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Ingeniería e Investigación

versión impresa ISSN 0120-5609

Ing. Investig. v.27 n.1 Bogotá ene./abr. 2007

 

Técnicas de diseño óptimo multidisciplinario

Multidisciplinary design optimisation techniques

Andrés Tovar,1 Nelson Arzola de la Peña2 y Alexander Gómez3


1 Ingeniero mecánico. M.Sc., en Automatización industrial, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. M.Sc., en Ingeniería Mecánica, University of Notre Dame, Indiana, USA. Ph.D., en Ingeniería mecánica y aeroespacial, University of Notre Dame, Indiana, USA., Director, grupo de investigación en Diseño Óptimo Multidisciplinario – OptimUN. profesor asociado, Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, correo electrónico: atovarp@unal.edu.co.
2 Ingeniero mecánico, Universidad de Cienfuegos, Cuba. doctor, Ciencias Técnicas, Universidad Central de las Villas, Cuba. Codirector, grupo de investigación en Diseño Óptimo Multidisciplinario – OptimUN, profesor asociado, Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, correo electrónico: narzola@unal.edu.co.
3 Ingeniero mecánico. Ph.D., en Ingeniería Mecánica, Universidad de Kassel, Alemania. Codirector, grupo de investigación Biomasa y Optimización de Procesos Térmicos – BIOT, profesor asociado, Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, correo electrónico: agomezm@unal.edu.co.


RESUMEN

El proceso de optimización de un proyecto multidisciplinario en ingeniería involucra la descomposición de un sistema en distintas disciplinas y la posterior asociación de sus contribuciones. El objetivo de este trabajo es presentar los esquemas de desagregación y asociación más utilizados actualmente en procesos de diseño óptimo multidisciplinario – Multidisciplinary Design Optimization (MDO). Entre los esquemas de desagregación se presentan la descomposición jerárquica y no jerárquica, así como los métodos computacionales más comunes. Los esquemas de asociación incluyen: formulación de un solo nivel (e.g., optimización integrada y análisis y diseño simultáneos), formulación de múltiples niveles (e.g., optimización en espacios concurrentes y optimización colaborativa) y diseño robusto. El trabajo presenta también un ejemplo de aplicación resuelto numéricamente.

Palabras clave: diseño óptimo multidisciplinario, descomposición de un sistema, optimización colaborativa.


ABSTRACT

Design optimisation of a multidisciplinary project in engineering involves the decomposition of a system into disciplines and the subsequent association of their contributions. This work was aimed at presenting the most common decomposition and association techniques currently used in multidisciplinary design optimisation (MDO). Amongst the decomposition techniques this work includes hierarchical and non-hierarchical approaches as well as the most popular numerical procedures. The association techniques include: one-level methods (e.g. all-at-once optimisation and simultaneous analysis and design), multilevel methods (e.g. concurrent subspace optimisation and collaborative optimisation) and robust design. This work also incorporates an illustrative numerical example.

Keywords: multidisciplinary design optimisation, system decomposition, collaborative optimisation.


Recibido: septiembre 28 de 2006
Aceptado: marzo 1 de 2007

Introducción

El diseño en ingeniería involucra la participación de grupos de trabajo en distintas disciplinas. Normalmente cada grupo es responsable del diseño de un subsistema del proyecto completo. Aunque durante el proceso de diseño los objetivos de cada subsistema deben satisfacer los objetivos y restricciones del sistema, es muy factible que estos entren en conflicto con los objetivos de otros subsistemas. Para acomodar todas las funciones objetivo en proyectos multidisciplinarios se ha instituido un nuevo campo de estudios denominado diseño óptimo multidisciplinario – multidisciplinary design optimization (MDO). MDO es un concepto que ha existido en la mente de los diseñadores por muchas décadas (Kron, 1953); sin embargo, solo se formalizó como un área de estudio en los años ochenta (AIAA, 1991; Lewis, 1996).

El diseño óptimo multidisciplinario es una estrategia de ingeniería aplicable al diseño de sistemas complejos de gran escala, cuya solución se ve afectada por los diseños óptimos de los subsistemas que los componen. Proyectos de ingeniería tales como el diseño de automóviles, barcos o aviones, son por naturaleza de carácter multidisciplinario, ya que involucran la participación de grupos de trabajo de distintas especialidades que interactúan a través de canales de comunicación interdisciplinarios. Una característica importante que complica el proceso de diseño y optimización en este tipo de proyectos, es el hecho de que cada disciplina o grupo de trabajo busca optimizar sus propios objetivos de diseño satisfaciendo restricciones individuales. Como resultado, se obtiene un problema de optimización multiobjetivo que involucra funciones potencialmente conflictivas entre sí. Por ejemplo, en el diseño de un automóvil se requiere una estructura rígida para soportar los pesos de los componentes mecánicos; sin embargo, es necesario que la estructura sea al mismo tiempo deformable, para mejorar las condiciones de seguridad durante un impacto, y además liviana, para mejorar la relación peso/potencia y el rendimiento.

La solución de un problema de MDO se inicia a través de la descomposición del sistema en sus subsistemas componentes. Estos subsistemas están conectados entre sí a través de canales que comunican su función, diseño y desempeño. Los métodos MDO normalmente utilizan técnicas en las cuales es necesario analizar cada subsistema individualmente. Luego, los resultados de los análisis son recolectados y procesados usando técnicas de enlace que garantizan la compatibilidad entre subsistemas. En la actualidad existe una gran variedad de métodos MDO. Una revisión sobre algunos de los más tradicionales puede consultarse en AIAA (1991), Balling y Sobieszczanski-Sobieski (1996), Sobieszczanski-Sobieski y Haftka (1997) y Lewis y Mistree (1998). El propósito de este trabajo es presentar las técnicas actuales más comunes para la solución de problemas MDO.

Esquemas de descomposición

En la actualidad es virtualmente imposible encontrar un profesional que domine todo el conocimiento necesario para el desarrollo de un proyecto complejo, multidisciplinario y de gran escala en ingeniería, pues de hecho, requiere de especialistas en distintas áreas. De acuerdo con la forma en la que se interrelacionan las áreas de especialización o subsistemas, un proyecto se puede descomponer de múltiples formas, siendo las más comunes los métodos de descomposición jerárquica (Figura 1) y los de descomposición no jerárquica (Figura 2). Una revisión de varios métodos de descomposición puede encontrarse en Barthelemy (1988). Renaud (1992) hace una descripción completa sobre estos dos tipos de descomposición.

Descomposición jerárquica

El esquema de descomposición jerárquica, como el mostrado en la Figura 1, fue introducido por Sobieszcznanski-Sobieski (1982) e implementado por Barthelemy y Sobieszczanski-Sobieski (1983) como un método para determinar derivadas en análisis de sensibilidad. Con este tipo de descomposición, la información para el análisis fluye de arriba hacia abajo, transmitiéndose de “padre” a “hijo”. Por ejemplo, un análisis de esfuerzo sobre toda la estructura de un automóvil puede ser un “padre” que le transmite fuerzas en las fronteras a los ejes que representan un “hijo”, y a los alerones, que representarían otro “hijo”.

Con el esquema jerárquico, el análisis en cada subsistema puede hacerse secuencialmente. De esta forma, se llega a una descripción estable del sistema (e.g., variables de estado y variables de sistema) y de sus funciones objetivo (e.g., desempeño y costo). El modelamiento y simulación de un sistema jerárquico es relativamente simple, ya que toda la información requerida por un subsistema está disponible una vez se ha ejecutado el análisis en las disciplinas anteriores. No se requiere que la información sea devuelta o que haya la de doble flujo entre los subsistemas. De esta misma forma, el proceso de optimización se transmitiría desde abajo hacia arriba. Algunos ejemplos de este tipo de descomposición se pueden encontrar en (Sobieszczanski-Sobieski et al., 1985) y (Wrenn y Dovi, 1988).

Descomposición no jerárquica

El concepto matemático del esquema no jerárquico fue introducido por Sobieszczanski-Sobieski (1990a, 1990b). Sin embargo, la descomposición no jerárquica ha sido aplicada con anterioridad al diseño de aeronaves (Sobieszczanski-Sobieski, 1988b; Abi et al., 1988), diseño estructural (Adelman y Haftka, 1986) y diseño aerodinámico (Yates, 1987). Un sistema no jerárquico, como el mostrado en la Figura 2, es aquel en el cual no hay una secuencia predeterminada para el análisis en cada subsistema, permitiendo la transmisión de información en forma multidireccional. El sistema no jerárquico no puede organizarse en una forma piramidal “padre – hijo”. La interacción compleja entre las distintas disciplinas o subsistemas obliga a usar una gran cantidad de ciclos para obtener información de diseño confiable. Por su complejidad, el proceso de optimización puede ser ejecutado como una operación integral de todo el sistema.

Métodos computacionales

La descomposición de un sistema es la base del diseño óptimo multidisciplinario. Cuando no hay suficiente información disponible sobre un sistema, su descomposición se puede ver beneficiada por una gran variedad de métodos computacionales (AIAA, 1991). El objetivo de estos métodos es convertir un conjunto de subespacios, aleatoriamente ordenados, en un conjunto ordenado jerárquicamente no jerárquicamente o de una forma híbrida combinando estos dos esquemas. Un algoritmo computacional normalmente iniciaría con una distribución aleatoria de los subsistemas y de sus conexiones. La Figura 3 ilustra una distribución diagonal de subsistemas interconectados matricialmente. Las conexiones sobre la diagonal representan la alimentación de datos mediante una transmisión downstream. Las conexiones bajo la diagonal indican retroalimentación de datos mediante transmisión upstream.

Mediante permutaciones sucesivas entre filas y columnas y reorganización de subsistemas, la distribución y conexión inicial se transforma en una secuencia ordenada, como la que se presenta en la Figura 4. El objetivo de esta transformación es eliminar tantas líneas de retroalimentación como sea posible. En este caso, las líneas de retroalimentación fueron reducidas y encajonadas en clusters de subsistemas. En dicha configuración híbrida hay un esquema jerárquico de clusters cuyos subsistemas tienen una organización no jerárquica.

Esquemas de asociación

La formulación matemática básica utilizada en la solución de un problema MDO es consistente con la estructura de un problema de optimización no lineal, es decir,

donde los valores de las variables de diseño, x, minimizan la función objetivo, f(x), satisfaciendo las restricciones de desigualdad, g(x), y de igualdad, h(x). La solución de este problema de optimización requiere, algunas veces, de un análisis de alta fidelidad (e.g., por elementos finitos). Tales rutinas reciben el nombre de análisis de contribución – contributing analysis (CA), las cuales se ejecutan a nivel de subsistema. Las técnicas más utilizadas en la formulación de problemas MDO pueden ser de dos tipos: de un solo nivel y de múltiples niveles.

Formulación de un solo nivel

La formulación de un solo nivel es la más simple. Esta se caracteriza porque los análisis, o llamados funciones, se encuentran en un único nivel (i.e., nivel de sistema). Su expresión más común y tradicional es la optimización integrada – All-At-Once Optimization (AAO), que se muestra en la Figura 5. Bajo este esquema se pretende encontrar los valores de las variables de diseño x que minimizan la función f(x) y satisfacen las restricciones g(x) y h(x). Las relaciones entre los subsistemas componentes se encuentran implícitas dentro del análisis integrado. Para ciertos valores de variables de diseño el análisis integrado le transmite a la rutina de optimización los valores de la función objetivo y las restricciones. En sistemas complejos y de gran escala el análisis integrado de todos los subsistemas puede resultar demasiado complejo tanto conceptual como computacionalmente.

Una formulación alternativa es el análisis y diseño simultáneos – Simultaneous Analysis and Design (SAND), propuesta por Balling y Sobieszczanski-Sobieski (1994), la cual se ilustra en la Figura 6. La principal diferencia con la formulación AAO es que, utilizando SAND, el análisis en cada subsistema se ejecuta independientemente. Eso facilita la incorporación de esta metodología a sistemas complejos y de gran escala. Como el análisis en los subsistemas se realiza independientemente, el optimizador debe incorporar una serie de restricciones de compatibilidad, (xc), en términos de las variables de acoplamiento, xc, las cuales son comunes a varios subsistemas. Los valores de estas variables son calculados por la rutina de optimización y transmitidos a los subsistemas, en los cuales se ejecutan los respectivos análisis de contribución (CA) y sus resultados son devueltos al optimizador. Mediante las restricciones de compatibilidad, el optimizador verifica que los valores iniciales de las variables de acoplamiento no hayan cambiado y de esta forma asegura la compatibilidad entre los subsistemas (Herskovits, 2005).

En la formulación de un solo nivel la rutina de optimización se ejecuta únicamente al de sistema. Esta es la base de los métodos de ingeniería concurrente – Concurrent Engineering (CE) (Hall, 1991; Ziemke & Spann, 1991; Prasad, 1996). Aunque los esquemas CE son considerados ideales en muchas situaciones (Marston y Mistree, 1998), en problemas demasiado complejos es conveniente ejecutar rutinas de optimización internamente en los subsistemas. Por ejemplo, en el diseño de un auto de carreras resulta ventajoso realizar el análisis y optimización independientemente de cada uno de los alerones, delantero, trasero y laterales, para que el aire cumpla su función de direccionamiento, adherencia y refrigeración en el lugar que le corresponde (McAllister et al., 2002). Del mismo modo, en algunos casos la organización de la estructura del proyecto hace difícil la interacción de disciplinas en un solo nivel debido a barreras de comunicación o geográficas (Womack et al., 1990; Lewis y Mistree, 1997). El análisis y optimización a nivel de subsistema es la base de la formulación de múltiples niveles en problemas MDO, e.g., optimización de subespacios concurrentes y optimización colaborativa.

Formulación de múltiples niveles

Un primer esquema de formulación de múltiples niveles es la denominada optimización de subespacios concurrentes – Concurrent Subspace Optimizacion (CSSO), propuesta por Sobieszczanski-Sobieski (1988a), que se muestra en la Figura 7. En CSSO se propone un coordinador a nivel de sistema, el cual únicamente evalúa las restricciones de compatibilidad y obtiene los valores de las variables de diseño que satisfacen esta condición. Así el coordinador asegura la factibilidad de los resultados de los optimizadores de los susbsistemas o subespacios. Por tal razón este esquema solamente es apropiado en problemas en los cuales no se requiere ni variables de diseño ni función objetivo a nivel de sistema.

La implementación del CSSO se basa en el uso de ecuaciones de sensibilidad global – Global Sensitivity Equations (GSE), las cuales se derivan del teorema de la función implícita (Sobieszczanski-Sobieski, 1988a). Para sistemas acoplados, no jerárquicos, las GSE permiten el cálculo exacto de las primeras derivadas de los estados de los subsistemas con respecto a las variables de diseño, dfi/dx. De esta forma el análisis de sensibilidad requiere de la concatenación de un vector de diseño. Renaud (1992) plantea un esquema CSSO modificado que elimina la necesidad de concatenación mediante una aproximación de segundo orden.

Se ha demostrado que el CSSO reduce significativamente el número de análisis de contribución (Balling y Sobieszczanski-Sobieski, 1996), pero puede presentar problemas de convergencia (Balling y Wilkinson, 1997). Sin un optimizador a nivel de sistema es difícil realizar un verdadero control sobre los estados de los subsistemas (McAllister et al., 2005). Dicha carencia motivó el desarrollo de una de las técnicas actuales más populares en MDO la optimización colaborativa.

La optimización colaborativa – Collaborative Optimization (CO) fue propuesta por Kroo et al. (1994) y Braun et al. (1996) y posteriormente desarrollada por Braun y Kroo (1997). Tal como se muestra en la Figura 8, en el esquema CO cada subespacio tiene un optimizador cuya función es minimizar la violación de las restricciones de compatibilidad satisfaciendo las restricciones propias del subsistema. Así mismo, a diferencia del CSSO, el esquema CO implementa un optimizador que actúa sobre una función objetivo a nivel de sistema, Lo que representa una ventaja significativa del CO sobre el CSSO. Sin embargo, la implementación del CO es computacionalmente costosa debido al número de iteraciones requeridas para satisfacer las condiciones de compatibilidad a nivel de sistema, las cuales aseguran la igualdad de las variables comunes en los subsistemas.

Aplicaciones de esquemas CO incluyen: diseño de vehículos espaciales (Braun et al., 1997), diseño de alas de aviones (Sobieski y Kroo, 1996), vehículos subacuáticos (McAllister et al., 2000) y diseño de carros de fórmula uno (McAllister et al., 2005). Algunas modificaciones sobre la formulación original del CO incluyen, entre otras, las siguientes: problemas multiobjetivo usando sumas ponderadas (Tappeta y Renaud, 1997), programación por objetivos (McAllister et al., 2000), diseño basado en confiabilidad (Gu y Renaud, 2001; McAllister y Simpson, 2003), diseño basado en decisiones (Gu et al., 2002) y diseño multiobjetivo con programación física (Tappeta et al., 2000; McAllister et al., 2005).

Diseño robusto

El proceso de optimización en proyectos multidisciplinarios se fundamenta en decisiones tomadas por cada grupo de trabajo. Estos grupos, responsables del diseño de los subsistemas de todo el proyecto, están normalmente acoplados, es decir, manejan variables de diseño controladas por otros grupos (Chen y Lewis, 1999; Kalsi et al., 2001). En teoría, los procesos de diseño colaborativos basados en la interacción de los distintos grupos de trabajo, deben arrojar resultados inmejorables; sin embargo, en la práctica la colaboración completa es casi imposible (Danesh, 2001). Los esquemas secuenciales representan con más fidelidad los procesos diseño más comunes en la industria actual (Kalsi et al., 2001). De esta forma se han propuesto técnicas y modelos matemáticos del proceso de diseño que le permiten a cada disciplina resolver su problema de optimización independientemente del resto del sistema (Bloebaum et al., 1992; Balling, R. J. y Sobieszczanski-Sobieski, J., 1996; Gu et al., 2000). Este diseño con información incompleta, incierta o variable, da origen al diseño robusto.

El diseño robusto se basa en la minimización del efecto de la variación en los parámetros de diseño sin eliminar la fuente de incertidumbre (Phadke, 1989). La aplicación de técnicas de diseño robusto ha demostrado ser efectiva en la solución de una gran variedad de problemas multidisciplinarios en ingeniería (Gu et al., 2000; Batill et al., 2000, Agarwal et al., 2004, Agarwal y Renaud, 2004). En diseño robusto se distinguen dos tipos de problemas (Chen et al., 1996). En diseño robusto Tipo I, el objetivo es minimizar la variación causada por factores de ruido incontrolables (e.g., temperatura ambiente, ambiente de operación). En diseño robusto Tipo II, el objetivo es minimizar la variación causada por desviaciones en los factores de control (i.e., variables de diseño).

Ejemplo de aplicación

Para ilustrar la aplicación del MDO en un problema de ingeniería se ha planteado una gran cantidad de problemas algebraicos (Shankar et al., 1993; Alexandrov y Lewis, 2002). Uno particularmente simple es el propuesto por Shankar et al., (1993), el cual se ha usado para evaluar una gran cantidad de métodos MDO. El problema consta de una función objetivo cuadrática, escrita en términos de dos variables, y es acoplado mediante dos restricciones lineales. Aunque no es particularmente diseñado para resolverse con un esquema CO, su solución será de ayuda para entender la implementación de esta metodología. El problema algebraico puede escribirse de la siguiente forma:

Su descomposición en dos subsistemas sugiere la copia local de las variables del sistema. De esta forma, x11 y x21 serán la copia de x1 y x2 en el subsistema 1, y x12 y x22 serán la copia de x1 y x2 en el subsistema 2. Los problemas de optimización en cada subsistema se pueden definir así:

para el subsistema 1, y para el subsistema 2,

El problema de optimización a nivel de sistema se desarrolla así:

Este problema puede resolverse a nivel de sistema (sin descomposición) utilizando programación secuencial cuadrática – Sequential Quadratic Programming (SQP). El algoritmo se encuentra implementado en la función fmincon del toolbox de optimización de Matlab®, desarrollado por The MathWorks (ver Anexo). SQP también podría utilizarse para solucionar el problema CO (descompuesto) a nivel de cada subsistema; sin embargo, las soluciones a nivel de subsistema pueden derivarse analíticamente de manera simple (Anexo).

Comentarios finales

El diseño óptimo multidisciplinario (MDO) se fundamenta en dos procesos: descomposición y asociación. Los dos esquemas de descomposición clásicos en MDO son descomposición jerárquica y descomposición no jerárquica. Así mismo, se utilizan comúnmente dos métodos computacionales para interconectar las distintas disciplinas de un sistema no jerárquico: interconexión matricial aleatoria e interconexión matricial ordenada. En cuanto a los esquemas de asociación, existen dos formulaciones básicas: la de un solo nivel (e.g., AAO, SAND, CE) y la de múltiples niveles (e.g., CSSO, CO). Estos esquemas de asociación arrojarían resultados inmejorables, pero en la práctica existen limitantes que impiden la perfecta comunicación entre las distintas disciplinas. En la actualidad hay un gran desarrollo en técnicas de diseño robusto que permiten suplir estas falencias. Un sencillo ejemplo, resuelto numérica y analíticamente, ha ilustrado los procesos de descomposición y asociación en un problema multidisciplinario.

MDO es un campo de estudio formalizado hace algo más de una década. Sus desarrollos más importantes se han dado, en su mayoría, en el presente milenio. Sus aplicaciones en procesos de diseño en ingeniería crecen continuamente y demuestran su importancia. Esto avala una revisión de sus fundamentos, desarrollos y aplicaciones tal como la que se presenta en este artículo.

Agradecimientos

Este trabajo ha contado con la financiación de la Dirección de Investigación Sede Bogotá de la Universidad Nacional de Colombia a través del proyecto "optimización estructural con autómatas celulares híbridos" (DIB 20601003551).

Nomenclatura

f( ) Función objetivo
g( ) Restricción de desigualdad
h( ) Restricción de compatibilidad
h( ) Restricción de igualdad
l Límite inferior
L( ) Lagrangiano
Lx( ) Derivada parcial del lagrangiano respecto a x
u Límite superior
x Variable de diseño
xc Variable de compatibilidad
β Factor independiente
λ Multiplicador de Lagrange

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Anexo

Para la implementación del problema a nivel de sistema en Matlab® utilizando la función fmincon del toolbox de optimización, se comienza escribiendo un archivo M que evalúe la función objetivo f en cualquier punto x.

Las restricciones se reescriben en forma de “menor o igual que una constante”, es decir,

Como las dos restricciones son lineales, la región factible puede escribirse de la forma Ax = b, donde

A continuación, se determina el diseño inicial y se llama a la rutina de optimización,

Después de tres iteraciones y quince llamados a la función, el algoritmo converge en

es decir, los valores óptimos son x1 = 0.8 y x2 = 1.6. Cuando el problema se descompone utilizando un esquema CO, los de optimización a nivel de subsistema se pueden resolver analíticamente de una manera sencilla. Considere, por ejemplo, el (4), en donde se debe obtener una solución para las variables locales x12 y x22. El lagrangiano de este problema de optimización puede escribirse como

donde λ2 es el multiplicador de Lagrange de la restricción del susbsistema 2. De la condición de optimalidad se obtiene que,

donde Lx21 y Lx22 representan las derivadas parciales del Lagrangiano respecto a las variables locales de diseño. La condición de complementaridad se satisface si

Combinando (8) y (9) en (10), se obtiene una ecuación de segundo nivel para resolver λ2. La solución trivial de esta ecuación, λ2 = 0, arroja, como resultado x12 = x1 y x22 = x2, con lo cual se satisface la restricción a nivel de sistema y arroja como resultado x1 = x2 = 0.

La otra solución, λ2 = 4/(β2 +1) > 0, que también cumple con la condición de no negatividad, implica que x12 = 2β/(β2 +1) + x1 y x22 = 2/(β2 +1) + x2. Reemplazando por un valor β = 0.5, se obtiene x12 = 0.8 y x22 = 1.6. Con esto se comprueba que x1 = 0.8 y x2 = 1.6.

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