2 Conjuntos B_h: conceptos y notación

En lo que sigue del documento G es un grupo abeliano notado aditivamente, A un subconjunto no vacío de G y h ≥ 2 un entero. En esta sección se presenta la definición de conjunto B_h, en un grupo abeliano arbitrario, algunas de sus propiedades y problemas fundamentales.

Definición 2.1 ([¹⁴]). Sean (G, +) un grupo abeliano arbitrario, A un subconjunto no vacío de G y h ≤ 2. A se dice un conjunto B_h en G si para todo α₁,..., α _h, α’₁,..., a’_h ∈ A se tiene que:

si y solo si (α’₁,..., α’_h) es una permutación de (α ₁, . . . , α _h).

Es decir, un conjunto A es B_h en el grupo aditivo G si todas las sumas de h elementos son distintas.

Las siguientes propiedades de conjuntos B_h se deducen directamente de la definición anterior.

Lema 2.2. Si G₁, G₂ son grupos abelianos y A un conjunto B_h en G₁, entonces

Definición 2.3. Si A es un subconjunto de un grupo aditivo G y h un entero positivo, entonces la suma iterada hA es:

Si A es un conjunto finito con cardinal |A|, se tiene el siguiente resultado.

Lema 2.4. A es un conjunto B_h si y solo si

Uno de los problemas más importantes sobre los conjuntos B_h consiste en investigar el comportamiento asintótico de las siguientes funciones extremas.

Definición 2.5. Sea f_h una función con dominio el conjunto de todos los grupos abelianos finitos y codominio el conjunto de enteros positivos, definida por

para cada G grupo abeliano finito.

En particular si G es cíclico de orden n (G ≅ ℤ_n) se denota por f_h(n) en lugar de f_h (ℤ_n).

Definición 2.6. Sea F_h: ℤ → ℤ+ una función definida por

para cada n ∈ ℤ.

Si A es un conjunto B_h en un grupo finito G, entonces

Esto es,

de donde

En el caso entero, si A ⊂ [1, n] y A es un conjunto B_h en ℤ, entonces aparece un factor h adicional puesto que hA ⊂ [h, hn]:

Para los mejores resultados conocidos sobre estas funciones ver [¹, ⁹, ¹¹].

Si ℤ _n se identifica con [1, n] entonces no es difícil ver que todo conjunto B_h en ℤ _n se puede considerar como un conjunto B_h entero contenido en [1, n]. Similarmente, si A es un conjunto B_h en ℤ y A ⊂ [ 1, n] entonces A se puede identificar con un conjunto B_h en ℤ _hn. Por lo tanto

De las construcciones de Bose y Chowla [³] enunciadas en los Teoremas 1.5 y 1.6 se obtiene como consecuencia las siguientes desigualdades.

Corolario 2.7. Si q es una potencia de un número primo, entonces

3 Construcciones

En esta sección se presenta la construcción de Bose a partir de un cuerpo arbitrario y en particular se presenta la construcción de Singer generalizada.

Teorema 3.1. Si (F, +, •) es un cuerpo, a un e/emento a/gebraico sobre F de grado h ≥ 2 y

la traslación de F mediante a, entonces α + F es un conjunto B_h en el grupo multiplicativo F*(α).

Proof Suponga que existen α _i1,..., α _ih, aj,..., α _jh en F tales que

por factorización única y el hecho de que α es de grado h sobre F, esto es equivalente a que (α + α’ _i1 , α + α’ _i2, . . . , α + α’ _ih es una permutación de (α + α _i1, α + α _i2 α + α _ih).

Ejemplo 3.2. es un conjunto B₂ infinito en

Observación 3.3. Si F es un cuerpo finito con q elementos, F = F_q, se tiene el isomorfismo F_qh ≅ (ℤ _qh-1, +) mediante la función logaritmo discreto base θ, donde θ es una raíz primitiva de F_qh.

Así:

Ejemplo 3.4. Sea p = 7, θ un elemento primitivo de F₇2 con polinomio minimal sobre F₇, min F₇ (θ) = x² + 4x + 5 y sea α = θ.

El conjunto

es un conjunto B₂ en el grupo multiplicativo F^* ₄₉. Usando el logaritmo discreto en la base θ, se tiene que el conjunto

es un conjunto B₂ en el grupo aditivo ℤ ₄₈.

Ahora, se presenta la construcción del conjunto B_h tipo Singer generalizada. Aunque en principio la construcción de Singer apareció primero que la de Bose y Chowla, en esta versión se presenta la construcción de Singer como una consecuencia de la construcción de Bose y Chowla tomando como referencia el artículo [⁷].

Primero se construye un conjunto Bh+1 en el grupo aditivo ℤ _{qh+1 -1} tipo Bose y Chowla con q elementos, luego este conjunto se reduce módulo (q^h + q^h-1 +-----+ q + 1), el conjunto resultante es un conjunto B_h en el grupo aditivo ℤ _{qh+qh-1+ …+q+1} con q elementos, y por último se agrega el cero al último conjunto para así obtener un conjunto Bh tipo Singer generalizado con q +1 elementos en el grupo aditivo ℤ _{qh+qh-1+…+q+1} ^.

Teorema 3.5. Si q = pⁿ, con p primo, n ∈ℕ y h ≥ 2 entero, entonces existe un conjunto Bh, con q + 1 elementos, en elgrupo aditivo ℤ _{qh+qh-1+…+q+1}.

Proof Considere el cuerpo F_qh+1 con elemento primitivo θ y α ∈ F_q ^* _h+1 un elemento de grado h+1 sobre Fq. Usando el Teorema 3.1 se construye un conjunto tipo Bose y Chowla a + Fq ⊆ F^* _qh+1 y por el Lema 2.2 se obtiene el conjunto A = log_θ (α + F_q), que es B_h+₁ en el grupo aditivo ℤ _qh+1-1, con q elementos.

Denote n_q: = q^h + q^h-1 +…+ q + 1.

Ahora, se modula el conjunto A módulo n_q, así se obtiene un nuevo conjunto S = A(mod n_q). Se va a probar que S es un conjunto Bh en el grupo aditivo ℤ _nq.

Suponga que existe un elemento en el grupo (ℤ _nq, +) que tiene dos representaciones como suma de h elementos del conjunto S; es decir, existen α_i1,..., α_ih, α’_j1..., α’_jh en S tales que

esto implica que para algún r ∈ ℤ,

y como se obtiene

Como para cada elemento α + u_i ∈ α + F_q existe un único elemento α _i ∈ A tal que log_θ (α + u_i) = α _i, esto implica que

desarrollando los productos, se observa que α satisface un polinomio de grado h en la variable x con coeficientes en F^* _q,

donde σ_k = σ_k(u_i1,…, u_ih), δ_k = δ_k(u’_i1,…,u_ih), k = 1,..., h, son las funciones simétricas elementales. Luego como α es de grado h + 1 sobre F_q el polinomio P(x) debe ser el polinomio nulo y así se tiene que

para k = 1 , . . . , h, en consecuencia v = 1 y {u_i1, …, u_ih} = {u’_j1,..., u_jh }.

Por lo tanto,

Además, S tiene q elementos; en efecto, suponga que existen dos elementos en S que son iguales,

con i # j. Así, existe w ∈ℤ tal que en F_qh+1 se tiene

y como y = θ^wnq ∈ F*_q = (θ^nq) entonces

Esto implica que

para algún u_i, uj ∈ F_q.

Así, α satisface un polinomio de grado 1 con coeficientes en F_q, implicando que y = 1 y u_i = uj y así i = j, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, todos los elementos de S son distintos.

En consecuencia, S es un conjunto B_h en ℤ _nq, con q elementos.

Por otro lado, se tiene que el conjunto S satisface S ∩ (S ⊖ S) = 0, donde S ⊖ S = (S - S) \ {0}. En efecto, suponga que existen s, r, t ∈ S, r # t, tales que s ≡ r - t( mod n_q), luego existen a, b, c ∈ Fq y m ∈ ℤ tales que s = log_θ(α + α), r = log_θ (α + b) y t = log_θ (α + c), luego

lo que implica que

tomando w = θ ^mnq ∈ F^* _q se tiene que a satisface el polinomio

con coeficientes en F_q, pero como a es de grado mayor o igual que 3 sobre F_q, entonces Q(x) debe ser el polinomio nulo; lo cual no puede ser posible puesto que el coeficiente de x² es 1, de esto se sigue que S ∩ (S ⊖ S) = 0.

En consecuencia, tomando el conjunto

se obtiene un conjunto Bh en ℤ _nq con q + 1 elementos. □

3.1 Nuevas construcciones

Gómez y Trujillo en [⁷] encuentran una nueva construcción de conjuntos Bh+1, donde realizan el proceso contrario a la construcción de Singer generalizada, ellos a partir de un conjunto Bh obtienen un conjunto Bh+1.

En el Teorema 3.6 se presenta una construcción de un conjunto B_h+_s en el grupo producto (F^h, +) x (E*, •), donde E es alguna extensión de F y como consecuencia en el Corolario 3.7 se presenta la generalización a cualquier cuerpo F de la construcción de conjuntos Bh+1 dada por Gómez y Trujillo [⁷], a partir de un conjunto B_h tipo Bose y Chowla construido en el Teorema 3.1.

Además, es posible obtener otra construcción de un conjunto Bh+1 en dimensión dos en el grupo multiplicativo F * x E * usando la construcción tipo Bose y Chowla de conjuntos B_h, ver Teorema 3.10. Sin embargo en esta construcción se pierde un elemento, por ejemplo para el caso cuando el cuerpo F = F_p, p primo, el conjunto tiene p - 1 elementos.

Sea (F^h, +) el grupo producto de h copias del grupo (F, +). A continuación se presenta la construcción de un conjunto Bh+s en h + 1 dimensiones. Dado el conjunto A_h = {(x,x²,...,x^h): x e F}, se conoce por [¹²] que A_h es un conjunto B_h en el grupo producto (F^h, +), usando la construcción de Bose de un conjunto Bs multiplicativo es posible construir un conjunto B_h+_s en h + 1 dimensiones.

Teorema 3.6. Si F es un cuerpo, α un elemento algebraico de grado s ≥ 2 sobre F en alguna extensión E de F y h ≥ 1 un entero. Entonces el conjunto

es un conjunto B_h+_s en el grupo producto (F^h, +) x (E *, •).

Proof. Se denota por * la operación dei grupo producto (F^h, +) x (E*, •).

Sean x = {x₁,...,x_h+_s}, y = {y₁,...,y _h+s} subconjuntos de F tales que

Esto implica que

Las primeras h igualdades, por las identidades de Newton-Girard, implican la igualdad de las funciones simétricas elementales

para 1 ≤ k ≤ h.

Ahora, si se desarrollan los productos de (4) se obtiene

luego usando las igualdades de (5) para 1 ≤ k ≤ h y simplificando se obtiene que α satisface un polinomio de grado s - 1, pero como α es algebraico de grado s sobre F entonces el polinomio debe ser el polinomio nulo, esto implica que

para h + 1 ≤ k ≤ h + s. En consecuencia, {x₁,..., x_h+s} = {y₁,..., y_h+s} y por lo tanto

Corolario 3.7. Si (F, +, •) es un cuerpo, a un elemento algebraico de grado h ≥ 2 sobre F en alguna extensión E de F, entonces el conjunto

es un conjunto B_h+1 en (F, +) x (E^*, •).

Observación 3.8. En particular si se toma el cuerpo finito F = F_p con p elementos, p primo, entonces E = F_ph y (F_p, +) x (Fp, •) es isomorfo a/ grupo (ℤ _p x ℤ _ph-1, +). Además, como se tiene que mcd(p, p^h - 1) = 1 entonces por el isomorfismo del Teorema Chino del Residuo se tiene que ℤ _p x ℤ _ph-1 = ℤ _p(ph-1). Luego usando el Lema 2.2 se obtiene la construcción de Gómez y Trujillo [⁷] de un conjunto B_h+1 dado por

a partir de un conjunto B_h, donde θ es un elemento primitivo de ℤ _p.

Ejemplo 3.9. Del Ejemplo 3.4 se tiene que el conjunto

es un conjunto B₂ en el grupo multiplicativo F^* ₄₉. Luego el conjunto

es un conjunto B₃ en el grupo (F₇, +) x (F^* ₄₉, •).

Luego usando la construcción de Gómez y Trujillo se obtiene que el conjunto

es un conjunto B₃ en el grupo aditivo ℤ ₃₃₆.

Por otro lado, usando la construcción tipo Bose y Chowla de conjuntos B_h se puede obtener otra construcción de un conjunto B_h+1 en dimensión dos en el grupo multiplicativo F^* x E^* . Sin embargo, cuando F es un cuerpo finito se pierde un elemento.

Teorema 3.10. Si (F, +, •) es un cuerpo, a un elemento algebraico de grado h ≥ 2 sobre F en alguna extensión E de F, entonces el conjunto

es un conjunto B_h+1 en (F^*, •) x (E^*, •).

Ahora se presenta la construcción de un conjunto B_h+2 en dimensión tres pegando dos conjuntos conocidos, el conjunto de Sidon

presentado en [4] y el conjunto B_h tipo Bose y Chowla.

Teorema 3.11. Si (F, +, •) es un cuerpo, a un elemento algebraico de grado h ≥2 sobre F en alguna extensión E de F, entonces el conjunto

es un conjunto B_h+₂ en (F, +) x (F*, •) x (E*, •).

Observación 3.12. Cuando se tiene e/ cuerpo finito F = F_p, con p elementos y p primo, entonces |A| = p- 1. Luego usando e/ Lema 2.2 se tiene que si A = {(α, α, α + α) : α ∈ F_p ^*} es un conjunto B_h+₂ en (F_p, +) x (F^* _p, •) x (F^* _ph, •) entonces el conjunto

es un conjunto B_h+₂ en (ℤ _p, +) x (ℤ _p-1, +) x (ℤ _ph-1, +), donde 0₁ y 0₂ son elementos primitivos de F_p y F_ph, respectivamente.

Además, como mcd(p, p^h - 1) = 1 por el isomorfismo del Teorema Chino del Residuo se tiene que el conjunto

es un conjunto B_h+2 en (ℤ _p-1 x ℤ _p(ph-1), +).

Ejemplo 3.13. Del Ejemplo 3.4 se tiene que

es un conjunto B₂ en el grupo multiplicativo F^* ₄₉. Además,

es un conjunto B₂ en (F₇, +) x (F*, •).

Luego

es un conjunto B₄ en el grupo (F₇, +) x (F^* ₇, •) x (F₄₉, •).

Ahora, usando el Teorema Chino del Residuo se tiene que

es un conjunto B₄ en el grupo aditivo ℤ ₆ x ℤ ₃₃₆.

Por último, como consecuencia del Teorema 3.6 se tiene la construcción de un conjunto B_h+2 en h+1 dimensiones. Como A_h = {(x,x²,...,x^h) : x ∈ F} es un conjunto B_h en el grupo producto (F^h, +), usando la construcción de Bose de un conjunto B₂ multiplicativo es posible construir un conjunto Bh+2 en h + 1 dimensiones.

Corolario 3.14. Si F es un cuerpo, α un elemento algebraico de grado 2 sobre F en alguna extensión E de F y h ≥ 1 un entero. Entonces el conjunto

es un conjunto B_h+2 en el grupo producto (F^h, +) x (E *, •).

Como los conjuntos B_h con h > 2 no se pueden expresar en forma directa como un equivalente en diferencias, como sí se hace en el caso h = 2, son más difíciles de manipular que los conjuntos de Sidon. Por tal razón, hasta el momento se desconoce el comportamiento asintótico de la función F_h(n) para h ≥ 3, incluso para el caso de la función f_h(G) donde G es un grupo abeliano de orden n.