Germán Andrés Ramos Fuentes¹, Josep Olm Miras², Ramón Costa Castelló³

¹ Magister en Automatización Industrial, Universidad Nacional de Colombia. Profesor asistente, Universidad Nacional de Colombia, Colombia. garamosf@unal.edu.co

² Doctor en Ciencias (Físicas), Universitat Politécnica de Catalunya. Profesor ayudante doctor, Universitat Politécnica de Catalunya, España. josep.olm@upc.edu

³ Doctor en Informática, Universitat Politécnica de Catalunya. Profesor Titular, Universitat Politécnica de Catalunya, España. ramon.costa@upc.edu

RESUMEN

El control repetitivo digital es una técnica que permite el seguimiento y rechazo de señales periódicas. Los controladores repetitivos son diseñados asumiendo que las señales a seguir/rechazar tienen una frecuencia fija y conocida, siendo su principal desventaja la degradación de desempeño cuando esta frecuencia varía. Este artículo presenta una revisión de las diferentes estrategias utilizadas con el fin de solventar dicha problemática.

Palabras clave: control repetitivo, frecuencia variable, control repetitivo de alto orden, muestreo variable.

ABSTRACT

Digital repetitive control is a strategy that allows tracking/rejecting periodic signals. Repetitive controllers are designed assuming that the exogenous signal period is constant and known, its main drawback being the dramatic loss of performance when signal frequency varies. This paper reviews the most relevant proposals advanced for overcoming this problem.

Keywords: repetitive control, varying frequency, high order repetitive control, varying sampling period.

Recibido: mayo 03 de 2010

Aceptado: julio 01 de 2011

Introducción

El control repetitivo (RC) (Costa-Castelló et al., 2005; Tomizuka, 2008; Wang et al., 2009) es una técnica basada en el principio del modelo interno (IMP) (Francis y Wonham, 1976). éste establece que para seguir/rechazar una señal es necesario que su generador esté incluido en lazo de control. El RC utiliza el IMP para el seguimiento/rechazo de señales periódicas asumiendo que la frecuencia de las señales a seguir/rechazar es constante y conocida. Esto lleva a la selección de un número de muestras por período que es incorporado estructuralmente en el algoritmo de control.

Se ha mostrado que pequeños cambios en la frecuencia de la señal implican una pérdida importante del desempeño (Steinbuch, 2002).

Control repetitivo digital

La implementación digital del RC involucra la discretización de las señales externas. De este modo, una señal T_p -periódica muestreada con período T_s se convierte en una señal N -periódica (N= T_p / T_s ). El modelo interno de este tipo de señales es de la forma⁴ (Tomisuka et al., 1989):

[1]

Otros tipos de modelos internos han sido propuestos dependiendo del tipo concreto de señal a tratar (Escobar et al., 2007; Griñó y Costa-Castelló, 2005).

La principal característica de (1) es que tiene N polos uniformemente espaciados sobre el círculo unitario del plano complejo. De esta manera el controlador proporciona ganancia infinita en las frecuencias ω =2kπ/N , con k = 0, 1, 2, ...,N-1 . Esta elevada ganancia compromete la estabilidad y la robustez del sistema. Por ello se incluyen dos filtros más: L(z), usado para asegurar estabilidad, y Q(z), empleado para proveer robustez ante dinámicas no modeladas. Aunque existen diversas estructuras, la más usada es la mostrada en la figura 1. En ésta el controlador repetitivo es adicionado a un controlador subyacente C(z), el cual es diseñado para estabilizar la planta P(z). Así (1), queda de la forma:

[2]

La estructura usada en RC fue inicialmente propuesta en tiempo continuo (Hara et al., 1988; Inoue et al., 1981), mientras que la primera implementación digital fue descrita en (Nakano y Hara, 1986)

Estabilidad

El análisis de la estabilidad del sistema de lazo cerrado (figura 1) no resulta trivial, por ello se sigue el análisis planteado en Inoue et al. (1981). La función de sensibilidad del sistema de lazo cerrado resulta:

[3]

Con S_o(z) = 1/(1+C(z)P(z)), la función de sensibilidad y T_o(z) = C(z)P(z)/(1+C(z)P(z)) la función de sensibilidad complementaria del sistema sin RC, y siendo S_M(z) la función de sensibilidad modificante, la cual muestra el efecto del RC en la función de sensibilidad del sistema:

[4]

Con esto, el sistema de la figura 1 es estable si:

1. S_o(z) es estable, lo que proviene de la estabilidad del lazo subyacente,

2. (1 – z^-NQ(z)) es estable, lo cual se cumple definiendo Q(z) como un filtro FIR,

3. ⁄Q(z)⁄< 1,

4. ⁄1 – T_o(z)L(z)⁄ <1

El diseño de L(z) se basa en la cancelación de la fase deT_o(z) Inoue, 1990). En los sistemas de fase mínima resulta L(z) = k_Υ T_o^-1(z), con 0 < kΥ < ‚2 ; donde k_Υ’ se selecciona mediante un compromiso entre robustez y desempeño (Hillerström y Lee, 1997).

Aplicaciones

El RC ha sido ampliamente usado en diferentes áreas como lectores de discos duros y discos compactos (Chew y Tomizuka, 1990), robótica (Kasac et al., 2008; Sun et al., 2007), electrohidráulica (Kim y Tsao, 2000), supresión de vibraciones (Daley et al., 2006; Hattori et al., 2000), intercambiadores de calor (álvarez et al., 2007), compensación de fricción (Huang et al., 1998), máquinas de inyección de moldes (Nan et al., 2006), actuadores piezoeléctricos (Choi et al., 2002), control de motores lineales (Chen y Hsieh, 2007), rectificadores electrónicos (Zhou y Wang, 2003), inversores PWM (Li et al., 2006; ang et al., 2007b) y filtros activos (Costa-Castelló et al., 2009), entre otras.

Desempeño

Desempeño en condiciones de frecuencia variable

En la mayora de aplicaciones prácticas la frecuencia no es exactamente conocida o varía con el tiempo. La figura 2 muestra la ganancia del modelo interno en variaciones del período de la señal para los armónicos k=1, 2 y 3. Como puede verse, el desempeño decae drásticamente al alejarnos del período nominal, lo que es aún peor para armónicos superiores.

Desempeño en presencia de errores no armónicos

Debido al efecto cama de agua (Songchon y Longman, 2001), en los controladores repetitivos la función de sensibilidad presenta una amplificación de frecuencias ubicadas entre dos armónicos consecutivos. Este efecto degrada el comportamiento del sistema y debe ser tenido en cuenta.

Organización de las propuestas

Se han hecho varias propuestas para solucionar el problema de desempeño al trabajar con señales de frecuencia variable. éstas se pueden agrupar en dos líneas principales. En primer lugar tenemos el control repetitivo de alto orden (HORC), el cual usa varios bloques de retardo para mejorar la robustez. En segundo lugar está el control repetitivo adaptativo, donde uno o más elementos del controlador son ajustados en línea para mantener el desempeño. Los elementos ajustados son, o bien el período muestreo (T_s) o bien el número de muestras por período (N).

Control repetitivo de alto orden

La arquitectura del modelo interno utilizado en el controlador repetitivo de alto orden (HORC) se muestra en la figura 3 y su función de transferencia es:

[5]

donde , y usualmente . La función de sensibilidad modificante con el HORC toma la forma:

[6]

Las condiciones de estabilidad son las ya planteadas, sustituyendo la condición iii) por |W(z)Q(z) |< ‚ 1.

Métodos de selección de los pesos

Dada la relación excluyente entre la robustez a la variación de la frecuencia y la sensibilidad a las frecuencias no armónicas, la selección de los pesos w_i se plantea basada en la solución de un problema de optimización.

En Inoue (1990) el HORC es usado para mejorar el comportamiento entre frecuencias armónicas. La función de costo a minimizar es el valor medio del cuadrado de S_MW(z), , lo cual implica que todos los pesos deben ser iguales y de valor w_i=1/m.

En Chang et al. (1995) el objetivo es reducir el espectro del error considerando los componentes armónicos y no armónicos, es decir .

En Steinbuch (2002) se pretende reducir la sensibilidad frente a variaciones en el período de la señal. Para ello se hacen cero las m primeras derivadas de W(z) respecto del período de la señal. Ello permite mantener la ganancia de (5) elevada en un intervalo de frecuencias alrededor de las frecuencias armónicas. Este problema presenta solución analítica.

En Steinbuch et al. (2007) se generalizan los resultados de Chang et al. (1995) mediante la resolución de , siendo una función de peso que determina el intervalo en el que la norma de S_MW (ω) será minimizada. Los resultados de Chang et al. (1995) y Steinbuch (2002) corresponden a casos particulares de esta formulación.

En Pipeleers et al. (2008), a diferencia de las anteriores, se elimina la restricción . Ello reduce la ganancia en las frecuencias armónicas, lo cual permite obtener mejores resultados en el desempeño para las frecuencias no armónicas. Los resultados de Steinbuch (2002); Steinbuch et al. (2007) y Chang et al. (1995) corresponden a casos particulares de esta formulación.

La figura 4 muestra la comparación de los resultados de las diferentes propuestas para m=3 . El diseño en Pipeleers et al. (2008), con una incertidumbre del 20% en el período, presenta mejores resultados que el de Steinbuch (2002), tanto para desempeño robusto como no armónico. Se puede notar que la ganancia en las frecuencias armónicas no es cero y que ella es menor para un intervalo más amplio de frecuencias alrededor de los armónicos. Adicionalmente se puede observar que, a pesar de mejorar el comportamiento entre armónicos, las propuestas de Chang et al. (1995) e Inoue (1990) no representan un diseño robusto ante cambios en el período. Los pesos obtenidos en las propuestas mencionadas se resumen en la tabla 1.

Control repetitivo adaptativo

Adaptación del retardo

En esta estrategia el parámetro ajustable es el retardo N. Existen dos esquemas: adaptación entera y adaptación fraccionaria.

Retardo entero. En condiciones de frecuencia variable, esto es, T_p variable, la relación η = T_p/T_s tomará un valor que puede no ser un número entero, por lo tanto la estrategia de adaptación consiste en aproximar N al entero más cercano a η (Dotsch et al., 1995; Manayathara et al., 1996); una demostración de estabilidad para sistemas con N variable se realiza en Hu (1992).

Retardo fraccionario. En esta propuesta la parte entera de η mantiene su implementación original , mientras que la parte fraccionaria se implementa usando un filtro FIR que la aproxima (Laakso et al., 1996). Para obtener los parámetros del filtro FIR se usa un proceso de optimización en línea que tiene como función de costo el error en la frecuencia (Wang et al., 2007a; Yu y Hu, 2001). La figura 5 muestra una comparación de los resultados obtenidos mediante tres técnicas diferentes.

Período de muestreo variable

Esta sección agrupa las estrategias donde se varía el período de muestreo, T_s , con el fin de mantener la relación N=T_p/T_s,/ constante.

En Hillerström (1994) un controlador repetitivo es aplicado a una bomba peristáltica donde las perturbaciones están directamente relacionadas con la posición angular del mecanismo. Las variaciones del período de muestreo hacen que el comportamiento de la planta no corresponda al de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI). Por lo tanto, los parámetros del controlador son función del período de muestreo.

En Ramos et al. (2009) para analizar los efectos de esta estrategia sobre la estabilidad del sistema se realiza un análisis basado en un mallado de desigualdades lineales matriciales (LMI) (Apkarian y Adams, 1998; Sala, 2005).

El trabajo presentado en (Olm et al., 2011), a diferencia del anterior, presenta una metodologa para analizar la estabilidad del sistema basada en análisis robusto, (Fujioka, 2008; Suh, 2008). Los componentes variantes en el tiempo son tratados como incertidumbres de norma acotada. Los resultados llevan a una reducción del conservatismo y se obtienen intervalos de estabilidad más amplios comparados con el caso anterior.

En Olm et al. (2010) se presenta una estrategia de diseño para compensar los cambios paramétricos ocasionados por la variación del período de muestreo. Esto se logra mediante la inclusión de un precompensador que cancela los efectos del muestreo variable para el sistema de lazo cerrado y hace el lazo cerrado invariante frente a los cambios en el período de muestreo.

Adaptación entera del retardo con período de muestreo variable

En Tsao et al. (2000) se obtiene N mediante una aproximación entera del cociente T_p/T_s , como se describió, y adicionalmente se reajusta T_s para que el período externo T_p resulte en un múitiplo entero N de T_s . Aunque se muestran resultados experimentales, el trabajo no realiza un análisis formal de estabilidad.

Interpoladores

En Cao y Ledwich (2002) se propone un sistema con dos períodos de muestreo independientes, basado en un lazo con período de muestreo nominal constante conformado por la planta y un controlador estabilizante y el controlador repetitivo que funciona a período variable usando la misma técnica de adaptación de Tsao et al. (2000). La unión de estas dos partes se realiza por medio de un esquema con dos interpoladores, localizados en la entrada y salida del lazo de control repetitivo. Cada interpolador se encarga de reconstruir la señal a partir de las muestras de entrada y entregarla en el formato de muestras de salida correspondiente para que finalmente las dos acciones de control puedan ser sumadas. Este esquema se muestra en la figura 6.

Control repetitivo espacial

La propuesta en Chen y Yang (2007) describe un controlador repetitivo para un sistema rotacional en el que las perturbaciones dependen directamente de la posición angular. En lugar de usar un muestreo no uniforme, Hillerström (1994) propone usar una transformación de espacio que transforma el sistema en uno no lineal invariante en la posición (NPI). Posteriormente se linealiza mediante realimentación adaptativa y se introduce un controlador repetitivo estándar. En Yang y Chen (2008) se elimina la necesidad de medir el estado con un observador no lineal.

Conclusiones

En este artículo se han descrito diferentes técnicas propuestas para afrontar el problema de pérdida del desempeño de los controladores repetitivos digitales cuando éstos trabajan en condiciones de frecuencia variable. El HORC implica una mayor carga computacional y de memoria, aunque el cambio del período de muestreo involucra a su vez una complejidad tecnológica mayor.

Además en el HORC únicamente se pueden soportar cambios ligeros en el período de la señal. En los esquemas de adaptación es necesario realizar una estimación en línea de la frecuencia de la señal, mientras que en el HORC dicho estimador no es necesario. Finalmente, el HORC permite efectuar un análisis en el marco LTI, mientras que la variación del período de muestreo implica un marco de sistemas lineales variantes en el tiempo (LTV), lo que lleva a una mayor complejidad teórica a la hora de probar estabilidad.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido financiado parcialmente por el MEC, con el proyecto DPI2010-15110.

NOTAS AL PIE

4 Este modelo interno se obtiene a partir de la transformada Z de la representación en series de Fourier discreta de la señal periódica.

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