1 Introducción

En 1987 se publicaron dos trabajos de manera independiente los cuales marcan el nacimiento de lo que hoy en día se conoce como cristales fotónicos (CF)^1,2. Este tipo de cristales se caracterizan por tener una modulación periódica en el espacio de su constante dieléctrica, y en esencia son semiconductores de luz; en ellos la luz siempre encuentra alguna dirección por la que puede propagarse. Las ondas de luz que tienen permitido propagarse en el cristal se conocen como modos, los grupos de modos forman las bandas ³. Un elemento de interés para el diseño y posterior utilización de los CF es determinar las regiones de existencia de las bandas fotónicas prohibidas (BFP), en las que ningún modo con energía que se encuentre en esta región se propagará ^4,5.

Entre los métodos numéricos que permiten obtener información de la estructura de bandas se destaca el método de expansión de ondas planas, el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo y el método de la matriz de dispersión ^6-8. La existencia de los BFP en CF da lugar a diferentes fenómenos ópticos entre los que podemos mencionar la inhibición de emisión espontanea, guiar la luz a través de circuitos ópticos, guías de ondas con pérdidas bajas y resonadores Fabry Perot ⁹.

La introducción de defectos que rompen la periodicidad espacial del CF, sean puntuales, lineales o planares, producen la localización de modos electromagnéticos o guiado de la radiación dentro del BFP^10-12. Los defectos se introducen en el CF cambiando el espesor de las capas, insertando otro dieléctrico a la estructura, o removiendo una capa del CF. Es en este ámbito donde los CF adquieren gran relevancia, pues con dichos sistemas es posible producir microcavidades con elevados factores de calidad y guías de onda de alta eficiencia ¹³. Los cristales fotónicos pueden ser descritos formalmente con la teoría electromagnética de Maxwell, lo que los convierte en sistemas de características escalables, es decir, las propiedades electromagnéticas de un cristal microscópico cuyo trabajo sea en el rango espectral visible, se mantienen si el cristal se escala a un tamaño macroscópico en el rango de las microondas. En este trabajo, haciendo uso de la teoría electromagnética calcularemos la dependencia del espectro de transmitancia con la temperatura; emplearemos el método de la matriz de transferencia cuando se introduce dos defectos en el cristal fotónico unidimensional (CF-1D).

2 Fundamento Teórico

Consideremos primero un haz de luz incidente a un ángulo θ desde la izquierda de un CF-1D en dirección z, como se muestra en la Figura 1. En el CF-1D, N es el número de periodos de las bicapas, H y L son las capas de índices de refracción alto y bajo, respectivamente. El comportamiento de la luz se fundamenta en las ecuaciones de Maxwell; el campo eléctrico para el modo TE satisface la ecuación de Helmholtz ¹⁴:

Donde ((z) es la constante dieléctrica relacionada con el índice de refracción por

((z)= n²(z) . La solución de la ecuación (1), para la capa j-th está dada por

donde el modo TE es paralelo a la interface del CF-1D, kj,z =(w/c)2∈j-kx2 y ∈j , es la componente z del vector de onda y la constante dieléctrica en la j-th capa, respectivamente. La componente transversal del vector de onda es 𝑘_{𝑥 =}𝑘₀sinθ, con 𝑘₀ el vector de onda en el medio incidente.

Los parámetros 𝐴 _j y 𝐵 _j se calculan mediante las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales de los campos electromagnéticos en las interfaces del CF-1D, lo cual requiere resolver un número enorme de ecuaciones algebraicas, por lo tanto es necesario recurrir al método de la matriz transferencia (MMT) ¹⁴. De acuerdo al MMT,cada capa puede ser representada por una matriz

En la ecuación (3) la matriz de propagación está definida como

Donde la fase φ _j es

En la ecuación (5), 𝑑 _j , 𝑛 _j y θ _j son el espesor, el índice de refracción y el ángulo en la j-th capa, respectivamente. La matriz dinámica está dada por

Figura 1 Esquema de una heteroestructura CF-1D, Aire /(HL)²/Aire. 

La matriz de transferencia total para la estructura Aire/(HL)² /Aire, es

donde D ₀ es la matriz dinámica del aire.

La reflectancia R y la transmitancia T en el caso de incidencia normal sobre la estructura está dada por

donde y representan los elementos matriciales de la matriz de transferencia, ecuación (7).

3 Resultados

En los siguientes cálculos consideramos un CF-1D, Aire/(HL)² /Aire con una BFP en la región visible y a una temperatura fija de 25° C. Aquí, H se toma como TiO₂ con índice de refracción 𝑛_TiO2 = 2.2 y SiO₂ con 𝑛_SiO2 = 1.45 para la capa L, el periodo es N=6. Adicionalmente, las capas son un cuarto de longitud de onda, esto es, ¹⁵

donde λ₀ es la longitud de onda de diseño que asumiremos de 500 nm. Nuestro estudio está restringido solamente al caso de incidencia normal, donde el borde izquierdo de la banda λ _L y el borde derecho de la banda λ _R puede ser calculado mediante la teoría de reflectores de Bragg, usando las siguientes ecuaciones ¹⁶,

Con el coeficiente de Fresnel ρ = (𝑛_TiO2 - 𝑛_SiO2) / (𝑛_{TiO2 +} 𝑛_TiO2). Mediante la ecuación (10), junto con los parámetros del material se encuentra que los bordes de la banda son λ _L = 441.79 nm y λ _R = 575.87 nm, Figura 2.

incrementa el número de filtros en la región de la BFP con potenciales aplicaciones en filtros de banda estrecha.

Figura 2 Calculo de la transmitancia para CF-1D, Aire /(TiO2 / SiO₂)⁶ / SiO₂ / (TiO₂ / SiO₂)⁶ / SiO₂ / (TiO₂ / SiO₂)⁶ / Aire. 

Sin embargo, los modos defecto dependen con la temperatura por dos factores: primero, debido a la expansión térmica la cual origina que el espesor de cada material sea función de la temperatura, ¹⁷:

En la ecuación (12), 𝛼 es el coeficiente de expansión térmica, y ∆𝛵 es la variación en la temperatura. Los coeficientes de expansión 𝛼 del TiO₂ y SiO₂, son 8.0 x 10^-6 / °C y 5.5 x 10^-7⁄ °C, respectivamente ¹⁵.

Segundo, el efecto termo-óptico, esto es, el índice de refracción de los medios materiales varía con cambios en la temperatura, esta dependencia viene determinada por:

En la ecuación (13), 𝛽 es el coeficiente térmico-óptico. Los coeficientes de expansión 𝛽 del TiO₂ y SiO₂, son -2.31 x 10^-5⁄°C y 1.0 x 10^-5⁄°C, respectivamente ¹⁸.

Ambos factores son considerados simultáneamente en el presente trabajo. En la Figura 3, calculamos el espectro de transmitancia para tres diferentes temperaturas, 25° C , 125° C y 225° C. Se muestra un corrimiento al rojo al incrementar la temperatura, esto se puede explicar de la ecuación (4) y ecuación (5); cuando el espesor y el índice de refracción aumentan, la longitud de onda λ se incrementa para mantener la fase φ sin cambios.

Figura 3 Calculo de la transmitancia para los modos defecto con ∆𝛵= 0° C (curva gruesa), ∆𝛵= 100° C (curva delgada) y ∆𝛵= 200° C (curva a trazos). 

Finalmente, examinemos el efecto del espesor sobre los modos defecto en CF-1D, (HL)² ⁄mD⁄(HL)^N⁄mD ⁄(HL)^N, donde m representa el número de defectos repetidos. En la Figura 4, se muestra el espectro de transmitancia para el caso m=3 y con un incremento de temperatura de ∆𝛵= 100° C, al igual que el espectro presentado en la 2, los dos modos defectos están fijos alrededor de la longitud de onda de diseño λ₀ con la presencia de nuevos picos de transmisión.

Figura 4 Calculo de la transmitancia TE para CF-1D, Aire /(HL)⁶ / mL / (HL)⁶ / mL / (HL)⁶ / Aire, con m=3 y ∆𝛵= 100° C. 

En la Figura 5, se muestra el espectro de transmitancia para m=4 y con un incremento de temperatura de ∆𝛵= 300° C; cuatro picos de transmisión que se encuentran localizados dentro de la BFP con valores de transmitancia de 95% para longitudes de onda entre 444.5 nm, 457.4 nm, 551.9 nm y 574.4 nm.

Figura 5 Calculo de la transmitancia TE para CF-1D, Aire /(HL)⁶ / mL / (HL)⁶ / mL / (HL)⁶ / Aire, donde m=4 y ∆𝛵= 300° C. 

4 Conclusiones

La propiedad inusual de los cristales fotónicos de permitir la propagación de la luz para ciertos rangos de longitudes de onda, se demuestra haciendo uso del método de la matriz transferencia al calcular el espectro de transmisión para ondas con polarización TE con incidencia normal al CF-1D. El introducir defectos en el CF-1D, origina la aparición de picos de transmitancia los cuales se encuentran localizados en la BFP, denominados modos defecto. Al considerar dos defectos en el CF-1D origina la aparición de dos picos de transmitancia alrededor de la longitud de onda de diseño λ₀. Se encuentra un corrimiento de los dos modos defecto a longitudes de onda mayores a medida que se incrementa la temperatura. El espectro de transmitancia depende del número de veces (𝑚) en que se repita los defectos. Para valor impares de los espesores, los modos defecto mantienen su posición alrededor de λ₀. Mientras que, para valores pares de los espesores, se encuentra la aparición de cuatro modos defectos en la BFP.