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Cuadernos de Economía

Print version ISSN 0121-4772

Cuad. Econ. vol.34 no.65 Bogotá July/Dec. 2015

http://dx.doi.org/10.15446/cuad.econ.v34n65.48656 

http://dx.doi.org/10.15446/cuad.econ.v34n65.48656

Valoración de derivados europeos con mixtura de distribuciones Weibull

Valuation for European derivatives with mixture-Weibull distributions

Évaluation de dérivés européens avec mélange de distributions de Weibull

Avaliação de derivados europeus com mistura de distribuições Weibull

Andrés Mauricio Molinaa

José Alfredo Jiménez b

a Matemático y Magíster en Matemática Aplicada. Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, D. C. (Colombia). Correo electrónico: ammolinaba@unal.edu.co.

b Profesor Asociado del Departamento de Estadística de la Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, D. C. (Colombia). Correo electrónico: josajimenezm@unal.edu.co.

Los autores agradecen los comentarios y sugerencias de los evaluadores asignados por la revista Cuadernos de Economía a la versión inicial de este artículo, ya que permitieron mejorar y clarificar la notación y metodología planteada en él.

Sugerencia de citación: Molina, A. M., & Jiménez, J. A. (2015). Valoración de derivados europeos con mixtura de distribuciones Weibull. Cuadernos de Economía, 34(65), 279-298. doi: 10.15446/cuad.econ.v34n65.48656


Resumen

El modelo Black-Scholes para valoración de opciones europeas se usa bastante en el mercado por su fácil ejecución. Sin embargo, empieza a ser poco preciso en diferentes activos cuya dinámica no es de una distribución lognormal, por lo que se necesita buscar nuevas distribuciones para valorar opciones emitidas sobre diferentes activos subyacentes. Varios investigadores han trabajado en nuevas fórmulas de valoración de derivados suponiendo diferentes distribuciones ya sea para el precio del activo subyacente o para su retorno. Este artículo presenta dos fórmulas para valoración de activos: una modifica la fórmula usando una distribución de Weibull de dos parámetros propuesta por Savickas (2002) añadiendo dos nuevos parámetros (escala y localización) y otra supone que la distribución del activo es una mixtura de distribuciones de Weibull. Se presentan también comparaciones de estos modelos con otros ya existentes como Black-Scholes y el modelo de Savickas con distribución Weibull simple.

Palabras clave: distribución Weibull, mixtura de Weibull, valoración, opciones.

JEL: C15, C69, G13.

Abstract

The Black-Scholes valuation model for European options is widely used in the stock markets due to its easy implementation. However, the model is not accurate for different assets whose dynamics do not follow those of a lognormal distribution, so it is necessary to investigate new distributions to price different options written on various underlying assets. Several researchers have worked on new valuation formulas, assuming different distributions for either the price of the underlying asset or for the return of the same. This paper presents two methods for European derivatives valuation, one of them, modifying the formula using a Weibull distribution with two parameters given by Savickas (2002) adding two new parameters (scale and location), and another assuming that the underlying distribution is a Weibull mixture. Comparisons are also presented with these models against existing models such as the Black-Scholes model and Savickas with a simple Weibull distribution.

Keywords: Weibull distribution, mixture of Weibull, valuation, European options.

JEL: C15, C69, G13.

Résumé

Le modèle Black-Scholes pour l'évaluation d'options européennes est largement utilisé sur le marché en raison de son utilisation facile. Cependant, il perd de sa précision dans divers actifs dont la dynamique n'est pas celle d'une distribution log-normale, raison pour laquelle il convient de chercher de nouvelles distributions pour évaluer des options émises sur divers actifs sous-jacents. Plusieurs chercheurs ont travaillé sur de nouvelles formules d'évaluation de dérivés en supposant des distributions différentes que ce soit pour le prix de l'actif sous-jacent ou pour son retour. Cet article présente deux formules pour évaluer les actifs : l'une modifie la formule en utilisant une distribution de Weibull de deux paramètres proposée par Savickas (2002) en incluant deux nouveaux paramètres (échelle et localisation) et l'autre suppose que la distribution de l'actif est un mélange de distributions de Weibull. Des comparaisons de ces modèles avec d'autres déjà existants comme Black-Scholes et le modèle de Savickas avec distribution de Weibull simple sont également présentées.

Mots-clés : distribution de Weibull, mélange de Weibull, évaluation, options.

JEL : C15, C69, G13.

Resumo

O modelo Black-Scholes para avaliação de opções europeias é muito utilizado no mercado por sua fácil execução. No entanto, começa a ser pouco preciso em diferentes ativos cuja dinâmica não é de uma distribuição log-normal, pelo que é preciso procurar novas distribuições para avaliar opções emitidas sobre diferentes ativos subjacentes. Vários pesquisadores têm trabalhado em novas fórmulas de avaliação de derivados supondo diferentes distribuições, seja para o preço do ativo subjacente ou para o seu retorno. Este artigo apresenta duas fórmulas para avaliação de ativos: Uma modifica a fórmula utilizando uma distribuição de Weibull de dois parâmetros, proposta por Savickas (2002), acrescentando dois novos parâmetros (escala e localização), e outra supõe que a distribuição do ativo é uma mistura de distribuições de Weibull. Também são apresentadas comparações destes modelos com outros já existentes como Black-Scholes e o modelo de Savickas com distribuição Weibull simples.

Palavras-chave: distribuição Weibull, mistura de Weibull, avaliação, opções.

JEL: C15, C69, G13.

Este artículo fue recibido el 28 de marzo de 2014, ajustado el 01 de julio de 2014 y su publicación aprobada el 8 de agosto de 2014.


INTRODUCCIÓN

La fórmula de valoración de opciones europeas de Black-Scholes (1973) se utiliza bastante en el mercado gracias a su simplicidad. Sin embargo, este modelo empieza a ser poco preciso al valorar opciones por los supuestos sobre el comportamiento de los precios de los activos subyacentes cuyas deficiencias han sido estudiadas por diferentes autores como Das y Sundaram (1999) o Jondeau, Poon y Rockinger (2007). Se considera también que la volatilidad es constante, motivo por el cual han surgido modelos más sofisticados en los que se supone que la distribución de probabilidad para los precios de los activos subyacentes presenta asimetría y exceso de curtosis, o bien se le asigna una dinámica a la volatilidad como proceso estocástico como el modelo de Heston (1993). Savickas (2002) selecciona una distribución de Weibull para la distribución del activo subyacente. Según este autor, la propiedad más importante por la cual se puede emplear la distribución de Weibull en la valoración de opciones es la asimetría negativa para casi todos los parámetros de la distribución, siendo mayor esta que la del modelo lognormal. Así, usando la expansión generalizada de Edgeworth, con los tres primeros momentos se aproxima mejor con una distribución Weibull que con una lognormal, como plantea el modelo de Black-Scholes (MBS). Se realizaron experimentos con datos del índice S&P 500 y se observó que no siempre se obtenía una mejor valoración que con el modelo Black-Scholes; de aquí se propuso usar dos parámetros de localización y escala en la distribución de Weibull para mejorar la valoración obtenida, sin afectar el signo del tercer momento (Groeneveld y Meeden, 1984), como se había planteado. Por otro lado, Bahra (1997) introduce la mixtura de distribuciones normales para valorar opciones y obtiene una ponderación de dos valoraciones con Black-Scholes que considera cinco parámetros para esta mixtura. En este artículo se usa esta metodología pero con mixtura de distribuciones Weibull para observar los cambios con respecto al modelo ya planteado. El costo computacional para estimar parámetros de una mixtura de distribuciones Weibull es alto, pero puede presentar características deseadas con respecto a la forma funcional de la distribución del activo subyacente, como bimodalidad, asimetría negativa y exceso de curtosis. Desde este punto de vista, efectos causados por eventos inesperados modelados con procesos de saltos pueden modelarse de manera simple por esta mixtura de distribuciones no lognormales.

El artículo primero muestra las propiedades básicas de la distribución de Weibull y mixtura de dos distribuciones Weibull y luego se presentan las fórmulas para valorar opciones europeas. En la sección correspondiente se muestra cómo se estiman los parámetros y en la siguiente (resultados numéricos) se muestra un ejemplo comparativo de los modelos descritos.

DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL

En esta sección se presentan brevemente las distribuciones que se usarán para calcular los precios de derivados.

Distribución Weibull de dos parámetros

Una variable aleatoria continua tiene una distribución de Weibull (Rinne, 2009) de parámetros c (forma) y b (escala) si su función de densidad de probabilidad es

En este caso se denota X∼Wei(b,c), donde c > 0 es el parámetro de forma y b > 0 es el de escala.

Su función de distribución acumulada es

Su media y varianza están dadas por

donde Γ(·) denota la función gamma definida por

Mixtura de distribuciones Weibull

Se considera una distribución de mixturas de Weibull con cuatro parámetros: dos parámetros de escala y dos de forma, como se presenta en Falls (1970). Decimos que una variable aleatoria se distribuye con mixtura de Weibull y la notamos X∼MWei(α, c1, c2, b1, b2) si su función de densidad es:

con

donde ci>0 y bi>0 son los parámetros de forma y escala respectivamente, para i=1,2. Es inmediato que su función de acumulación también es una ponderación de las funciones de acumulación para cada una de las componentes de la mixtura, es decir:

donde cada Fi(x) es la función de acumulación para cada una de las componentes de la mixtura. Otra propiedad importante de la mixtura de distribuciones está en el cálculo de su media, ya que también resulta como la ponderación de las medias de cada una de sus componentes. Esto es:

donde Xi∼ Wei(ci,bi) para i=1,2.

FÓRMULAS DE VALORACIÓN DE OPCIONES EUROPEAS

En esta sección se mostrarán las fórmulas de valoración para opciones europeas. Las fórmulas se desarrollaron para opciones europeas de compra, y se supone que se cumple la paridad put-call. De esta manera se pueden deducir los precios para ambos tipos de opciones. Sea St el precio del subyacente en el tiempo t, Ct(K) denota el precio de una opción de compra con precio de ejercicio K y fecha de madurez T= t + τ. Se da por sentado que la tasa de interés r es libre de riesgo. De acuerdo con Harrison y Pliska (1981), en ausencia de arbitraje el precio de una opción europea de compra es:

[1]

donde E[.] es el operador de esperanza neutral al riesgo, condicional a cualquier información disponible en el momento t y f(ST) es la función de densidad neutral al riesgo (RND) del subyacente en la fecha de madurez. La forma de la distribución f(ST) es fundamental; de ahí la importancia que adquieren los coeficientes de asimetría y curtosis (en MBS se supone que es lognormal). En ausencia de arbitraje, el valor esperado futuro descontado a la tasa de interés libre de riesgo es una martingala (Neftci, 2000), esto es:

[2]

y la desviación estándar de ln (St) es , donde σ es la volatilidad del activo. En el artículo de Savickas (2002) se usa la distribución de Weibull con dos parámetros para modelar la distribución del subyacente ST.

Modelo Weibull de valoración

En Savickas (2005) se dio la siguiente fórmula de valoración para una opción europea de compra con fecha de madurez en T, precio de ejercicio K y tasa de interés libre de riesgo r:

[3]

donde Fd(a) es la función de acumulación en el punto a de un variable aleatoria X2 con d grados de libertad y:

Esta fórmula la desarrolla suponiendo que la función de densidad para el precio del subyacente es una Weibull de dos parámetros, y la construye a partir de medidas de martingalas equivalentes en tiempo discreto donde usa un algoritmo numérico para obtener el valor de p, que depende de la volatilidad, la media y la tasa libre de riesgo (Savickas, 2005).

Ajuste de la fórmula

Para modelar la variable aleatoria ST se introducen dos parámetros adicionales, A (localización) y B (escala) (Jiménez, Arunachalam y Serna, 2014), y se propone la siguiente transformación

[4]

Para la nueva variable aleatoria ST, su valor esperado es:

[5]

Con la transformación anterior y la valoración neutral al riesgo, el precio de una opción europea de compra con precio inicial del subyacente St, precio de ejercicio K, tasa de interés libre de riesgo r y madurez T, viene dado por:

[6]

donde:

Γ(.) representa la función gamma incompleta definida como:

(Véase anexo para la demostración). La similitud con la fórmula de Savickas con esta nueva fórmula se puede observar cuando A=0 y B=1, pero en Savickas (2002) con esta fórmula la estimación de parámetros se hace por medio igualación de momentos centrales (véase siguiente sección).

Mixtura de Weibull

Se considera la misma transformación (4). La fórmula de valoración de opciones de compra europeas con los parámetros de la distribución de mixtura de Weibull está dada por:

[7]

donde α12=1 α12 Obsérvese que si α=0 o α=1, la fórmula queda reducida al modelo de Savickas con parámetros de localización y escala A=0 y B=1,respectivamente. La demostración puede encontrarse en el anexo.

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

Para modelar el precio de las opciones europeas se consideran los datos actuales del mercado. Se estima el valor de los parámetros de dos maneras, a saber: por minimización de errores cuadráticos en la formula o calculando estimadores para utilizarlos directamente en la función de distribución neutral al riesgo. Los modelos propuestos se prueban con datos de los precios del índice S&P 500. Se debe tener en cuenta que incluso el precio del subyacente puede estar mal calculado por el mercado, y por tanto también el precio de la opción será incorrecto.

Minimización de errores cuadráticos

Está técnica se usó en Bahra (1997) para estimar los parámetros de su fórmula de valoración con mixtura de normales. Se considera una función con los parámetros de la fórmula de valoración y los precios observados en el mercado. Se usa un método de optimización en varias variables, que puede ser el método de Newton o gradiente conjugado. Se supone que la tasa de interés r se conoce y así se puede reducir la dimensionalidad del problema. Dado que tanto las opciones de compra como las de venta tienen la misma distribución para el activo subyacente, estas se incluyen en la función objetivo para mejorar la estimación de los parámetros. También la media de la distribución neutral al riesgo debe igualarse con el precio del subyacente al vencimiento de la opción (Bahra, 1997). De esta manera se trata el activo subyacente como una opción con precio de ejercicio cero que incluye el precio futuro como información adicional para el problema de minimización. El problema para la fórmula (11), y considerando su media, se describe a continuación. Sean los precios observados de compra y venta, respectivamente.

[8]

para -∞ < A,B < ∞ y b,c > 0. Se hacen las mismas consideraciones para la fórmula de valoración con mixtura de Weibull, que sería un problema con cinco parámetros 0 < α < 1, c1, c2 , b1, b2 > 0.

[9]

Estimación de parámetros por método de momentos

Para la fórmula de Weibull modificada y la mixtura de Weibull, la estimación de parámetros se realiza con el método de los momentos centrales. Dada la transformación de la variable aleatoria Y que se obtiene de la ecuación (4), se tienen que estimar cuatro parámetros A, B, b, c y siete para el caso de la mixtura A, B, α, b1, b2, c1, c2, de los cuales se tiene que plantear el mismo número de ecuaciones. Dados los momentos centrales muestrales, se igualan con los momentos centrales poblacionales. Sea μx= E(X) y μy= E(Y), entonces se plantea el siguiente sistema de ecuaciones.

Luego,

Al expandir el polinomio y aplicando las propiedades de linealidad del valor esperado, se tiene:

[10]

para k=2,...,7

RESULTADOS NUMÉRICOS

Para una serie de precios del índice S&P500, con los precios diarios tomando 503 datos1, se analiza primero la distribución empírica asociada a estos.

Para el método de los momentos para una distribución Weibull modificada, se tiene que el parámetro de localización A=11465,, parámetros de escala B=00909,, de escala de la distribución de Weibull b=29606, y de forma c=26360,. En la Gráfica 1 se pueden ver ambas distribuciones:

Como se observa, la distribución empírica tiene un comportamiento bimodal, por lo que una mixtura de Weibull ajustaría mejor los datos de los precios que una distribución lognormal o incluso una Weibull de dos parámetros. Para la mixtura de Weibull, los parámetros escala y localización son respectivamente: A=0,9566, B=0,3539, el parámetro de mixtura α=0,8795, los parámetros de forma c1=3,8745, c2=4,7006, y los de escala b1=1,2246, y b2=2,1585. La Gráfica 2 presenta la distribución con los parámetros estimados y la distribución empírica.

Al observar la Gráfica anterior de la función de densidad, se concluye que fue más adecuado utilizar una mixtura de Weibull, gracias a la forma bimodal de la distribución.

En los cuadros 1 a 4 se muestra el cálculo del precio de opciones de compra para los modelos de Black Scholes, Savickas, Weibull y mixtura de Weibull. Se consideró la tasa de interés libre de riesgo r=6%, precio inicial del subyacente S0=1.400, volatilidad para Black Scholes y Savickas σ =0,1297

En Corrado y Su (1996) se define el grado de dinero (moneyness) como la variación de la diferencia entre el precio stock y el precio strike descontado de la tasa de interés libre de riesgo. Muchos autores solo consideran el moneyness la razón entre el precio actual del subyacente y el precio de ejercicio, pero no se considera una buena medida para el precio de opciones, ya que se comparan dos valores que en realidad no están en el mismo tiempo. Por eso, mejor se optó por tomar el moneyness según Corrado y Su (1996):

En la Gráfica 3 se encuentran los precios de una opción se compra con precio del subyacente S0=1.400. con vencimiento τ =00833, (1 mes) para diferentes precios de ejercicio que varían desde 1.200 hasta 1.700. En el eje x se encuentra el moneyness de estas opciones. Se comparan los modelos de Black Scholes, el modelo de Weibull de Savickas y los dos modelos de Weibull, modificado y mixtura de Weibull.

Para el anterior ejemplo, el modelo Black Scholes y el modelo de Savickas tienen un comportamiento muy similar para todos los tipos de opciones, ya sea dentro del dinero (ITM: in the money, moneyness negativo), en el dinero (ATM: at the money, moneyness nulo) y fuera del dinero (OTM: out the money, moneyness positivo). En cambio, con el modelo de Weibull propuesto, para opciones ITM vemos que el precio es menor que en los tres modelos y solo supera a esta valoración al aumentar el moneyness; el modelo de mixtura de Weibull siempre se encuentra por arriba de los anteriores modelos.

Ahora, en la Gráfica 4 se varía el vencimiento desde un mes hasta un año, para un precio de ejercicio fijo de K=1.300.

Se puede observar que el modelo propuesto de Weibull se encuentra por debajo de todos los modelos estudiados y es menos preciso para mayor plazo de vencimiento del derivado; aunque la valoración por mixtura para plazos cortos de vencimiento valora por encima de Black Scholes y Savickas, a lo largo del tiempo también se valora el derivado por debajo de lo que hacen dichos modelos.

Ahora se estudia la volatilidad implícita. Puesto que Black Scholes considera en su modelo la volatilidad constante durante la vida de la opción, es claro que en la Gráfica 5 se muestre como una línea recta. El modelo modificado de Weibull muestra una mueca y la mixtura una sonrisa, modelos que implican que no son de volatilidad constante.

Al realizar la minimización de errores cuadráticos con los precios de las opciones call del índice S&P 500 con vencimiento a un mes de los precios observados del mercado2, tenemos los siguientes parámetros para cada una de los modelos propuestos.

Weibull modificada: Localización A=0,471, Escala B=4,7781, Forma c=4,97913, Escala de la distribución b=396,5333.

Mixtura de Weibull: Localización A=282,9966, Escala B=4,2987,, Proporción de mixtura α=0,1294,, Forma c1=45,6737,, c2=1.836,3407, Escala de la distribución b1=374,9432, b2=224,9453.

Se consideró el precio mid (promedio entre el bid y el ask) como el precio de la opción observada, y se tomó como tasa de interés el retorno de los bonos del tesoro de Estados Unidos a la fecha r=011%,. Al inspeccionar los parámetros de la Weibull, la minimización da como resultado el parámetro de localización, que se puede despreciar para estos datos. En la Gráfica 6 se representa la volatilidad implícita de Black-Scholes y los modelos propuestos:

Como se puede observar, la volatilidad presenta smile o sonrisa, indicando que esta no es constante. En los modelos propuestos se puede observar un comportamiento inicial de una smirk o mueca y luego, donde Black Scholes incrementa, ambos modelos decrecen en volatilidad.

CONCLUSIONES

A partir de los trabajos de Savickas (2002), en los cuales se usa la distribución de Weibull para valorar opciones de tipo europeo, y la metodología dada en Jiménez et al. (2014), en la cual se introducen parámetros de escala y localización, se modela la distribución del activo subyacente mediante una mixtura de Weibull enfocada en el aporte de Bahra (1997) y se obtienen dos fórmulas de valoración de opciones de compra tipo europeo. Bahra (1997) introduce la mixtura de distribuciones lognormales para modelar el subyacente, porque la distribución de este puede presentar comportamiento bimodal. Así, se decidió implementar una mixtura de distribuciones Weibull que presenta esta característica. Al realizar los experimentos numéricos se puede apreciar que la mixtura siempre valora por encima las opciones con vencimiento a corto plazo. También se observa que la volatilidad en estas dos nuevas fórmulas no se mantiene constante pero no presenta la smile que se observa al comparar estos precios con los de Black-Scholes. La implementación no es rápida al tener que estimar siete parámetros, pero captura efectos deseados como la bimodalidad. A futuro se pretende trabajar con distribuciones de Weibull generalizadas que permiten otras nuevas fórmulas de valoración para darle más flexibilidad al problema, medir la sensibilidad de los modelos propuestos con respecto a sus parámetros, estudiar las griegas para cada uno de los modelos y conseguir una fórmula explícita para la volatilidad implícita.

NOTAS AL PIE

1Datos tomados de http://finance.yahoo.com/

2 Datos tomados http://www.nasdaq.com/

ANEXO

Fórmula de valoración con Weibull

Dada la variable aleatoria en (4), donde Y∼Wei (c,b), se tiene:

como E(Y)=bΓ(1+1/c)+ y S debe cumplir la condición de martingala dada en (2), E(St)= Stert entonces:

De tal manera que el precio de una opción de compra con vencimiento τ y precio de ejercicio K es:

donde Al hacer la sustitución se obtiene:

Al reemplazar el valor de B en la anterior ecuación, se llega a la siguiente fórmula de valoración:

[11]

Fórmula de valoración con mixtura de Weibull

Supongamos que Y se distribuye con una mixtura de distribuciones Weibull de parámetros α, c1, c2, b1, b2; entonces el valor de B dado por la transformación (4) está dado por:

Entonces el precio de una opción europea con vencimiento τ y precio de ejercicio K viene dado por:

Realizando las sustituciones y agrupando términos, se tiene:

Al factorizar B, se obtiene:

[12]


REFERENCIAS

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