2.1 Nudos en S3

Decimos que K es un nudo (o nudo clásico) si existe una función continua e inyectiva de S ¹ en S ³ (o ℝ³) cuya imagen es K. De manera intuitiva podemos imaginarnos un nudo K como un trozo de cuerda anudado en el espacio, al cual le hemos unido sus extremos.

Dos nudos K ₁ y K ₂ equivalentes si y sólo si existe un homeomorfismo f: S ³ → S ³, que preserva la orientación, tal que f(K ₁) = K ₂.

Debido a que todo homeomorfismo de S ³ en sí mismo es el extremo de una isotopía ambiente y viceversa, tenemos la prueba del siguiente teorema:

Teorema 2.1. Dos nudos K ₁ y K ₂ son equivalentes si y sólo si existe una isotopía ambiente {h _t } _{tϵ [0;1]} de S ³ tal que h ₁(K ₁) = K ₂.

Una proyección regular de un nudo K consiste en proyectar el nudo sobre el plano z = 0, de tal forma que más de dos puntos no se puedan proyectar sobre uno mismo y dos segmentos no puedan tener la misma proyección.

Lo anterior motiva la siguiente definición:

Definición 2.2. Un diagrama de un nudo es un grafo planar 4-valente orientado y conexo, tal que los grados de entrada y salida de cada uno de sus vértices son iguales a 2 y pueden ser dibujados de acuerdo a laFigura 1-a.

Siguiendo la idea de la definición anterior, al dibujar las proyecciones regulares de los nudos tendremos el cuidado de dejar algunos espacios en blanco alrededor de los puntos dobles, que llamamos cruces, indicando cuál de los puntos va por encima y así poder recobrar el nudo a partir de la proyección. La Figura 1-a muestra un ejemplo de una proyección regular de un nudo.

Como podemos ver, las proyecciones regulares de nudos son diagramas de nudos. Los cruces de un diagrama de un nudo son clasificados de acuerdo a la Figura 1-b. Así que podemos hablar de cruce por debajo y cruce por encima. Entonces, a la sección del diagrama que va de un cruce por debajo al siguiente cruce por debajo se le llama arco del diagrama; en otras palabras, los arcos son los componentes conexos del diagrama del nudo.

Un nudo tiene infinitos diagramas, pero cada uno de ellos se puede transformar en el otro mediante un número finito de los movimientos de Reidemeister (véase Figura 2) e isotopías del plano.

El nudo cuya proyección regular no tiene cruces es llamado nudo suelto.

La prueba del siguiente teorema puede ser consultada en ⁶.

Teorema 2.3 (Teorema de Reidemeister). Dos nudos son equivalentes si y sólo si sus respectivos diagramas se pueden transformar el uno en el otro mediante un número finito de los movimientos de Reidemeister e isotopías del plano.

Por el teorema anterior, no hacemos distinción entre los diagramas de nudos y los nudos mismos. Un nudo es trivial si este es equivalente al nudo suelto.

2.2 Construcción de códigos

Sea K un diagrama de un nudo y etiquetemos sus cruces con números a ₁, a ₂,...,a _n en ℤ⁺, donde n es el número de cruces clásicos de K. Tomemos un punto x sobre K, que no sea un cruce. Recorramos el diagrama a partir de x hasta retornar a dicho punto en el sentido de la orientación y formemos una lista con los números de los cruces que nos vayamos encontrando en el recorrido, con la convención de que si pasamos por debajo del cruce a _i , escribimos - a _i y si pasamos por encima del cruce a _i , escribimos a _i . Denotemos la lista construida anteriormente por C(K) y llamémosla lista de cruces. Construyamos la lista (e ₁, e ₂, …, e _m ), donde m = máx ai    i=1,2,..,3 y para todo j ∈ {1, … m}, e _j = 1 si j = a _i y el cruce a _i es positivo, e _j = -1 si j = a _i y el cruce a _i es negativo y e _j = 1 (ó e _j = -1), en los otros casos. Esta lista la denotamos por S(K) y la llamamos lista de signos.

A la pareja ordenada (C(K); S(K)) la llamamos nudo combinatorio de K. Notemos que con esta convención pueden existir enteros, entre 1 y m, que no correspondan a cruces del nudo.

Consideremos el diagrama K mostrado en la Figura 3. Si recorremos K a partir del punto x obtenemos el código:

((-4, 6, -2, 4, -6, 2),(1, 1, 1, 1, 1, 1)).

La construcción anterior motiva la siguiente definición.

Definición 2.4.⁷⁾ Un nudo combinatorio o código de n cruces es una pareja ordenada ,

((i ₁, i ₂,…, i _2n ); (e ₁,…, e _m )),

tal que, como conjuntos, {i ₁, i ₂,…, i _2n } = {±a ₁,…, ±a _n }, donde a ₁,..., a _n en ℕ, son llamados cruces del código, m ≥ máx {a ₁, a ₂, …, a _n } y e _j ∈ {1,-1}, j = 1, 2, …, m.

Definimos el código trivial como ((),()).

Ahora bien, dado un diagrama de un nudo K siempre existe un nudo combinatorio asociado a K, pero el recíproco no siempre es cierto; por ejemplo, el nudo combinatorio σ = ((1,2, -1, 3, -4,-3, 4,-2); (1,-1, 1,-1)) no es el nudo combinatorio de un diagrama de un nudo. La Figura 4 muestra un intento por construir un diagrama para σ. Observemos que es imposible conectar los extremos g y h sin crear un nuevo cruce.

Es claro que el proceso anterior no es una prueba rigurosa de que σ no es un nudo combinatorio asociado a un diagrama de un nudo.

De la construcción de nudo combinatorio, a partir de un diagrama de un nudo y por el Teorema de la curva cerrada de Jordan, podemos inferir la prueba de la siguiente proposición:

Proposición 2.5. Si σ = ((i ₁, i ₂,…, i _2n ), (e ₁, …, e _n )) es un nudo combinatorio asociado a un diagrama de un nudo, entonces el número de ocurrencias entre a _i y -a _i en (i ₁, i ₂,…, i _2n ), para todo i = 1, 2, …, n, es par.

De la proposición anterior, el nudo combinatorio σ del ejemplo anterior no es el nudo combinatorio de un diagrama de un nudo.

Definición 2.6. Un nudo combinatorio es geométrico si es el nudo combinatorio de un diagrama de un nudo.

Como podemos observar, a un mismo diagrama de un nudo K se le pueden asociar muchos nudos combinatorios dependiendo de la numeración de los cruces y del punto base que escojamos, sin contar con los movimientos de Reidemeister. En ^7,14,15) se define una relación de equivalencia sobre los nudos combinatorios y en ¹⁵ se prueba que existe una correspondencia biunívoca entre las clases de equivalencia de nudos y las clases de equivalencia de nudos combinatorios geométricos, así que podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que nuestros nudos combinatorios K = ((i ₁, i ₂,…, i _2n ), (e ₁, e _2,…, e _n )) satisfacen { i ₁, i ₂,…, i _2n } = {±1, …, ±n} y son escritos en la forma:

K = ((-1, A ₁,-2, A ₂,…,-n, A _n ); (e ₁,…, e _n )), (1)

donde A _i , i = 1; 2,…, n, son subsucesiones disjuntas de i ₁, i ₂,…, i _2n y, además, A ₁ ∪ … ∪ A _n = {1,2,…, n}. Es posible que algunas de las subsucesiones anteriores sean vacías. Esta forma es llamada forma normal estándar.

Si hacemos x _i = (-i, A _i , -(i + 1)), i = 1, 2,…,n - 1, y x _n = (-n, A _n , -1), entonces x _i es llamado arco del nudo, i = 1,2; …, n. Más aún, si el cardinal de x _i es mayor que 2, entonces x _i es denominado puente. A los puentes los denotamos por y ₁,...,y _k y k es llamado el número de puentes de K. El mínimo número de puentes entre todos los nudos de la clase es llamado el número de puentes de la clase.

Este concepto está dado también para los diagramas de nudos. Intuitivamente un puente para un diagrama de un nudo es un “componente conexo" de éste que tiene por lo menos un cruce por encima. El número de estos componentes conexos es el número de puentes del diagrama. El número de puentes del nudo es el mínimo número de puentes entre sus diagramas asociados.

Ejemplos de diagramas de nudos de dos y tres puentes son dados en la Figura 5.

Definición 2.7. A las clases de equivalencia del nudo combinatorio K la denotamos por [K] y decimos que un nudo combinatorio [K] es clásico si y sólo si K es geométrico.

Puesto que el problema de la clasificación de nudos sigue siendo un problema abierto, muchos expertos en el área se han dedicado a clasificar ciertas familias de nudos; entre tales familias se encuentran los nudos de dos y tres puentes. La subclase de los nudos de dos puentes fue clasificada en 1956 por H. Schubert (véase ¹⁶). La clasificación completa de los nudos de tres puentes aún no se conoce, pero viene siendo desarrollada por H. Hilden, J. Montesinos, D. Tejada y M. Toro (véase ¹⁷).

2.3 El grupo de un nudo

El grupo ∏(K) de un nudo K es uno de los invariantes más antiguos y poderosos en la teoría clásica de nudos. Este grupo se define como el grupo fundamental de la 3-variedad S ³ ∖ K.

En la literatura existen métodos para calcular presentaciones del grupo de un nudo, una de ellas es conocida como presentación de Wirtinger.

Definición 2.8 (Presentación de Wirtinger). Sea G un grupo. Una presentación de Wirtinger de G es una presentación de la forma

Donde rk = xjw xi-1, 1 ≤i, j ≤p y w1,...,wq , son palabras en el grupo libre F(x ₁ ,…, x _p ), no son necesariamente distintas en G.

Una presentación de Wirtinger se llama cíclica si tiene la forma

Donde r1 = xiwi xi+1-1, i =1,2,...,m, w1,...,wm ∈ F(x1,...,xn) , no son necesariamente distintas en G.

Una presentación de Wirtinger se llama realizable si wi = xktεt, para todo i ∈1,2,..., n y εi ∈1,-1 .

A partir de cualquier diagrama D del nudo K podemos definir una presentación de Wirtinger realizable π ₁(D), en la que cada arco de D corresponde a un generador y las relaciones son definidas como se indica en la Figura 6.

Es bien sabido que la presentación π ₁(D) es un invariante del nudo K. (véase ¹⁸).

Teorema 2.9.¹⁹⁾ Si el grupo de un nudo es cíclico infinito, entonces el nudo es equivalente al nudo trivial (S ¹).

El problema de determinar si un nudo es trivial o no, conocido como el problema de desanudamiento, fue uno de los primeros en ser resuelto. En ²⁰, W. Haken da un algoritmo para determinar cuándo un nudo es trivial o no.

La prueba del siguiente teorema puede ser consultada en ²¹.

Teorema 2.10. El problema del desanudamiento está en NP.

Una herramienta bastante poderosa para determinar si un nudo es o no equivalente al nudo suelto, es la teoría de representaciones de grupos. Por medio de esta técnica se han podido encontrar familias infinitas de nudos no triviales.

El estudio de las representaciones de este tipo de grupos no solo se ha usado en esta dirección, también en el estudio de los problemas de geometrización de las tres variedades, en particular de los complementos de nudos en el espacio tridimensional. Por ejemplo, si tenemos una representación de ∏(K) en SL(2, ℂ), entonces, también tendríamos una en PSL(2, ℂ), el recíproco no siempre es cierto (véase ²²), puesto que este último grupo es isomorfo al grupo de las isometrías, que preservan la orientación, del modelo hiperbólico del semiespacio superior, entonces, por el teorema de extensión de Poincaré (véase ⁽²⁾ para más detalles) podríamos definir acciones de ∏(K) en alguna de las tres variedades.

El estudio del conjunto de las órbitas para el caso de acciones fieles puede ser bastante interesante en el siguiente sentido: Si G denota la imagen de una representación no abeliana y fiel ρ y si ∆ ⊂ℂ^ es un dominio fundamental asociado a G, entonces, el conjunto de órbitas bajo la acción de G sobre Δ puede tener estructura de variedad bajo ciertas condiciones. Más aún, podemos extender la acción al semi-espacio superior y considerar un dominio fundamental Ω donde G, Ω podría ser un polígono de Dirichlet (véase ^{2 )} para la construcción) en ℍ³ y preguntarnos sobre la geometría de Ω/G.

Por otro lado, hallar representaciones del grupo del nudo en el grupo simétrico S ₃ también es una herramienta para distinguir nudos. Existe una familia de nudos cuyos grupos tienen representaciones en S ₃; esta familia se llama colección de nudos 3-coloreables.

Definición 2.11. Un diagrama de un nudo es 3-coloreable si podemos pintar sus arcos con tres colores R = rojo, A = azul y V = verde, de tal forma que todos los colores sean usados y en cada cruce aparezcan o los tres colores o un solo color.

No es difícil probar que ser 3-coloreable es invariante bajo los movimientos de Reidemeister y que, además, el nudo trivial no es 3-coloreable. La Figura 5 muestra un ejemplo de un nudo 3-coloreable (a) y otro que no es 3-coloreable (b). ¿Cómo se prueba que tal nudo no es 3-coloreable?

Teorema 2.12. Si K es 3-coloreable, entonces existe una representación de ∏(K) en el grupo simétrico S ₃ .

Demostración. Supongamos que K es 3-coloreable y escojamos una coloración de sus arcos. Separemos los generadores de ∏(K) en tres grupos de acuerdo a su respectivo color. Supongamos que 〈x ₁, ..., x _n | r ₁, ..., r _n 〉 es la respectiva presentación de Wirtinger de ∏(K). Consideremos el homomorfismo natural

donde

Debido a que

(12) (23) (12) = (13),

(23) (12) (23) = (13),

(13) (12) (23) = (21), (3)

entonces ker(μ) = 〈r ₁, …, r _n 〉, con lo que μ extiende a un homomorfismo de ∏(K) en S ₃.

El siguiente algoritmo nos da una forma eficiente de calcular una presentación del grupo de un nudo. Puesto que es bien conocido y su prueba se obtiene al aplicar una sucesión adecuada de transformaciones de Tietze, omitiremos su demostración.

Algoritmo 2.13 (Algoritmo para hallar la presentación por encima). Sea D un diagrama de un nudo con puentes denotados por y ₁ ,...,y _k como se indica en laFigura 7. Aquí, e _ki = 1 si el cruce es positivo o e _ki = -1 si el cruce es negativo.

Para cada puente y _i escoja un punto z _i .

Se prueba que y _i W _i = w _i y _i+1 y, además que ∏(D) = G(w ₁ , ...,w _k ).

De lo anterior, tenemos la prueba del siguiente teorema: (otra puede ser consultada en ¹¹). Será que algún

Teorema 2.14. Sea D un diagrama de un nudo y sean y ₁ ,...,y _k sus puentes, entonces existen palabras w ₁ ,...,w _k en el grupo libre F(y ₁ , …, y _k ), tales que

La presentación anterior es conocida como presentación por encima del grupo de un nudo. Usamos la notación G(w ₁ , ...,w _n ) para indicar la presentación ³¹.

Ejemplo 2.15. Una presentación por encima del grupo del nudo, mostrado en laFigura 5-a, está dada por G(yx; xy) y para el grupo del nudo de laFigura 5-b, es G(x ₂ x ₃ x ₁ , x ₃ x ₁ x ₂ , x ₁ x ₂ x ₃ ).

Definición 2.16. Sea K un nudo y σ= ((i ₁, …, i _2n ), (e ₁, …, e _m )) un nudo combinatorio asociado a K. Si G(w ₁, …, w _k ) es una presentación por encima del grupo de K, definimos la pareja periférica de K como el par (l _m = w ₁ ··· w _k m ^-p ,m), donde p = ∑i=1neai y m∈ y1,...,yn

A la palabra l _m se le llama una longitud del nudo y a m, un meridiano.

Decimos que dos parejas periféricas (l _m , m) y (l _m' ,m') son conjugadas si existe 𝜏 ∈ G(w ₁, …,w _k ) tal que lm = 𝜏l _m' 𝜏^-1 y m = 𝜏 m' 𝜏^-1. En ¹¹, definimos la estructura periférica de un nudo como la clase conjugada en G(w ₁, …, w _k ) de una pareja periférica. En ¹¹, se prueba que la estructura periférica es única, salvo la conjugación.

La tripleta (G(w ₁, …, w _k ); l _m ,m) se llama sistema periférico. Dos sistemas periféricos son isomorfos si y sólo si existe un isomorfismo entre los grupos de los nudos que envía una estructura periférica a la otra. El teorema de Waldhausen afirma que los nudos están completamente determinados por sus sistemas periféricos. (Véase ²³). Para la prueba del siguiente teorema, véanse ^{23 , 24}.

Teorema 2.17. Si (G(w ₁ , ...,w _k ), l _m ,m) es un sistema periférico de un nudo y l _m es 1, donde 1 representa la identidad de G(w ₁ , ...,w _k ), entonces el nudo es trivial.

La deficiencia de una presentación es la diferencia entre el número de generadores y el número de relaciones. La deficiencia de un grupo es el máximo de las deficiencias de las presentaciones de un grupo si tal número existe. Aunque es bien sabido que la deficiencia del grupo de un nudo es 1, aquí presentamos una prueba combinatoria de este hecho, pero antes, probamos el siguiente resultado: (Su prueba fue realizada por O. P. Salazar en ²⁵).

Teorema 2.18. Si G es el grupo de un nudo, entonces G = G' ⋊ ℤ, donde G' es el conmutador de G. Por tanto, G/ G' ≅ℤ.

Demostración. No es difícil probar que G/ G' es isomorfo a ℤ, sea t tal que ℤ = 〈t〉. Sabemos que G tiene una presentación de la forma

donde rk = xi-є xkxiє xk+1-1, є ∈ 1,-1 . Consideremos el homomorfismo π: 〈x ₁,..., x _n |〉 → 〈t〉, dado por x _i ↦ t, para todo i. Puesto que π (r _k ) = 1, entonces π define un homomorfismo de G sobre ℤ que también llamamos π.

Puesto que G'⊂ Ker(π), entoces G/G'Ker(π)/G'≅ℤ , luego G( = Ker(π). Por tanto, podemos definir la sucesión exacta corta

Además, si definimos el homomorfismo ψ: ℤ → G, t ↦x ₁, entonces, (π o ψ)(t) = t. Por tanto, la sucesión exacta (5) es escindida, por lo que G = G' ⋊ ℤ.

La prueba del siguiente teorema usa el hecho de que el grupo de un nudo tiene una presentación con deficiencia 1 (véase ¹⁸).

Teorema 2.19. La deficiencia del grupo de un nudo es 1.

Demostración. Supongamos que tenemos una presentación

〈x ₁,..., x _n | r ₁,..., r _m 〉,

Donde rk = xi-є xk xiє xk+1-1, є ∈1, 1. Puesto que G/ G' ≅ℤ, entonces tenemos una variable libre que denotamos por x ₁. Si n = 1, entonces no existe ninguna relación no trivial.

Supongamos que n > 1. Dado que G/ G' es un grupo abeliano, podemos despejar a x _n de una de las m relaciones como xn1n = x1i1 ... xn-1in-1 , y tal que i _n es 1 o un divisor de las potencias de x _n en las otras relaciones. Reemplacemos x _n en todas las relaciones que aparezca y así, eliminemos una relación y un generador. Supongamos que m > n - 1 y repitamos el proceso para x _n -1. Eliminemos entonces otra relación y otro generador, continuemos hasta encontrar una expresión para x ₂. Hasta aquí, hemos eliminado n - 2 relaciones y n - 2 generadores. Es claro que las relaciones en las que pueda despejarse x ₂ son de la forma x ₂ = x ^k _i . Si x ₁ es libre, debe darse que k = 0 y, si x ₁ no es libre, entonces k = ±1, así, las otras m-n+1 relaciones son redundantes. Por tanto, la presentación de G no requiere más de n-1 relaciones. Si m < n - 1, entonces los restantes n - m generadores son libres, lo cual es imposible por la presentación de G/ G'.

Por último, cabe aclarar que en general el grupo de un nudo no es un invariante completo; es decir, existen nudos que no son equivalentes y, sin embargo, sus respectivos grupos son isomorfos. Pero, si los nudos son primos, entonces este grupo los distingue, salvo la imagen espejo e inverso. Estas definiciones pueden ser consultadas en ¹⁸. Así, tenemos el siguiente teorema:

Teorema 2.20. Sean K ₁ y K ₂ nudos primos. Si ∏(K ₁) es isomorfo a ∏(K ₂), entonces o K ₁ es equivalente a K ₂ o a la imagen espejo de K ₂ o al inverso de K ₂ o al inverso de la imagen espejo de K ₂ .

2.4 La idea de Kauffman

Como habíamos visto previamente, existen nudos combinatorios que no provienen de diagramas de nudos. Entonces, ¿qué debemos hacer con estos códigos? Para resolver este interrogante, L. H. Kauffman (véase ⁸), permitió un nuevo tipo de cruce que él denominó cruce virtual y trabajar con el diagrama haciendo caso omiso del nuevo cruce. A ese tipo de diagramas, Kauffman los llamó diagramas de nudos virtuales.

Si completamos el proceso descrito en la Figura 4, teniendo en cuenta la idea de Kauffman, obtenemos el diagrama mostrado en la Figura 8. Así, podemos asegurar que a cada nudo combinatorio le corresponde un nudo virtual y viceversa. La prueba de esta última afirmación no es difícil de obtener. Para más detalles, véase ¹¹.

Kauffman definió una serie de movimientos, llamados movimientos extendidos de Reidemeister sobre estos diagramas, al considerar los mostrados en la Figura 9 que, junto con los movimientos de Reidemeister, definen una relación de equivalencia. Él probó, entre otras cosas, que los nudos pueden ser vistos como una subcategoría de los nudos virtuales. En ¹⁵, se prueba que existe una correspondencia biunívoca entre las categorías de los nudos virtuales y los combinatorios.

Definición 2.21. Un nudo combinatorio es clásico si es equivalente a un nudo combinatorio geométrico.

Existen condiciones necesarias y suficientes para determinar cuándo un nudo combinatorio es geométrico (véanse ^{15 , 26}). La siguiente condición es necesaria, pero no suficiente para determinar cuándo un nudo combinatorio no es geométrico:

Proposición 2.22. Sea K = ((i ₁ , i ₂ , … , i _2n ), (e ₁ , e ₂ , … e _n )) un nudo combinatorio. Aplicando permutaciones cíclicas sobre (i ₁ , i ₂ , · · · , i _2n ) supondremos que

K = ((eajaj, Saj, eajaj, Saj~),(e1,...,em)) ),

donde S _aj es una subsucesión de i ₁ , i ₂ , …, i _2n .

Si αaj(K) = ∑𝑔∈Saj 𝑔𝑔e𝑔 ≠0, donde |g| denota el valor absoluto de g, entonces K no es geométrico.

El siguiente polinomio fue definido en ²⁷ para diagramas de nudos virtuales. Aquí usaremos los nudos combinatorios para dar una definición alternativa:

Definición 2.23. Sea [K] la clase de equivalencia de un nudo combinatorio K con cruces a ₁ ,...,a _n , entonces el polinomio P _[K] (t) es el polinomio

Y P _[K] (t) = 0 si α _ai (K) = 0 para todo i = 1, 2, ..., n.

En ^{15 )} se prueba que P _[K] (t) es un invariante de nudos combinatorios y, por tanto, de nudos virtuales. Dicho polinomio tiene la particularidad de ser cero sobre la categoría de los nudos combinatorios clásicos.

Aunque en la literatura existen muchas técnicas (véase, por ejemplo, ^8,27-29) para determinar cuándo un nudo virtual no es equivalente a un diagrama de un nudo clásico, éste sigue siendo aún un problema abierto. La técnica expuesta en ³⁰ y en ¹⁵ parece ser una buena aproximación a resolver dicho interrogante.

La definición del grupo de un nudo virtual se hizo a nivel de diagramas, haciendo caso omiso de los cruces virtuales; es decir, que algunos arcos pasarán a través de cruces virtuales y las relaciones se obtendrán en los cruces que no sean virtuales. Usando los nudos combinatorios, podemos definir lo que es el número de puentes para los nudos virtuales y tener el siguiente teorema (para la prueba véase ¹¹):

Teorema 2.24. Sea K un nudo virtual y sea ∏(K) su grupo. Si K tiene k puentes, y ₁ ,...,y _k , entonces existen palabras w ₁ ,...,w _k en el grupo libre 〈y ₁ , …, y _k |〉 tales que ∏(K) = 〈y ₁ , …, y _k | y _i w _i = w _i y _i+1 , i = 1, 2, …, k 〉. Las palabras w ₁ ,...,w _k se computan de la misma forma que la descrita en el Algoritmo 2.13.

Al permitir los movimientos virtuales de Reidemeister sobre los diagramas de nudos, podemos tener la siguiente definición alternativa de número de puentes virtuales, como sigue: sea D un diagrama de un nudo y denotemos sus clases [D] y [D] _v bajo los movimientos de Reidemeister y los movimientos extendidos de Reidemeister, respectivamente. Entonces, tenemos el número de puentes virtuales, denotado b([D] _v ) y el número de puentes real b([D]), como el mínimo número de puentes en las respectivas clases. Es claro que b([D] _v ) ≤ b([D]). ¿Es posible tener la igualdad?

La definición de grupo de un nudo virtual de Kauffman no tiene el carácter topológico de la hecha para los nudos en S ³, sin embargo, es posible definir un grupo de esa misma forma. Para ello, debemos introducir lo que comúnmente se conoce como realización de nudos virtuales en superficies engrosadas, véase ⁷.

Definición 2.25. Una superficie engrosada es una 3-variedad de la forma ∑ × [0,1], donde ∑ es una superficie orientable y compacta. Un subconjunto K de ∑ × [0,1] es llamado un nudo generalizado si existe un encaje de S ¹ en ∑ × [0,1], que preserva la orientación, cuya imagen es K.

En forma análoga al caso de los nudos en S ³, podemos pensar en diagramas de nudos generalizados sobre superficies orientables y compactas. Además, puesto que los movimientos de Reidemeister sólo afectan una parte del diagrama dentro de un disco pequeño, podemos pensar en los movimientos de Reidemeister para el caso de diagramas de nudos generalizados sobre superficies orientables y compactas. Sólo debemos tener cuidado de que los diagramas no intersecten la frontera de la superficie donde yacen.

Aunque no hay un teorema análogo al de Reidemeister que relacione los nudos generalizados con sus diagramas, podemos hacer la siguiente definición (véanse ^8,28):

Definición 2.26. Sean D _i un diagrama de un nudo sobre una superficie orientable y compacta ∑ _i ,i = 1; 2. Decimos que (∑₁ , D ₁) es geotópico a (∑₂ , D ₂), denotado (∑₁ , D ₁) _ḛ (∑₂ , D ₂) si existe una superficie orientable y compacta ∑ ₃ y embebimientos, que preservan orientación f _i : ∑ _i → ∑₃ , i = 1, 2 tales que, f ₁(D ₁) se pueda transformar en f ₂(D ₂) mediante un número finito de los movimientos de Reidemeister sobre ∑₃ .

Al conjunto de todas las parejas ordenadas de la forma (∑, D), donde ∑ es una superficie orientable y compacta y D es un diagrama de un nudo sobre ésta, lo denotaremos por D.

Definition 2.1. ⁽²⁸Sean (∑, K), (∑', K') ∈ D. Estos dos elementos son establemente equivalentes, denotado por (∑, K) ~ (∑', K' ), si existen (∑ _i , K _i) ∈ D, i = 1, 2,..., n, tales que

(∑, K) _ḛ (∑₁ , K ₁) _ḛ ... _ḛ (∑ _n ,K _n ) _ḛ (∑', K' ).

Un ejemplo de dos diagramas de nudos generalizados establemente equivalentes se ilustra en la Figura 10.

En la Figura 11 mostramos, por medio de un ejemplo, la relación que hay entre diagramas de nudos virtuales y los nudos generalizados.

Una prueba del siguiente teorema puede ser consultada en ²⁸.

Teorema 2.27. Existe una correspondencia biunívoca entre las clases de equivalencia de nudos virtuales y las clases de equivalencia estable de nudos generalizados.

Demostración. En la Figura 12 se da una idea intuitiva de la demostración.

Podemos, así, también definir el grupo de un nudo virtual como el grupo fundamental del complemento de una realización de éste en alguna superficie engrosada. Probablemente este grupo no sea un invariante de nudos virtuales, pero sí podemos hacernos preguntas interesantes, como por ejemplo, sobre la geometría del complemento de nudos generalizados y si ésta está conectada con representaciones de los grupos de nudos virtuales en PSL(2;ℂ) como pasa con el caso clásico.

La prueba del siguiente teorema es inmediata; por tanto, la omitiremos.

Teorema 2.28. Si K es un nudo virtual de longitud 1 y tiene un grupo no cíclico, entonces K no es equivalente a un nudo clásico.

3.1 El grupo de un nudo de 2 puentes

Iniciamos esta sección con el siguiente teorema.

Teorema 3.9. Si K = K _α,β , entonces la presentación por encima de ∏₁(K) está dada por

∏ (K _α,β ) = ⟨x, y: xw = wy, x = y⟩, (8)

donde w = y ^e1 x ^e2 ...y ^e2 x ^e1 y τ = y ^−e1 x ^−e2 ...y ^−e2 x ^−e1 .

Corolario 3.10. Dados α y β, ∏(K _α,β ) ≌ ∏(K _α,-β ).

Proposición 3.11. Para todo α y β existe un único s ∈{1, 2, ..., α − 1} par, tal que sβ ≡ −1 mod α ó sβ ≡ 1 mod α.

Demostración. Hacemos la prueba para el caso β > 0, ya que el caso β < 0 es similar. Puesto que (β, 2α) = 1, entonces por el teorema 57 en ³¹, las ecuaciones xβ ≡ (1+α) mod 2α y yβ ≡ (α −1) mod 2α tienen solución en (0, α). Probemos que tales soluciones son pares. En efecto, sea s una solución de la ecuación xβ ≡ (α +1) mod α, entonces existe n ∈ ℤ tal que sβ = α + 1 + 2nα, puesto que α + 1 + 2nα es par y β es impar, así que s debe ser par. Por otro lado, sea s una solución de la ecuación yβ ≡ (α −1) mod 2α, entonces existe m ∈ ℤ, tal que yβ = α −1+2mα, como α −1+ 2mα es par y βes impar; por lo tanto, s debe ser par. Puesto que s es par, sβ ≡ (α ± 1) mod 2α equivale a que sβ ≡ ±1 mod α.

Por último, sean s y s' ∈ {1, 2,..., α − 1} pares, tales que sβ ≡ ±1 mod α y sβ ≡ ±1 mod α ys'β ≡ ±1 mod α. Sin pérdida de generalidad, supongamos que s − sʹ > 0. Sean m y enteros, tales que sβ = ±1 + mα y sʹβ = ±1 nα, con lo que (s − sʹ)β = (m − n)α, puesto que (α, β) = 1, entonces [α, β] = αβ, donde [α, β ] denota el mínimo común múltiplo de α y β , con lo que (s − s')β ≥ αβ, que es un absurdo, ya que s − s' < α, luego s = s'.

Teorema 3.12. Sean α, β primos relativos tales que: 0 < α, −α < β < α y α impar. Sea s = s(α, β) el número par, tal que 2 ≤ s ≤ α − 1 y sβ ≡ 1 mod α(ó sβ ≡ −1 mod α), entonces, para todo β' ∈ (−α, α), tal que sβ' ≡ 1 mod α ó sβ' ≡ −1 mod α,

∏(K _α,β ) ≌ ∏(K _α,β' ).

Demostración. Supongamos que sβ ≡ 1 mod α, puesto que (s, α) = 1 y 0 < s < α, entonces por el teorema 3.6, K _α,β ≈ K _α,s . Ahora consideremos los siguientes dos casos:

Caso 1: Si sβ' ≡ 1 mod α, por el teorema 3.6, K _α,s ≈ K _α,β' , con lo que, K _α,β ≈ K _α,β' , y por la invarianza del grupo de un nudo, ∏( K _α,β ) ≌ ∏(K _α,β' ).

Caso 2: Si sβ' ≡ −1 mod α, entonces (−s)β' ≡ 1 mod α. Por el teorema 3.6, K _{α, −,s} ≈ K _α,β' y por la proposición 3.10, ∏( K _{α, −,s} ) ≌ ∏( K _{α, ,s} ).

Ahora supongamos que sβ ≡ −1 mod α, entonces (−s)β ≡1 mod α. Puesto que (−s, α) = 1, entonces, por el teorema 3.6, K _α,β ≈ K _{α, −s} .

Haciendo un procedimiento análogo al caso anterior, se muestra que ∏(K _α,β ) es isomorfo a ∏(K _α,βʹ ).

Algunas aplicaciones del número s se dan en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 3.13. Para α = 7 y β = 3, ∏(K _7,3) = ⟨x, y : xw = wy, xτ = τy⟩, donde w = yxy ⁻¹ x ⁻¹ yx y τ = y ⁻¹ x ⁻¹ yxy ⁻¹x⁻¹. Así, los relatores de ∏(K _7,3) son:

r ₁: xyxy ⁻¹ x ⁻¹ yx = yxy ⁻¹ x ⁻¹ yxy,

r ₂: xy ⁻¹ x ⁻¹ yxy ⁻¹ x ⁻¹ = y ⁻¹ x ⁻¹ yxy ⁻¹ x ⁻¹ y.

Por otro lado, 2 × 3 ≡−1 mod 7, de donde s = 2. Si pasamos las 2 primeras letras del lado izquierdo, en la relación r1, al derecho y pasamos las dos últimas letras del lado derecho, en la misma relación, al izquierdo, obtenemos la relación r ₂ .

Ejemplo 3.14. Para 𝛼 = 13 y 𝛽 = 3, ∏(K _13,3) = ⟨x, y : xw = wy, xτ = τy⟩, donde w = yxyxy ⁻¹ x ⁻¹ y ⁻¹ x ⁻¹ yxyx y τ= y ⁻¹ x ⁻¹ y ⁻¹ x ⁻¹ yxyxy ⁻¹ x ⁻¹ y ⁻¹ x ⁻¹ .Así, los relatores de ∏(K _13,3 ) son:

r1 : xyxyxy ⁻¹ x ⁻¹ y ⁻¹ x ⁻¹ yxyx = yxyxy ⁻¹ x ⁻¹ y ⁻¹ x ⁻¹ yxyxy

r2 : xy ⁻¹ x ⁻¹ y ⁻¹ x ⁻¹ yxyxy ⁻¹ x ⁻¹ y ⁻¹ x ⁻¹ = y ⁻¹ x ⁻¹ y ⁻¹ x ⁻¹ yxyxy ⁻¹ x ⁻¹ y ⁻¹ x ⁻¹ y.

Ahora bien, 4 × 3 ≡ −1 mod 13, de donde s = 4. Si pasamos las 4 primeras letras del lado izquierdo, en la relación r ₁ , al derecho y pasamos las 4 últimas letras del lado derecho, en la misma relación, al izquierdo, obtenemos la relación r ₂ .

Ejemplo 3.15. Para α = 13 y β = 7, ∏(K _13,7) = 〈x, y: xw = wy, xτ = τy⟩, donde w = yx ⁻¹ y ⁻¹ xyx ⁻¹ y ⁻¹ xyx ⁻¹ y ⁻¹x y τ = y ⁻¹ xyx ⁻¹ y ⁻¹ xyx ⁻¹ y ⁻¹ xyx ⁻¹, reemplazando, encontramos que los relatores de ∏(K _13,7) son:

r₁: xyx ⁻¹ y ⁻¹ xyx ⁻¹ y ⁻¹ xyx ⁻¹ y ⁻¹ x = yx ⁻¹ y ⁻¹ xyx ⁻¹ y ⁻¹ xyx ⁻¹ y ⁻¹ xy

r₂: xy ⁻¹ xyx ⁻¹ y ⁻¹ xyx ⁻¹ y ⁻¹ xyx ⁻¹ = y ⁻¹ xyx ⁻¹ y ⁻¹ xyx ⁻¹ y ⁻¹ xyx ⁻¹ y.

Puesto que 2 × 7 ≡ 1 mod 13, s = 2. Si pasamos las 2 primeras letras del lado derecho, en la relación r ₁, al izquierdo y pasamos las 2 últimas letras del lado izquierdo, en la misma relación, al derecho, obtenemos la relación r ₂.

Ejemplo 3.16. Para α = 13 y β = 5, ∏(K _13,5) = 〈x, y : xw = wy, xτ = τy〉, donde w = yxy ⁻¹ x ⁻¹ y ⁻¹ xyx ⁻¹ y ⁻¹ x ⁻¹ yx y τ = y ⁻¹ x ⁻¹ yxyx ⁻¹ y ⁻¹ xyxy ⁻¹ x ⁻¹ . Reemplazando, encontramos que los relatores de ∏(K _13,7 ) son:

r1 : xyxy ⁻¹ x ⁻¹ y ⁻¹ xyx ⁻¹ y ⁻¹ x ⁻¹ y = yxy ⁻¹ x ⁻¹ y ⁻¹ xyx ⁻¹ y ⁻¹ x ⁻¹ yy

r2 : xy ⁻¹ x ⁻¹ yxyx ⁻¹ y ⁻¹ xyxy ⁻¹ x ⁻¹ = y ⁻¹ x ⁻¹ yxyx ⁻¹ y ⁻¹ xyxy ⁻¹ x ⁻¹ y.

Puesto que 8 × 5 ≡ 1 mod 13, s = 8. Si pasamos las 8 primeras letras del lado derecho, en la relación r ₁, al izquierdo y pasamos las 8 últimas letras del lado izquierdo, en la misma relación, al derecho, obtenemos la relación r ₂.

Procediendo de forma similar a lo hecho en los ejemplos anteriores, probamos en ¹⁰⁾ el siguiente teorema:

Teorema 3.17. Para todo α y β, el relator xτ = τy es consecuencia del relator xw = wy, donde w = y ^e1 x ^e2 ... y ^e2 x ^e1 y τ = y ^-e1 x ^-e2 ... y ^-e2 x ^-e1 . Por tanto, el grupo ∏(K _α,β ) tiene deficiencia 1.

3.2 Representaciones de grupo de nudos de dos puentes

En esta sección estudiamos representaciones de los grupos de nudos de dos puentes en el grupo de matrices SL(2,ℂ), dando algunas condiciones sobre las palabras w ₁, w ₂ para que existan tales representaciones. Para más detalles véase ³². También consideramos el caso general de representaciones en el álgebra quaterniónica ℍμvK , véase ¹³.

Sea z un número complejo y consideremos las matrices parabólicas

Sea F = F (x, y) el grupo libre en los generadores {x, y}. Existen homomorfismos únicos,

H: F → SL(2,ℂ) con H (y) = B, y H (x) = Az. (10)

La imagen de F bajo este homomorfismo la denotamos Г _z .

___

Si w = y ^e1 x ^e2 · · · y ^em-1 x ^em ∈ F, a H (w) la denotamos genéricamente por

por lo que a, b, c y d son polinomios en la variable z, véase [Proposición 1, ³²].

Para extender el homomorfismo H definido en (10) al grupo G(w), se requieren condiciones que garanticen que las relaciones se preserven.

Teorema 3.18. Sea W = abcd ∈Γz , entonces AzW = WB si y sólo si c = zb y a = 0.

Demostración. La igualdad A _z W = WB es cierta si y sólo si

Resolviendo estas ecuaciones obtenemos que A _z W = WB si y sólo si c = zb y a = 0.

Teorema 3.19. Sea

, α un número impar y eα-j = ej ∈ℤ \0, para todo j = 1, 2,...,α-12, entoces zb = c .

Demostración. Véase ¹².

La prueba del siguiente teorema se hace por inducción matemática.

Teorema 3.20. Sea W(α) = abcd = Be1 Aze2 ... Beα-2 Azeα-1 , donde e _j ∈ ℤ*

y ea-j = ej , para todo j = 1, 2, ..., n = α-12 ; α impar mayor o igual a 3, entonces, grad(a) = grad(c) = n y grad(b) = grad(d) = n.

Demostración. Aplicamos inducción sobre α. En efecto, si α = 3, entonces

Así, grad(a) = grad(c) = 1 y grad(b) = grad(c) = 0.

Ahora bien, sea W ^α = B ^e1 A_z ^e2 W ^{𝛼 -2} … B ^e(-2 A_z ^e(-1 . Por hipótesis de inducción, en este caso tomando m =α-52 <n , se tiene que existen x ₀, y ₀, y q ₀ en ℤ, y r, u y v en ℤ[z], donde grad(r) < m, grad(u) < m− 1 y grad(v) < m− 1, tales que

Reemplazando en W ^α y haciendo el producto explícitamente matricial, tenemos que grad(a) = grad(c) = n y grad(b) = grad(d) = n − 1.

Del teorema anterior, podemos concluir que los grupos de los nudos de dos puentes S(α, β) siempre tienen representaciones no abelianas en SL(2;ℂ), cuando α > 2.

Un interrogante que surge es: ¿Podemos extender el procedimiento anterior a nudos de tres puentes?

Ahora, consideremos representaciones en la 𝕂-álgebra quaterniónica:

tal que i ² = μ, j ² = v y ij = −ji. Donde K es un campo. Para más detalles, véase ¹³.

Tenemos que

Es un isomorfismo.

Para A = 𝛼+ i𝛽 + j𝛾 + ij𝛿, sea A ⁺ = 𝛼 y A ⁻ = i𝛽 + j𝛾 + ij𝛿, entonces definimos T(A) como 2A ⁺ y N(A) como A(A ⁺ − A ⁻¹). No es difícil verificar que el subconjunto U1 = {A ∈ ℍ | N(A) = 1} es un subgrupo de ℍ y, además, tenemos los siguientes isomorfismos:

y si

Supongamos que G = 〈a, b | r(a, b)〉 es el grupo de un nudo de dos puentes, en este caso, r(a, b) : aw(a, b) = w (a, b)b, y sea 𝜌 : G → U ₁ una representación, tal que 𝜌(a) = A y 𝜌(b)=B, entonces A ⁺ = B ⁺.

Sea x = A ⁺, y = −(A ⁻ B ⁻)⁺ y u = 1 − x ² = −A ⁻ A ⁻ = −B ⁻ B ⁻. El 𝕂-subespacio vectorial Im(𝜌) de ℍ es generado por B = {1, A ⁻, B ⁻, (A ⁻ B ⁻)⁻}, más aún, la representación ( es irreducible si y solo si ℍ es generado, como 𝕂- álgebra, por {1, A ⁻, B ⁻ , (A ⁻ B ⁻)⁻}.

Consideremos el automorfismo 𝕏 _A : ℍ → ℍ, C ⟶ AC y sea m(A) la matriz del automorfismo 𝕏A con respecto a la base B, entonces

Puesto que m(A) = xII_4×4 + m(A⁻), m(B) = xII_4×4 + m(B−), m(A ⁻¹) = xII_4×4 − m(A ⁻) y m(B ⁻¹) = xII_4×4 − m(B ⁻), realicemos la sustitución a ^±1 por m(A ^±1) y b ^±1 por m(B^±1) en r(a, b) y hagamos

donde W ₁(a, b) = aw(a, b) y W ₂(a, b) = w(a, b)b.

Sea L _G el ideal generado por los polinomios pi(x, y), i = 1, 2, 3,4 y consideremos la variedad algebraica ((L _G ) correspondiente a dicho ideal.

Sea (x ₀; y ₀) ∈ L(L _G ) y, sean A,B en U1 ⊂ -1,1ℂ , tales que A ⁺ = B ⁺ = x ₀, y ₀ = − (A ⁻ B ⁻)⁺ y B = {1, A ⁻, B ⁻, (A ⁻ B ⁻)⁻} es una base. Entonces, 𝜌: G → SL(2,ℂ) dada por:

es una representación, véase ¹³.

Por otro lado, A = x0𝕀4x4 + A- , con lo que

Entonces T(AB) = 2(x02 - y0 , además, T(A) = T(B); luego, si x02 , tenemos representaciones parabólicas.

En ¹⁰ se da una familia infinita de grupos de nudos virtuales que no corresponden a grupos de nudos clásicos. Estos grupos constituyen una subfamilia de los llamados grupos de Baumslag-Solitar. En ese artículo probamos que los grupos BS(n, n + 1) = 〈 x, y | xy ⁿ x ^-1 = y ⁿ⁺¹ 〉 corresponden a grupos de nudos virtuales de dos puentes y tienen la siguiente presentación:

Con las técnicas anteriores, podemos calcular los polinomios p ₁(x, y),...,p ₄(x, y) para el caso del grupo BS(n, n + 1) y considerar la variedad algebraica:

( (p ₁(x, y),… , p ₄(x + y)).

Pero, en este caso ( (p ₁(x, y),…, p ₄(x; y)) = Ø. La prueba de este hecho se sale de los objetivos de este artículo. Por tal motivo, la omitimos.

3.3. Construcción de nudos combinatorios a partir de ∏(K _α , _β )

Dado un grupo con presentación 〈x, y: xw = wy〉, donde w es una palabra en el grupo libre de dos generadores F = 〈x, y |〉, encontramos una galería de nudos combinatorios de 2 puentes K, tales que ∏(K) ≅ 〈x, y: xw = wy〉.

Teorema 3.21. Sea G(w) un grupo no cíclico con presentación:

G(w) = 〈x, y: xw = wy〉 , w = x ⁿ¹ y ⁿ² ...x ^nt−1 y ^nt , t = 2m.

Entonces, existe K; un nudo combinatorio de 2 puentes, tal que ∏(K) es isomorfo a G(w).

Demostración. Si w ₁ = x ⁿ¹ y ⁿ² ...x ^nt−1 y ^nt , entonces

G(w) ≅ 〈 x, y: w₁ ^-1 xw ₁ y ⁻¹ = w₂ ^-1 yw ₂ x ⁻¹ = 1 〉 ,

donde y w ₂ = y ^−nt x ^−nt−1 ...y ⁻ⁿ² x ⁻ⁿ¹ .

Para simplificar la prueba, sea u _j = −n _t−j+1 , j = 1, 2,..., t, entonces

w ₂ = y ^u1 x ^u2 … y ^ut-1 x ^ut .

Consideremos los siguientes conjuntos:

Sea a = ∑j=1tnj . Entonces, los conjuntos definidos anteriormente son disjuntos y su unión es {1,2,...,2a}. Ademas, A0 = n1, A1 = n2i+1, i = 1,2,...,m - 1, Bi = n2i, i = 1, 2,...,m, A¯i = u2i, i = 1,2,...,m, B0 = u1, B¯i = u2i+1, i = 1, 2,...,m - 1 y A0 ∪ (∪Ai) ∪ (∪Bi) = 1,2,...,a y (∪A¯i) ∪ (B¯0 ∪ (∪Bi) =a+1,..., 2a.

Para k ∈ {1,2,…,a}definimos e _k = siɡ(n ₁) si k ∈ A ₀, e _k = siɡ(n _2j+1 ) si k ∈ A _j o e _k = siɡ (n _2j ) si k ∈ B _j . Sean A =A0 ∪ (∪Ai)∪ (∪A¯i) y B (∪Bi)∪ (∪B¯0∪(∪Bi).

Consideremos las sucesiones Aσ y Bτ obtenidas, respectivamente, al dotar a los conjuntos A y B de un orden específico y despojarlos de su estructura de conjuntos. Entonces, podemos definir el siguiente nudo combinatorio:

K = ((Aσ,−1,−2, ...,−a, B _τ ,−(a+1),−(a+2), ...,−2a), (e ₁, ..., e _a ,−e _a , ...,−e ₁)).

Probemos que ∏(K) ≌ G(w). En efecto, denotemos los puentes de K por x = {−2a, A,−1} y y = {−a, B,−(a + 1)}. Por teorema visto

∏(K) ≡x, y, : 𝒈1-1x𝒈2y-1 =𝒈2-1 y 𝒈2x-1 =1 , donde _ᶢ1 , _ᶢ2 ∈ F[{x, y}].

Encontremos a _ᶢ1 y _ᶢ2 de forma explícita. Por definición,

_ᶢ1 = (x ^e1 ...x ^e1 ) (y ^e2 ...y ^e2 ).... (x^et-1 …x^et-1) (y^et...y^et) = x ⁿ¹ y ⁿ² ... x ^nt-1 x ^nt = w ₁

De forma similar se prueba que _ᶢ2 = w ₂. Puesto que no es un grupo cíclico, entonces K es de dos puentes.

Observación 3.22. Al nudo combinatorio encontrado en la prueba anterior lo denotamos por Kσ;τ . No es difícil probar que por cada orden A _λ , B _δ que le demos a los conjuntos A y B, respectivamente, obtengamos un nudo combinatorio K _λ , _δ tal que ∏( K _λ , _δ) = G(w).

Para un grupo de la forma G(w) dado, al conjunto de todos los nudos combinatorios de la forma K _λ , _δ tal que ∏(K _λ , _δ ) = G(w) lo denotamos K _G (w).

Corolario 3.23. Si K ∈ K _G (w), entonces K no es clásico y por tanto no trivial.

Demostración. Computemos la longitud de K. Por definición l(K) =w1w2x-p, donde p = ∑i=1α ei + ∑i=1α -ei = 0 , con lo que l(K) = w ₁ w ₂, puesto que w ₁ = w y w ₂ = w ⁻¹, entonces l(K) = 1. Como K no es trivial, ya que ∏ no es cíclico, entonces K no puede ser clásico.

Sean

A = {j ∈{1, 2, ..., 𝛼 − 1} : j es par} ∪ {j ∈ {𝛼 , 𝛼 + 1, ..., 2𝛼 − 2} : j es impar} y

B = {j ∈{1, 2, ..., 𝛼 − 1} : j es impar} ∪ {j ∈ {𝛼, 𝛼 + 1, ..., 2𝛼 − 2} : j es par}

conjuntos ordenados, entonces, cualquier otro orden para ellos está determinado por permutaciones σ: A →A y λ : B → B.

Sea K ^σ,λ el nudo combinatorio

((Aσ,−1, ...,−(𝛼 − 1), B_λ,−𝛼, ...,−(2𝛼 − 2)), (e ₁, e ₂, ..., e _𝛼−1, e ₁, e ₂, ..., e _𝛼−1)),

entonces ∏(K ^σ,λ) ≅ ∏(K ^𝛼,𝛽 ).

Denotemos la colección de estos nudos combinatorios por K ^𝛼,. Es claro que, para todo 𝛼, 𝛽, K _𝛼, ∈ K ^𝛼,.

Teorema 3.24. Para todo 𝛼 y 𝛽, y σ: A → A y λ : B → B permutaciones, el nudo combinatorio

((A _σ ,−1, ...,−(𝛼 − 1), B _λ ,−𝛼, ...,−(2𝛼 − 2)), (e ₁, ..., e _𝛼−1,−e ₁, ...,−e _𝛼−1)),

satisface:

(1) Tiene grupo isomorfo a ∏( K _𝛼,𝛽) y

(2) Tiene longitud trivial, por tanto, no es clásica.