1 Introducción

En 1933, Kuratowski ¹² utilizó la teoría de ideales sobre espacios topológicos para introducir una generalización de la clausura de un conjunto, denominada la función local de un conjunto con respecto a un ideal y a una topología. Dado un espacio topológico (X, τ ) e I un ideal topológico sobre X, para cada subconjunto A de X se define la función local de A con respecto a I y τ, como el conjunto A* = {x G X : U n A G I para cada U G τ tal que x G U}. Esta generalización fue de gran utilidad para definir el concepto de operador clausura de Kuratowski C/*, el cual induce una topología τ* que es más fina que la topología τ. En 1992, Jankovic y Hamlett ⁹, introducen la noción de conjunto I-abierto vía función local A - A*, la cual es independiente de la noción de conjunto abierto y es una generalización del concepto de conjunto pre-abierto dado por Mashhour et al. ¹⁵. El estudio de conjuntos abiertos o cerrados mediante la noción de espacios topológicos dotado de ideales es un tema que los topologistas han estudiado y todavía siguen estudiando sobre diferentes campos de la topología general. En el 2019, Granados ⁵ estudió una variante de continuidad a través de los conjuntos a _ai-abiertos en espacios topológicos dotado de ideales. En el año 2020, se estudiaron e introdujeron nuevos conjuntos y conceptos sobre espacios topológicos dotados de ideales, Nestor Pachon ¹⁷ introdujeron las nociones de espacios P- Hausdorff, P-regular y P-normal sobre espacios de ideales. Por otro lado, Premkumar y Rameshpandi ¹⁸, definen nuevos conjuntos generalizados sobre espacios nano topológicos ideales.

Por otro lado, el estudio de conjuntos pre regulares inició en el 2018 cuando Jeyanthi y Nalayini ¹¹ definieron en su artículo el conjunto pre regular sp-abierto, donde posteriormente en el 2020, Granados ⁴ introduce y estudia las nociones de conjuntos pre regular pc-abiertos. En este artículo, se define una nueva noción de conjuntos pre regulares sobre espacios topológicos dotados de ideales, los cuales se llamarán conjuntos pre regular pc-I-abiertos. Además, se muestran algunas de sus propiedades y relaciones existentes entre algunos conjuntos ya conocidos en la literatura. Adicionalmente, se definen nuevas variantes de continuidad y contracontinuidad, y se prueban algunas caracterizaciones sobre espacios pre regular pc-I-conexos, pre regular pc-I-T1, pre regular pc-I-T2 y pre regular pc-I-normal.

2 Conceptos preliminares

En esta sección, se muestran algunas definiciones, proposiciones, lemas y/o teoremas, necesarios para el desarrollo de este artículo, es por esto que las demostraciones de estos mismos serán obviados ya que pueden ser encontradas en las referencias citadas.

Definición 2.1. (¹²) Un ideal I sobre un espacio topológico (X, τ) es una colección no vacia de subconjuntos de X que satisface las siguientes propiedades:

1.

Observación 1. Observe que si I es un ideal, entonces Ø ∈ I, puesto que Ø ⊂ A para cualquier A ∈ I.

Ejemplo 2.1. Sea X un conjunto no vacío. Las siguientes colecciones son ideales sobre X:

Observación 2. La terna (X, τ, I) dotado por un ideal I, lo llamaremos espacio topológico ideal o espacio topológico dotado de un ideal.

Definición 2.2. (¹²) Un espacio topológico ideal (X, τ, I) es llamado espacio Hayashi samuels (E.H.S.) si τ ∩I = {/Ø}.

Definición 2.3. (¹²) Sea (X, τ, I) un espacio topológico ideal. Para cada subconjunto A de X, se define la función local de A con respecto al ideal I y τ de la siguiente manera:

A⋆(I, τ) = {x ∈ X :U ∩A /∈ I, para cada U ∈ τ(x)}, donde τ(x) = {U ∈ τ : x ∈U}

Observación 3. En el desarrollo de este articulo, escribiremos A⋆ en vez de A* (I, τ).

Definición 2.4. (¹⁰) Sea (X, τ, I) un espacio topológico ideal. Para cada subconjunto A de X, se define Cl*(A) como la unión de A con A*, es decir Cl*(A) = A∪A*.

Teorema 2.1. (¹⁰) Cl* es un operador clausura de Kuratowski.

Observación 4. En virtud del teorema 2.1, si (X, τ, I) es un espacio topológico ideal, denotamos por τ* a la topología generada por Cl*, esto es, τ* ={U ⊂X :Cl*(X−U)=X−U}. Los elementos de τ* son llamados τ*-abiertos y el complemento de un τ*-abierto es llamado τ*-cerrado.

Además, todo conjunto abierto en τ es un conjunto τ*-abierto, pero lo contrario no se cumple siempre.

Teorema 2.2. (¹⁰) Sea (X, τ, I) un espacio topológico ideal y A ⊂ X, donde I = { Ø }, entonces Cl*(A) =Cl(A).

Definición 2.5. Sea A un subconjunto del espacio topológico (X, τ), entonces A es:

Proposición 2.1. Para cualquier espacio topológico ideal (X, τ, I), los siguientes enunciados siempre son verdaderos:

Definición 2.6. ⁴Sea A un subconjunto del espacio topológico (X, τ), A es pre regular pcabierto si A = pcl(spintA) = (A ∪ Cl(Int(A))) ∩ Cl(Int(Cl(A))). El complemento de un conjunto pre regular pc-abierto es un conjunto pre regular pc-cerrado. La colección de todos los conjuntos pre regular pc-abiertos y pre regular pc-cerrados de (X, τ) son denotados por PCO(X, τ) y PCC(X, τ), respectivamente.

3 Conjuntos pre regular pc-I-abiertos

En esta sección, definimos y probaremos algunas propiedades de los conjuntos pre regular pc-I-abiertos, además se muestran algunas relaciones entre los conjuntos definidos en la sección anterior.

Definición 3.1. Sea (X, τ, I) un espacio topológico ideal y A ⊂ X, A es un conjunto pre regular pc-I-abierto, si A = pcl*(spintA) = (A∪Cl*(Int(A)))∩Cl*(Int(Cl*(A))). El complemento de un conjunto pre regular pc-I-abierto es un conjunto pre regular pc-I-cerrado.

La colección de todos los conjuntos pre regular pc-I-abiertos y pre regular pc-I-cerrados son denotados por PCIO(X, τ, I) y PCIC(X, τ, I).

El siguiente ejemplo muestra que las nociones de conjuntos pre regular pc-abiertos y pre regular pc-I-abiertos son independientes:

Ejemplo 3.1. Sea X = {a,b,c} con la topología τ = {/Ø,X,{b,c},{a,c},{c}} y el ideal I = {/Ø,{b}}, entonces la colección de conjuntos pre regular pcabiertos son PCO(X, τ) = {/Ø,X,{b,c},{a,c}} y la colección de conjuntos pre regular pc-I-abiertos son PCIO(X, τ, I) = {/ Ø,X,{b},{a,c}}. Entonces, podemos observar que el conjunto {b} es un conjunto pre regular pc-I-abierto, pero no es un conjunto pre regular pc-abierto y el conjunto {b,c} es un conjunto pre regular pc-abierto, pero no es un conjunto pre regular pc-I-abierto.

Para que los conjuntos pre regular pc-abiertos y pre regular pc-I-abiertos se encuentren relacionados, debe de cumplirse la siguiente condición:

Teorema 3.1. Sea (X, τ, I) un espacio topológico ideal. Si I = { Ø }, entonces si A es un conjunto pre regular pc-I-abierto, si y solo si, A es un conjunto pre regular pc-abierto.

Proof. Sea A un subconjunto del espacio topológico ideal (X, τ, I) tal que I = {}, entonces por el teorema 2.2, Cl*(A) = Cl(A), esto implica que si A es un conjunto pre regular pc-abierto, entonces A = (A ∪ Cl(Int(A))) ∩ Cl(Int(Cl(A))) = (A ∪ Cl*(Int(A))) ∩ Cl(Int(Cl*(A))), así tenemos que A también será un conjunto pre regular pc-I -abierto.

Observación 5. Teniendo en cuenta el teorema anterior, es importante que I = { Ø } para que los conjuntos pre regular pc-abiertos y pre regular pc-I-abiertos este relacionados, de lo contrario ocurrirá lo propuesto en el ejemplo 3.1.

Teorema 3.2. Sea (X, τ, I) un espacio topológico ideal, entonces los siguientes enunciados son ciertos:

Proof. 1. Sea A un conjunto pre regular pc-I-abierto en (X, τ), esto implica que A = (A ∪ Cl*(Int(A))) ∩ Cl(Int(Cl*(A))) ⊂Cl(Int(Cl*(A))), esto prueba que A es un conjunto β-I-abierto.

2. Dado que todo conjunto β-I-abierto es β- abierto y por la parte (1) de este teorema, tenemos que todo conjunto pre regular pc-I-abierto es β-abierto.

El reciproco del teorema anterior no siempre es verdadero, a continuación podemos ver un ejemplo.

Ejemplo 3.2. Sea X = {a,b,c}, con la topología τ = { Ø,X,{a}} y el ideal I = { Ø }, entonces {a,b} es un conjunto β-I-abierto y consecuentemente es β-abierto, pero no es un conjunto pre regular pc-I-abierto.

Teorema 3.3. Si A es un conjunto pre regular pc-I-abierto del espacio topológico ideal (X, τ, I), tal que Int(A) = / Ø y Cl*(A) = A, entonces A es un conjunto semi-abierto.

Proof. Sea A un conjunto pre regular pc-I-abierto, tal que Int(A) = Ø y Cl*(A) = A, entonces tenemos que A = (A ∪ Ø) ∩Cl(Int(A)) = A ∩Cl(Int(A)) ⊂ Cl(Int(A)), por lo tanto A es un conjunto semiabierto.

Proposición 3.1. Si A es un conjunto pre regular pc-I-abierto del espacio topológico ideal (X, τ, I), tal que Int(A) = Ø y Cl*(A) = A, entonces A es un conjunto b-abierto.

Proof. Dado que todo conjunto semi-abierto es b-abierto, y por el teorema 3.3, A es un conjunto semi-abierto, esto implica que A es un conjunto b-abierto.

Teorema 3.4. Si A es un conjunto pre regular pc-I-abierto del espacio topológico ideal (X, τ, I), tal que A ⊂ A*, entonces A es un conjunto almost I-abierto.

Proof. Sea A un conjunto pre regular pc-I-abierto, entonces A=(A∪Cl*(Int(A)))∩Cl(Int(Cl*(A)))= (A ∪ Cl*(Int(A))) ∩ Cl(Int(A ∪ A*)), dado que A ⊂ A*, tenemos que A = (A ∪ Cl*(Int(A))) ∩Cl(Int(A*)) ⊂Cl(Int(A*)), por lo tanto esto implica que A es un conjunto almost I-abierto.

Teorema 3.5. Sea A un conjunto abierto y pre regular pc-I-abierto del espacio topológico ideal (X, τ), entonces A es un conjunto semi-I-abierto.

Proof. Dado que A es un conjunto prer regular pc-I-abierto, tenemos que A = (A∪Cl*(Int(A)))∩Cl(Int(Cl*(A))) ⊂ A ∪Cl*(Int(A)), como A es un conjunto abierto, entonces A ⊆ Cl*(Int(A)), por lo tanto A ∪Cl*(Int(A)) = Cl*(Int(A)), y así A ⊂ Cl*(Int(A)), esto prueba que A es un conjunto semi-I-abierto.

Proposición 3.2. Sea A un conjunto abierto y pre regular pc-I-abierto del espacio topológico ideal (X, τ), entonces A es un conjunto b-I-abierto.

Proof. Por el teorema 3.5 tenemos que A es un conjunto semi-I-abierto, por la proposición 2.1, parte (4), tenemos que A es un conjunto b-I-abierto.

Definición 3.2. Sea A un subconjunto del espacio topológico ideal. Entonces A es un conjunto:

Teorema 3.6. Para cualquier subconjunto A del espacio topológico ideal (X, τ), los siguientes enunciados son equivalentes:

Proof. (1)=⇒(2): Sea A un conjunto pre regular pc-I-abierto, entonces A = (A ∪ Cl*(Int(A))) ∩ Cl(Int(Cl*(A))), por la definición 3.2, parte (1), tenemos que pcl*A = A ∪ Cl*(Int(A)), por lo tanto A = pcl*A∩Cl(Int(Cl*(A))). (2)=⇒(3): Sea A = pcl*A ∩ Cl(Int(Cl*(A))) = (A ∪ Cl*(Int(A))) ∩ Cl(Int(Cl*(A))) = (A ∩ Cl(Int(Cl*(A)))) ∪ (Cl(Int(Cl*(A))) ∩ Cl*(Int(A))), por la parte (2) de la definición 3.2, (spintA)* = A ∩ Cl(Int(Cl*(A))). Además, Cl*(Int(A)) ⊆ Cl(Int(Cl*(A))), esto implica que Cl(Int(Cl*(A))) ∩ Cl*(Int(A)) = Cl*(Int(A)), en consecuencia esto prueba que A = (spintA)* ∪Cl*(Int(A)).

(3)=⇒(1): Sea A = (spintA)* ∪ Cl*(Int(A)) = (A ∩ Cl(Int(Cl*(A)))) ∪ Cl*(Int(A)) = (A ∪Cl*(Int(A))) ∩ (Cl*(Int(A)) ∪ Cl(Int(Cl*(A)))), pero Cl*(Int(A)) ⊆ Cl(Int(Cl*(A))), esto implica que Cl(Int(Cl*(A))) ∪ Cl*(Int(A)) = Cl(IntCl*(A))), en efecto tenemos que A = (A ∪ Cl*(Int(A))) ∩ Cl(Int(Cl*(A))), por lo tanto A es un conjunto pre regular pc-I-abierto.

A continuación mostraremos algunos resultados hallados de los conjuntos pre regular pc-I-abiertos.

Iniciaremos mostrando un contraejemplo donde podemos ver que todo conjunto abierto no es necesariamente un conjunto pre regular pc-I-abierto.

Ejemplo 3.3. Sea X = {a,b,c}, con el ideal I = {Ø,{c}} con la topología τ = {Ø,X,{a},{a,b}}. Entonces la colección de todos los conjuntos pre regular pc-I-abiertos son PCIO(X, τ, I) = {Ø,X}, podemos ver que los conjuntos {a} y {a,b} no son pre regular pc-I-abiertos.

Ahora mostraremos dos contraejemplos que muestran que la unión, la intersección y la diferencia arbitraria de dos conjuntos pre regular pc-I-abiertos no es un conjunto pre regular pc-I-abierto.

Ejemplo 3.4. Sea X = {a,b,c}, con el ideal I = {Ø,{a}} y la topología τ = {Ø,X,{a},{b},{a,b}}. Entonces, la colección de todos los conjuntos pre regular pc-I-abierto son PCIO(X, τ, I) = {Ø,X,{a},{b}}, podemos ver que {a} y {b} son conjuntos pre regular pc-I-abiertos, pero {a} ∪ {b} = {a,b} no es un conjunto pre regular pc-I-abierto.

Ejemplo 3.5. Sea X = {a,b,c}, con el ideal I = {Ø,{a},{c},{a,c}} y la topología τ = { Ø,X,{c},{b,c},{a,c}}. Entonces, la colección de todos los conjuntos pre regular pc-I-abierto son PCIO(X, τ, I) = { Ø,X,{b,c},{a,c}}, podemos ver que {b,c} y {a,c} son conjuntos pre regular pc-I-abiertos, pero {a,c} ∪ {b,c} = {c} no es un conjunto pre regular pc-I-abierto.

Por otro lado, podemos ver que {b,c}−{a,c} = {c}, por el enunciado anterior, concluimos que {c} no es un conjunto pre regular pc-I-abierto.

Teorema 3.7. Sea (X, τ, I) un espacio topológico ideal y A ⊂ X. Si A es un conjunto pre regular pc-I-abierto donde I = {Ø}, entonces el conjunto vacío es el único conjunto que es nunca denso y pre regular pc-I-abierto.

Proof. Sea A un conjunto pre regular pc-I-abierto, como I ={Ø} esto implica que Cl*(A)=Cl(A), y tenemos que, A = (A ∪ Cl*(Int(A))) ∩ Cl(Int(Cl*(A))) = (A∪Cl(Int(A)))∩Cl(Int(Cl(A))) = Ø, si y solo si, A = Ø.

4 Continuidad vía conjuntos pre regular pc-I-abiertos

En esta sección, se introducen y estudian algunas variantes de continuidad sobre los conjuntos pre regular pc-I-abiertos, además se muestran algunas carnetizaciones. En esta sección, τ, σ y ω denotaran espacios topológicos. Además, I, J y K denotaran ideales.

Definición 4.1. Una función f : (X, τ)→(Y,σ,J) es pre regular pc-I-continua, si f −1(V) es un conjunto pre regular pc-I-abierto en (X, τ, I) para cada conjunto V abierto en (Y,σ,J).

Definición 4.2. Una función f : (X, τ, I)→(Y,σ,J) y X es sweca-pre regular pc-I-continua si f −1(V) es un conjunto pre regular pc-I-abierto en (X, τ, I) para cada conjunto V σ*-abierto en (Y,σ,J).

Teorema 4.1. Toda funcion sweca-pre regular pc-I-continua es pre regular pc-I-continua.

Proof. Sea A un conjunto abierto en (Y,σ,J), entonces A es un conjunto σ*-abierto en (Y,σ,J), dado que f es una función sweca-pre regular pc-I-continua, entonces f −1(A) es un conjunto pre regular pc-I-abierto en (X, τ, I), por lo tanto f es una función pre regular pc-I-continua.

Observación 6. El reciproco del teorema anterior no se cumple de forma general, pues todo conjunto σ*-abierto no es necesariamente un conjunto abierto, entonces podrá existir un conjunto σ*- abierto en (Y,σ,J) que no sea pre regular pc-I-abierto en (X, τ, I).

Teorema 4.2. Sea f : (X, τ, I) → (Y,σ,J) y g : (Y,σ,J) → (Z,ω,K) dos funciones, con τ,σ y ω espacios topológicos e I,J y K ideales, entonces los siguientes enunciados son verdaderos:

Proof. 1. Sea V un conjunto abierto en Z, como g es una función continua, entonces g−1(V) es un conjunto abierto en Y, dado que f es una función pre regular pc-I-continua, tenemos que f −1(g−1(V)) es un conjunto pre regular pc-I-abierto en X, pero (g ◦ f )−1(V) = f −1(g−1(V)), esto muestra que g ◦ f es una función pre regular pc-I-continua.

La demostración del punto (2), se realiza de manera similar al punto (1).

Teorema 4.3. Para cualquier función f : (X, τ, I)→ (Y,σ,J), tal que la unión arbitraria de conjuntos pre regular pc-I-abiertos en X es un conjunto pre regular pc-I-abierto, entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

Proof. (1) ⇒ (2): Sea B cualquier subconjunto cerrado en Y, entonces V = Y −B es un conjunto abierto en Y y dado que f es una función pre regular pc-I-continua, f −1(V) es un conjunto pre regular pc-I-abierto de X, pero f −1(V) = f −1(Y − B) = f −1(Y)− f −1(B)=X− f −1(B), por lo tanto f −1(B) es un conjunto pre regular pc-I-cerrado de X.

(2) ⇒ (1): Sea V cualquier conjunto abierto en Y, then B = Y −V es un conjunto cerrado en Y y por hipótesis, tenemos que f −1(B) es un conjunto pre regular pc-I-cerrado de X, pero f −1(B) = f −1(Y −V) = f −1(Y)− f −1(V) = X − f −1(V), por lo tanto f −1(V) es un conjunto pre regular pc-I-abierto de X. Esto muestra que f es una función pre regular pc-I-continua.

(1)⇒(3): Sea x ∈ X y B un conjunto abierto en Y tal que f (x) ∈ B, entonces x ∈ f −1(B) y dado que f es una función pre regular pc-I-continua, f −1(B) es un conjunto pre regular pc-I-abierto en X. Si U = f −1(B), entonces U es un conjunto pre regular pc-I-abierto de X tal que x ∈U y f (U)= f ( f −1(B))⊂B.

(3) ⇒ (1): Sea B cualquier conjunto abierto en Y y x ∈ f −1(B), entonces f (x) ∈ B y por la parte (3) de este teorema, existe un conjunto pre regular pc-I-abierto Ux de X tal que x ∈ Ux y f (Ux) ⊂ B. por lo tanto, x ∈ Ux ⊂ f −1( f (U)) ⊂ f −1(F), en consecuencia f −1(B) = S {Ux : x ∈ f −1(B)}. En conclusión tenemos que f −1(B) es un conjunto pre regular pc-I-abierto de X.

Teorema 4.4. Para cualquier función f : (X, τ, I)→ (Y,σ,J), tal que la unión arbitraria de conjuntos pre regular pc-I-abiertos en X es un conjunto pre regular pc-I-abierto, entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

Proof. La demostración de este teorema se realiza de manera similar al teorema 4.3.

Definición 4.3. Un espacio topológico ideal (X, τ, I) es pre regular pc-I-T1 si para cada par de puntos x,y con x ‡y, existe al menos un conjunto pre regular pc-I-abierto que contiene a x o y, pero no a ambos.

Definición 4.4. Una función f : (X, τ)→(Y,σ,J) es pre regular pc-I-irresoluta, si f −1(V) es un conjunto pre regular pc-I-abierto en (X, τ, I) para cada conjunto V pre regular pc-I-abierto en (Y,σ,J).

Teorema 4.5. Sea f : (X, τ, I) → (Y,σ,J) una función pre regular pc-I-irresoluta, con X un espacio pre regular pc-I-T1, entonces Y es un espacio pre regular pc-I-T1

Proof. Supongamos que Y no es un espacio pre regular pc-I-T1. Si para cada par de puntos x,y con x ̸= y tal que U y V son conjuntos pre regular pc-I-abiertos con U ∩V ̸= Ø con x ∈ U y y ∈ V, dado que f es una función pre regular pc-I-irresoluta, f −1(U ∩V) ̸= Ø en X y esto contradice que X es un espacio pre regular pc-I-T1.

Definición 4.5. Un espacio topológico ideal (X, τ, I) es pre regular pc-I-T2, si para cada par de puntos diferentes x,y ∈ X, existen conjuntos pre regular pc-I-abiertos U y V de X tal que x ∈ U, y ∈ V, U ∩V = Ø.

Teorema 4.6. Si f : (X, τ, I) → (Y,σ,J) es una función abierta, inyectiva y pc-I-continua, donde (Y,σ) es un espacio pre regular pc-I-T2, entonces (X, τ, I) es un espacio pre regular pc-I-T2

Proof. Sea A y B dos conjuntos abiertos diferentes en X. Como f es una función abierta e inyectiva, entonces f (A) y f (B) son conjuntos abiertos disyuntos en Y y como (Y,σ,J) es un espacio pre regular pc-I-T2, existen dos conjuntos abiertos G y H de Y tales que f (A) ⊂ G, f (B) ⊂ H y G∩H = Ø. Ahora, dado que f es una función pre regular pc-I-continua, f −1(G) y f −1(H) son conjuntos pre regular p-I-abiertos de X, aunque A ⊂ f −1( f (A)) ⊂ f −1(G), B ⊂ f −1( f (B)) ⊂ f −1(H) y f −1(G) ∩ f −1(H) = f −1(G∩H) = f −1( Ø) = Ø. Esto prueba que (X, τ, I) es un espacio pc-I-T2.

Definición 4.6. Un espacio topológico ideal (X, τ, I) es pre regular pc-I-conexo, si X no puede escribirse como una unión disyunta de dos conjuntos pc-I-abiertos diferentes de vacío.

Teorema 4.7. Para un espacio topológico ideal (X, τ, I), los siguientes enunciados son equivalentes:

Proof. (1) =⇒(2): Sea B un conjunto de X que es pre regular pc-I-abierto y pre regular pc-I-cerrado, entonces X −B es pre regular pc-I-abierto y pre regular pc-I-cerrado, así X = B∪(X −B), como X es conexo, entonces B = Ø o B = X.

(2) =⇒ (1): Supongamos que X no es pre regular pc-I-conexo y X = U ∪ B, entonces U = X − B, por hipótesis, se tiene que U = Ø o U = X, lo que contradice el hecho de que U y V son no vacíos.

(2) =⇒ (3): Sea f (X, τ, I) → Y una función pre regular pc-I-continua donde Y es un espacio topológico discreto y contiene al menos dos puntos, entonces X se puede escribir como una colección de conjuntos que son a la vez pre regular pc-I-abiertos y pre regular pc-I-cerrados de la forma que { f −1(y) : y ∈ Y}, de esto, se concluye que existe un y0 ∈Y tal que f −1({y0})=X y así, f es una función constante.

(3) =⇒ (2): Sea Z un conjunto de X que es pre regular pc-I-abierto y pre regular pc-I-cerrado. Supongamos que W ‡ Ø y sea f : (X, τ, I) → Y una función pre regular pc-I-continua definida por f (Z) = {y1} y f (X −Z) = {Y2} para y1 ‡y2, con y1,y2 ∈Y. Puesto que f es una función constante, se concluye que X = Z.

Definición 4.7. Una función f : (X, τ, I)→(Y,σ,J) se dice:

Teorema 4.8. Toda función contra sweca-pre regular pc-I-continua es contra pre regular pc-I-continua.

Proof. Sea V un conjunto abierto en Y, entonces V es un conjunto σ*-abierto en Y y puesto que f es contra sweca-pre regular pc-I-continua, tenemos que f −1(V) es un conjunto pre regular pc-I-cerrado de X. Por lo tanto, f es contra pre regular pc-I-continua.

Observación 7. El reciproco del teorema anterior no se cumple de forma general, pues todo conjunto σ*-abierto no es necesariamente un conjunto abierto, entonces puede existir un conjunto σ*- abierto en (Y,σ,J) que no sea pre regular pc-I-cerrado en (X, τ, I), como se puede ver en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.1. Sea X = {q,w,e}, τ = {Ø,X,{q},{q,w}}, σ = { Ø,X,{e},{w,e}}, I = { Ø,{e}} y J = { Ø,{e},{w,e},{w}}. Entonces, la colección de todos los subconjuntos σ*-abiertos de X es { Ø,X,{e},{w,e},{q},{q,w},{q,w}} y la colección de todos los subconjuntos pre regular pc-I-cerrados de X es { Ø,X,{e},{w,e},{q,e},{w}}. La función identidad f : (X, τ, I) → (X,σ,J) es contra pre regular pc-I-continua, pero no es contra sweca-pre regular pc-I-continua.

Teorema 4.9. Sea f : (X, τ, I) → (Y,σ,J) una función, tal que la unión arbitraria de conjuntos pre regular pc-I-abiertos en X es un conjunto pre regular pc-I-abierto, entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

Proof. (1)⇒(2): Sea F cualquier conjunto cerrado en Y, entonces V =Y −F es un conjunto abierto en Y y puesto que f es contra pre regular pc-I-continua, f −1(V) es un conjunto pre regular pc-I-cerrado de X, pero f −1(V) = f −1(Y −F) = f −1(Y)− f −1(F) = X − f −1(F) y por lo tanto, f −1(F) es un conjunto pre regular pc-I-abierto en X.

(2)⇒ (1): Sea V cualquier conjunto abierto de Y, entonces F =Y −V es un conjunto cerrado de Y y por hipótesis, tenemos que f −1(F) es un conjunto pre regular pc-I-abierto en X, pero f −1(F) = f −1(Y −V) = f −1(Y) − f −1(V) = X − f −1(V) y por lo tanto, f −1(V) es un conjunto pre regular pc-I-cerrado en X. Esto demuestra que f es contra pre regular pc-I-continua.

(1)⇒(3): Sea x ∈ X y F un conjunto cerrado en Y tal que f (x) ∈ F, entonces x ∈ f −1(F) y puesto que f es una función contra pre regular pc-I-continua, f −1(F) es un conjunto pre regular pc-I-abierto en X. Si U = f −1(F), entonces U es un conjunto pre regular pc-I-abierto en X tal que x ∈ U y f (U) = f ( f −1(F)) ⊂ F.

(3) ⇒ (1): Sea F cualquier conjunto cerrado en Y y x ∈ f −1(F), entonces f (x) ∈ F y por la parte (3) de este teorema, existe un conjunto pre regular pc-I-abierto Ux de X tal que x ∈ Ux y f (Ux) ⊂ F. Así, x ∈ Ux ⊂ f −1( f (U)) ⊂ f −1(F) y por lo tanto, f −1(F) = S {Ux : x ∈ f −1(F)}. Por lo tanto, concluimos que f −1(F) es un conjunto pre regular pc-I-abierto en X.

Teorema 4.10. Sea f : (X, τ, I) → (Y,σ,J) una función, tal que la unión arbitraria de conjuntos pre regular pc-I-abiertos en X es un conjunto pre regular pc-I-abierto, entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

Proof. La demostración de este teorema se realiza de manera similar al teorema 4.9.

Teorema 4.11. Si f : (X, τ, I)→(Y,σ,J) es una función sobreyectiva contra pre regular pc-I-continua y (X, τ, I) es un espacio pre regular pc-I-conexo, entonces el espacio (Y,σ,J) no es discreto.

Proof. Supongamos que (Y,σ,J) es un espacio discreto y sea A cualquier conjunto propio no vacío en Y. Entonces, A es un conjunto abierto y cerrado en Y y como f es contra pre regular pc-I-continua, tenemos que f −1(A) es un conjunto pre regular pc-I-abierto y pre regular pc-I-cerrado en X. Puesto que (X, τ, I) es un espacio pre regular p-I-conexo, por el Teorema 4.7, los únicos conjuntos de X que son a la vez pre regular pc-I-abiertos y pre regular pc-I-cerrados son Ø y X. Así, f −1(A) = Ø o f −1(A) = X. Si f −1(A)= Ø, entonces esto contradice el hecho que A ̸= Ø y f es sobreyectiva. Si f −1(A) = X, entonces f no es una función. Por lo tanto, (Y,σ,J) no es un espacio discreto.

Teorema 4.12. Un espacio topológico ideal (X, τ, I) es pre regular pc-I-conexo, si cada función contra pre regular pc-I-continua f : (X, τ, I) → (Y,σ,J), donde (Y,σ,J) es un espacio T0, es una función constante.

Proof. Supongamos que (X, τ, I) no es un espacio pre regular pc-I-conexo y cada función contra pre regular pc-I-continua f : (X, τ, I)→(Y,σ,J), donde (Y,σ,J) es un espacio T0 , es una función constante. Puesto que (X, τ, I) no es un espacio pre regular pc-I-conexo, por el Teorema 4.7, existe un subconjunto propio no vacío A de X que es a la vez pre regular pc-I-abierto y pre regular pc-I-cerrado. Sea Y = {a,b} y σ = {Y, Ø,{a},{b}} una topología para Y. Sea f : (X, τ, I)→(Y,σ,J) una función tal que f (A) = {a} y f (X −A) = {b}, entonces f es una función no constante y contra pre regular pc-I-continua tal que (Y,σ,J) es un espacio T0, que es una contradicción. Por lo tanto, (X, τ, I) es un espacio pre regular pc-I-conexo.

Teorema 4.13. Si f : (X, τ, I) → (Y,σ,J) es una función contra pre regular pc-I-continua y (Y,σ,J) es un espacio regular, entonces f es pre regular pc-I-continua.

Proof. Sean x ∈ X y V un conjunto abierto en Y tal que f (x) ∈ V. Puesto que (Y,σ,J) es regular, existe un conjunto abierto W de Y tal que f (x) ∈ W ⊂ Cl(W) ⊂V. Ahora, como f es una función contra pre regular pc-I-continua y Cl(W) es un conjunto cerrado en Y que contiene a f (x), entonces por el Teorema 4.9, existe un conjunto pre regular pc-I-abierto U en X tal que x ∈U y f (U) ⊂Cl(W) ⊂V. Entonces esto muestra que f es una función pre regular pc-I-continua.

Definición 4.8. Un espacio topológico ideal (X, τ, I) se dice pre regular pc-I-normal, si para cada par de conjuntos cerrados disjuntos A y B de X, existen conjuntos pre regular pc-I-abiertos U y V tales que A ⊂U, B ⊂V y U ∩V = Ø.

Teorema 4.14. Si f : (X, τ, I) → (Y,σ,J) es una función cerrada, inyectiva y contra pre regular pc-I-continua y (Y,σ,J) es un espacio ultra normal, entonces (X, τ, I) es un espacio pre regular pc-I-normal.

Proof. Sean A y B dos conjuntos cerrados disjuntos en X. Puesto que f es cerrada e inyectiva, entonces f (A) y f (B) son conjuntos cerrados disjuntos en Y y como (Y,σ,J) es un espacio ultra normal, existen dos conjuntos cerrados y abiertos a la vez G y H en Y tales que f (A) ⊂ G, f (B) ⊂ H y G∩H = Ø. Ahora, como f es contra pre regular pc-I-continua, f −1(G) y f −1(H) son conjuntos pre regular pc-I-cerrados en X y además, A ⊂ f −1( f (A)) ⊂ f −1(G), B ⊂ f −1( f (B)) ⊂ f −1(H) y f −1(G) ∩ f −1(H) = f −1(G ∩ H) = f −1( Ø) = Ø. Esto demuestra que (X, τ, I) es un espacio pre regular pc-I-normal.

Teorema 4.15. Si una función f : (X, τ, I) → (Y,σ,J) es inyectiva contra pre regular pc-I-continua y (Y,σ,J) es un espacio Urysohn, entonces (X, τ, I) es un espacio pre regular pc-I-T2.

Proof. Sean x,y ∈ X tales que x ̸= y. Puesto que f es una función inyectiva, tenemos que f (x) ̸= f (y) y, como (Y,σ,J) es un espacio Urysohn, existen conjuntos abiertos U y V de Y tales que f (x) ∈ U, f (y) ∈ V y Cl(U)∩Cl(V) = Ø. Dado que Cl(U) y Cl(V) son conjuntos cerrados en Y tales que f (x) ∈ Cl(U) y f (y) ∈ Cl(V), la contra pre regular pc-I-continuidad de f garantiza, por el Teorema 4.9, la existencia de dos conjuntos pre regular pc-I-abiertos A y B en X tales que x ∈ A, y ∈ B, f (A) ⊂Cl(U) y f (B)⊂Cl(V). Así, f (A)∩ f (B)⊂Cl(U)∩Cl(V)= Ø, por lo que f (A∩B) = f (A)∩ f (B) = Ø y por lo tanto, A∩B = Ø. Esto demuestra que (X, τ, I) es un espacio pre regular pc-I-T2