Ecuaciones Holonómicas Asociadas a Transformacionesónicas del Peso Clásico de Laguerre

Holonomic Equations Associated to Canonical Transformations of the Classical Laguerre Weight

L. A. Molano Molano^a,*

^a,* Facultad Seccional Duitama, Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Duitama, Boyacá. Colombia. Correo electrónico: luis.molano01@uptc.edu.co.

Recepción: 26-abr-13 Aceptación: 17-jul-13

Resumen

En este artículo se usan técnicas estándar para encontrar ecuaciones diferenciales satisfechas por polinomios ortogonales asociados a transformaciones canónicas del peso clásico de Laguerre ω(x) = e^−x x^α, sobre (0, ∞), con α< −1.

Palabras clave: Ecuaciones holonómicas, Polinomios ortogonales clásicos, Transformaciones canónicas.

Abstract

In this paper, it is used the standard techniques to find some differential equations satisfied by orthogonal polynomials, associated with the classical Laguerre weight canonical transformations ω(x) = e^−x x^α, sobre, on (0, ∞), with α < −1.

Key words: Holonomic Equations, Associated to the Classical, Laguerre Canonical Weight’s, Transformations Weight.

1. Introducción

Sea {pn(x)}_n∈N la sucesión de polinomios mónicos ortogonales con respecto al peso clásico de Laguerre ω(x) = e^-xx^α sobre (0, ∞), con α < −1. En este escrito estamos interesados en estudiar propiedades diferenciales de los polinomios ortogonales con respecto a los pesos ρ(x)ω(x),ρ^*(x)ω(x)y ρ^**(x)ω(x) donde ρ(x) = además ζ, ζ1, ζ2 y η son reales negativos. Estas perturbaciones al peso original son conocidas como transformaciones canónicas de tipo Christoffel o Geronimus, y las familias de polinomios ortogonales asociadas a estas han sido ampliamente estudiadas en las últimas décadas, destacando los trabajos [4], [6], [7], [8], [9], [14] y [15], en esencia, relacionados con comportamiento asintótico y localización de ceros. Es bien sabido que las sucesiones clásicas de polinomios ortogonales satisfacen una ecuación diferencial de la forma

σ(x)p"(x) + τ(x)p’(x) λ_n p(x) = 0,

donde σ(x) y τ(x) son polinomios tales que el grado de σ(x) no es mayor a 2 y el de τ(x) es exactamente 1. Esta particularidad es de hecho una característica única de tales sucesiones clásicas. De este modo, resulta interesante estudiar qué tipo de ecuaciones diferenciales (conocidas en la literatura como ecuaciones holonómicas) son satisfechas por los polinomios asociados a las perturbaciones descritas anteriormente, y analizar la naturaleza de sus coeficientes. El conocimiento de la estructura de las ecuaciones diferenciales de segundo orden satisfechas por familias de polinomios ortogonales es la piedra angular en la descripción de modelos electrostáticos asociados a los ceros de tales polinomios (ver [5], [10] o [12]). Son muy conocidas las técnicas estándar que son aplicadas en la obtención de ecuaciones holonómicas asociadas particularmente a perturbaciones del peso clásico, por ejemplo, con las llamadas perturbaciones de Uvarov (ver [2], [3], [11]) o con la perturbación canónica de Christofel ρ(x) = x − ζ al peso de Laguerre ([7]). Nuestro objetivo es adaptar esas técnicas para buscar ecuaciones holonómicas asociadas a las perturbaciones sobre el peso clásico de Laguerre, ya mencionadas. En este sentido, la estructura de este escrito es como sigue. En la sección 2 presentamos los preliminares básicos con respecto a los polinomios de Laguerre clásicos, los cuales nos resultarán muy útiles más adelante; en la sección 3 obtenemos la ecuación holonómica satisfecha por los polinomios asociados a perturbaciones de tipo Geronimus, y en la sección 4 hacemos lo propio con perturbaciones de tipo Christofel.

2. Preliminares

Sea {L_n^α(x)}_n∈N la sucesión clásica de polinomios mónicos ortogonales de Laguerre, asociada al producto interno

donde dµ_α = e^-xx^αdx. Es bien sabido que los ceros de L^α_n(x) son reales positivos de multiplicidad 1. Resumimos algunas de las propiedades de esta familia de polinomios ortogonales que serán usadas a lo largo del manuscrito, y cuya prueba puede ser vista en [1] o [13].

Proposición 1. Para cada n ∈ N, los polinomios {L_n^α(x)}_n∈N satisfacen

1. (Relación de recurrencia a tres términos).



con L^α_O(x) = 1 y L^α₁(x) = x −(α + 1). (escribiremos α_n = 2_n + 1 + α, y β_n = n(n + α))

2. (Relación de estructura)



3. L^α_n(x) satisface la ecuación diferencial y tiene la propiedad diferencial



4. 

Sea también la sucesión de polinomios mónicos ortogonales con respecto al producto interno

donde k ∈ Z⁺ ∪{0} y ζ< 0. Estos polinomios satisfacen la relación (ver [8]),

De las últimas ecuaciones es fácil ver que se satisface

y en forma recursiva

donde la notación , indica la norma inducida por el respectivo producto interno.

3. Ecuaciones holonómicas asociadas a perturbaciones de tipo Geronimus

Sea {T^α_n}_n∈N la sucesión de polinomios mónicos ortogonales con respecto al producto interno

donde ξ y η son reales negativos tales que ξ ≠ η. Además sean {C^α_n}_n∈N y {G^α_n}_n∈N la sucesión de polinomios mónicos ortogonales con respecto a los productos y

respectivamente. Si consideramos la base {G^α}_n∈N, entonces el polinomio (x-ξ) T^α_n(x) puede ser expresado del siguiente modo

donde

entonces w_n,j= 0, pero

entonces

y evaluando esta última ecuación ξ en obtenemos

como consecuencia

Podemos hacer lo anterior con el polinomio (x-n)C_n^α(x) usando como base la familia{T^α_n}_n∈N obteniendo

y evaluando esta última expresión en η

para obtener finalmente

Teniendo en cuenta (9) tenemos la ecuación

donde

Encontraremos una ecuación diferencial lineal de segundo orden satisfecha por T ^α_n(x). Para empezar, es importante destacar el trabajo [6], donde se obtuvo la siguiente fórmula de conexión

donde

y la constante w_n, (sólo depende del grado del polinomio), tiene la fórmula explícita

donde

y como consecuencia de esta última definición, claramente I(α, n) > 0 y w_n < 0. En [6] también es mostrado el comportamiento asintótico de la constante w_n, a saber,. Empezando con la fórmula (3), tenemos

entonces

teniendo en cuenta las expresiones de las constantes

D_n= (n+1) + B_n+1 + A_n

y

E_n (n+B_n).

Derivando la ecuación (12), multiplicando cada derivada por los factores α + 1 − x y x, respectivamente, y usando (4) tenemos

pero

así

Por otra parte, derivando (12), multiplicando por x y usando (5) tenemos

y mediante el uso de (5) obtenemos

y mediante el uso de (2) llegamos a la expresión

donde

y

y teniendo en cuenta la expresión para Φ_n,α(x)

entonces obtenemos explícitamente las soluciones

con

y

donde

y finalmente usando (13) tenemos

Resumimos los resultados de la última discusión en la siguiente

Proposición 2. El polinomio T_n^α (x) satisface la ecuación diferencial lineal de segundo orden

con

y

4. Perturbaciones de tipo Christofel

Ahora consideremos a {S^α_n(x)}_n∈N como la sucesión de polinomios mónicos ortogonales con respecto al producto interno

donde dµ=(x-ζ₁) (x-ζ₂)dµ_α, y ζ₁≠ζ₂ son reales negativos. Además sean {P_n^α}_n∈N y {Q_n^α}_n∈N las sucesiones de polinomios mónicos ortoganeales con respeto a los productos internos y.

respectivamente, con dµ₁=(x-ζ₁dµ_α and dµ₂=(x-ζ₂)dµ_α. Encontraremos una fórmula de conexión para S_n^α(x) en términos de los polinomios {Q_n^α(x)}_n∈N usando a la familia {Q_n^α}_n∈N como base, expandimos el polinomio S_n(X)

donde los coeficientes de Fourier vienen dados por

y entonces q_n,j= 0, para j= 0,1,...,n-1, así (x-ζ)S_n^α(x) puede expresarse de la siguiente forma

pero evaluando la última ecuación en ζ₁, resulta

así

De la misma forma podemos obtener

y

Mediante el uso de (14) y multiplicando por (x-ζ₂) tenemos

y usando (6) resulta

Resumiendo

con

y

Un resultado análogo puede ser obtenido mediante el uso de (16), usando como base la familia {p^α_n(x)}_n∈N, a saber

donde

y

Usando (2) y (18) tenemos

y por simplicidad escribiremos Ψ(x) = (x − ζ1)(x − ζ2),

y así

entonces, derivando, multiplicando por (α + 1 − x)y x,, y usando (4) obtenemos

además usando (3) resulta

así

pero

entonces si r₁(x) = −(n + 2) x + (αn+1 + δn (n + 1)) y θn = βn+1 − ∈_nn

De nuevo, tomando derivadas en (19) y multiplicando por x

ahora, mediante la fórmula (3)

y usando (2)

entonces, si definimos

y

tenemos

Esta última ecuación junto a (19) forman un sistema de ecuaciones con incógnitas L^α_n+1 (x)y L^α_n+1(x), a saber

entonces, si son usadas las expresiones de κ1(x, n ,α) y κ2(x, n, α), y después de extensos cálculos, si

donde

y

las soluciones del sistema son explícitamente

y

finalmente, reemplazando las soluciones en (20), tenemos

agrupando y simplificando

Resumimos los resultados en la siguiente

Proposición 3. El polinomio S ^α_n(x) satisface la ecuación diferencial de coeficientes racionales

donde

y

Agradecimientos

El autor agradece los comentarios y las sugerencias hechos por el árbitro anónimo.

Referencias

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