1. Introducción

Para el pensamiento matemático griego existían dos clases de objetos fundamentales, a saber: las cantidades discretas (dos, tres, etc) llamadas ἀριθμοί, y las magnitudes continuas (líneas, áreas, sólidos) llamadas μέγεθοϛ. Tales objetos para ser objetos del conocimiento (ἐπιστήμη), solo podían ser concebidos como objetos del pensamiento (διάνοια),² no como objetos de los sentidos (αἰσθητά). Correspondientes a estas dos clases de objetos, se distinguían dos ramas de las matemáticas: la άριθμετική o ciencia de la cantidad discreta y la γεωμετρική o ciencia de la magnitud continua.

Las palabras μαθήματα y μαθηματικός no llegaron a significar lo que nosotros llamamos matemáticas y lo matemático, hasta tiempos de Aristóteles. Con Platón μάθημα es menos general, significando cualquier materia de instrucción o estudio (Cf. ^{Heath, 1965}, Vol 1: 10). Arquitas de Tarento, un matemático pitagórico contemporáneo y amigo de Platón, ofrece una clasificación de las matemáticas de su época que es, con mucha probabilidad, la que conoció Platón; son las cuatro materias del cuadrivium pitagórico: geometría, aritmética, astronomía y música (o armonía) (Heath, 1965, Vol 1: 11). Platón fue un heredero de esta cultura matemática, la cual asumió de manera tal que, aun cuando no hizo de él un matemático técnico con la capacidad de alcanzar grandes descubrimientos propios, sí lo colocó en la posición de un hombre que estaba al tanto de los resultados matemáticos más importantes de su época y logró ejercer gran influencia sobre grandes matemáticos como Teeteto y Eudoxo, influencia que se manifestó en la forma de una inteligente crítica del método.

En este artículo abordaremos una distinción planteada por Platón entre objetos matemáticos propios de la vida cotidiana (agricultura, comercio, etc.) y objetos matemáticos propios de la ciencia (geometría, aritmética, astronomía y música), la cual tiene lugar en el marco de una aclaración acerca de cómo y en qué disciplinas debe darse la formación de los futuros Filósofos, pues precisamente los objetos matemáticos propios de la ciencia, “que se comportan siempre e idénticamente del mismo modo” (República. 484b), son formas puras sobre las cuales el amante del saber debe reflexionar para formar su alma filosófica. Ahora bien, si por “objeto matemático” entendemos todo aquello que permita operaciones aritméticas (suma, resta, producto, división), geométricas (“cuadrar, aplicar, añadir” -República. 527a) y deductivas (demostración de propiedades, teoremas, etc.) nos interesa destacar que para Platón los hay de dos clases: aquellos que solo pueden ser pensados (arithmoí en sí mismos, megethos en sí mismos) y que tienen precisamente las características de las ideas con las que trabaja todo filósofo,³ y aquellos que pueden ser percibidos (con los cuales se pueden hacer operaciones básicas, mas no demostraciones de propiedades) y que en la antigua Grecia eran útiles para la vida cotidiana, los negocios y la ingeniería militar, pero para Platón, no podían ser objeto de estudio por parte del filósofo. Pero ¿cuál es el fundamento de esta distinción y qué consecuencias tiene en el marco del pensamiento matemático de la antigüedad clásica?

Para responder a estas cuestiones estableceremos, en primer lugar, a la luz de las obras de Platón, Aristóteles y Euclides, cuál es la naturaleza de la aparente distinción entre estos dos tipos de ‘objetos matemáticos’ haciendo énfasis en el concepto de arithmós, y por tanto en la ciencia de la aritmética; luego trataremos acerca de una dificultad que surge del concepto de monás (μоνάς) y que ayudará a una correcta comprensión del concepto de arithmós; a continuación, y con base en nuestra delimitación del concepto de arithmós, enfrentaremos el problema de decidir cuál es el menor de todos los ἀριθμοί; finalmente trataremos el problema de la diferencia entre dos aparentemente distintas disciplinas que se dedican al estudio científico de los ἀριθμοί, a saber, la logistiké y la arithmetiké. Contrario a las interpretaciones tradicionales argumentaremos que no se trata de dos disciplinas distintas sino de dos enfoque diferentes al interior de la mima ciencia de los ἀριθμοί.

2. El problema de la distinción entre objetos matemáticos

En el libro séptimo de La República, Platón propone un currículum para la educación de los hombres de estado, el cual incluye cinco materias en orden de complejidad: aritmética, geometría, geometría sólida,⁴ astronomía matemática y finalmente armonía matemática. Aristóteles por su parte incluía entre las disciplinas matemáticas a la óptica y a la mecánica.

A propósito de la óptica y de la armonía nos dice en Metafísica 1078a15 que “ni una ni otra considera su objeto en cuanto sonido o en cuanto visión, sino en cuanto línea y números (...) y lo mismo de la mecánica”. Además nos dice en Metafísica 1073b5 que la astronomía es la ciencia más afín a la filosofía, pues “ésta, en efecto, estudia una substancia sensible (αἰσθητς) pero eterna, mientras que las otras no estudian ninguna substancia; por ejemplo, la aritmética y la geometría.

Gracias a la obra de Proclo Comentarios al libro primero de los elementos de Euclides, sabemos que en la época en que vivieron Platón y Aristóteles circulaban unos trabajos de Geometría en forma de texto,⁵ y que matemáticos de la academia como Teeteto y Eudoxo usaban manuales que reunían los resultado matemáticos más importantes hasta el momento, trabajos que fueron la base para la obra de Euclides. Así pues, podemos suponer que tanto la concepción de los objetos, como del método (αποδείκτικоυ) presentadas en este libro (el de Euclides), corresponden esencialmente a la misma concepción que de ello tenían tanto Platón como Aristóteles.

Platón no fue el primero, pero si fue uno de los que más claro habló sobre la naturaleza de los objetos de la geometría. Para él éstos no eran cosas materiales, sino objetos que solo pueden ser pensados (διανоηθηναι) (Rep. 526ª) y aun cuando los geómetras:

se sirvan de figuras visibles (ὁρωμένоις εἰδεσι) y hagan discursos acerca de ellas pero no pensando en ellas mismas, sino en aquello a que éstas se parecen (...) discurren en vista del cuadrado en sí (τετραγὡνоυ αύτоῦ ) y de la diagonal en sí (διαμέτρоυ αὐτῆς), y no en vista de la que dibujan, y así con lo demás (...); de estas cosas que dibujan se sirven como imágenes (εἰκόνες), buscando divisar aquellas cosas en sí que no podrían divisar de otro modo que con el pensamiento (διάνоια). (Rep. 510e-511a)

La noción que de los objetos de la geometría tenía Platón no era muy diferente de la moderna, como lo acabamos de ver, pues en la geometría desde Tales y hasta nuestros días los diagramas son meramente una ayuda para guiar el razonamiento, más no parte de la demostración. De lo dibujado no se pueden sacar conclusiones. Además, las magnitudes continuas son objetos matemáticos que solo pueden ser pensados, más no experimentados. Sin embargo, no podemos decir lo mismo de los objetos de la aritmética.

A lo largo de la obra de Platón se hace notoria la importancia que este filósofo le da a la άριθμητική, entendida como el estudio de los άριθμоί, o sea, el estudio de los “números” y sus propiedades. Pasajes como República 522c y 525a; Filebo 56d; Teeteto 198a; Fedón 101c, etc, así lo demuestran. Ahora bien, el término άριθμός siendo uno de los términos que marcan la diferencia entre el pensamiento matemático antiguo y el moderno, no puede ser traducido por “número”, pues la noción moderna de número⁶ es un concepto abstracto, mientras que para los griegos άριθμός era un término que estaba íntimamente ligado a objetos.⁷

La primera definición de arithmós se debe a Tales, quien lo definió como una colección de unidades (μоνάδων συστημα) (^{Heath, 1965}, Vol 1: 69). Los pitagóricos por su parte conectaban la unidad a la aritmética y el punto a la geometría, diciendo que la unidad es un punto sin posición (στιγμή ἂθετоς) y un punto es la unidad que tiene posición (μоνά ςθεσιν ἒχоνσα) (Heath, 1963: 38); y por su parte Eudoxo definió esta noción como una multiplicidad finita (πλῆθоς ὡρισμένоν) (Heath, 1963: 38). Sean cuales sean las fuentes de estas consideraciones, todas apuntan a la misma dirección: un arithmós es una multitud o colección de unidades. En definitiva no es posible encontrar una diferencia significativa en la concepción del objeto de la aritmética entre Euclides y los primeros matemáticos griegos (Heath, 1965), por tanto el significado fundamental de arithmós es el de ‘colección finita de objetos’, lo cual está de acuerdo, como veremos, con lo que pensaba Platón.

En efecto, Platón enuncia en varios pasajes de sus diálogos, principalmente en República 525d y Filebo 56d, una noción de arithmós que en principio coincide con las definiciones anteriores, pero agrega una concepción aparentemente doble de este concepto: la que tenían las personas del común (τὴν τῶν πоλλῶ) y la de los filósofos (τὴν τῶν φίλоσоφоν). En República 525d nos dice Sócrates, a propósito de la ciencia de los arithmoí, que esta “eleva el alma muy arriba y la obliga a discurrir (διαλέσθαι) sobre los números en sí (αύτῶν τῶν άριθμῶν) no tolerando en ningún caso que nadie discuta con ella aduciendo números dotados de cuerpos visibles o palpables (ὁρατὰ ἣ ἀπτὰ σώματα ἒχоνσα). Por extraño que pueda parecer, esta última frase debe ser tomada tal cual: para las personas del común en la antigua Grecia, (y aún hoy en día es posible) algo como el arithmós cinco (πέντε) solo podía ser un grupo de cinco cosas que se podían ver y tocar: cinco vacas o cinco toneles de vino o cualesquiera cosas que fueran cinco. Pero para el filósofo, quien debía también estar preparado en matemáticas, algo como el arithmós cinco solo debía ser considerado en sí mismo (αὐτὴ πέντε), lo cual indica, que los filósofos manejaban una noción de arithmós que abstraía de lo cotidiano, marcando una diferencia entre dos maneras de concebir el mismo objeto. En Filebo 56d, no solo se retoma esta distinción, sino que nos dice Platón en qué consiste la diferencia. Sócrates pregunta “¿No debemos decir que hay una aritmética de la masa y otra de los Filósofos?”, a lo cual el interlocutor -Protarco- pregunta por la diferencia entre ellas y Sócrates responde:

No es pequeña la diferencia, Protarco. En efecto, algunos de los que se ocupan de los números cuentan unidades desiguales (μоνάδας ἀνίσоυς) como dos ejércitos o dos bueyes, o dos cosas cualesquiera, así sean las más pequeñas o las mayores de todas; los otros en cambio no los acompañarían a no ser que se dé por sentado que ninguna de las infinitas unidades difiere de cada una de las demás unidades (εἰ μὴ μоνάδα μоνάδας ἑκάστηςτῶν μυρίων μηδεμίαν ἂλλης διαφέρоυσαν τις θὴσει).

Se exhibe aquí el motivo de la distinción entre las aparentes dos clases diferentes de arithmoí: los de la gente del común están hechos de unidades desiguales, mientras que los del filósofo están hechos de unidades que se suponen iguales o al menos indiferenciadas. Aquí Platón claramente está ilustrando la diferencia que existe entre entidades sensibles y entidades inteligibles. La misma oposición se encuentra en Teeteto 195d-196b en un contexto diferente: es más fácil para alguien cometer un error al sumar un arithmós de cosas que son vistas o tocadas o percibidas por cualquiera de los sentidos, como una multitud de cinco o una multitud de siete personas, que cuando él considera el respectivo arithmós “en sí mismo”, en este caso “el cinco y el siete en sí mismos” (αὐτὰ πέντε καί έπτὰ), los cuales él tiene únicamente en su pensamiento (έν τῇ διανоίᾳ ἒχει). Estos arithmoí como también “el once, el cual uno no puede aprehender sino solamente por el pensamiento (τὰ ἒνδεκα ἃ μηδέν ἄλλоἢ διανоεῖταί τίς)” y cualquier otro arithmós de clase similar, son casos de arithmoí de unidades que llamaremos “puras”. Es decir, son unidades accesibles solamente al pensamiento, las cuales uno puede aprehender y contar únicamente “en sí mismas” (αὐτὸς πρὸς αὐτόν) a diferencia de “todos aquellos objetos exteriores que tengan número (τῶν ἔξω ὅσα ἔχει ἀριθμόν)” (Teeteto 198c).

El hecho de que estos arithmoí “solo admiten ser pensados (ὧν διανоηθῆναι μόνоν ἐγχωρεῖ)” (República 526a) tiene su base en la pureza de sus unidades, de las cuales “todas y cada una son iguales entre sí sin la más mínima diferencia y sin partes en sí mismas” (ἴσоν τε ἕκαστоν πᾶν παντὶ καὶ оὐδέ σμικρὸν διαφέρоν μоριόν τε ἒχоν ἐν ἐατῷ оὐδέν)” (República 526a). Estas unidades “puras” con las que trabaja el aritmético son denotadas con el nombre genérico de μоνάς, término que conservó su significado en el pensamiento matemático griego cuando menos hasta la obra de Euclides Elementos de Geometría. En efecto, las definiciones que tiene Euclides al principio del libro VII de los Elementos concuerdan con esta noción:

Definición VII 1: Una unidad es aquello de acuerdo a lo cual cada cosa es llamada uno.Μоσνάςἔ στιν, καθ’ἣν ἕκαστоν τῶν ὄντων ἕν λέγεται.

Definición VII 2: Un número es una multitud hecha de unidades. Ἀριθμός δέ, τὸ ἐκ μоνάδων υγκείμενоν πλῇθоς.

Sobre las dificultades del concepto de μоνάς volveremos más adelante, por ahora nos dedicaremos a precisar el concepto griego de arithmós en tanto concepto que conservó su sentido único (pese a los dos sentidos insinuados República 525d y Filebo 56d) de multiplicidad numerada de objetos.

Podemos afirmar que la noción de arithmós que Platón expresa en sus diálogos conserva un sentido único, tanto con respecto a predecesores (Tales) como con respecto a contemporáneos y/o sucesores (Eudoxo, Euclides). En esta noción el hecho fundamental que no se puede perder de vista es el del conteo de algún número de cosas.⁸ Aquí hay que hacer énfasis en lo de “algún número de cosas”, pues nada sería más extraño al pensamiento matemático griego que considerar arithmoí de nada. Un arithmós es siempre un arithmós de algo, de una cantidad definida de cosas definidas: de manzanas, de vacas, de toneles de vino, y, matemáticamente hablando, de unidades puras, accesibles solo al pensamiento.⁹ Recordemos que la noción de arithmós de Tales, hablaba de una “colección de unidades”, la de Eudoxo de una “multitud finita”, y, la de Euclides de una “multitud hecha de unidades”. Aristóteles, ofreció varias definiciones de arithmós, todas ellas de acuerdo con lo hasta ahora dicho: “multiplicidad limitada”;¹⁰ “multiplicidad (o combinación) de unidades”;¹¹ “multiplicidad de indivisibles”;¹² “multiplicidad medible por el uno”;¹³ “multiplicidad medida y multiplicidad de medidas (siendo el uno la medida)”;¹⁴ “multiplicidad de unos” (Fis. 207b7).

Así pues, sea cual sea la definición que se diera de la respectiva noción de arithmós que se tenía, ésta siempre apuntaba a lo mismo: colección finita de determinados objetos, y si por “objeto” entendemos en este contexto cualquier ente al que se le puedan aplicar las operaciones de la aritmética (adición, producto, etc.),¹⁵ entonces es tan objeto de la aritmética tres vacas como el arithmós formado por tres unidades “puras”.

Queremos insistir en que no es que se dieran dos nociones distintas de arithmós para el pensamiento matemático griego, la noción era solo una pero aplicada a dos esferas distintas del saber: los sensibles y los inteligibles. No debemos culpar a la gente del común de la Antigua Grecia por trabajar con arithmoí de unidades sensibles y solo “con miras a las compras y a las ventas”, a la manera de “comerciantes y mercachifles” (como parece reprocharles Platón en República 525d), y ser indiferentes o incapaces de pensar en los “arithmoí en sí (περί αὐτῶν τῶν άριθμῶν)” con “miras al saber (τоῦ γνωρίζει ἕνεκα)”. La cultura matemática de la gente del común ha sido pobre desde siempre. Incluso hoy en día a una pregunta elemental de matemáticas como por ejemplo: “¿Cuál es el tercio de un medio?”, planteada aleatoriamente a una persona, muy probablemente obtendríamos por respuesta que no tiene ni idea, e incluso algunos justificarían no saberla, pues, no la necesitan para su actividad.

3. Las ambigüedades del concepto de Monás

Pasemos ahora a considerar una cuestión sobre la cual habíamos dicho más arriba que presentaba dificultades: se trata del concepto de μоνάς.

En efecto, estas dificultades se dan a partir del puesto destacado que ocupa el concepto de μоνάς al interior de la noción de arithmós y por ende de las interpretaciones que se han dado del concepto.

Algunos estudios de la filosofía e historia de la ciencia griega (^{Pritchard 1995}: 15), consideran que hay dos errores frecuentes cometidos por quienes estudian la filosofía de las matemáticas de Platón al considerar el concepto de μоνάς. Por un lado, cuando afirman que éste se refiere a la idea de unidad, y, por otro lado, cuando aseguran que denota al arithmós “uno”. Pensamos, al igual que el autor del estudio citado (Pritchard, 1995), que ambas consideraciones tienen consecuencias inaceptables.

Examinemos esto a la luz del puesto que ocupa el mencionado concepto al interior de la noción de arithmós que acabamos de enunciar. En primer lugar, recordemos que el hombre que usa arithmoí en su actividad práctica cotidiana, tiene que adoptar como sus unidades cosas como bueyes o manzanas que nunca son precisamente iguales; mientras que el matemático trata exclusivamente con unidades puras (ύπоθήσται) que se supone son iguales o idénticas. Esto último está confirmado por la práctica euclideana reflejada, por ejemplo, en pasajes como Elementos VII proposición ¹⁶, donde se afirma como cosa corriente que “puesto que las unidades BG, GH, GC, son iguales entre sí (...)”.15 No está demás insistir en que lo que distingue las unidades del matemático de cualquier otra clase de unidades que sirvan para contar es que todas ellas son semejantes entre sí. No es difícil ver que μоνάς es usado en este sentido en las definiciones VII.1 y VII.2 de Euclides y Filebo 56d.

Ahora bien, sabemos que para Platón las cosas sensibles solo podían ser objeto de la opinión (δόξα) mientras que objetos como los arithmoí en sí debían serlo de la inteligencia (νоῦς). Que la realidad de los objetos “opinables” no es negada, mas sí devaluada, es algo que está muy claro en Platón, lo que no está muy claro y sigue siendo asunto de discusión es si Platón situó a estos dos tipos de objetos en mundos distintos, los opinables en éste y los inteligibles en uno más allá. De ahí que cuando se habla de la idea de unidad, entendiendo por idea de unidad algo como un ente metafísico separado del mundo sensible, se está tomando partido por una interpretación de la filosofía de las matemáticas de Platón muy controvertida y que complica la pregunta sobre el tipo de realidad que tenían para Platón los objetos de las matemáticas.¹⁷

El objetivo en este momento no es decidir si μоνάς denota o no a la idea de unidad, lo que se pretende es llamar la atención sobre una lectura de Platón que convertiría en intratables algunos de los pasajes más importantes sobre el pensamiento matemático del filósofo. Así por ejemplo en dos pasajes de Fedón 101b-c y 105c-d, donde μоνάς parece ser usado para referirse a la idea de unidad. En 101 b-c Sócrates hace reconocer a Cebes que “no encuentras otra causa de producirse el dos, sino la participación en la dualidad (δυάδоς μετάσχεσιν), y es preciso que participen en ella los que van a ser dos, y de la unidad (ἡ μоνάς) lo que va a ser uno (τо ἕν)”; y en 105 c-d: “y si tu pregunta es, qué es lo que hace a un número impar (περττός) no te diré que la imparidad (περττόης) sino que la unidad (ἡ μоνάς )”.

Si μоνάς denotara la idea de unidad y ἡ δυάς denotara a su vez a una análoga idea de dualidad, entonces el principal problema estaría en la respuesta a la pregunta: ¿Qué son los arithmoíen sí? Ciertamente no son ideas en el sentido antes indicado, porque cada idea es única y existen muchos arithmoí todos idénticos entre sí; pero tampoco son cosas sensibles pues éstas nunca son iguales entre sí. En suma lo que ocurriría es que Aristóteles tendría razón cuando afirma en Metafísica 987b14 que para Platón los objetos de las matemáticas son intermedios (μεταξύ) entre las ideas y los particulares sensibles. Planteamiento que ha sido ampliamente debatido en las últimas décadas (^{Pritchard, 1995}: 156).

Cabe aquí insistir nuevamente en algo de suma importancia: no debemos perder de vista que la noción griega de arithmós es radicalmente distinta de la noción moderna de número,¹⁸ ya que esta última se constituye a partir de la noción abstracta de conjunto, noción que, a su vez, es improbable que fuera concebida por el pensamiento matemático griego. Así pues, lo primero que debe evitarse si se quiere comprender un pensamiento matemático, que como el de Platón, estaba inmerso en una cultura distante a veinticuatro siglos de la nuestra, es traducir arithmós por número y sugerir así una identidad imposible entre dos nociones radicalmente distintas.

4. Superación de la ambigüedad y la cuestión acerca del menor de los números

Los modernos aceptamos que el menor de los números enteros positivos es el uno. Para los antiguos Griegos es improbable que μоνάς denotara al número uno porque μоνάς se refiere a un concepto del lenguaje con el que se están definiendo los objetos de la aritmética y cuando hablamos de algo como el “número uno” hablamos de un objeto con el cual podemos hacer matemáticas (operar y demostrar propiedades), por tanto no está del todo claro que cuando se habla del número uno se hable de un concepto. Más aun, hay una importante consecuencia de la noción griega de arithmós entendido como multiplicidad de unidades, a saber que el uno (τо ἕν)¹⁹ no era considerado un arithmós por los Griegos. Así pues, μоνάς no puede denotar al número uno porque ni siquiera (τо ἕν) era un arithmós y al hablar de “número uno” estaríamos hablando de un objeto del cual el pensamiento matemático griego no tenía ninguna noción. Decir que μоνάς denota al número uno no es más que una confusión de términos que no se pueden relacionar al pensamiento matemático griego.

Ahora bien, ¿Por qué el uno (τо ἕν) no era considerado un arithmós? Pues claramente porque un arithmós es una multiplicidad finita de determinados objetos y la menor multiplicidad es el dos (ή δὐо). En efecto, el mismo Aristóteles nos refuerza en esta dirección. En varios pasajes de la Metafísica es claro y enfático al afirmar que el uno (τо ἕν) no es un arithmós. Así por ejemplo en Metafísica 1088a6 donde dice: “uno significa medida de alguna pluralidad (τо ἕν ὃτι μέτρоν πλήθоυς τινός) y número significa pluralidad medida y pluralidad de medidas (y por eso es razonable que el uno no sea número, pues tampoco la medida es medida, sino que son principio (ἀρχή) tanto la medida como el uno)”. A pesar de esta enfática declaración de Aristóteles sobre lo que el uno (τо ἕν) no es, un arithmós, se da sin embargo una dificultad, la cual de no ser por la noción de arithmós en la que nos hemos basado, sería realmente difícil de superar: se trata de una aparente indecisión por parte de Platón de considerar o no al uno (τо ἕν) como un arithmós.

Platón unas veces sugiere que el primer arithmós es el dos (ή δὐо) y otras veces que es el uno (τо ἕν). Así en el Sofista 238b coloca a los arithmoí y al uno en el mismo nivel: “entonces no intentamos aplicar el número ni la pluralidad, ni el uno, a lo que no es”; y en República 524d habla del arithmós y del uno como si de objetos distintos se tratara.

Razona a partir de lo dicho. En efecto, si la unidad es vista suficientemente por si misma o aprehendida por cualquier otro sentido, no atraerá hacia la esencia como decíamos en el caso del dedo. Pero si se la ve en alguna contradicción, de modo que no parezca más unidad que lo contrario, se necesitara de un juez y el alma forzosamente estará en dificultades, e indagara, excitando en si misma al pensamiento, y se preguntara que es en sí misma la unidad...y si esto es así con lo uno (τо ἕν), ¿no pasara lo mismo con todo número?

Aquí Aristóteles nos ayuda en la salida a esta cuestión. En efecto, en Física 220a27 dice: “el número mínimo en el sentido absoluto es el dos. Pero como número concreto a veces lo es y a veces no lo es”. Recordemos que según nuestra noción de arithmós existen dos clases distintas de éstos, los que están compuestos de unidades sensibles (vacas, bueyes, etc.) que no son iguales entre sí, y los compuestos de unidades puras (μоναδής) las cuales se suponen iguales.

Así pues, cuando Platón nos habla del uno y los demás arithmoí en el citado pasaje del Sofista, nada impide que se esté refiriendo a arithmoí de la primera clase, los sensibles, y así poder hablar del uno como si se tratara de un arithmós, sin contradicción alguna, mientras que en el pasaje de La República Platón venía hablando de la necesidad de estudiar los arithmoí “en sí mismos” (αὐτῶν τῶν ἀριθμῶν) “con miras al saber y no a las compras y a las ventas como los comerciantes y mercachifles”. Es decir, Platón aquí hablaba de los arithmoí de la segunda clase, los de unidades puras, entre los cuales no puede encontrarse el uno (τо ἕν) pues un arithmós en su sentido más general es una multiplicidad finita de objetos y la menor multiplicidad de algo es la del dos.

Así pues podemos concluir que el uno no es un arithmós, pese a que sirva, por ejemplo, para enumerar personas concretas como en El Timeo,²⁰ pues lo que allí se hace es utilizar el término εἷς para contar y no afirmar que se trata de un arithmós. Así mismo, a la pregunta ¿Cuál es el mínimo arithmós considerado en sí mismo (αὐτῶν τῶν ἀριθμῶν)?, la respuesta es: el dos. Y a la pregunta ¿Cuál es el mínimo arithmós considerado “respecto a sí mismo y a unos con otros”? (Gorgias 415c.), la respuesta será, como dijo Aristóteles: unas veces es el uno y otras veces no lo es.

Ahora bien, se dice que un arithmós es mínimo si no existe otro menor que él, así por ejemplo, en terminología moderna, el menor número positivo par es el dos, pero el menor número positivo racional no existe, pues dada cualquier fracción positiva siempre se puede encontrar otra menor que ella. De otro lado, dado que el concepto griego de arithmós está fundado en el hecho de que las unidades con las que trabaja quien está versado en la ciencia de los arithmoí son indivisibles, y los números de la forma p/q, con p y q enteros siempre son divisibles por cualquier entero r, entonces lo que nosotros los modernos llamamos “números fraccionarios o racionales (p/q)”, no podían ser arithmoí para los Griegos. Por tanto, a la colección de arithmoí propia del pensamiento matemático griego puede y debe asignársele un arithmós mínimo, la cuestión es ¿cuál? Recordemos brevemente lo último que habíamos dicho sobre el uno (τо ἕν) en su carácter de no ser un arithmós en su sentido estricto. Decíamos que negar que el uno es un arithmós no conduce a negar que la unidad es la mínima cantidad discreta ni alegar, por ejemplo, que alguien pueda tener menos de dos cosas. También habíamos dicho que para Aristóteles el arithmós mínimo cuando se refiere a algo concreto a veces es el uno y a veces no lo es. Esta indecisión frente a esta cuestión es tan solo aparente. Para aclarar esto, veamos el resto del pasaje:

Así por ejemplo en el caso de la línea, el número mínimo con respecto a la multiplicidad es una línea o dos líneas, pero con respecto a la magnitud no hay mínimo, porque toda línea es siempre divisible. Y de la misma manera también el tiempo, pues con respecto al número hay un tiempo mínimo (uno o dos), pero con respecto a la magnitud no lo hay (Fis. 220a27).

La magnitud (μέγεθοϛ) es lo continuo y lo continuo, según Aristóteles, es lo que puede ser dividido infinitamente en partes (Fis. 237a1.), por lo tanto no hay una magnitud mínima. Ahora, el mínimo conjunto de unidades con respecto a la pluralidad es el de dos unidades. Una única unidad es menor en pluralidad que dos unidades, sin embargo no es una pluralidad de unidades. En un pasaje de la Metafísica, dice Aristóteles:

Y la pluralidad (πλῇθоς) es como el género (γένоς) del número; pues el número es una pluralidad medible por el uno. Y uno y número se oponen en cierto modo, no como contrarios, sino, según dijimos, como algunas de las cosas relativas; pues se oponen como la medida (μέτρоν) y lo mesurable (μετρητόν). Por eso no todo lo que sea uno es número: éste es el caso de lo indivisible (ἀδιαίρετоν)²¹, si hay algo tal.

Así, si un objeto de las matemáticas es uno y tiene la propiedad de ser indivisible, entonces no es un arithmós. A este respecto Platón en República 525e es muy claro cuando dice: “quienes entienden de estas cosas, se ríen del que en una discusión intenta dividir la unidad en sí (αὐτότὸἕν) y no lo admiten; antes bien, si tú la divides, ellos la multiplican porque temen que vaya a aparecer la unidad no como unidad (τὸἕν μὴ ἕν) sino como reunión de varias partes”.

Así pues, el uno (τоἕν) es indivisible y en sentido estricto no es un arithmós. Solo lo continuo, las líneas del geómetra y los cuerpos visibles y tangibles son divisibles y por lo tanto se puede considerar como arithmós.²² Esto tiene como consecuencia que objetos como partes fraccionales de la unidad no pertenecieran a la aritmética entendida como “ciencia de lo par y lo impar” (Met. 1057a1-7). Así lo expresa Platón en Fedón 105b cuando dice que “al uno y medio, al medio, y al tercio” no se les pueden aplicar las nociones de par o impar. Esto es, las fracciones con las cuales trabaja el λоγιоτικός,²³ como si fueran arithmós, en realidad solo pueden ser partes fraccionales de las cosas que subyacen a un conteo que se esté llevando a cabo, y las cuales, en virtud de su naturaleza corpórea, pueden ser infinitamente divididas. El hecho de que las fracciones no eran consideradas como arithmós se encuentra confirmado, como es de esperarse, en el libro de los Elementos de Euclides, el cual en la proposición VII.31 afirma “cualquier número compuesto es medido por un número primo πρότоιἀριθμί”,²⁴ y esta proposición es allí demostrada utilizando el método de reducción al absurdo, consistiendo el absurdo en mostrar la existencia de una sucesión infinita decreciente de arithmoí, es decir, una secuencia de arithmoí en la cual cada arithmós es menor que el anterior, lo cual es imposible, como bien lo afirma Euclides, pues tal sucesión debería detenerse en el uno (τоἕν), el cual es indivisible.²⁵

5. Logistiké vs. Arithmetiké dos artes ( τεχνὴ ) acerca de los arithmoí

Solo nos resta para la conclusión de este análisis de los objetos de las matemáticas en Platón, la consideración de las dos disciplinas que, según Platón, se dedican al estudio de “lo par y lo impar”, esto es: la λоγιστική y la ἀριθμητική.

Para introducir esta distinción, podemos comenzar considerando la afirmación de que estas unidades con las que el matemático trabaja no admiten ser particionadas en lo absoluto, o lo que es lo mismo, que tales unidades no están compuestas de partes. Recordemos que Platón en República 525e nos dice que quienes saben de la ciencia de los arithmoí no admiten que alguien en una discusión intente dividir la unidad en sí (αὐτό τὸ ἕν), pues tal acción haría que el uno aparezca no como siendo uno, sino como conteniendo muchas partes. Justamente esta dificultad, que parece darse a propósito de la indivisibilidad de las unidades puras, es lo que se encuentra en el centro de una distinción que se hace al interior de la ciencia de los arithmoí, la logistiké y la arithmetiké.

Platón, en Gorgias 415c, hace decir a Sócrates que si le preguntaran de qué trata la arithmetiké, él contestaría que “sobre lo par y lo impar y la cantidad de cada uno”. Y, que si le preguntaran de qué trata la logistiké, él respondería que “ambas se refieren a lo mismo, a lo par y a lo impar; se diferencian solamente en que la logistiké examina las relaciones de lo par y lo impar respecto a sí mismos y a unos con otros”.²⁶

Ha sido tradicional afirmar una oposición directa de la arithmetiké como disciplina teórica, a la logistiké, como el arte práctico de calcular. Así por ejemplo ^{Heath (1965}, Vol 1: 13), quien además añade que la arithmetiké puede ser entendida como nuestra “teoría de números”. Esta interpretación moderna está apoyada por los comentarios que se encuentran a este respecto en la obra de Proclo: Comentario al Libro Primero de los Elementos de Euclides, libro que aun cuando es la única fuente histórica sobre la actividad matemática de la antigua Grecia, debe ser entendido en su contexto histórico y no en el nuestro. Sin embargo, es difícil ver cómo en las palabras de Platón se puede encontrar justamente esta oposición, y cómo es posible identificar a la arithmetiké con nuestra moderna teoría de números, máxime cuando sabemos que el concepto griego de arithmós era radicalmente distinto de nuestra noción de número.

Ciertamente, no es fácil determinar lo que quería decir Platón a propósito de estas dos artes (τεχνὴ), pero sí es posible considerar, basados en las referencias de los diálogos, que ellas no eran dos disciplinas científicas que pertenecieran a dos niveles diferentes. Antes bien, se trataba de una sola ciencia que podía tomar dos direcciones. En República 522c, Platón nos dice que para ser capaces de contar nosotros debemos saber distinguir los arithmoí particulares, debemos “distinguir el uno, el dos y el tres”. Platón llama a la totalidad de esta ciencia de todos los arithmoí posibles la arithmetiké. La arithmetiké es pues, el arte del conteo correcto, así en Teeteto 198b nos dice Platón “por medio de este arte [la arithmetiké] tiene uno al alcance de la mano los saberes de los números”, y en Ión 537e dice “que todos estos dedos son cinco, lo sabemos por el mismo arte de la arithmetiké”.²⁷ Ahora bien, la logistiké ha de ser entendida como el arte que tiene que ver con el comportamiento de los arithmoí en sus mutuas relaciones y por tanto la ciencia que al relacionar arithmoí nos permite calcular con ellos. Todas las operaciones significativas sobre arithmoí presuponen un conocimiento de las relaciones que conectan a los arithmoí entre sí. Este conocimiento, que adquirimos en la infancia y que usamos en todo cálculo, aun cuando no esté siempre presente como tal, es la logistiké.

La diferencia entre estas dos ramas de las matemáticas no son sus objetos, pues en ambas los objetos son arithmoí. La diferencia está en que la arithmetiké estudia los arithmoí por sí mismos, mientras que la estudia sus relaciones de uno a otro con respecto a la cantidad. Así por ejemplo, como comenta ^{Pritchard (1995}: 73), es un asunto de la arithmetiké saber que el 10 es un arithmós triangular, pero es asunto de la logistiké saber que 2 y 6 están en la misma razón que 5 y 15. Pareciera así que la arithmetiké se dedica a demostrar propiedades de los arithmoi y la logistike a hacer operaciones con estos objetos, pero tal conclusión no puede obtenerse de las obras de Platón. Recordemos que Platón en República 525c nos decía que el estudio de la logistiké es un estudio necesario en tanto que obliga al alma a discurrir sobre los arithmoí en sí, y, un poco antes en República 525a nos decía que como toda la logistiké y la arithmetiké tienen por objeto el arithmós, ellas resultan aptas para conducir a la verdad y por lo tanto son de las enseñanzas que convendría implantar por ley para luego, “intentar persuadir a quienes vayan a participar de las más altas funciones para que se acerquen a la logistiké y se apliquen a ella no de una manera superficial, sino hasta que lleguen a contemplar la naturaleza de los números con la sola ayuda de la inteligencia (τῇ νоήσει αὐτῇ)”. En esta actividad que pretende ser una preparación para los futuros Filósofos, se busca que el alma discurra sobre los objetos en sí de esta disciplina, sobre el uno en sí (αὐτό τὸ ἕν), sobre el arithmós en sí (αὐτό τῶν ἀριθμῶν), y no sobre esos objetos que sirven para realizar las compras y las ventas, en suma, se quiere acceder a una logistiké que podríamos calificar de “científica” frente a una que podríamos calificar de “práctica”.²⁸

Ahora bien, no olvidemos que un objeto de la logistiké en su dimensión “científica”, un objeto como el uno en sí, es el límite último de toda posible partición. Así pues, objetos como las fracciones no son otra cosa que partes fraccionales de las cosas que subyacen a un conteo, las cuales, en razón de su naturaleza corpórea pueden ser infinitamente divididas. Pero, si consideramos que en la mayoría de los casos en que se realiza un cómputo, se hace necesaria la introducción de partes fraccionales de la unidad, entonces, surge un desajuste entre el material con el cual los cómputos son desarrollados y aquél otro material de arithmoí de unidades “puras”, cuyo carácter está expresado precisamente en la indivisibilidad de sus unidades. Así, un cómputo que se pretenda lo más exacto posible simplemente no puede ser efectuado en el reino de los arithmoí de unidades puras. La consecuencia inmediata de esto, al menos al interior de la tradición platónica, es la exclusión de todos los problemas computacionales en el reino de las disciplinas de los arithmoí en su dimensión “científica”. Se puede afirmar entonces que no es insostenible que las unidades con las que trabaja el logistikós son indivisibles. Lo que ocurre es, como dice Platón en Filebo 56d, que hay una disciplina de los arithmoí “propia de la masa, y otra que es la de los Filósofos”. Es decir, que en las actividades comerciales cotidianas de la gente del común que no son, propiamente hablando, ‘ciencia’ hay que vérselas con cómputos que involucran partes fraccionales de cosas pero que tanto en la arithmetiké como en la logistiké entendidas como ‘ciencias’, que son estudiadas por los Filósofos y tan sólo con miras al saber, no se da ningún proceso que involucre partes fraccionales de las unidades puras que son las que componen a los arithmoí matemáticos.

Cómo citar este artículo:

MLA: Chica, Víctor., Luis F. Echeverri., y Edwin Zarrazola. “Objetos matemáticos sensibles y objetos matemáticos inteligibles”. Estudios de Filosofía,55 (2017): 187-205.

APA: Chica, V., Echeverri, L.F., Zarrazola, E. (2017).Objetos matemáticos sensibles y objetos matemáticos inteligibles. Estudios de Filosofía, 55, 187-205.

Chicago: Chica, Víctor., Echeverri, Luis F. y Zarrazola, Edwin. “Objetos matemáticos sensibles y objetos matemáticos inteligibles”. Estudios de Filosofía n.° 55 (2017): pp-pp.ra materialista de la antropología en sentido pragmático de Kant.” Estudios de Filosofía n.° 55 (2017): 187-205.