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Introducción
En lingüística, se ha descubierto que la ocurrencia de las palabras de los lenguajes naturales sigue una distribución de frecuencias jerárquica. Esto quiere decir que, dentro de un texto, son muy pocas las palabras que se repiten con alta frecuencia, mientras que son muchas las palabras que se repiten con una baja frecuencia. Esta distribución ha sido descrita matemáticamente bajo la ley de Zipf [1-3].
Posteriormente, Mandelbrot derivo una generalización de la ley de Zipf, denominada ley de Zipf/Mandelbrot, para que la primera se ajustara más precisamente a la frecuencia de distribución de las palabras al desplazar los rangos de la ley de Zipf por una cantidad ( [1]. Esta generalización, además de su aplicación lingüística, permite calcular la dimensión fractal de fenómenos que relacionen variables repetitivas con una distribución hiperbólica [4,5], como los fractales estadísticos [6].
Se ha demostrado la existencia de ordenes matemáticos mediante la ley de Zipf/Mandelbrot en varios fenómenos, como en la distribución de las frecuencias cardiacas fetales recolectadas mediante el monitoreo fetal [7], en los repertorios inmunes B a partir de modelos murinos [8], en los repertorios T contra alergenos como el PoaP9 [9], en los lenguajes [10] e incluso en la distribución de los ingresos en una sociedad, entre otros [11]. Estos ejemplos sugieren que la aplicación de la ley de Zipf/Mandelbrot puede extenderse a describir fenómenos con distribuciones hiperbólicas de otras ciencias, como los sistemas planetarios de la astrofísica, aunado a que anteriormente se ha propuesto el estudio de la luminosidad de las estrellas visibles a simple vista con la ley de Zipf [12].
Algunos de los componentes habitualmente estudiados de los sistemas planetarios son la velocidad orbital, el período orbital y la distancia media a una estrella. La velocidad orbital hace referencia a la dinámica de un cuerpo astronómico al pasar a través de un campo gravitacional [13]. El período orbital comprende el tiempo que requiere un cuerpo para recorrer la totalidad de su órbita [14].
Por su parte, la distancia media al sol de los planetas expresa la longitud del semieje mayor de la órbita de los planetas. Si bien se han definido fórmulas matemáticas que permiten el cálculo preciso de estas variables en el sistema solar, estas no explican su progresión ni establecen relaciones entre las mismas. Una notable excepción es la ley de Titius-Bode [15], la cual determina, mediante una serie matemática progresiva, el radio orbital de los planetas, sugiriendo asó la existencia de un orden en la aparición de los planetas en los sistemas planetarios, aunque no hay una teoría física que la respalde.
Considerando lo anterior, el propósito de esta investigación es aplicar la ley de Zipf/Mandelbrot al periodo orbital, la velocidad media orbital y la distancia media al sol de los planetas para caracterizar el grado de complejidad fractal de estas variables en el sistema solar.
Metodología
Definiciones
Dimensión fractal estadística: se refiere al grado de complejidad fractal de las variables analizadas, es decir, el periodo orbital, la velocidad media orbital y la distancia planetaria media al sol. Su cálculo se realizó a través de la ecuación 1, así:
Donde D es la dimensión fractal estadística; V es la relación de las frecuencias medidas, expresada asó: V = 1/N - 1 (donde N el número de frecuencias medidas); σ es el rango asumido para cada frecuencia; P es la frecuencia de ocurrencia de los rangos y F corresponde a un cofactor secundario en el proceso de linealización.
Procedimiento
Inicialmente, se tomaron los valores del período orbital, la velocidad media orbital y la distancia planetaria media al sol del sistema solar en términos de años, Km/h y Km, respectivamente, reportados por la NASA [16] para Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno. Aunque esta lista incluye los datos de Plutón, este astro fue excluido al considerarse un planeta enano [17].
Posteriormente, se organizaron estos valores para cada planeta jerárquicamente, los cuales a su vez se asociaron a un rango según su ocurrencia. Por ejemplo, los valores del periodo orbital se organizaron ubicando la cifra de mayor magnitud con el primer rango y a la cifra de menor magnitud, al último rango. Este mismo procedimiento se realizó con las dos variables analizadas restantes. Luego, se generaron diagramas de dispersión con los cuales se comprobó que los datos tuviesen un comportamiento hiperbólico jerárquico de los datos para aplicar la ley de Zipf/Mandelbrot.
Ulteriormente, se realizó una linealización logarítmica mediante el método de mínimos cuadrados con el propósito de obtener la recta de mejor ajuste a la dispersión de puntos obtenida para cada una de las variables estudiadas. Finalmente, se calculó la dimensión fractal estadística del período orbital, la velocidad media orbital y la distancia planetaria media al sol mediante la ecuación 1.
Resultados
En la tabla 1, se ubicaron jerárquicamente los valores del período orbital, la velocidad media orbital y la distancia planetaria media al sol del sistema solar reportados por la NASA [16]. Posteriormente, se comprobó que los datos poseen una distribución hiperbólica jerárquica al generar los diagramas de dispersión para cada variable (figura 1) asociando las cifras máximas y mínimas al primer y último rango, respectivamente.
TABLA 1 Valores del periodo orbital (T), la velocidad media orbital (V) y la distancia planetaria media al sol (D) para Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno.
| Planeta | T (años) | V (Km/h) | D (Km) |
|---|---|---|---|
| Mercurio | 0,24 | 172,40 | 57 910 000 |
| Venus | 0,62 | 126,11 | 108 200 000 |
| Tierra | 1,00 | 107,24 | 146 600 000 |
| Marte | 1,88 | 86,87 | 227 940 000 |
| Júpiter | 11,86 | 47,02 | 778 330 000 |
| Saturno | 29,46 | 34,71 | 1 429 400 000 |
| Urano | 84,01 | 24,52 | 2 870 990 000 |
| Neptuno | 164,80 | 19,55 | 4 504 300 000 |
Figura 1 Diagrama de dispersión de puntos para el período orbital (a), la velocidad orbital media (b) y la distancia media al sol (c).
Al aplicar la ley de Zipf/Mandelbrot para calcular la dimensión fractal, se obtuvieron valores de 0.28, 0.88 y 0.42 (tabla 2) con factores de correlación R2 de 0.92, 0.87 y 0.92 (tabla 2) para el período orbital, la velocidad media orbital y la distancia planetaria media al sol, respectivamente. Estos resultados indican que la mayor complejidad fractal la representa la velocidad media orbital, mientras que la menor complejidad se relaciona con el período orbital, para finalmente encontrar en medio la distancia planetaria media al sol. Los valores de los coeficientes R2 de la linealización (figura 2a-c) con respecto a los datos fueron superiores a 0.87 en todos los casos.
TABLA 2 Valores de dimensión fractal del periodo orbital, la velocidad media orbital y la distancia planetaria media al sol. Donde P es la probabilidad; Ln el logaritmo natural; Df la dimensión fractal y R2 el coeficiente de correlación.
| T (Período) | Velocidad | Distancia | |
|---|---|---|---|
| P. mín. | 0,0008 | 0,0316 | 0,0057 |
| P. múx. | 0,2859 | 0,2788 | 0,4449 |
| R+V mín. | 2,1429 | 1,1429 | 1,1429 |
| R+V max. | 8,1429 | 8,1429 | 8,1429 |
| Ln mín. (R+V) | 0,7621 | 0,1335 | 0,1335 |
| Ln max. (R+V) | 2,0971 | 2,0971 | 2,0971 |
| Ln (P) mín. | -7,1103 | -3,4543 | -5,1637 |
| Ln (P) múx. | -1,2522 | -1,2773 | -0,8098 |
| Df | 0,2869 | 0,8807 | 0,4295 |
| R2 | 0,9203 | 0,8785 | 0,9202 |
Discusión
Esta es la primera investigación en la cual se caracteriza el grado de complejidad del período orbital, la velocidad media orbital y la distancia planetaria media al sol de los planetas de Mercurio a Neptuno del sistema solar mediante la ley de Zipf/Mandelbrot, comprobando que existen diferencias de complejidad dadas por valores de dimensión fractal estadística de 0.28, 0.88 y 0.42, respectivamente. Esto indica que el fenómeno más complejo del sistema solar es la velocidad media orbital, al ser el valor más cercano a 1 y el menos complejo el período orbital.
De esta manera, se proporciona una relación matemática cuantitativa del grado de complejidad de algunos de los parámetros de estudio de la cinemática celeste, por lo cual es posible sugerir al cálculo de la dimensión fractal estadística para ser incorporado al estudio de las características de los sistemas planetarios, complementando los análisis matemáticos y físicos actuales con este enfoque.
Los resultados de este trabajo también evidencian que existen variables del sistema solar que han sido cuantificadas y que poseen un comportamiento hiperbólico jerárquico, lo cual las hace susceptibles de ser caracterizadas por la ley de Zipf/Mandelbrot para valorar su grado de complejidad. En este sentido, será importante explorar otras variables que puedan tener este comportamiento, al igual que evaluar las distribuciones de las características aquí analizadas en otros sistemas planetarios con el propósito de comparar los hallazgos obtenidos, como por ejemplo, en los sistemas que se encuentren en formación o aquellos con diferentes cantidades de planetas.
En astronomía, por medio de teorías físicas y matemáticas, se ha buscado el establecimiento de relaciones que permitan analizar la evolución de los astros [15] y las características mismas entre los elementos que componen los sistemas planetarios. Ejemplo de ello, ha sido el dilucidar la relación de aparición de los planetas en el sistema solar y predecir sus posiciones especificas en el espacio, lo cual se ha logrado con alguna precisión con la ley de Titius-Bode [15]. Esta ley, incluso, ha sido aplicada a algunos sistemas exoplanetarios de más de 4 planetas, donde también se ha sugerido una adecuada precisión para este fin [18].
Sin embargo, esta ley, como otros modelos matemáticos, puede carecer del sustento físico adecuado que explique los comportamientos observados y predichos en los sistemas planetarios. Además, sus predicciones han presentado porcentajes de error de hasta el 95.75% en su formulación original y las posiciones en las cuales se encontrarían Neptuno y Plután presentaron un error de 29.08 % y 95.75 %, respectivamente [15]. En aplicaciones más recientes, se ha tratado de predecir la aparición de planetas extrasolares; sin embargo, tan solo se predijeron las posiciones de 5 planetas entre 96 documentados. Si bien el único fin de esta ley no es el de dilucidar la posición especifica de los planetas, deben explorarse otras teorías, como la ley de Zipf/Mandelbrot, en un intento de caracterizar variables de los sistemas planetarios y que posteriormente permitan predecirlos.
Es importante destacar que el tipo de investigación desarrollada en este trabajo ha sido aplicada en otros campos de la ciencia, particularmente en la medicina, con otras teorías de la física moderna y contemporánea. Con lo anterior, se han logrado caracterizar las infecciones asociadas al cuidado de la salud en hospitales [19] y predecir la epidemia de malaria en Colombia [20], al igual que los recuentos de linfocitos CD4+ en individuos con infección por VIH [21], diagnosticar la dinámica cardiaca [22] y las células de cuello uterino [23], predecir la mortalidad en la unidad de cuidados intensivos [24] y la unión de péptidos al HLA clase II [25], entre otros. Esto demuestra que los enfoques teóricos son multidisciplinarios y aplicables para analizar y predecir los fenómenos complejos.
