Definición 2.7.

La Definición 2.7 es lo que P. May en [¹⁸, pág. 4], denomina como objeto simplicial. Los objetos de la categoría de los Conjuntos Simpliciales (Grupos Abelianos Simpliciales), también pueden ser vistos como una sucesión [X_n}_n≥o de conjuntos (grupos abelianos) junto con funciones (homomorfismos) entre ellos como sigue

donde X _n = X([n]), d ⁱ _n = X(δ ⁱ _n ) y s ^j _n = X(σ _n ^j ), para X un conjunto simplicial (grupo abeliano simplicial), es decir X : Δ → Set (X : Δ → Ab) un funtor contravariante. Estas funciones (homomorfismos) satisfacen las siguientes propiedades, llamadas propiedades combinatorias:

El subíndice n de d ⁱ _n y s ^j _n se omitirá en la mayoría de los casos, siempre que no haya confusión.

Definición 2.8. Si X y Y son conjuntos simpliciales, se define como función simplicial, digamos f : X → Y, a una familia de funciones

tal que los siguientes diagramas conmutan

para todo n Є ℕ, i = 0,...,n y j =0,...n-1.

Definición 2.9. Denotamos como Δ[n] al conjunto simplicial el cual para q Є ℕ se define Δ [n]_q = Hom _Δ ([q], [n]), y para f : [p] → [q] un morfismo en la categoría Δ, el morfismo Δ [n](f) : Δ[n]_q → Δ[n]_p está definido por Δ[n](f)(α) = αf.

Definición 2.10.

1. Un complejo de cadenas D de grupos abelianos, es una familia de grupos abelianos [D_n}_nЄ ℤ junto con homomorfismos de grupos como sigue

tales que ∂ _n-1 o ∂ _n = 0 para todo n Є ℤ. El subíndice n de ∂ _n se omitirá en la mayoría de los casos, siempre que no haya confusión.

2. Si C y D son complejos de cadenas de grupos abelianos, una transformación de cadenas f : C → D es una familia de homomorfismos {f_n: D_n → C_n} _{n Єℕ} tal que el siguiente diagrama conmuta para todo n

3. La categoría Ch(Ab) es aquella en donde los objetos son complejos de cadenas de grupos abelianos y los morfismos son transformaciones de cadenas.

Denotamos como Ch ⁺ (Ab) a la categoría la cual sus objetos son complejos de cadenas C positivas, es decir C _n = 0 si n < 0 y (Ch+ (Ab)) _d=0 a la categoría de cadenas positivas tales que d _n : C _n → C _n-i son homomorfismos nulos para todo n Є ℤ.

Existe en la literatura una definición más general de complejos de cadenas sobre R-módulos, para R un anillo, la cual denotan por Ch(R) o Chain _R (ver [¹⁰, pág. 40]), más en este trabajo nos enfocamos en el caso de complejos de cadenas sobre ℤ -módulos.

Definición 2.11 (Grupos de Homología). Sea C un complejo de cadenas, entonces los grupos de homología de C están definidos por H _n (C) = Ker∂ _n /Im∂ _n + _i para n Є ℤ.

Sea f: C → D una transformación de cadenas, entonces f induce un homomorfismo

como sigue: Sea C _n +∂ (C_n+1) Є Hn(C), entonces f _n* (cn + ∂ (C_n+1)) = fn(c_n)+ ∂ (D_n+1). El subíndice n generalmente se omite de f _n* para dar la notación f _* : H _n (C) → H _n (D) siempre que no haya confusión.

Ejemplo 4.7.

1. Sea R un cuerpo, entonces

2. Consideremos R = ℚ y A = ℚ / ℤ. Afirmación: todo objeto en ℚ ⊗ ℚ es de la forma r ⊗ 1 para r Є ℚ. En efecto, consideremos ^p (g> J un elemento del conjunto generador de ℚ ⊗ ℚ, entonces . Análogamente también se prueba que en ℚ ⊗ ℚ se tiene que r ⊗ 1 = 1 ⊗ r, para todo r Є ℚ. Así pues, si un homomorfismo g : ℚ ⊗ ℚ → ℚ / ℤ satisface que gt ¹ ₁ = 0, entonces gt ¹ ₀ = 0, por lo tanto HΨr (ℚ / ℤ) ₁ = {f Є ( ℚ / ℤ) ^ℚ : f (1) = 0} con lo cual obtenemos HΨr (ℚ / ℤ) ₁ = 0, puesto que la proyección canónica π : ℚ → ℚ / ℤ dada por π(r) = r + ℤ, para r Є ℚ, está en el conjunto {f Є (ℚ / ℤ) ^ℚ : f (1) = 0} y no es el homomorfismo nulo.

Observación 4.8. En [¹³] se define lo siguiente: Sea i : ℤ → R el homomorfismo de grupos abelianos dado por i(1 _ℤ)= 1r y sea S = Coker(i), por tanto S = R/i(ℤ), donde i(ℤ) es el grupo abeliano generado por 1_R, es decir i(ℤ) = {n1 _R \n Є ℤ }. Se define

y con esto el n-ésimo grupo de homotopía π _n (A) = [⊗ ⁿ S, A] _R para un grupo abeliano A, donde [A, B] _R = HomAb(A, B)/ η para η el sistema homotópico presentado en el ítem 3 del Ejemplo 3.3. Así pues tenemos que π ₀ (A) = [ℤ, A] _R . Posteriormente en este trabajo, en el Teorema 6.8, se demuestra que HΨr (A) ₀ ≅ π ₀ (A).

5. Esqueletos homoto-homológicos

Definición 5.1. Un Esqueleto Homoto-Homológico en una categoría A consiste de lo siguiente:

1. Un objeto modelo Y : Δ → A.

2. Una relación de homotopía ~ que sea compatible con la composición; es decir, si f, g : A → A' y f', g' : A → A" son tales que f ∼ g y f' ∼ g', entonces f’f ∼g'g.

3. Un funtor H: A → (Ch+ (Ab)) _∂=0 tal que si dos morfismos f, g son tales que f ∼ g, entonces H(f) =H(g).

Por ejemplo, la relación ∼ puede ser definida por medio del sistema homotópico n _Y presentado en 3.4, si existe, o definida por medio del funtor H _y : A → (Ch ⁺ (Ab)) _∂=0 definido en 3.9. ³. Como funtor H podemos considerar H= H _y : A → (Ch ⁺ (Ab)) _∂=0 definido en 3.9, en el caso que este funtor sea invariante bajo la relación ∼, es decir que cumpla la condición exigida en 3 de la Definición 5.1. Usaremos la abreviación (A,Y, ∼ , H) para referirnos a esqueletos homoto-homológicos sobre la categoría A.

En [2] se deine una relación de homotopía en una categoría A por medio de la categoría de cocientes (A/ ℳ, k) (o llamada también en [⁵] como categoría de fracciones de A por M), donde A/ ℳ es una categoría con los mismos objetos de A y k : A → A/ ℳ es un funtor covariante que preserva los objetos de A y satisface las siguientes dos condiciones:

1. Si α Є ℳ, entonces K(α) es invertible en A/ ℳ, es decir K(α) es un isomorfismo en A/ ℳ.

2. Si T : A →K es un funtor, donde K es una categoría cualquiera, tal que T(α) es invertible para todo α Є M, entonces existe un único funtor t : A/ ℳ → K tal que T = t o k, es decir que el siguiente diagrama conmuta

Dada una categoría A cualquiera y ℳ una clase arbitraria de morfismos en una categoría A, entonces en [², Tma 1.1, pág. 240] demuestran que la categoría cociente (A/ ℳ,k) existe. Con esto, definen M-homotopía en A como sigue: Dos morfismos f,g : A → B en A son llamados M-homótopos (f ℳ g) si y sólo si n(f) = n(g).

Observación 5.2. Si F : A → C es un funtor covariante cualquiera, se define la familia de morfismos ℳ (F) := {f Є A | F(f) es invertible en C}, por tanto existe la categoría cociente (A/ ℳ (F), k) la cual genera la relación ℳ(F) en A. Ahora, dado un objeto modelo Y : Δ → A, entonces por la Definición 3.9 existe el funtor de homología (Ch ⁺ (Ab)) _∂=0 el cual genera entonces la relación en la categoría A.

Veamos que el funtor H _Y es invariante bajo la relación en A.

Teorema 5.3. Dado un objeto modelo Y sobre la categoría A y f,g : A → B morfismos en A tales que f es ℳ (Hy)-homótopo a g, entonces Hy(f) = Hy(g).

Demostración. Por definición ℳ (H _Y ) = {f G A | Hy(f) es invertible en (Ch+ (Ab)) _d=0 ], entonces existe un único funtor t : A/ ℳ - (Ch ⁺ (Ab)) _∂=0 tal que el siguiente diagrama conmuta

Luego, por otro lado, puesto que f es ℳ (H_y)-homótopo a g, entonces K(f) = K(g) y por tanto TK(f) = TK(g), es decir, H _y (f) = H _y (g).

Así pues, dado un objeto modelo Y sobre A, entonces es un Esqueleto Homoto-Homológico.

5.1. Esqueletos homoto-homológicos en categorías simpliciales

En [⁶, pág. 81] se define categoría simplicial, a una categoría C para la cual existe un bifuntor Hom _c : C x C → Δ° Set con las siguientes propiedades para A y B objetos en C:

1. Hom _C (A,B) ₀ = Hom _C (A, B).

2. Cada funtor Hom _c (A, •) : C → Δ° Set tiene un adjunto a izquierda A⊗ _C • : Δ°Set → C el cual es asociativo en el sentido que existe un isomorfismo A⊗ _C (K x L) ≅ (A ⊗ _C K) ⊗ _C L natural en A ЄC y K, L Є Δ°Set.

3. Cada funtor Hom _c (•, B) : C ^op → A°Set tiene un adjunto a izquierda homc(•, B) : Δ°Set → C ^op .

Ahora, si una categoría simplicial C tiene objeto final *, entonces en C se puede obtener un Esqueleto Homoto-Homológico, como lo muestra el siguiente corolario.

Corolario 5.4. Sea C una categoría simplicial con objeto final * y Y : Δ → C el objeto modelo definido por Y ⁿ = *⊗ _C Δ[n]⁴, Y(δ ⁱ _n ) = 1* ⊗ _C d ⁿ _i e Y(σ ^j _n ) = 1* ⊗ _C s ⁿ _j , para d ⁿ _i y s ⁿ _j definidas por (d ⁿ _i ) _p (α) = δ ⁿ _i α y (s _j ⁿ ) _p (β) = σ ⁿ _j β, donde α Є HomΔ([p], [n - 1]) y β Є HomΔ([p], [n +1]), entonces es un Esqueleto Homoto-Homológico.

Demostración. Dado que Y es un objeto modelo en C, entonces por el Teorema 5.3 se obtiene el resultado. 0

Por lo visto en la Observación 5.2 se tiene que un objeto modelo Y : Δ→ A genera una relación de homotopía por medio de la categoría cociente A/M y con lo visto en la Definición 3.4, Y genera bajo ciertas condiciones un sistema homotópico en A, el cual a su vez define una relación de homotopía. Queda aquí pues abierta la pregunta de que tipo de relación hay entre estas dos relaciones de homotopía.

6. Esqueleto homoto-homológico en Ab

En la categoría de los grupos abelianos, existe la relación de homotopía presentada por L. Hernández en su tesis doctoral (ver [¹³]), la cual utilizó para definir los grupos de homotopía para un grupo abeliano, entre otras cosas. Por tanto, dada la importancia de esta relación de homotopía, en este trabajo se presentará un Esqueleto Homoto-Homológico en Ab para el cual la relación ~ de la propiedad 2 de la Definición 5.1, sea la descrita en [¹³], la cual es generada por medio del objeto modelo Ψ ^R , definido en 4.2. Ahora, este modelo genera el funtor de homología HΨr (ver Definición 3.9), al cual se le hizo una modificación a los objetos de la categoría de partida, es decir a los grupos abelianos.

Para R un anillo unitario, en [⁸, pág. 163] se define una relación de homotopía en la categoría de los grupos abelianos dada como sigue: Sean f,g : A → B homomorfismos de grupos abelianos, entonces se dice que f es nulo-homótopo si existe una función bilineal F : A x R → B tal que F(α, 1 _R ) = f (α), para todo α Є A. Luego f es homótopo a g (f ≅_R g) si y sólo si .

Ahora, sea A un grupo abeliano, entonces A ≅Hom _Ab (ℤ, A), así pues se puede definir una relación en A por medio de la relación ≅ _R en HomA _b (ℤ, A) como sigue.

Definición 6.1. Sea A un grupo abeliano y α _i ,α ₂ Є A, entonces si y solo si ψ _a1 ≃ _R ψ _a2 , donde ψ _ai : ℤ → A es el homomorfismo de grupos abelianos dado por ψ _ai (n) = nα _i , para i = 1, 2. Así pues si y sólo si existe una función bilineal F : ℤ x R → A tal que F(n, 1 _R ) = n(α ₁ - α ₂ ), para todo n Є ℤ.

Puesto que la relación ≃ _R es de equivalencia, entonces también lo es. Usaremos la notación ∿ _R en cambio de , cuando se entienda el grupo abeliano A.

Tomando la operación del grupo A, el conjunto {f(1 _R ) : f Є HomAb(R,A)} es un subgrupo de A. Este subgrupo es de interés aquí, pues él es el que determina la relación ∿ _R , lo cual mostramos en la siguiente proposición:

Proposición 6.2. Sea A un grupo abeliano y α ₁ , α ₂ Є A, entonces α ₁ ∿ _R α ₂ si y sólo si α ₁ - α ₂ Є{f (1r) : f Є HomAb(R A)}. Así pues A/ ∿r ≅ A/{f (1r) : f Є HomAb(R A)}.

Demostración. (⇒) Supongamos α ₁ ∿ _R α ₂ , entonces existe una función bilineal F : ℤ x R → A tal que F(n, 1 _R ) = n(α ₁ - α ₂ ), para todo n Є ℤ, la cual induce un homomorfismo f : R → A dado por f(r) = F(1 _ℤ ,r). Puesto que F es bilineal, entonces f es homomorfismo de grupos. Así pues f (1 _R ) = F(1 _ℤ, 1 _R ) = α ₁ - α ₂ . Por lo tanto α ₁ - α ₂ Є {f (1r) : f Є HomAb(R, A)}.

(⇐) Supongamos ahora α ₁ - α ₂ Є A tales que α ₁ - α ₂ Є {f(1 _R ) : f Є HomA _b (R,A)}, entonces existe un homomorfismo de grupos abelianos f : R → A tal que f (1 _R ) = α ₁ - α ₂ . Considere la aplicación F : ℤ x R → A dada por F(n, r) := nf (r). Así pues F es bilineal y F(n, 1r) = nf (1 _R ) = n(α ₁ - α ₂ ), por lo tanto α ₁ ∿ _R . 0

De la Proposición 6.2 podemos ver que para el caso que HomA _b (R, A) = 0 entonces el grupo abeliano A/ ∿ _R es el mismo grupo abeliano A.

La relación de homotopía ≃ _R en HomA _b (A, B), presentada en [¹³], induce el grupo HomA _b (A, B)/ ≃ _R , el cual en [¹³, pág. 37] lo denotan por [A, B] _R . Por otro lado, puesto que HomAb(A, B) es un grupo abeliano entonces tenemos el grupo abeliano HomA _b (A, B)/ ∿ _R . El siguiente teorema nos muestra que estos grupos abelianos son isomorfos.

Teorema 6.3. Sean A y B grupos abelianos y f,g Є HomAb(A, B), entonces f ≃ _R g si y sólo si f ≅r g. Así pues [A,B]r = HomAb(A,B)/ . ∿R.

Demostración. (⇒) Supongamos que f ≃ _R g, entonces , es decir que existe una función bilineal F : A x R → B tal que F(α, 1R) = (f - g)(a). Considere ahora la función G : ℤ x R → HomA _b (A, B) donde G(n,r) = F o iⁿ _r, donde i ⁿ _r : A → A x R es la función definida por i ⁿ _r (α) := (n a, r). La función G es bilineal. Ahora G(n, 1R)(α) = F(n α, 1R) = (f - g)(n a) = n(f - g)(a), para todo α Є A, entonces G(n, 1R) = n(f - g), es decir f ∿ _R g.

(⇐ ) Supongamos que f ∿ _R g, entonces existe una función bilineal G : ℤ x R → HomAb(A, B) tal que G(n, 1R) = n(f - g). Considere ahora la función F : A x R → B definida por F(α, r) = G(1 _Z , r)( α). La función F es bilineal. En efecto, F (α ₁ + α ₂ ,r) = G(1 _ℤ ,r)( α ₁ + α ₂ ) = G(1 _ℤ ,r)( α ₁ ) + G(1 _ℤ ,r)( α ₂ ) = F (α ₁ ,r) + F (α ₂ ,r) y F(α,r ₁ + r₂) = G(1 _ℤ, r ₁ + r₂ )( α) = [G(l_z,n) + G(1 _ℤ,r₂)]( α) = G(1 _ℤ,n)( α) + G(l_z,r₂)( α) = F (α,r ₁ ) + F (α,r ₂ ).

Así pues se obtiene que el homomorfismo identidad l : HomA _b (A, B) → HomA _b (A, B) pasa al cociente 1 : [A, B] _R → HomAb(A, B)/ ∿ _R , es decir [A, B] _R = HomA _b (A, B)/ ∿ _R .

Teorema 6.4. Sea f : A → B un homomorfismo de grupos abelianos. Si α ₁ ∿ _R α ₂ , entonces f (α ₁ ) ∿ _R f (α ₂ ).

Demostración. Si α ₁ ∿ _R α ₂ , entonces ψα ₁ ≃ _R ψ α ₂, luego puesto que la relación ≃ _R es representada por un sistema homotópico, entonces fψ α ₁ ≃ _R fψ α ₂ es reflexiva (ver [¹⁹, Lema 2.3, pág. 4]). Ahora ψ _f(ai) (n)= nf (α ₁ ) = f (n α ₁ ) = f (ψ _ai ,(n)) = fψ _ai ,(n), asípues, si ai ∿r α ₂ entonces ψ _f (α ₁ ) ≃r ψf(α ₂ ), por lo tanto f (α ₁ ) ∿r f (α ₁ ).

Con lo anterior tenemos que todo homomorfismo de grupos abelianos f : A → B pasa al cociente por ∿ _R , por tanto se tiene el homomorfismo de grupos abelianos [f] _R : A/ ∿ _R → B/ ∿ _R donde [f]_R ([α]A) = [f (α)] _B . Entonces definimos el siguiente funtor.

Definición 6.5. Se define el endofuntor C ^R : Ab →Ab por C ^R (A) = A/ ∿ _R , para A un grupo abeliano y C ^R (f) = [f] _R , para f un homomorfismo de grupos abelianos.

Teorema 6.6. Sean f,g : A → B homomorfismos de grupos abelianos. Si f ∿ _R g, entonces C ^R (f) = C ^R (g).

Demostración. Supongamos f ≃ _R g, entonces existe una función bilineal F : A x R → B tal que F(α, 1 _R ) = (f - g)(α), para todo a Є A. Consideremos la función , para cada α Є A, donde T _α (n,r) = (n α,r). La función FT _a es bilineal, más aún, se tiene que FTa(n, Ir) = F (n α, Ir) = (f - g)(na) = nf (α) - ng(α) = n(f (α) - g(α)), por tanto f(a) ∿ g(α) para cada a Є A, es decir C ^R (f)(a) = C ^R (g)( α) en B/ ∿, entonces C ^R (f )= C ^R (g). 0

Observación 6.7. Para el objeto modelo Ψ^R sobre la categoría Ab, se obtuvo por el Teorema 4.6 que HΨr (A) ₀ = A/{f (Ir) : f Є HomA _b (R, A)}, es decir que HΨr (A) ₀ ≅ C ^R (A), para todo grupo abeliano A y en [¹³] se define el grupo cero de homotopía por π ₀ (A) = [ℤ,A]r, para A un grupo abeliano. Veamos que π ₀ (A) = HΨr(A) ₀ .

Teorema 6.8. Sea A un grupo abeliano, entonces no(A) ≅ HΨr(A) ₀ .

Demostración. En [13] definen π ₀ (A) = [ℤ,A] _R , luego por el Teorema 6.3 tenemos que [ℤ, A] _R ≅ HomA _b (ℤ, A)/ ∿. Por otro lado, existe un isomorfismo φ : A → HomA _b (ℤ, A), luego puesto que C ^R es un funtor entonces C ^R (φ) : A/ ∿ → HomA _b (ℤ, A)/ ∿ es un isomorfismo, es decir A/ ∿ ≅ HomA _b (ℤ, A)/ ∿. Por último, por la Observación 6.7 tenemos que C ^R (A) = HΨr(A) ₀ . Así pues con lo anterior obtenemos n ₀ (A) = [ℤ,A] _R = HomAb(Z,A)/ ∿ ≅ A/ ∿≅ HyR (A) ₀ .

El funtor C ^R preserva sucesiones exactas que se descomponen en Ab, propiedad que mostramos en la siguiente proposición.

Proposición 6.9. Consideremos una sucesión exacta corta en que se descompone, entonces la sucesión corta en C ^R (D) → 0 es exacta y se descompone.

Demostración. Para la exactitud hay tres cosas por demostrar:

1. (C ^R (f) es monomorfismo) Puesto que la sucesión se descompone, entonces f es una sección y por tanto C ^R (f) es una sección, además toda sección es un monomorfismo. Así pues C ^R (f) es un monomorfismo.

2. (C ^R (g) es epimorfismo) Afirmación; si g es epimorfismo, entonces C ^R (g) es también un epimorfismo. En efecto, sea [d] Є D/ ~, donde d Є D, puesto que g es sobreyectiva, entonces existe un b Є B tal que g( b) = d, por tanto [g(b)] = [d], luego C^R(g)(b) = [g(b)], asípues C ^R (g)(b) = [d].

3. (Ker (C ^R (g) ⁾ = Im((C ^R (f) ⁾ ) Puesto que la sucesión se descompone, entonces por el corolario 3.8 la sucesión

es exacta para todo n ≥ 0 . Ahora al aplicar el funtor M : Δ°Ab → Ch ⁺ (Ab) obtenemos la sucesión

en Ch+(Ab), la cual es exacta por niveles para cada n ≥ 0. Así pues obtenemos que la sucesión

es exacta para todo n ≥ 0 (ver [¹, Theorem 1.3, pág. 6], la cual por la Observación 3.7 es igual a la sucesión

Así pues Ker ((NS _Y (g)) _n* ) = Im ((NS _Y (f )) _n* ). Ahora si tomamos Y = Ψ ^R y n = 0, entonces por la Observación 6.7 obtenemos que KerC ^R (g) = ImC ^R (f).

Puesto que C ^R (f) es una sección, entonces la sucesión exacta se descompone.

Así pues con el funtor C ^R y H _y para un objeto modelo Y : Δ → Ab (ver Definición 3.9) se tiene el funtor , este funtor satisface que si f ≃ _R g en Ab, lo cual es equivalente a que (Teorema 4.5), entonces H _y C ^R (f) = H _y C ^R (g) (Teorema 6.6), para R un anillo unitario. Así pues tomando a Y como el objeto modelo Ψ ^R , entonces tenemos el siguiente teorema.

Teorema 6.10. Sea Ψ ^R el objeto modelo definido en 4.2, entonces es un Esqueleto Homoto-Homológico en Ab.

7. Teoría de homología general

En [²²] se define lo que es una Teoría de Homología General, empezando con lo que es una Categoría Admisible para Homología en una categoría C, con objeto inicial 0 y con un sistema homotópico n. Con ello muestra los resultados que se obtienen para teoría de homología general. Para dar claridad al artículo, presentamos en esta sección las definiciones fundamentales para teoría de homología general presentadas en [²²], para con esto mostrar posteriormente una teoría de homología general en la categoría de los grupos abelianos, utilizando el esqueleto homoto-homológico del Teorema 6.10. Si para el lector es de interés el conocer más propiedades de las teorías de homología general, se pueden consultar en [²²].

Definición 7.1. Consideremos C una categoría. Se define la categoría Mor (C) por:

1. Los objetos de Mor (C) son los morfismos de C,

2. Un morfismo entre f y g es una pareja (β, α), donde α : A → C y β : B → D son morfismos en C tales que el siguiente diagrama conmuta

3. Sean (β ₁ , α ₁ ) : f → g y β ₂ , α ₂ ) : g → h, morfismos en Mor (C), la composición está dada por (β ₂ , α ₂) (β ₁ , α ₁): = (β ₂ β _1, α ₂ α ₁ ).

Consideremos de ahora en adelante a (C, η) como una categoría C con objeto inicial 0 único y η = (I, Є⁰ , Є ¹ , μ) un sistema homotópico en C tal que I(0) = 0.

Definición 7.2 (Categoría de Parejas). Llamaremos por categoría de parejas V a una subcategoría cualquiera de Mor (C) que cumpla lo siguiente:

1. Para cada par de objetos A y B de C, existe a lo más un único morfismo α : A → B, es decir no existe otro morfismo de C como objeto en V con el mismo dominio y codominio de a.

2. V es cerrada para composiciones, es decir si α Є Home (A, B) y β Є Home (B, C) son objetos en V, entonces βα es un objeto en V.

3. Para cada objeto X en C, se tiene que el morfismo identidad 1 _X : X → X y el morfismo 0 → X (el cual es único por 0 ser objeto inicial) son objetos en V.

Notación. Sea α : A → X un objeto de V. Puesto que solo existe un morfismo en V con dominio A y codominio X, entonces denotamos este objeto como (X,A). Así pues con esta notación tenemos que para dos objetos (X, A) y (Y, B) en la categoría V, un morfismo (F, f) : (X,A) → (Y, B) en V es una pareja F : X → Y, f : A → B de morfismos de C tales que el siguiente diagrama conmuta

Definición 7.3 (Diagrama de (X, A)). Sea (X, A) un objeto en V, entonces se define el diagrama de (X,A), denotado por D(X,A), a

en donde los morfismos del 1 al 6 son los evidentes. Por ejemplo, (X, A) es un morfismo α : A → X en C, entonces el morfismo 5 es (α, 1a).

Con las definiciones anteriores se abre paso a la definición de Categoría Admisible.

Definición 7.4 (Categoría Admisible para Homología). Sea V una categoría de parejas sobre una categoría (C,n). Se dice que V es una categoría esencialmente admisible para homología si satisface las siguientes condiciones:

(AC1) Si (X,A) es un objeto en V, entonces V contiene a D(X,A).

(AC1) Si (X,A), (Y,B) GV y (F, f) : (X,A) → (Y, B) es un morfismo en V, entonces todos los morfismos inducidos por (F, f), desde los miembros de D(X,A) a los correspondientes miembros de D(Y, B) están en V.

(AC1) Si (X,A) Є V, entonces I(X, A) = (I(X),I(A)) está en V, donde I es el funtor del sistema homotópico n que acompaña a C.

Si V es una categoría esencialmente admisible para homología y además admite al menos un objeto (*, 0), donde * es un objeto final y 0 el objeto inicial en la categoría C, entonces se dice que V es una categoría admisible para homología.

Para V una categoría admisible para homología, a los objetos de V se les llama admisibles y a los morfismos de V morfismos admisibles.

Ejemplo 7.5 (La categoría de pares topológicos). Consideremos la categoría de los espacios topológicos con la homotopía usual. Sea Top _par la categoría en la cual los admisibles son las parejas topológicas (X,A), es decir las inclusiones A → X, para A un subespacio de X. Los morfismos entre dos admisibles (X,A) y (Y, B) son todas las funciones continuas f : X →Y que satisfacen f (A) ⊆ B. Así pues Top _par satisface las condiciones (AC1)-(AC3) y admite el morfismo 0 → *, donde * es un espacio singleton, por tanto Top _par es un categoría admisible para homología.

Con la relación de homotopía generada por el sistema homotópico n en la categoría C, se puede definir también una relación de homotopía en una categoría admisible V sobre la categoría (C,η), la cual presenta [²²] de la siguiente manera.

Definición 7.6 (Homotopía en Categorías Admisibles). Sean V una categoría admisible para homología sobre una categoría (C, η) y (F, f), (G,g) : (X,A) → (Y, B) morfismos admisibles en V, entonces decimos que (F,f) es n homótopo a si existe un morfismo admisible (T, t) : I(X, A) → (Y, B) tal que el siguiente diagrama conmuta

es decir, que los siguientes diagramas son conmutativos

En [²²] se define el objeto cociente en una categoría como sigue.

Definición 7.7. Sea V una categoría de parejas sobre una categoría C con objeto final * y (X, A) un objeto en V, entonces definimos el cociente X/A por medio del siguiente diagrama cocartesiano

siempre y cuando exista.

Observación 7.8. En la categorías de parejas Top _par del Ejemplo 7.5, el cociente definido en 7.7 coincide con el cociente de espacios topológicos.

Para el caso de un morfismo (F, f) : (X, A) → (Y, B) en una categoría de parejas se cumple una propiedad de isomorismo entre cocientes, propiedad demostrada en este trabajo y presentada en la siguiente proposición.

Teorema 7.9. Sea V una categoría de parejas sobre una categoría C con objeto final * y supongamos el siguiente diagrama es cocartesiano

entonces X/A ≅ Y/B, siempre y cuando existan estos cocientes.

Demostración. Por la Definición 7.7 tenemos que los siguientes diagramas son cocartesianos

luego componiendo el diagrama (1) con el diagrama (3) obtenemos el siguiente diagrama

el cual es cocartesiano. Por tanto tenemos que (2) y (4) son cocartesianos, entonces X/A ≅ Y/B. 0

Definición 7.10 (Escisión Categórica). Un morfismo (E,e) : (X,A) → (Y,B) en V es una escisión categórica si el siguiente diagrama es cocartesiano

Definición 7.11. En D(X,A), definido en 7.3, la composición será llamada la descomposición esencial de (X,A) con notación genérica y que denotaremos por E(X,A). Para un morfismo (f,g) : (X,A) → ( Y, B) su diagrama esencial es el siguiente

el cual denotaremos por E(f,g).

Ahora, consideremos una categoría admisible para homología V sobre (C ,η) y H : V → Ch(Ab) un funtor covariante, entonces H induce los funtores H _n : V → Ab y PR _n : V - Ab, donde H _n (X,A) = H(X,A) _n , PR _n (X,A) = H(A, 0) _n , para (X,A) un objeto en V y Hn(F,f) = (F,f )n, PRn(F,f) = (f, 1 ₀ )n, para (F,f) un morfismo en V, para cada n Є ℤ, donde H(X, A) _n es n-ésimo grupo abeliano del complejo de cadenas H(X, A) y (F, f )n = H(F, f) _n . Al funtor PR _n lo llamaremos proyección n-ésima de H.

Para las teorías de homología generales, como en las teorías de homología en espacios topológicos, se pide la existencia de una transformación natural ∂ _n : H _n → PR _{n_1} para cada n Є ℤ, para la cual tenemos entonces la siguiente sucesión

Así pues con el anterior breve resumen se abre paso a la definición de teoría de homología general, presentada en [²²].

Definición 7.12 (Teoría de Homología General). Sea V una categoría admisible para homología sobre una categoría (C, η) y H: V → Ch(Ab) un funtor covariante. Decimos que H es una teoría de homología general si satisface los siguientes axiomas:

1. Axioma de Exactitud. Si (X,A) es un objeto en V, entonces

es una sucesión exacta.

2. Axioma de Homotopía. Sean (F, f), (G,g) : (X,A) → (Y, B) morfismos en P tales que , entonces H(F,f) =H(G,g).

3. Axioma de Dimensión. Si n = 0, entonces H _n (*, 0) = 0, para todo admisible (*, 0), donde * es un objeto final en C.

4. Axioma de Escisión. Si (E,e) : (X,A) → (Y,B) es una escisión categórica, entonces H(E,e) es un isomorfismo. Más aún H(X/A) ≅ H(Y/B), si X/A y Y/B existen.

Nota. Toda categoría C con objeto inicial y final se puede cambiar para todo propósito en C igual que pero con un solo objeto inicial 9 y un solo objeto final * y trabajar con .

8. Teoría de homología general en Ab

Presentaremos una categoría de parejas en la categoría de los grupos abelianos (Ab) desarrollada en este trabajo, la cual utilizaremos posteriormente para mostrar una teoría de homología general en la categoría Ab.

Definición 8.1. Definimos la categoría Ab _inj como sigue:

1. Consideramos como objetos admisibles los siguientes morfismos

a) Para todo grupo abeliano A, consideramos el morfismo 0 → A y el morfismo identidad 1a : A → A.

b) Las inclusiones A → X, donde A es un ℤ -módulo inyectivo.

c) Para las inclusiones i : A → X del ítem anterior, consideramos también como admisibles a I ⁿ (i : A → X), para n Є ℤ +, donde

para I el funtor cilindro del sistema homotópico en Ab mostrado en el ítem 4 del Ejemplo 3.3, el cual I(f : X → Y) = f ⊕ (f ⊗1r), para f un homomorfismo de grupos abelianos.

2. Como morfismos entre objetos admisibles (X, A) y (Y, B), consideramos los morfismos en la categoría Mor(Ab) entre estos objetos, es decir una pareja de homomor-fismos de grupos abelianos (F, f) : (X, A) → (Y, B) tal que f (A) ⊂ B y f = F|a.

Consideremos el funtor H: Ab _inj → (Ch ⁺ (Ab)) _∂=0 definido por medio del funtor de homología HΨr, presentado explícitamente en el Teorema 4.6, como H(X,A) = HΨr (C ^R (X/A)), donde C ^R es el funtor definido en 6.5. Para (F, f) : (X, A) → (Y, B) un morfismo en Ab _inj definimos H(F, f) := HΨr (C ^r (F)), el cual denotamos por (F, f )*, donde el homomorfismo F : X/A - Y/B es dado por F(x + A) = F(x) + B.

Nótese que H(X, 0) = HΨr (C(X)), por tanto a las parejas de la forma (X, 0) las denotaremos solo por X, para X un grupo abeliano. Así pues un morfismo f : X → (Y,B) es un morfismo de la forma (f, 0) : (X, 0) → (Y,B), donde f es un homomorfismo de X a Y. Por lo visto en la sección 7 tenemos los funtores H _n y PR _n .

8.1. Dimensión

Teorema 8.2. H _n (0) = 0 para todo n ≥ 0.

Demostración. Por definición H _n (0) = HΨr(C ^R (0)) _n , luego C ^R (0) = 0 y por el Teorema 4.6 tenemos que HΨr (0) _n = 0 para todo n ≥ 0, entonces H _n (0) = 0 para todo n ≥ 0.

Toda teoría de homología general H debe satisfacer que H _n (X,X) = 0 para todo n (ver [²², pág. 47]), luego en Ab se tiene que H _n (*) = H _n (*, 0) = 0 puesto que * = 0 = 0, donde * es el objeto final y 0 es el objeto inicial, lo cual quiere decir que toda teoría de homología H en Ab sería una homología reducida. En busca de una teoría de homología general no reducida en Ab nos vemos en la necesidad de cambiar el axioma de dimensión en el sentido de que * no sea el objeto final pero sin alterar lo establecido en teorías de homología en la categoría Top. Nótese lo siguiente; el funtor olvido U _T : Top → Set es representable (ver [¹⁶, Proposición 4.1.11, pág. 87]) puesto que tiene como adjunto a izquierda al funtor

donde V( X) denota partes de X, es decir la topología discreta, así pues tenemos que U _T (X) ≅ Top(D(l), X), para X un espacio topológico y donde 1 es un conjunto uni-puntual y en Top el objeto D(1) coincide con el objeto inicial, lo cual no sucede en la categoría Ab. El funtor olvido Ua : Ab → Set tiene como adjunto a izquierda el funtor abeliano libre

así pues tenemos

por tanto en Ab, tomamos * = ℤ, luego por el ítem 1 del Ejemplo 4.7 tenemos que la homología no es reducida, en el caso que R sea un cuerpo. Por otra parte, pensando en el cálculo de los grupos de homotopía, tomando * = Z, se presenta una diicultad en la construcción de las esferas por suspensión, puesto que se requiere de un morfismo único S ^n-1 → * para generar S ⁿ , partiendo de S ⁰ = * + * = ℤ ⊕ ℤ, donde + denota la suma categórica, así pues estudiamos actualmente la categoría Ab _ℤ, en donde es el objeto inal, el cual es diferente al objeto inicial el cual es el morismo 0 - ℤ.

8.2. Exactitud y escisión

Lema 8.3. Sea X un grupo abeliano y A un subgrupo de X, entonces

1. I(X/A) ≅ I(X)/I(A).

2. Si A es un ℤ -módulo inyectivo, entonces I(i : A → X) = i : I(A) → I(X), donde i es el monomorfismo inclusión.

Demostración.

1. Consideremos la aplicación h : (X ⊗R)/(A ⊗ R) → (X/A) ⊗ R, donde h(x ⊗ r +(A ⊗ R)) = (x+A) ⊗r. Veamos que h está bien definida. Supongamos x\⊗r\ + (A⊗ R) = x ₂ ⊗r ₂ + (A ⊗R), entonces tenemos los siguientes casos:

a) Si r ₁ = r ₂ , entonces x ₁ - x ₂ Є A, por tanto (x ₁ + A) ⊗ r ₁ = (x ₂ + A) ⊗r ₂ .

b) Si r ₁ = r ₂ , entonces x ₁ ,x ₂ Є A, por tanto (x ₁ + A) ⊗ r ₁ = 0 = (x ₂ + A) ⊗ r₂.

Por otro lado, consideremos la aplicación k : (X/A) x R - (X ⊗ R)/(A ⊗ R), donde k(x + A, r) = x ⊗ r + (A ⊗ R). Veamos que k está bien definida. Supongamos (x ₁ + A,r _i ) = (x ₂ + A,r ₂ ), entonces tenemos que x ₁ + A = x ₂ + A y r ₁ = r ₂ , por tanto (x ₁ - x ₂ ) ⊗ r ₁ + (A ⊗ R) = 0 + (A ⊗ R), es decir x ₁ ⊗ r ₁ + (A ⊗ R) = x ₂ ⊗ r ₂ + (A ⊗ R).La función k es una función bilineal. En efecto, k((x ₁ + A) + (x ₂ + A), r) = k((x ₁ + x ₂ ) + A,r) = (x ₁ + x ₂ ) ⊗ r + (A ⊗R) = (x _i ⊗r + x ₂ ⊗r) + (A ⊗ R) = (x ₁ ⊗ r +(A ⊗ R)) + (x2 ⊗ r + (A ⊗ R)) = k((xi + A),r) + k((x2 + A),r) y k(x + A,r ₁ + r ₂ ) = x ⊗ (r ₁ + r ₂ ) + (A ⊗ R) = (x ⊗ r₁+ x ® r₂) + (A ⊗ R) = (x ⊗r_i + (A ⊗ R)) + (x ® r₂ + (A ⊗R)) = k(x + A, r_i) + k(x + A,r ₂ ).

Así pues, existe un homomorfismo de grupos abelianos k : (X/A) ⊗ R → (X ⊗ R)/(A ⊗ R), tal que k((x + A) ⊗ r) = k(x + A, r). Ahora

y

Por lo tanto k es un isomorfismo, es decir (X/A) ⊗ R ≅ (X ⊗ R)/(A ⊗ R). Entonces tenemos lo siguiente

2. Puesto que la inclusión i : A → X es monomorfismo, entonces la sucesión 0 → A X es exacta, ahora puesto que A es inyectivo, entonces existe un homomorfismo de grupos abelianos h : X → A tal que el siguiente diagrama conmuta

Así pues i : A → X es una sección, por lo tanto i ⊕ (i ⊗ 1 _r ) es una sección, luego toda sección es monomorfismo, entonces i ⊕ (i ⊗ 1 _r ) es un monomorfismo, más aún I (i)(a, b ⊗ 1r ) = [i ⊕ (i ⊗ 1r )] (a, b ⊗ r) = (a,b ⊗ r), para (a,b ⊗ r) Є A ⊕ (A ® R), por tanto I(i) : A ⊕ (A ⊗ R) → X ⊕ (X ⊗ R) es el monomorfismo inclusión. 0

Teorema 8.4. Sea (X,A) un objeto en Ab _inj , entonces la sucesión exacta

se descompone, donde i es el monomorfismo inclusión y π la proyección canónica.

Demostración. Sea (X,A) un objeto en Ab _inj, entonces tenemos los siguientes casos:

1. Si A = 0, entonces tenemos la sucesión , la cual es exacta y se descompone.

2. Si A = X, es decir (X,A) = (A, A) = 1a, entonces tenemos la siguiente sucesión , la cual es exacta y se descompone.

3. Si A = 0 es un ℤ -módulo inyectivo, entonces la sucesión exacta se descompone (ver [¹¹, Prop. 3.13, pág. 197]).

4. Si (X,A) = I ⁿ (X',A'), para algún n ≥ 0, donde A' es un ℤ -módulo inyectivo y X un grupo abeliano que contiene a A , entonces tenemos por el ítem 3 que la sucesión exacta se descompone, entonces existe un homomorfismo z : X' → A' tal que zi = 1a' . Luego por el ítem 2 del lema 8.3, puesto que A es un Z-módulo inyectivo, tenemos que I(i : A' → X') = i : I(A') - I(X'), entonces I ⁿ (i : A' → X') = i : I ⁿ (A') - I ⁿ (X'), por tanto I ⁿ (z)i = I ⁿ (z)I ⁿ (i) = 1¡n(x). Así pues tenemos que la sucesión exacta se descompone, es decir que la sucesión exacta se descompone.

Observación 8.5. Sea una sucesión exacta en Ch(Ab). Entonces un conjunto de homomorfismos ∂ _n * : H _n (C) → H _n-1 (A) es definido en [¹, pág. 5] como sigue: Los elementos de H _n (C) tienen la forma c _n + ∂C _n + ₁ , donde ∂c _n = 0. Puesto que j _n es un epimorfismo, existe un b Є B _n tal que j _n (b _n ) = c _n . Así pues j _n-1 (∂b _n ) = ∂ (j _n b _n ) = ∂c _n = 0 y por la exactitud en la n-ésima posición existe un a_n-1 Є A _n-1 , para el cual i _n - ₁ (a _n -i) = ∂b _n . Por tanto definimos ∂ _n * (c _n + ∂C _n + ₁ ) = a _n-1 + ∂A _n . El símbolo ∂* será escrito en lugar de ∂ _n *

Teniendo en cuenta este conjunto de homomorfismos ∂ _n * : H _n (C) → H _n-1 (A), en [¹] demuestran los dos siguientes teoremas (8.6 y 8.7), los cuales son de importancia en este trabajo, puesto que definen la transformación natural a utilizar para la teoría de homología general que estamos construyendo en la categoría Ab.

Teorema 8.6. Si es una sucesión exacta en Ch(Ab), entonces la sucesión

es exacta en Ab.

Teorema 8.7. En el diagrama de complejos de cadenas

sean las sucesiones exactas y cada diagrama conmutativo, entonces el siguiente diagrama

en Ab

es conmutativo.

Observación 8.8. Sea (X,A) un objeto en Ab _inj . Entonces, por el Teorema 8.4, la sucesión exacta se descompone. Luego, por la Proposición 6.9, la sucesión es exacta y se descompone en Ab y, por el Corolario 3.8, la sucesión

es exacta para todo n ≥ 0. Así pues, al aplicar el funtor M obtenemos la sucesión exacta en Ch+ (Ab)

entonces por la Observación 8.5 se tiene un conjunto de homomorfismos ∂* :H _n (X,A) →U _n-1 (A, 0).

Veamos que efectivamente ∂* : H _n (X,A) →H _n-1 (A) es transformación natural.

Proposición 8.9. Sea (F, f) : (X,A) → (Y,B) un morfismo en Ab _inj , entonces el siguiente diagrama es conmutativo

Demostración. Puesto que (F, f) es un morfismo en Ab _inj , entonces tenemos en Ab el siguiente diagrama conmutativo

en el cual las flechas horizontales forman sucesiones exactas. Aplicando el funtor MSΨrC ^R obtenemos en Ch+(Ab) el siguiente diagrama conmutativo

donde las flechas horizontales forman sucesiones exactas (Obs. 8.8), y por el Teorema 8.7 el siguiente diagrama es conmutativo

A continuación mostramos que el funtor H : Ab _inj → Ch+(Ab) satisface el axioma de exactitud y posteriormente el axioma de escisión.

Teorema 8.10. Considere (X,A) un objeto en Ab _inj y E(X,A), definido en 7.11, entonces

es una sucesión exacta.

Demostración. Para (X, A) tenemos que E(X, A) es la sucesión (X, A), donde i es el homomorfismo inclusión de A a X y j es el homomorfismo identidad del objeto X. Así pues i* = HΨr (C ^R (i)) _n y j* = HΨr (C ^R (n)) _n , para los morfismos i y π del Teorema 8.4. Luego por la Observación 8.8 tenemos que la sucesión

es exacta en Ch+ (Ab), por tanto, aplicando el Teorema 8.6, obtenemos que la sucesión

es exacta en Ab. 0

Teorema 8.11. Si (E, e) : (X, A) → (Y, B) es una escisión categórica en Ab _in j, entonces H(E,e) es un isomorfismo.

Demostración. Por definición tenemos que - Y/B es dado por E(x + A) = E(x) + B, por otro lado por la Definición 7.10 tenemos el siguiente diagrama cocartesiano

Ahora, por la Proposición 7.9 tenemos que X/A ≅ Y/B, donde el isomorfismo h : X/A → Y/B es definido por medio del siguiente diagrama conmutativo

es decir h(x + A) = hπ(x) = π'E(x) = E(x) + B, entonces h = . Por lo tanto es un isomorfismo, entonces HΨrC ^r ( ) es un isomorfismo, es decir H(E, e) es un isomorfismo.

8.3. Invarianza homotópica del funtor H

El objeto modelo Ψ ^r genera un sistema homotópico η = (I,Є ⁰ ,Є ¹ ,μ) por medio de la Definición 3.4, utilizando como bifuntor ⊗: CxC → C el producto tensorial de Z-módulos, entonces I(X) = X ⊕ (X ⊗ R), Є ⁰ _X (x) = (x, 0), Є ¹ _X (x) = (x, -x⊕ 1 _R ) y μ _X (x, y ⊗ r) = x) y este sistema homotópico define la relación de homotopía en Ab descrita en [¹³] (Teorema 4.5). Así pues (Ab, η) define una relación de homotopía en Ab _inj por medio de la Definición 7.6, la cual cumple el siguiente teorema.

Teorema 8.12. Sean (F, f), (G,g) : (X,A) → (Y,B) morfismos en la categoría Ab _in j, tales que , entonces H(F, f) =H(G,g).

Demostración. Por hipótesis tenemos que , entonces existe un morfismo admisible (T,t) : I(X,A) → (Y,B) en Ab _in j tal que los siguientes diagramas conmutan

entonces el siguiente diagrama conmuta

Ahora, de la teoría de grupos tenemos que el homomorfismo λ : X ₁ /A ₁ ⊕ X ₂ /A ₂ - (X ₁⊕X ₂ )/(A ₁⊕A ₂ ) dado por A(x ₁ +A ₁ ,x ₂ +A ₂ ) = (x ₁ ,x ₂ ) + (A ₁⊕A ₂ ) es un isomorfismo, donde Ai es un subgrupo del grupo abeliano X _i para i = 1, 2. Por tanto

es un isomorfismo. En la prueba del ítem 1 del lema 8.3 se mostró que el homomorfismo es un isomorfismo, por lo tanto

es un isomorfismo. Ahora nótese lo siguiente

Por lo tanto el siguiente diagrama es conmutativo

donde . Entonces , luego puesto que es un Esqueleto Homoto-Homológico (Teorema 6.10) entonces , por lo tanto H _n (F, f) =H _n (G,g), para todo n ≥ 0, es decir H(F, f) =H(G,g).