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Ingeniería e Investigación

Print version ISSN 0120-5609

Ing. Investig. vol.29 no.2 Bogotá May/Aug. 2009

 

Implementación del método de estabilización de Petrov-Galerkin en contracorriente para la solución numérica de problemas altamente advectivos

The streamline upwind Petrov-Galerkin stabilising method for the numerical solution of highly advective problems

Carlos Humberto Galeano Urueña1, Juan Miguel Mantilla Gonzalez2 y Diego Alexander Garzón Alvarado3


1 Ingeniero mecánico. M.Sc., Universidad Cienfuegos, Cuba. Profesor asistente, Universidad Nacional de Colombia. Grupo de Investigación en Modelado y Métodos Numéricos (GNUM), Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. chgaleanou@unal.edu.co
2 Ingeniero mecánico. M.Sc., Universidad de Los Andes, Colombia. Profesor asistente, Universidad Nacional de Colombia. Grupo de Investigación en Modelado y Métodos Numéricos (GNUM), Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. Jmmantillag@unal.edu.co
3 Ingeniero mecánico. Ph.D., Universidad de Zaragoza, España. Profesor Asociado, Universidad Nacional de Colombia. Grupo de Investigación en Modelado y Métodos Numéricos (GNUM), Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. dagarzona@unal.edu.co


RESUMEN

El presente artículo describe el método Petrov-Galerkin en contracorriente (SUPG) como técnica de estabilización de las soluciones por elementos finitos de la ecuación diferencial de difusión –advección- reacción. En la primera parte del artículo se hace un breve análisis de la importancia de este tipo de ecuaciones diferenciales para el modelado de fenómenos físicos en múltiples campos. Posteriormente, se realiza una descripción unidimensional del método SUPG y se desarrolla la metodología para implementar la técnica en dos o tres dimensiones. Se presentan los resultados de un experimento numérico fuertemente advéctico y de elevada complejidad desde el punto de vista numérico. Los resultados muestran cómo la versión de la técnica SUPG implementada permite aproximaciones estabilizadas en el espacio, aun para altos números de Peclet. Gráficas adicionales de los experimentos numéricos aquí presentados pueden ser descargados de www.gnum.unal.edu.co.

Palabras clave: Petrov Galerkin en contracorriente, estabilización, difusión-advección.


ABSTRACT

This article describes the streamline upwind Petrov-Galerkin (SUPG) method as being a stabilisation technique for resolving the diffusion-advection-reaction equation by finite elements. The first part of this article has a short analysis of the importance of this type of differential equation in modelling physical phenomena in multiple fields. A one-dimensional description of the SUPG method is then given to extend this basis to two and three dimensions. The outcome of a strongly advective and a high numerical complexity experiment is presented. The results show how the version of the implemented SUPG technique allowed stabilised approaches in space, even for high Peclet numbers. Additional graphs of the numerical experiments presented here can be downloaded from www.gnum.unal.edu.co.

Keywords: streamline upwind Petrov Galerkin, stabilisation, diffusion-advection.


Recibido: septiembre 23 de 2008
Aceptado: junio 16 de 2009

Introducción

La ecuación diferencial de difusión-advección-reacción (EDDAR) (1) es empleada para el modelado de múltiples fenómenos físicos, en áreas como la acústica (Babuska et ál., 1995), el electromagnetismo (Rieben et ál., 2007), la dinámica de fluidos (Zienkiewicz et ál., 2000), así como también para el estudio de problemas financieros a través de la solución de la ecuación de Black-Scholes (Smith, 2000), de problemas ambientales y de contaminación (Sanín et ál., 2007), poblacionales (Richter, 2008) y biológicos, destacándose en este último campo el modelado de los mecanismos de morfogénesis (Dan et ál., 2005).

En esta última ecuación, es la función de campo escalar buscada, es el coeficiente difusivo, es el campo de velocidad asociado al proceso advectivo, es el coeficiente fuente (s > 0 implica producción y s < 0 significa disipación), es la función de generación o perturbación y Ω representa el dominio del problema.

Aunque el método de los elementos finitos, bajo la formulación de Galerkin, es una técnica usada extensivamente para la solución de muchos problemas de ingeniería, especialmente dentro de la mecánica estructural de sólidos, resulta poco adecuado, en términos generales, para la solución de la ecuación (1). El uso de la formulación estándar de Bubnov-Galerkin para la solución de problemas predominantemente convectivos, lleva a respuestas marcadas por fuertes oscilaciones alrededor de la solución exacta (Zienkiewicz et ál., 2000), especialmente en las zonas aguas abajo con fuertes variaciones en el campo escalar . Estas oscilaciones, denominadas normalmente wiggles (Brooks et ál., 1982), aparecen por la característica asimétrica de la matriz de rigidez (K) del problema, la cual es originada por la naturaleza no autoadjunta del operador diferencial convectivo. Resulta claro entonces que entre más predominante sea la componente convectiva sobre la difusiva, mayores la asimetría en la matriz [K] y por tanto más grandes las falsas oscilaciones dentro de la aproximación aguas abajo.

Con el fin de eliminar dichas oscilaciones espurias se han desarrollados diversas técnicas de estabilización, entre las cuales se puede mencionar el método Petrov-Galerkin de contracorriente (Stream-line Upwind Petrov-Galerkinm SUPG; Zienkiewicz et ál., 1975), el método de las líneas de características (Zienkiewicz et ál., 1984), el método de mínimos cuadrados de Galerkin (Hughes, 1988), el método de cálculo finito (Oñate , 1998) y el método de paso fraccional θ (Chrispell, 2007), entre otros.

El SUPG se basa en la modificación de la matriz de rigidez empleando funciones de ponderación modificadas, de modo que se otorgue un mayor peso a la información de los nodos ubicados aguas arriba. Este método de estabilización, planteado por primera vez por Zienkiewicz et ál., 1975, fue usado formalmente por Christie et ál., 1976 y Zienkiewicz et ál., 1977, y generalizado como técnica para problemas de advección dominante por Hughes et ál., 1979. A partir de este punto han aparecido diversas variantes alrededor del método, como las planteadas por Hughes et ál., 1989, Baiocchi et ál., 1993, Harari et ál., 1994, Russo 1996, Cockburn 2000 y Araya et ál., 2005, entre muchos otros trabajos.

El presente trabajo tiene por objetivo deducir las expresiones y formular la metodología requerida para la implementación numérica del método SUPG como técnica de estabilización de la solución de la EDDAR estacionaria, multidimensional y con coeficientes variables. En la primera parte del artículo se presentan los principios de la estabilización con SUPG para problemas unidimensionales y se exponen las consideraciones necesarias para aplicar el método a problemas bidimensionales o tridimensionales en régimen estacionario. Posteriormente se despliegan algunos resultados numéricos alcanzados en un problema de alta inestabilidad utilizando diferentes mallas. Finalmente, se presentan las conclusiones del trabajo.

Consideraciones generales del método SUPG como técnica de estabilización de la EDDAR unidimensional

Con el fin de poder analizar el método SUPG para problemas en varias dimensiones, resulta de especial interés comprender la corrección inducida por el método en una dimensión. Para esto, se inicia planteando la ecuación de residuos ponderados de la EDDAR unidimensional, estacionaria, con coeficientes y función de generación constantes, tal como se expone en (2):

en donde W es la función de ponderación. Aplicando integración por partes al primer término de la integral, se logra debilitar la expresión y llevarla a la forma de la ecuación (3), en la cual Ω es el dominio de problema y es la frontera del mismo.

Empleando una aproximación discreta del tipo , en donde Φm son los valores nodales y Nm son las funciones de forma o funciones de prueba, y aplicando el método de Bubnov-Galerkin, para el cual la W = N, se puede deducir la ecuación de ensamble general para un nodo interior i (4).

En la expresión (4), Φi-1, Φi, Φi+1 son los valores nodales de la función Φ en tres nodos interiores consecutivos, Pe es el número adimensional de Peclet, el cual está definido como , σ es el número adimensional de Damkohler, el cual se define como , en tanto que h es la longitud característica del elemento. En esta última ecuación se puede ver la asimetría en la matriz de rigidez inducida por el término advectivo, lo cual se puede entender al analizar el mayor peso que esta técnica da a la información proveniente de los nodos ubicados aguas abajo Φi+1, sobre la información de los nodos aguas arriba Φi-1(Zienkiewicz et ál., 2000).

De acuerdo con (4) una manera de estabilizar la solución, es decir, de aminorar la asimetría en la matriz de rigidez, es reducir el número de Peclet, lo cual se puede alcanzar disminuyendo el tamaño de la malla. Sin embargo, esta solución resulta computacionalmente ineficiente en problemas en los que la componente advectiva es muy alta, como por ejemplo, en los problemas de dinámica de fluidos altamente turbulentos (Vellando et ál., 1999).

Una técnica de estabilización que permite obtener respuestas sin oscilaciones espurias, descartando el uso de mallas extremadamente finas, es el método de Petrov-Galerkin en contracorriente. Este método consiste en la modificación de la función de peso, de modo que se logre equilibrar la matriz de rigidez, ponderando con mayor fuerza la información proveniente de los nodos ubicados aguas arriba (Zienkiewicz et ál., 2000). Considerando el sistema de ecuaciones (5), construido a partir de la unión de n-1 elementos unidimensionales, así como la ecuación de ensamble (6), obtenida para un problema sin términos de reacción, se puede entender como el equilibrio de la matriz de rigidez en el método SUPG, alcanzado con la sobreponderación de la información proveniente de los nodos aguas arriba, lo cual equivale a aumentar el valor de los términos K21 por encima de los términos K12.

Esta modificación en la formulación de elementos finitos es equivalente a pasar de una formulación de diferencias finitas centradas a un planteamiento en diferencias finitas descentradas hacia atrás (Zienkiewicz et ál., 2000), de ahí que esta técnica de elementos finitos es conocida como la formulación de Petrov-Galerkin en contracorriente, o SUPG, del inglés Streamline Upwind Petrov-Galerkin. En problemas unidimensionales, la sobreponderación de la información de los nodos aguas arriba se alcanza modificando las funciones de peso W, de modo que se reduzca el área bajo la curva de la función de peso W1, al mismo tiempo que se aumenta el valor de la integral de W2 a lo largo del elemento. Una perturbación simple inducida sobre la función de peso convencional, que logra la modificación requerida, se plantea en la expresión (7).

En esta última ecuación, es la función de perturbación y α es un coeficiente que se emplea para controlar el peso adicional sobre los nodos aguas arriba (Φi-1), pues una ponderación excesiva haría que este esquema fuera equivalente a un planteamiento en diferencias finitas hacia atrás, es decir, reduciría el método a una aproximación de primer orden.

Incorporando la nueva función de peso (7) en la ecuación de residuos ponderados (3), la ecuación de ensamble (4) toma la forma de la expresión (8).

lo que en el caso particular de un problema sin términos reactivos, esta se reduce a:

Derivación del coeficiente de perturbación óptimo

Dado que el empleo de un coeficiente de perturbación muy pequeño no permite la estabilización completa de la solución, en tanto que el empleo de uno muy alto conduce a una pérdida en la exactitud de la aproximación, se hace necesario determinar el valor adecuado u óptimo con el que se debe perturbar la función de peso original. Para la deducción de dicho valor, se requiere convertir la ecuación de residuos ponderados (2) en un planteamiento autoadjunto, lo cual puede lograrse modificando la función de peso W, multiplicándola por una función conveniente p, tal como se plantea en (10).

Debilitando y agrupando términos de la anterior expresión, se llega a la ecuación (11):

De este modo resulta claro que si se desea que la expresión de residuos ponderados contenga únicamente operadores autoadjuntos, entonces el segundo término de la integral debe anularse, tal como se muestra en (12). De lo anterior se deduce la forma adecuada de la función p, la cual se plantea en (13).

Al reemplazar el resultado de (13) en la ecuación (11), se obtiene la ecuación (14).

Empleando una aproximación discreta del tipo y adoptando el método de Bubnov-Galerkin, se obtiene la ecuación de ensamble para un nodo interior i mostrada en (15).

En esta última ecuación, los coeficientes multiplicativos de los valores nodales están definidos por:

En tanto que el término independiente fi, se define en (20).

Reemplazando las expresiones (16) a (20) en la ecuación (15), se llega a la ecuación (21).

Nótese que esta expresión lleva a una matriz de rigidez simétrica (dada la naturaleza autoadjunta de la expresión de residuos ponderados), aun cuando los pesos con los que se ponderan los términos Φi+1 y Φi-1 son diferentes. Así entonces, al comparar los coeficientes de la expresión estabilizada (9), con los coeficientes del planteamiento autoadjunto (21), se puede encontrar el valor adecuado para el coeficiente de perturbación , tal como se muestra en (22).

En todo caso, el valor máximo de α (o valor crítico), con el que se puede perturbar la función de peso original sin perder la información proveniente de los nodos aguas abajo, está dado por (23) y se deriva haciendo igual a cero el coeficiente que multiplica el valor nodal Φi+1 en la ecuación (9).

Estabilización Petrov-Galerkin en contracorriente para problemas de advección-difusión bidimensionales

La revisión del problema unidimensional resulta en extremo valiosa para el análisis de la corrección impuesta por el método SUPG. Sin embargo, el paso a problemas en dos o tres dimensiones necesita considerar algunos conceptos adicionales. Se puede verificar fácilmente cómo la ecuación de ensamble (9), alcanzada con la estabilización SUPG, puede ser construida de otra forma partiendo de un planteamiento Bubnov-Galerkin y aumentando artificialmente el término difusivo, tal como se plantea en (24).

donde ka es el término de difusivo incluido para estabilizar la solución y el cual se define como . Esta interpretación del método SUPG resulta especialmente útil para la generalización de la técnica a problemas en dos o tres dimensiones. Así como en problemas unidimensionales la modificación de las funciones de peso es equivalente a adicionar un término difusivo que actúa en la dirección del flujo, para problemas con una o dos dimensiones adicionales se debe garantizar que el efecto de la difusión artificial actúe contrarrestando el efecto advectivo, el cual solo actúa en la dirección de la velocidad (Zienkiewicz et ál., 2000). De acuerdo con este planteamiento, una perturbación sobre la función de forma, como la escrita en la ecuación (25), solo logra estabilizar el efecto advectivo en la dirección x. De forma análoga, se podría perturbar la función de ponderación para estabilizar la advección en la dirección y, como se muestra en (26).

De acuerdo a lo anterior, para lograr estabilizar la solución en la dirección de una velocidad en componentes bidimensionales se requiere ponderar las perturbaciones planteadas en (25) y (26), tal como se muestra en (27) (ver Hughes et ál., 1979).

donde y son las componentes de la velocidad en las direcciones globales x-y, y α es el coeficiente de perturbación calculado de acuerdo con (23), empleando el valor de la norma de la velocidad y una dimensión característica h, como la mostrada en la Figura 1.

Tomando la expresión (3) en su forma bidimensional, tal como se presenta en (28)

donde es el vector normal al borde de flujo o borde de Neumman, y empleando aproximaciones convencionales , así como la función de peso modificada (27), se llega a la ecuación (29).

En esta expresión, [K] y [f] corresponden, respectivamente, a la matriz de rigidez y al vector de términos independientes, obtenidos a partir del planteamiento no estabilizado (Bubnov-Galerkin). Estos términos se presentan en las ecuaciones (30) y (31). En tanto que [Ks] y [fs] son términos de estabilización adicionados a la solución convencional, los cuales se definen en (32) y (33).

Implementación numérica

Para la implementación numérica del método SUPG planteado en las ecuaciones (30) a (33) se empleó lenguaje Fortran y se incorporaron las siguientes características: (i) integración numérica por cuadratura gaussiana de cuatro puntos; (ii) cálculo de los coeficientes de perturbación α en cada punto de integración gaussiana empleando la ecuación (22); (iii) cálculo del coeficiente de perturbación empleando la magnitud de la velocidad resultante en cada punto de integración, y una dimensión característica obtenida a partir de una equivalencia entre el área del elemento y la de un círculo con la misma superficie; (iv) cálculo de las derivadas direccionales de cada una de las componentes de velocidad empleando diferencias finitas centradas.

Casos de caso de estudio: ejemplo de Brezzi

El caso de estudio que se presenta, denominado ejemplo de Brezzi (Brezzi et ál., 1998), es el problema comúnmente empleado para evaluar técnicas de estabilización de la EDDAR. La ecuación diferencial que modela este problema está definida en la ecuación (34).

Sujeta a las condiciones de borde mostradas en la Figura 2, con k = 0,005 y (x,y) = [-y,x].

Este caso representa un problema de alta complejidad debido a la presencia de zonas de alto gradiente de en áreas ubicadas aguas abajo (cercanas a lados 3 y 4 del dominio), así como una zona en la que se combina un punto de singularidad y altos valores en el gradiente de Φ la función (vértice formado por los lados 5 y 6).

La Figura 3 muestra los resultados obtenidos para una malla de 7.500 elementos (tamaño promedio h = 0,01), empleando tanto el método de Bubnov-Galerkin, como la estabilización SUPG. Se observa que para este tamaño de malla los número de Peclet alcanzados son relativamente bajos en todo el dominio (Pe<1.4), especialmente en la zona aguas abajo o zona de salida del flujo (lado 4 del dominio), en donde se alcanzan valores de Pe iguales a la unidad. Por lo anterior, es de esperarse que ambos modelos proporcionen soluciones similares, lo que se evidencia al observar la gráfica de convergencia de la norma de energía mostrada en la Figura 6.

En la Figura 4 se observa la solución obtenida empleando ambas formulaciones y una malla con 507 elementos (tamaño promedio h = 0,04). Esta figura muestra cómo la aproximación convencional exhibe una fuerte oscilación en la zona de salida del fluido (lado 4 del dominio), en donde se localiza un alto gradiente de la función o capa límite de salida, junto con un número de Peclet superior a dos. De igual forma, se observa una oscilación localizada en el vértice interno del dominio o punto de singularidad, en donde también se puede ver la presencia de capa límite. Estas oscilaciones espurias desaparecen empleando la técnica de estabilización SUPG, como se observa en la misma figura. La gráfica de convergencia de la Figura 6 muestra que la norma de energía de la solución alcanzada por SUPG se encuentra más cercana al valor de convergencia que la norma calculada con la solución convenciónal.

La Figura 5 presenta la aproximación alcanzada para este caso empleando las dos formulaciones y una malla con 108 elementos (tamaño promedio h = 0,09). Se puede apreciar el incremento en los picos de las oscilaciones ya existentes en la solución convenciónal de la Figura 4, así como la aparición de una oscilación adicional en la región aguas abajo, cercana al lado 4 del dominio. Este incremento en las oscilaciones se explica al observar el aumento en los números de Peclet, los cuales en las zonas de las oscilaciones son superiores a cinco. Nuevamente, estas oscilaciones son evitadas cuando se emplea la técnica de estabilización SUPG. En la Figura 6 se puede evaluar un aumento en la diferencia de las normas de energía de las dos soluciones.

Conclusiones

La implementación del método SUPG desarrollada permitió alcanzar aproximaciones numéricas estables para problemas de estacionarios altamente advectivos. Se evaluó la inestabilidad exhibida por las soluciones Bubnov-Galerkin a la luz de la magnitud del número de Peclet y se logró establecer que la presencia de las oscilaciones se da en las regiones aguas abajo cuando el número de Peclet supera el valor unitario. No obstante la buena estabilización en las aproximaciones, la exactitud de las mismas no mejora notoriamente empleando SUPG con respecto al método convencional Bubnov-Galerkin. Esto se observa en la gráfica de convergencia de la norma de energía calculada para diferentes mallas, la cual muestra comportamientos similares para los dos métodos.

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