1. Introducción y antecedentes

Un número considerable de modelos matemáticos en dinámica discreta, incluso provenientes de diferentes procesos de discretización de ecuaciones diferenciales, conducen a una clase especial de sistemas dinámicos, los llamados skew products (por su terminología en inglés). Estos fueron definidos por Anzai [⁴] en 1951 para producir cierta clase de contraejemplos en teoría ergódica; tales sistemas aparecen de manera natural en el estudio de automorfismos de nilvariedades, ver [¹⁰]. Esta clase de sistemas dinámicos en forma general se definen de la siguiente manera: dados dos espacios topológicos X y Y , un endomorfismo F: X × Y → X × Y es llamado skew product si existen aplicaciones f: X → X y g: X × Y → Y tales que

El estudio de las transformaciones skew product tiene una amplia literatura matemática, por ejemplo: En [¹], [²] se estudian propiedades ergódicas los skew productos, en particular, se establecen la fórmula de Abramov- Roklhin y así como cálculos de la entropía para skew productos. En [³] se analizan atractores extraños de tales mapas. Puede encontrarse diversas propiedades de bifurcación de mapas skew en [⁵]. En [⁶] se presentan conexiones de productos skew con la dinámica de mapas en el intervalo. Se presentan propiedades dinámicas a través de derivada Schwarziana en [⁷]. En [¹¹] y [¹⁴], se analizan conjuntos invariantes relevantes de dichos mapas.

Dada una función f: ℝ → ℝ, digamos continua, denominamos acoplamiento skew de f al mapa F: ℝ² → ℝ² definido, para cada x; y 2 ℝ, por

Destacamos que esta clase particular de skew product ha sido considerado como modelo relevante para la transmisión de información a través de señales caóticas, la cual va acompañada frecuentemente de la noción de sincronización de sistemas; ver por ejemplo [⁸] y [⁹]. En este trabajo estudiaremos aspectos dinámicos del acoplamiento skew para la familia logística F _μ, ϵ: ℝ² → ℝ² dado por

Donde μ > 1 y ε ϵ (0;1):

2. Puntos críticos e imagen crítica

Como el mapa anterior F _μ, ϵ es cuadrático, entonces es no invertible y en consecuencia el conjunto J ₀ de sus puntos críticos, el conjunto J ₁ = F _μ, ϵ (J ₀) de sus valores críticos (imagen crítica), así como su preimagen F _μ, ϵ¹(J ₁); tienen un papel importante en la descripción de la dinámica de F _μ, ϵ. De hecho, J ₁ divide el plano en regiones abiertas cada una con un número constante de preimágenes, mientras que F _μ, ϵ¹(J ₁) divide ℝ² en regiones abiertas que se mapean difeomórficamente sobre las regiones determinadas por J ₁; más adelante precisaremos estos divisiones, antes recordamos que J ₀ = f(x; y) ϵ ℝ²: det D _(x;y) F _μ, ϵ = 0g, donde D _(x;y) F _μ, ϵ denota la diferencial (o matriz jacobiana) de F F _μ, ϵ en el punto (x; y). Dado que

J ₀ es la unión de las rectas , ambas se

intersectan en el punto crítico siendo que . Sigue por tanto que ; de hecho

donde , para cualquier t ϵ ℝ. En consecuencia,

donde esto es, es un rayo vertical con punto inicial en es una parábola horizontal hacia la izquierda con vértice en . Las curvas que definen a J ₁ dividen el plano en tres regiones abiertas: Z ₀ ;Z ₂ y Z ₄. Estas regiones abiertas son definidas por:

cada una de estas están caracterizada por el constante número de preimágenes que tienen sus puntos; por ejemplo: en Z ₀ no hay preimagen, en efecto, por definición (x ₀ ; y ₀) Є Z ₀ siempre que x ₀ >μ4. Así, si la preimagen de Z ₀ fuera no vacía existiría (x; y) Є R ² tal que f _μ (x; y) = (x ₀ ; y ₀). Luego la ecuación cuadrática μx(1 x) = x ₀ tendría solución real, por lo que su discriminante debe cumplir μ ² - 4μx0 ≥ 0; así x ₀ tendría que ser menor que μ4 lo cual contradice que esta en Z ₀. De manera análoga se tiene que los elementos en Z ₂ tienen dos preimagenes y los de Z ₄ tienen cuatro, ver Figura 1.

Figura 1. Imagen crítica

Observe que si y sólo si z = c _μ ; además, cada punto en F _μ,Є (ι₁) tiene exactamente dos preimágenes, estas están dispuestas en ‘ ₁ simétricamente respecto de c _μ ; así que la restricción de F _{μ,Є a} ι₁ es 2 a 1. Con respecto a ι₂ la situación es diferente; en primer lugar, es simple ver que es inyectiva, sin embargo, las preimágenes de puntos en F _μ,Є (ι₂ ) requieren algo de atención. La rama superior de la parábol con tiene como preimagen 1 a 1 al rayo no obstante, cada punto en la rama inferior tiene tres preimágenes, con una de las cuales se recorre el rayo , las otras dos describen un par de curvas (del tipo ) simétricas respecto al rayo El hecho de tener tres zonas con número diferentes de preimágenes implica, entre otras cosas, que las dinámicas del acoplamiento skew de F _μ,Є y el producto (Є = 0) no son topológicamente conjugadas. Por otra parte, las curvas que definen dividen el plano en seis zonas: Z ⁱ ₂ (i = 1; 2) y Z ^j ₄ (j = 1;2;3; 4); cada zona Z ⁱ ₂ (resp. Z ^j ₄ ) es mapeada de forma difeomórfica sobre Z ₂ (resp. Z ₄); ver Figura 2.

Figura 2. Ilustración de F _μ,Є ^-1(J ₁)

3. Puntos fijos y diagrama de bifurcación

Otros elementos importantes de considerar en la descripción de la dinámica de F _; son sus puntos fijos y la variación de su naturaleza hiperbólica. Es fácil ver que los puntos fijos de F _μ,Є son: O denotará al origen del plano

Las respectivas matrices jacobianas en esos puntos son:

El siguiente cuadro refleja los autovalores y autoespacios relativos a cada punto fijo.

En base a esta información se construye, en términos de los parámetros μ y Є, un diagrama de bifurcación para cada punto fijo. Por ejemplo, para el origen y P _μ,Є tenemos en primer lugar, que estos puntos coinciden cuando μ = 1 + Є; de hecho, en la región 1 < μ < 1 + Є el origen O es silla hiperbólica y P _μ,Є repulsor; cuando 1 + Є < μ < 3 + Є, O es repulsor y P _μ,Є silla hiperbólica; mientras que si μ > 3 + Є ambos puntos son repulsores.

Dado que la fibra 0 x ℝ, es decir el eje y es invariante, la dinámica en ella es dada por la función h _μ,Є (t) = f _μ(t) Єt, la cual mediante el cambio de variables x = μ μ-ϵty de parámetro ρ= μ - Є es conjugada a . Similares análisis y comentarios se hacen para los restantes puntos fijos.

Para O siempre vale λ ₁ > λ ₂. Este punto fijo es silla hiperbólica cuando µ < 1 + Є y repulsor cuando µ > 1 + Є

● Cuando µ < 1 + Є el punto P _µ,c es repulsor, en el intervalo 1 + Є < µ < 3 + Є es silla hiperbólica y vuelve a ser repulsor cuando µ > 1 + Є. Cuando µ = 3 + Є, λ ₂ = -1 y se inicia una cascada de duplicación de período (ver [¹³] [Capítulo 3 ]), esta bifurcación se despliega sobre el conjunto {(x, y) : x = 0}, donde la dinámica es gobernada por h ₀(t) = (µ − Є)t − µt ². Sobre el autoespacio E ₂ opera la menor expansión excepto en el caso µ < 1 +∈2.

●El punto fijo Q _µ,Є es atractor si µ < 3 − Є, es silla hiperbólica cuando 3 − Є < µ < 3 y es repulsor si µ > 3. Cuando µ = 3− Є se tiene λ ₂ = −1 y comienza un cascada de duplicación de período la cual se manifiesta en la fibra invariante y es gobernada por la dinámica de . Mientras que si µ = 3, entonces λ ₁ = -1 y se da inicio a otra cascada de duplicación de período pero esta vez sobre la diagonal, cuya dinámica es regida por f _µ .

● Para R _{µ, Є} siempre se tiene λ ₂ > |λ _1| y λ₂ > 1. Si µ < 3, este punto fijo es una silla hiperbólica; y es repulsor cuando µ > 3. El autovalor λ₁ alcanza el valor de -1 cuando µ = 3, ello marca el inicio de una cascada de duplicación de período esta vez sobre una curva invariante cuya dinámica es regida por f _µ ; esto es mostrado en [¹²]. Ver Figura 4.

4. Infinito como atractor

El cuarto ingrediente en nuestro trabajo es la propiedad de atracción en el infinito. En general, un endomorfismo F: ℝ ⁿ → ℝ ⁿ admite a 1 como atractor si existe una vecindad w de 1 (complemento de un compacto) tal que F(W ) ⊂ W y para cada z Є W su órbita positiva es no acotada: ||F ⁿ (z)k|| →+∞ cuando n →+∞. La cuenca de atracción de 1 es el conjunto B _∞ de todos los puntos cuyas órbita es no acotada; es muy simple mostrar que B _∞ es un conjunto abierto, de hecho . Se llama cuenca inmediata de 1 a la mayor componente conexa en B _∞, se denota por B ⁰ _∞.

Note que si W es como arriba, entonces un punto z tiene órbita acotada si z Є ℝ ⁿ / W . Destacamos que el compacto ℝ ⁿ / W no tiene porque ser F-invariante, de hecho puede contener componentes de la cuenca de atracción de 1. Tal es el caso de la familia logística f _μ; es bien conocido que W = (-∞,0) ∪ (1,+ ∞) es f _μ -invariante y todo punto en W tiene órbita no acotada para cualquier > 1. Sin embargo, para todo μ > 4, el compacto [0;1] tiene infinitas componentes de la cuenca de atracción de + ∞; es más, los puntos en [0;1] con órbita acotada definen un conjunto de Cantor con medida de Lebesgue nula. Note que (-∞,0) [ (1,+ ∞) es la cuenca inmediata de 1 para f _μ.

Suponga que F: ℝ ⁿ → ℝ ⁿ tiene a ∞ como atractor y que W es como arriba, entonces Λ= ℝ ⁿ ∖B _∞ es el conjunto de puntos cuya órbita (positiva) es acotada; se adopta la nomenclatura de la dinámica compleja y llamamos a conjunto de Julia de F. Si para cada subconjunto A de ℝ ⁿ hacemos A ^c = ℝ ⁿ ∖A (complemento de A), entonces

No es difícil mostrar que Λ es completamente invariante; es decir, F ¹(Λ) = Λ. Por tanto en Λ hay dinámica, posiblemente no trivial. Así que en general se desea conocer tan-to la dinámica de F restricta a Λ como la geometría de este conjunto. Otro asunto de gran interés es conocer la frontera de Λ; esta separaría (en cierto sentido) la cuenca de atracción en 1 con las cuencas de atracción de otros atractores, que obviamente están en Λ; todo esto es de manera general, y muchas veces (dependiendo de cómo es F) sus respuestas o bien son triviales, o en ocasiones difíciles de formular.

En nuestro análisis de la dinámica de F _μ,Є como en (1.3), la meta es explicar cómo encontrar un conjunto compacto K⊂ℝ², tal que W = ℝ² K se comporte como lo discutido en el párrafo anterior. Una aproximación para la búsqueda de este compacto es la siguiente. Sabemos que F _μ,Є mapea la fibra {x}X ℝ en la fibra {f _μ (x)} X ℝ, la fibra 0 X ℝ es fija, la fibra {1}X ℝ es mapeada en 0 X ℝ y toda fibra {f _μ (x)} X ℝ está a la izquierda de 0 X ℝ cualquiera sea x∉ [0;1]. Por otra parte, también es cierto que la imagen por F _μ,Є de la horizontal {y = β} es la parábola

Con base a esto afirmamos que existen β₁ ≤ 0 y β₂ ≥ 1 tales que K = [0;1] [β₁ ; β₂] es un compacto invariante con órbitas acotadas. Más aún, los valores de β₁ y β₂ pueden ser determinados de manera que: h _μ,Є (β₁) = h _μ,Є (β ₂) y (0, β₁) Є P (μ, Є, β₁); observe que (0;1) ∉ K^c luego P (μ, Є, β₁)∖(0, β₁) ⊂K ^c . Una ilustración gráfica de lo afirmado es dado en la Figura 5.

5. Sobre las componentes del mapa Skew

En esta sección analizamos la dinámica de las componentes del mapa skew, explorando la existencia de un compacto invariante. Para simplificar las cuentas para cada x Є ℝ hacemos

obviamente F _μ,Є (x,y) = (f _μ (x); h _x (y)), para todo x; y Є ℝ. Resaltamos que para todo n ≥ 1 y x; y 2 ℝ se tiene

donde .

Ahora profundizaremos en el entendimiento de h _x , primero notemos que h _x’ x(y) = μ-Є-2μy, por lo que el único punto crítico de y el valor máximo de h _x es También es claro que un punto es fijo para h _x si y sólo si es raíz de (μ - Є -1)y - μy ² + Єx = 0. Por tanto h _x tiene puntos fijos si y sólo si en tal caso, estos puntos fijos son dados por

obviamente α(x) es la menor raíz de (μ - Є - 1) γ - μγ² + Єx = 0. También es claro que si x es un punto fijo de f _μ, entonces (x;α(x)) es el punto fijo de F _{μ,Є en la fibra {x} x} ℝ con menor ordenada; más precisamente

Denotemos por b(x) la otra preimagen de α(x) según h _x ; es decir

en otras palabras

claramente α(x) + b(x) = 2d, α (x) ≤ 0 y b(x) > 0. Por otra parte, es simple verificar que

Así, el gráfico de h _x tiene sus puntos fijos como lo indica la Figura 6, es decir: (α(x); a(x)) en el t/ercer cuadrante, (a^(x); a^(x)) en el primer cuadrante y (α(x); b(x) en el cuarto cuadrante.

Note que α(x) siempre es repulsor y a^(x) puede transitar por una bifurcación “flip” en efecto tal bifurcación se caracteriza por la perdida de hiperbolicidad de el punto fijo como consecuencia también se pierde estabilidad y periodicidad del sistema, anticipando la llegada de una una cascada de duplicación de período, ver [¹³] [Capítulo 3] para más detalles.

Para cada x Є [0;1], el mapa h _x se escribe como f ρ _(x) , en forma más precisa se tiene

Lema 5.1. Dado x Є [0;1] fijo, el mapa h _x es topológicamente conjugado a un elemento f ρ _(x) de la familia logística.

Demostración. Para x Є [0; 1] fijo, escribimos , consideremos la transformación afín, con α y β por determinar, su inversa es , hagamos , entonces se cumplen las igualdades

Tomando entonces g se escribe como g(y) = y ²+k, donde , el término sobrante.

Ahora tomamos una segunda transformación afín , tenemos que , obtenemos las igualdades

Haciendo δ² δ + k = 0, en particular tomando la raíz positiva y γ : = , entonces resulta Eligiendo ρ _(x) = , entonces por transitividad de la conjugación, también h _x es conjugada a fρ _(x) , lo cual concluye la prueba.

Esquemáticamente ilustramos el lema anterior donde la parábola de h _x se ve como lo ilustra la Figura 7.

Así, la conjugación lleva la parábola h _x en la logística cuya gráfica es dada en la Figura 8.

Note que los intervalos I _x = [a(x); b(x)] son estrictamente crecientes: siempre que x ₂ > x ₁; esto es, a(x ₂) < a(x ₁) y b(x ₂) > b(x ₁) para todo x ₂ > x ₁; también es claro que

Adicionalmente, como {x} x ℝ es mapeado por , para todo t∉ [0;1], las órbitas acotadas de F _μ,Є viven en la banda [0;1] x ℝ; es esta la razón por la que se considera solamente x Є [0;1] al analizar los puntos con órbitas acotadas. Note adicionalmente que si x es cualquier punto en [0;1], entonces en el intervalo I _x hay puntos cuya h _x -órbita (positiva) se sale de I _x si y sólo si μ > 4α (x); esto sigue de la conocida propiedad que en [0;1] hay puntos cuya f _ρ -órbita abandona este intervalo si y sólo si ρ > 4. Dicho de otra manera: el valor máximo M _x de la función h _x excede a b(x) si y sólo si (b(x) a(x)) μ> 4. Como

se tiene que

en particular, M _x > b(x) para cada x Є [0;1] si y sólo si μ > 4 + Є.

6. Detección de un buen compacto invariante

Este apartado de nuestro estudio tiene como meta detectar un compacto invariante Q tal que la dinámica del acoplamiento skew F _μ,Є fuera de Q sea trivial, es decir todo punto fuera de Q tenga ω-límite vacío este es el resultado principal de nuestra investigación, el cual enunciamos a continuación

Teorema 6.1. El sistema (1.3) admite un conjunto compacto invariante Q tal que su complemento es positivamente invariante y todo punto en Q ^c tiene conjunto ω -límite vacío.

Demostración. Recordemos que dado un número real β, la imagen de la recta horizontal y = β es la parábola P (μ,Є,β) de ecuación:

Al hacer uso de la función h _x (h _x (y) = fμ(y) -Єy + Єx), la expresión de arriba es:

Note que cuando esta parábola es la de valores críticos

cuyas ramas inferior y superior son dadas, respectivamente, por

En general, las ramas superior e inferior de la parábola P (μ,Є,β) son dadas por

en particular los valores de y en la expresión anterior cuando x = 0 son

Deseamos un valor de β de forma que h ₁(β) = β, así β es a(1) ó a^ (1); tomamos el menor de ellos, α(1), y definimos el compacto Q dado por el rectángulo [0; 1]x[α(1);b(1)]. De lo discutido se desprende lo siguiente:

1.Q ∩ P(c, µ, α(1)) = Q ∩ P(c, µ, b(1)) = {(0, α(1))}.

2. Dado β∉ [α (1), b(1)], si (0, y _β ) es el punto de intersección entre la rama superior de P(Є, µ, β) y Q. Si β < α(1), entonces y _fi < fi; por lo que la ordenada de E _µ,c (x, fi), para cualquier x, es menor que β.

Sean de lo anterior se deduce que de hecho, también permite concluir que los puntos en Q ^- tienen órbita no acotada. En realidad esto es una situación particular de la propiedad general que se enuncia en el siguiente resultado que puede encontrarse en [¹²], Lema 2.1.

Lema 6.2. Sean E: ℝ ⁿ →ℝ ⁿ continua, W⊂ℝ ⁿ tal que E(W ) W. Si existe una función continua L: W A tal que la diferencia órbital ∆L = L °F - L sea definida (positiva o negativa), entonces los puntos en W tienen órbita no acotada.

Note que Λ es el conjunto de puntos cuyas órbitas son acotadas; observe también que Λ es completamente invariante; esto es, F _μ,Є ⁻¹ (Λ) = Λ.

La vecindad Q arriba considerada no es la única con la propiedad descrita. Otra forma de obtener una tal vecindad es la siguiente. Primero considere cualquier es simple verificar que la preimagen, según F _μ,Є, de la recta definida por y = x + t es la circunferencia C _t (ver Figura 9) cuya ecuación es

Figura 9. Circunferencia C _t

Claramente todas estas circunferencias tienen el mismo centro en el punto c = (c ₁ ; c ₂), donde .

Definamos para cada x; y Є ℝ; note que la curva de nivel t; i.e. g ^-1(t), es justamente ; además, el único punto crítico de g es el centro de las circunferencias C _t , adicionalmente:

así que es una partición de observe que mientras mayor sea el valor del nivel, menor es el radio de la respectiva circunferencia. Por otra parte, el lugar geométrico donde ocurren las tangencias de las circunferencias C _t con rectas y = -x + δ es dado por la recta de ecuación y = x - ϵμ; tales puntos le llamaremos puntos de tangencia antidiagonal, los cuales se ilustran en rojo en la Figura 9. En consecuencia los puntos de tangencias antidiagonal de C _t son aquellos que resuelven

podemos ver que estos puntos son: ; donde

Con estas observaciones note que la recta antidiagonal tangente a C _t en p es la dada por y = x + δ(t) donde

Observe que los puntos fijos de t → δ(t) son aquellos valores t tales que la recta que genera a C _t (y = x + t) coincide con la recta antidiagonal tangente (y = x + δ (t)) a C _t en el punto p. Es simple mostrar que t → δ (t) tiene a lo más dos puntos fijos y siempre uno de ellos es negativo. Si β es el menor de tales puntos fijos, entonces

Con esta selección del punto fijo β siguen inmediatamente:

Para el β seleccionado denotamos por W el semiespacio definido por todos los (x; y) tales que y < x + β. Es simple mostrar que F _μ,Є (W ) ⊂W y al considerar la función L dada por L(x; y) = x + y se tiene ΔL < 0 en W . De esta forma, al usar el Lema 6.2 se deduce que ext C _β⊂  B _∞, y por tanto la validez de (6.6) con Γ = C _β. La Figura 10 ilustra lo anterior.

Esto nos da otra construcción de un tal Q y concluye la prueba.

En lo que sigue analizamos algunas propiedades de los conjuntos invariantes construidos.

7. Posiciones relativas

Fijemos Q = [0;1] [a(1); b(1)] como la primera aproximación compacta para describir el conjunto de puntos con órbitas acotadas (complemento de la cuenca B _∞ del atractor en el infinito). En adelante este conjunto es denotado por Λ_μ,Є pues depende de los parámetros Є y μ ya sabemos . Dado que queremos analizar preimágenes de Q, es importante conocer las posiciones relativas de Q y el conjunto de valores críticos J ₁: unión del rayo y la parábola crítica . Para esto debe tenerse en cuenta:

1. La ordenada b(1) de los vértices superiores de Q.

2. Las ordenadas de los puntos de intersección de con el eje x = 0, estos son: los mismos corresponden con los valores máximos de las funciones h ₀ y h ₁ respectivamente.

3. El vértice de la parábola .

Para facilitar, posiblemente, las notaciones y cuentas hagamos

Una cuenta directa muestra, con que:

Una primera observación obvia: cada uno de los segundos factores en las expresiones anteriores son positivas para todo valor μ > 1 y ε Є (0 1); basta observar que δ> 0 y que ; de donde

Es fácil ver que (7.2) se cumple para todo µ ≥ 4 + c y c ∈ (0, 1). Tampoco es difícil verificar que D < 0 para cada c ∈ (0, 1) y todo 1 < µ ≤ 3; así mismo, D < 0 si µ = 4 − c, cualquiera sea 0 < c < 1. Sin embargo, para cada µ ≤ 4 cercano a 4, siempre hay al gún c ∈ (0, 1) de forma que D > 0. Para mostrar esto fijemos cualquier µ > 1, dado que y sigue inmediatamente que si sólo si . Observe que esta desigualdad es válida para µ = 4, luego por continuidad existe δ > 0 tal que para todo 0 < P < δ la desigualdad continua siendo válida para µ = 4 − P. De esta forma, para todo P ∈ (0, δ) y cada ε ∈ (0, 1) se cumple de acá que para cada ρ Є (0,δ) podemos elegir ε ∈ (0; 1) de manera que (7.2) valga para este ∈ y μ = 4-ρ

En cuanto a D ₁, no es difícil ver que D ₁ < 0 para todo μ≤ 4 + ε y cada ε ∈ (0,1). De hecho, dado que se tiene cualesquiera sean μ > 1 y ε ∈ (0,1); y como la afirmación sigue. También se muestra que D ₁ > 0 para todo c (0, 1) y µ 5+c. Además, cuando µ = 5 se tiene que D ₁ varía de signo con c; de hecho D ₁ > 0 si c es próximo de 0, y es negativo si c es cercano a 1.

Con relación a D ₂ dado que

se puede demostrar sin dificultad:

a) Para todo µ ≥ 4 y c ∈ (0, 1), D ₂ > 0.

b) Para cada se tiene D ₂ < 0.

c) Cuando µ varía en el intervalo cambia de signo.

Las siguientes gráficas en Figura 11 evidencian numéricamente lo anterior.

8. Comentarios sobre preimágenes

Consideremos cualquier punto (u, v) Єℝ² que admita preimágen; es decir, que exista al menos un punto (x, y) tal que E _µ,c (x, y) = (u, v); esto equivale a f _µ (x) = u y k _x (y) = v; recuerde que h _x : ℝ → ℝ es definida, para cada x ∈ ℝ, fijo por h _x (t) = (µ − Є)t − µt ² + Єx, cualquiera sea t ∈ ℝ; recuerde además que

Es claro que f _μ(x) = u admite solución en x si y sólo si u ≤μ4; en tal caso

definen las soluciones de f _μ(x) = u. Por otra parte, para cada uno de los valores u-dependientes de arriba, x_(u) y x ₊(u), la ecuación h _x (y) = v admite soluciones si y sólo si v ≤ max h _x ; es decir

en cualquiera de estos casos, las soluciones en y de h _x (y) = v son descritas por

Las desigualdades en (8.2) determinan lugares geométricos distinguidos e importantes para el análisis y descripción de la dinámica de F _μ,Є. La primera de estas desigualdades corresponde a la clausura de la región abierta Z ₄ cuya frontera es la rama inferior de la parábola y el rayo ; la segunda desigualdad define justamente el epigrafo de denotamos por Z ₂ el interior de este epigrafo, ver Figura 12.

Analicemos el comportamiento de los puntos en cada una de las zonas arriba descritas.

● Caso A. . Obviamente e inmediato verificar que u ≥ . Note que en estas condiciones y claramente , de manera que (8.3) tiene sentido tanto para x = x _{_}(u) como para x = x+(u); por lo cual F ^-1 _μ,Є (u,v) contiene a los más cuatro puntos:

Siendo que

Aprovechamos las expresiones en (8.1), (8.4) y (8.5) para hacer algunas precisiones sobre el caso que estamos tratando: A1.A1.

1. Si , entonces los pares ordenados en (8.4) son coincidentes con el punto crítico ; es decir

Por otra parte, si , entonces además de , se tiene

en consecuencia todo punto en el rayo tiene exactamente dos preimágenes, estas se ubican simétricamente respecto del punto crítico . Observe que en cuanto v recorre , las preimágenes de (u;v) recorren toda la línea crítica

2. Si (u;v) está en la rama inferior de , excepto el valor crítico entonces se muestra:

Por tanto F _μ,Є ^-1 (u; v) contiene exactamente tres puntos:

Haciendo uso de las fórmulas en (8.5) y el hecho que (u; v) está en la rama inferior de se deduce por un lado que

y además, al recorrer (u;v) la rama inferior de y el par de puntos recorren, respectiva y unívocamente, el rayo:

y la parábola de ecuación

Ver Figura 13 para una ilustración geométrica.

3. Supongamos ahora que (u,v) está en la región abierta Z ₄ cuya frontera es la rama inferior de y el rayo . Esto significa que

Atendiendo a estas condiciones y a las fórmulas en (8.1) y (8.5) se tiene

de donde se desprenden las siguientes conclusiones:

A3.1 Los puntos se disponen simétricamente con respecto al rayo crítico .

A3.2 Los puntos se ubican al lado derecho de ι₁ y son simétricos con respecto de ι₂ pero fuera del epigrafo de la parábola ι₂, (8.7).

La ubicación de estos cuatro puntos se distribuye conforme indica la Figura 14.

● Caso B. Esto indica que (u;v) está en el epigrafo de . Dado que hemos analizado el caso en que (u,v) esté en la rama inferior de , supondremos que (u,v) está por encima de esa rama, es decir: ; luego no es difícil ver que:

por lo que de (8.3) sigue que a lo más hay dos puntos (x,y) en F _μ,Є ^-1 (u,v):