Introducción

La noción de distribución estadística es básica para la comprensión y, sin embargo, es usual que se aborde en la enseñanza sin ahondar en los elementos que la componen. Se plantea así un proyecto¹ que pretende contribuir a razonar sobre dicha noción desde la exploración de la variabilidad, en estudiantes de nivel universitario. El proyecto se concreta en un experimento de enseñanza que se desarrolla a lo largo de un semestre de clases, y propone un trabajo en varios registros de representación y con tecnología. Se presenta, entonces, una sistematización del trabajo de los estudiantes con una caracterización de la variabilidad ligada a la noción de distribución que emerge de la revisión de ideas de la literatura a la luz del trabajo de los estudiantes. Para finalizar, se exponen unas reflexiones acerca del proceso de aproximación de los estudiantes a la noción de distribución estadística durante el desarrollo de la secuencia de instrucción propuesta.

Aspectos metodológicos

La metodología de los experimentos de enseñanza forma parte del enfoque conocido como investigación de diseño. Este se enmarca en la perspectiva de investigación que se centra en la relación reflexiva entre la teoría y la práctica, donde, según ^{Cobb (2000)}, y ^{Steffe, Thompson y Von Glasersfeld (2000)}, la teoría emerge de la práctica y la realimenta para guiarla. Es usual que la investigación de diseño también involucre el diseño de materiales de instrucción y de análisis retrospectivos.

El experimento de enseñanza desarrollado en el proyecto está orientado a observar y analizar el aprendizaje de los estudiantes sobre la noción de distribución estadística a partir del trabajo desde la variabilidad, con la hipótesis de que este trabajo posibilita la evolución del pensamiento de los estudiantes hacia una idea de distribución más complejizada.

El escenario del experimento de enseñanza es el espacio académico de Estadística de la formación de estudiantes para profesores de matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional (UPN), donde el profesor del curso es miembro del equipo de investigación. La secuencia de instrucción diseñada, que busca que los estudiantes sean aprendices activos, propone el contexto de la alimentación sana. Así, desde la intuición y la observación sobre la variabilidad de colecciones de datos numéricos, en conjunto con el tránsito por diferentes registros de representación mediante tecnología, se pretende generar progreso en la formalización de las apreciaciones e interpretaciones.

Después de cada clase, se realiza un análisis de lo ocurrido allí, que guía la planeación de las clases siguientes y las modificaciones a la secuencia de instrucción. Así mismo, al finalizar el experimento de enseñanza, se lleva a cabo un análisis retrospectivo de todo lo sucedido, con énfasis en la mirada del aprendizaje de los estudiantes.

Se forman 13 grupos de 3 estudiantes cada uno, nombrados más adelante como G1, G2, G13, en el interior de los cuales se trabaja en el desarrollo de las tareas propuestas en la secuencia de instrucción. Se realizan con frecuencia puestas en común y socializaciones guiadas por el profesor, que permiten el trabajo colaborativo en todo el curso. Los estudiantes utilizan el computador como herramienta y registran el trabajo elaborado por escrito. Adicionalmente, las interacciones de los grupos y las socializaciones globales se graban en audio y video.

La sistematización de la información surge de la selección de apartes de las transcripciones, que son revisados y discutidos hasta llegar a una interpretación consensuada por los investigadores a la luz del marco conceptual. Las respuestas y expresiones formuladas por los grupos constituyen la información que se organiza según elementos comunes que se referencian en el trabajo de los estudiantes, los cuales van conformando las categorías relacionadas con características de la variabilidad de una colección de datos. En definitiva, estas características se ven como elementos constitutivos de la noción de distribución estadística y componen la caracterización de la variabilidad que emerge en este proyecto.

Marco conceptual

Según ^{Wild (2006)}, un posible origen de los problemas que enfrenta la educación en estadística puede ser el hecho de que algunos aspectos de la estadística son tan elementales, que a pesar de que las personas los usan al razonar, no los nombran o exploran. Los conceptos variabilidad²y distribución son unas de esas nociones que no son enunciadas, aunque sí son usadas de manera habitual dentro del campo de la estadística y la probabilidad; sin embargo, pero en su estudio no hay claridad sobre sus características, ni tampoco hay suficiente indagación, como lo sugieren ^{Andrade et ál. (2017)}, aspectos ligados a la variabilidad como objeto o tema de estudio, pues en disertaciones doctorales han tenido una importancia relativamente menor (apenas 12 de 129 trabajos doctorales la han considerado).

Shaughnessy y Ciancetta (2001, citados por ^{Canada, 2004}) muestran que hay un acuerdo en que "la variabilidad es el fundamento del pensamiento estadístico, la razón más profunda de la existencia de la disciplina". Autores como ^{Moore (1998)} y ^{Slauson (2008)} reafirman la importancia de que los estudiantes aprecien y comprendan la variabilidad como componente central del razonamiento estadístico, y de manera similar, ^{Hassad (2007)}, ^{Meletiou (2000)}, ^{Porter (2001)} y ^{Zieffler (2006)} alegan que la clave para el razonamiento estadístico es que los estudiantes reconozcan y aprecien la omnipresencia de la variabilidad en contextos diversos, y entiendan cómo es dicha variabilidad, cómo se cuantifica, y se explica con las herramientas estadísticas que permiten darle sentido y control.

La definición de ^{Moore (1990)} para la naturaleza del pensamiento estadístico incluye cinco elementos: la omnipresencia de la variabilidad en los procesos, la necesidad de datos sobre los procesos, el diseño de producción de datos con la variabilidad en mente, la cuantificación de la variabilidad, y la explicación de la variabilidad, que son corroborados por ^{Pfannkuch y Wild (2004)} al ubicar la variabilidad en el centro de los modelos de pensamiento estadístico de los profesionales que involucran notar, entender, evaluar críticamente y distinguir los diferentes tipos de variabilidad. La omnipresencia de la variabilidad es ratificada por la posibilidad de observarla y detectarla en todos los sistemas y entidades de la realidad (^{Wild y Pfannkuch, 1999}).

En la mayoría de formas estadísticas de razonamiento sobre la variabilidad está presente la noción de distribución, la cual subyace a las grandes ideas de la estadística como la variabilidad y el muestreo (^{Bakker y Gravemeijer, 2004}). Según ^{Reading y Shaughnessy (2004)}, "sin variación no hay distribución". Al respecto, ^{Wild (2006)} subraya que la comprensión de la noción de distribución inicia por la percepción de la naturaleza omnipresente de la variabilidad. Para este autor, la noción de distribución es, en su nivel más básico, "el patrón de variación en una variable; esta noción es el fundamento del trabajo estadístico que investiga desentraña y modela patrones de variación, con el fin de aprender de ellos y hacerlos predecibles" (p. 11). De esta manera, Wild (2006) establece la distribución como un lente para mirar la variabilidad; es decir, existe una estrecha relación entre la variabilidad de una colección de datos que constituye una variable y la distribución correspondiente³. Además, apunta este investigador que mirar la variación en los datos a través de la distribución conduce a la exploración de la naturaleza de la variación explicada e inexplicada.

Es usual que los estudiantes vean los datos como valores de cada caso, es decir, consideren las frecuencias de valores particulares, y así, la percepción se centre en las características de los casos de valores individuales. Agregan ^{Konold et ál. (2014)} que cuando la atención se centra en la visualización de valores similares a los de una unidad o categoría, los datos se pueden ver como clasificadores, donde usualmente se contempla solo la frecuencia de cada unidad o categoría. ^{Bakker y Gravemeijer (2004)} señalan la necesidad de que los estudiantes vean los datos como valores de una variable y no como una característica personal de alguien; es decir, que desconecten las medidas o datos de los sujetos u objetos y consideren los datos comparados con un contexto global de medidas, para así desarrollar una noción de distribución como una estructura organizada o entidad conceptual. Parafraseando a ^{Wild (2006)}, se da un gran paso si se llega a pensar en los datos como un agregado, pues se pueden aprender lecciones más ampliamente aplicables como ver los patrones que se disciernen en el todo. En la misma dirección, Konold et ál. (2014) indican que, al ver los datos como un agregado, la unidad perceptiva es todo el lote de datos y se razona sobre las características de la colección de datos como un todo; la distribución es entendida como una entidad con características de forma, centro y dispersión, entre otras. De acuerdo con Porter (1986, citado en ^{Konold et ál., 1997}), enfocarse en dónde se concentran los datos de una colección y en cómo estos están distribuidos, además de permitir pronósticos individuales, tiene la ventaja de posibilitar el aventurar tendencias y propensiones del todo. Para ^{Konold et ál. (1997)}, algunas de las dificultades que los estudiantes presentan al formular e interpretar argumentos estadísticos pueden originarse en no haber adoptado esa perspectiva estadística.

También ^{Garfield y Ben-Zvi (2008)} consideran necesaria la ¡dea de centro para procurar un significado a los datos analizados en el estudio de la variabilidad. ^{Bakker y Gravemeijer (2004)} concretan esta idea y otros aspectos comunes de las colecciones de datos y de las distribuciones en cuatro grandes propiedades: centro, dispersión, densidad y asimetría, estas se presentan en la tabla 1.

Estos autores anotan que en este esquema la perspectiva hacia arriba es usual en los estudiantes principiantes, quienes calculan, por ejemplo, la media, la mediana, el rango o los cuartiles, sin que reconozcan necesariamente tales medidas como de centro o representativas de un grupo. De hecho, Zawojewski y Shaughnessy (2000, citados por ^{Bakker y Gravemeijer, 2004}) afirman que los estudiantes precisan desarrollar una noción de distribución antes de que puedan realizar una selección de la medida apropiada. Por consiguiente, es necesario que desarrollen también la perspectiva hacia abajo y conciban la centralidad, la dispersión y la asimetría como características de una distribución, mirando los datos como una entidad conceptual que se organiza de manera estructurada.

Resultados

Se presentan aquí, en primer lugar, las respuestas y expresiones formuladas por los estudiantes en los grupos de trabajo durante el desarrollo de las tareas propuestas, agrupadas según la característica de la variabilidad a la que aluden. En segundo lugar, se muestra la caracterización de la variabilidad ligada a la noción de distribución que resulta del trabajo en el proyecto.

Reflexiones finales

En el trabajo inicial de exploración intuitiva de colecciones de datos cuantitativos enteros, presentadas en listas, los estudiantes advierten con facilidad mínimos, máximos y rango; las modas son también objeto de su reconocimiento, especialmente cuando agrupan los datos en tablas. En este registro tabular, algunos hacen referencia a características de centro al referirse a promedios, no siempre calculados ortodoxamente. Aparte de esto, de que el lenguaje usado es en general de carácter informal sin necesariamente nombrar los términos convencionales (por ejemplo: "inicia en", "finaliza en", "el valor más alto", "el valor de mayor tendencia"), y de que los valores de la frecuencia sean reiterativamente considerados por los estudiantes como una variable de interés para la situación, es decir, las agrupaciones sean elaboradas a partir del número de repeticiones de los datos (frecuencias), se aprecia aquí un primer acercamiento a razonar sobre las características de una distribución.

Cabe anotar que el trabajo siguiente con el computador, entre otras cosas, dirige a los estudiantes a dejar de lado las frecuencias como variables y a contemplar las colecciones de datos como las variables relevantes de estudio. Perciben entonces otras características de la variabilidad primordialmente asociadas de manera natural con la representación tabular y gráfica, que además son componentes esenciales de la noción de distribución, mostrando avances en su razonamiento. En el trabajo de generación de tablas, los estudiantes aprecian el sentido de las frecuencias y la conveniencia de la construcción de clases; aluden así mismo, a valores atípicos y a valores faltantes determinados por las frecuencias nulas, o valores de la variable que no existen; también identifican frecuencias relativas y porcentajes de valores particulares y de intervalos, que los llevan a hacer comparaciones de partes de los datos con el todo, lo que de alguna manera sugiere que ven la colección de datos como un agregado, e incluso a veces visualizan percentiles.

Sin embargo, en el trabajo de los estudiantes es más frecuente ver el tratamiento de los datos como clasificadores que como un agregado, en especial cuando se refieren a las frecuencias o porcentajes y a los datos correspondientes; usualmente se centran en un valor o intervalo de valores de la variable y en su frecuencia correspondiente, de manera individual, y no en los datos como medidas comparables con la globalidad de los datos. De acuerdo con ^{Bakker y Gravemeijer (2004)}, esta percepción está más relacionada con el trabajo de la distribución enfocado en los datos y sus frecuencias, es decir en la distribución de frecuencias, mientras que tratar los datos como un todo o agregado se acerca más a abordar las distribuciones de probabilidad con sus modelos.

En la representación gráfica con la ayuda de la tecnología, las descripciones de los estudiantes dan muestras de razonar sobre características de la variabilidad aún más relevantes para una concepción de distribución, como referir ideas en torno al crecimiento y decrecimiento de los valores de la variable, a aglomeraciones, a apuntamientos, a llanos, a la forma de la curva, a colas, a la simetría y, en ocasiones, a la asimetría; también dan cuenta en este registro de aspectos evidenciados en los otros registros de representación, como los valores extremos y atípicos, el rango, los llanos. De nuevo el lenguaje de los estudiantes no necesariamente incluye esos términos, y es muchas veces informal (por ejemplo: "no todas pero tampoco tantas", "el valor más alto", "el valor de mayor tendencia", "valor muy alejado", "la barra que se encuentra más alta o más baja", "la barra más grande", "la curva más alta", "cambios bruscos", "los picos son irregulares", "hay un salto", "cambio drástico de rango", "se ve un vacío", "la gráfica se condensa", "tiene forma de campana").

En general, el tránsito por diversos sistemas de representación permite que se caractericen aspectos de la variabilidad asociados a la noción de distribución, por cuanto cada representación (listas de datos, tablas y gráficos) revela diversos atributos de las distribuciones tratadas. En efecto, los procesos de transnumeración implicados en cambios de listas de datos a tablas hacen emerger de manera natural el máximo y el mínimo de una distribución, así como los valores de las variables con mayor frecuencia, es decir, la(s) moda(s); mientras que la transnumeración de lo tabular a lo gráfico hace visibilizar las tendencias de crecimiento o decrecimiento de una distribución y la posible existencia de simetría o sesgos.

Conclusiones

El objetivo principal de este proyecto fue conocer y promover el razonamiento en torno al concepto de distribución estadística para así avanzar en la conceptualización de esta noción. Al evaluar la secuencia de instrucción propuesta en este experimento de enseñanza, se evidencia que, con los resultados, el trabajo de exploración informal desde lo intuitivo en situaciones de la vida cotidiana, en particular el contexto de la alimentación FIT y a través de tres registros de representación, lista de datos, tabular y gráfico, de los conjuntos de datos resultantes, contribuye a que los estudiantes razonen sobre las características de la variabilidad asociadas a la noción de distribución a medida que avanzan en las tareas.

En general, teniendo en cuenta la conceptualización de distribución ligada a la caracterización de la variabilidad resultante, se concluye que los estudiantes para profesor de matemáticas señalan elementos que tienen que ver primordialmente con la dispersión y la densidad, mientras que los elementos relativos al centro y a la asimetría son menos nombrados. La referencia a la moda, común entre los estudiantes, se percibe más cercana a los aspectos de la densidad que a los de centro, pues es motivada por la observación de las frecuencias más altas y no es usada en relación con delineaciones de la posible centralidad de la colección de datos.

El trabajo en este proyecto muestra que crear oportunidades de exploración en situaciones de la vida real, donde los estudiantes aportan sus ideas intuitivas de forma colaborativa, enriquece el proceso de aprendizaje. De manera similar, fue evidente que la posibilidad de usar su propio lenguaje informal no impide el razonamiento sobre el objeto estadístico en la transición hacia una conceptualización más formalizada. Es claro que conceptos de centralidad, como media y mediana; de dispersión, como varianza y desviación, y de posición, como cuartiles y en general percentiles, que apenas son vislumbrados por algunos estudiantes, requieren un tratamiento posterior al desarrollo intuitivo de una noción de distribución.

Considerar, por parte de los estudiantes, la frecuencia como variable de interés para la situación es un hecho detectado con regularidad por profesores de estadística en sus clases, que podría usarse como motivo de un primer acercamiento a razonar sobre las características de una distribución.

La caracterización de la variabilidad resultante recrea, amplia y concreta aspectos específicos que se pueden considerar en el trabajo de clase, para organizar de una manera más enfocada las ideas de la variabilidad discutidas y recomendadas en la comunidad de educación estadística. Esta caracterización puede aportar no solo al conocimiento del profesor, sino que puede constituirse en una herramienta para la enseñanza y el aprendizaje, en aras de impulsar una mejor conceptualización de la noción de distribución.