, al construir el espacio de probabilidad de triplas de aumentos o disminuciones la tripla AAA (donde A es aumento), tiene la probabilidad 1 (Tabla 3), es decir, con seguridad se puede afirmar que el valor de la predicción para el año 2010 va a ser mayor que el valor del 2009 con lo que el fenómeno se convierte en una dinámica prácticamente determinista. Es decir, se estableció el número de PV-VHI con base en el anterior análisis y las dos soluciones halladas para los años 2010, 2011 y 2012 a partir de la ecuación 5, las cuales fueron de 32.950.000, 33.500.000 y 34.150.000, respectivamente. Estos resultados comparados con los valores reales reportados por la ONU-AIDS, corresponden a un porcentaje de acierto de la predicción para el año 2010 del 98.95%, para el año 2011 del 98.82% y para el año 2012 del 98.99%.

Tabla 3 Distribución de probabilidades de triplas consecutivas de aumentos (A) y disminuciones (D). 

Discusión y conclusiones

Este es el primer trabajo en el que se realiza una predicción del número de PV-VIH durante el período 2010-2012 a nivel mundial, mediante un estudio fundamentado en la caminata al azar en el tiempo. Para ello se establecieron rangos de valores a partir del valor mínimo y máximo hallado desde el año 1990, y se evaluó la probabilidad de aumentos y disminuciones para años consecutivos en dicho período, permitiendo estudiar el fenómeno desde una perspectiva determinista, lo que se puede observar con los porcentajes de predicción para los 3 años evaluados 2010, 2011 y 2012 que fueron 98,95%, 98,82% y 98,99% respectivamente. Esta metodología no tiene en cuenta factores causales y podría ser una herramienta de ayuda en la toma de decisiones en el área de la salud pública.

La presente metodología transforma la información de la gráfica del número de PV-VIH durante el período 1990-2009 en probabilidades y con el valor de las probabilidades de los últimos tres años consecutivos se predicen las cifras correspondientes a los años 2010, 2011 y 2012. Cuando se considera la dinámica de una epidemia como un sistema dinámico probabilista cuantificado como una caminata compuesta por longitudes probabilistas, se vuelve evidente una auto organización comparada con los supuestos de aleatoriedad o caos [²⁸]. Se han desarrollado modelos matemáticos sobre la epidemia de VIH/SIDA, la gran mayoría de ellos utilizan análisis estadísticos a través de regresión multivariada y realizando predicciones con métodos de iteración no lineal [²⁹], otros utilizan modelos computacionales para realizar proyecciones de la epidemia [³⁰] y otros se basan en modelos exponenciales [³¹]. Los altos porcentajes obtenidos en las predicciones, permiten mostrar la efectividad de la metodología aplicada en este trabajo, siendo más simple para abordar el fenómeno, por lo que sería de más fácil implementación y uso.

El cálculo de la desviación media cuadrática para los valores de probabilidad en los períodos escogidos puso en evidencia que la dinámica del número de PV-VIH posee una “inercia probabilista”, lo que se evidencia con el cargamiento de las probabilidades, generando que el fenómeno sea casi determinista, en otras palabras, que el número anual de PV-VIH varía muy poco y es más o menos constante para datos consecutivos, permitiendo acotar los valores de esta dinámica, lo que genera que los porcentajes de acierto de las predicciones sean mayores al 98%, porcentaje alto considerando que generalmente las dinámicas con un comportamiento de caminata al azar presentan un comportamiento impredecible. Esta nueva metodología aborda el análisis del comportamiento del número de personas viviendo con VIH, como un sistema en el cual se puede intervenir mediante planes de acción de vigilancia epidemiológica que facilite la toma de decisiones en el área de la salud pública.

Cabe considerar dentro de las limitaciones el posible subregistro de los reportes de las bases de datos de la ONU-AIDS [²⁷], lo que podría implicar pequeñas variaciones en los valores de predicción final. Sin embargo, al haber hallado un comportamiento general de la dinámica, es posible que las predicciones mismas permitan detectar posibles momentos en los que se presenten subregistros. Esto es posible porque se trata de una metodología fundamentada en principios físicos y matemáticos, donde los órdenes establecidos son independientes de los modelos multicausales; en contraposición, a partir de un pensamiento acausal se simplifica el análisis del fenómeno, para desde una dinámica probabilista acausal realizar predicciones del número de PV-VIH.

La perspectiva fisicomatemática acausal que fundamenta el presente trabajo también se ha utilizado para el desarrollo de metodologías diagnósticas y predicciones en otras áreas de la medicina. Por ejemplo, en áreas como la infectología, para predecir el valor de linfocitos TCD4 en pacientes con VIH [³²], en otras áreas como son la inmunología y biología molecular [³³]. Así mismo, se realizaron recientemente predicciones de mortalidad en la UCI [¹⁹].