1 Introducción

Los puntos cuánticos (QD's) son nanoestructuras que cada día toman importancia en diferentes áreas de la ciencia y la tecnología. La diferencia esencial entre los QD's y otros sistemas de baja dimensionalidad está en la completa cuantización del espectro de energía de los portadores de carga situados en ellos. Debido a esto, los QD's tienen propiedades idénticas a los átomos reales en muchos aspectos, por ello se llaman "átomos artificiales" [¹]. Otras propiedades de los QD's son la ocurrencia de transiciones ópticas inter sub-bandas y los grandes valores de los elementos de matriz del momento dipolar eléctrico de transición óptica entre las sub-bandas de los QD's. Estas características aumentan la contribución de las partes no lineales en las constantes dieléctricas y en las propiedades ópticas [²]. Por lo anterior, en los últimos años ha aumentado el interés por investigar el efecto sobre las propiedades cuánticas de sistemas de baja dimensionalidad debido a la acción de agentes externos tales como la temperatura, la presión hidrostática, los campos eléctricos y los campos magnéticos, con el fin de desarrollar nuevas aplicaciones tecnológicas [³, ⁴, ⁵, ⁶, ⁷, ⁸]. Esto ha permitido importantes avances teóricos y experimentales en la manipulación y optimización de la respuesta óptica en nano-estructuras. Por otra parte, las impurezas en nanomateriales producen cambios significativos en las sub-bandas de energía de las nano-estructuras permitiendo transiciones ópticas controladas. La transición óptica controlada es de suma importancia para la fabricación de dispositivos optoelectrónicos con propiedades de emisión o transmisión sintonizables y anchos de línea espectrales ultra estrechos. Además, la relación entre la energía de transición óptica y el confinamiento cuántico hace que la sintonización de la frecuencia de resonancia sea posible [⁹].

En este trabajo se presenta un estudio teórico sobre el cálculo de los estados cuánticos en un CQD de GaAs/Ga_0,6Al_0,4As con una impureza hidrogenoide en su interior y bajo la acción de un campo magnético uniforme aplicado en la dirección axial del cilindro. Se analiza el efecto del campo magnético y de la posición de la impureza dentro del CQD sobre los estados de impureza, 1s-like, 2p_-like y 2 p₊-like.

2 Teoría

El sistema estudiado consiste de una impureza hidrogenoide confinada en un CQD en presencia de un campo magnético uniforme B orientado en la dirección axial del CQD (Figura 1).

Figura 1 Representación esquemática del punto cuántico cilíndrico bajo estudio. 

En el marco de la aproximación de masa efectiva y de un procedimiento variacional, el Hamiltoniano Ĥ ₀ de la impureza hidrogenoide se escribe como [¹⁰,¹¹]:

donde , r₀ es laposición de la impureza medida desde el centro de CQD, ε es la permitividad dieléctrica de la nano-estructura, 2m* es la masa efectiva del electrón, ε es el operador momento canónico, e es la carga del electrón, es la velocidad de la luz en el vacío, A es el vector potencial del campo magnético uniforme, el cual se puede escribir como A(r) = B x r con B = B y que en coordenadas cilíndricas se expresa como: A _p = A _φ = 0, Ay = Bp, V_conf(r) es un potencial de confinamiento finito definido como sigue:

Las expresiones para V _p (p) y V_z(z) son:

R y L son el radio y la longitud del cilindro, respectivamente, V₀0 es la altura de la barrera de potencial, que corresponde a la diferencia de las bandas de conducción del material (GaAs) y el material circundante (Ga₁__xAl_xAs), el valor de V₀ depende de la concentración x de Al.

Usando coordenadas cilíndricas y unidades atómicas reducidas se definen las siguientes magnitudes: radio efectivo de Borh α₀ = para la longitud y Rydberg R ^* = para la energía. La ecuación (1) se puede escribir en la forma:

con

Las ecuaciones (6) y (7) representan las ecuaciones de Schrödinger independientes del tiempo, para un electrón en un CQD, en las direcciones radial y axial del QD respectivamente, γ = es una medida adimensional del campo magnético. La solución de la ecuación ecuación (6) es conocida [¹⁰, ¹¹] y está dada por:

En la ecuación (8), ß₁= m es el número cuántico magnético , N ₁ es la constante de normalización. ₁F₁(a, b,x) y ₁U₁(a, b, x) son funciones hipergeométricas confluentes usadas en las partes interna y externa del cilindro respectivamente. Aplicando condiciones de frontera a las funciones de onda descritas en la ecuación (8) se obtiene la ecuación trascendental que determina los valores de la energía E ₁ para cada m. La solución de la ecuación (7) también es conocida [¹⁰] y para el estado base tiene la siguiente forma:

donde, k₁ . El valor de la energía E₂ se determina resolviendo

Para calcular la energía de la impureza en el CQD en el estado k (k representa los estados 1s-like, 2p_-like y 2p ₊-like, respectivamente), se utiliza el método variacional [¹²], usando una función de prueba de la siguiente forma:

se usa m = 0 para ψ₁(ρ,ϕ), N _k y Γ _k (r,λ_k) son la constante de normalización y el orbital hidrogenoide para cada estado k respetivamente. Las expresiones para las funciones Γ _k (r, λ_k) se detallan en [¹³, ¹⁴].

Los λ _k son los parámetros variacionales que se obtienen minimizando el valor esperado del Hamiltoniano descrito en la ecuación (5), esta energía mínima corresponde a la energía de la impureza para cada estado kE ^k _imp ,

3 Resultados y análisis

En esta sección, se analiza el efecto del campo magnético y de la posición de la impureza dentro del CQD sobre los estados de impureza, 1s-like, 2p_-like y 2p₊-like. Para realizar los cálculos se usaron los siguientes parámetros: masa efectiva del electrón m* = 0,067m (m₀ es la masa del electrón libre) y 40 % de concentración de Al para el cual la barrera de potencial es V₀ = 316 meV [¹⁰, ¹¹]. Además, se utiliza la siguiente notación 4 ^Í ₁ corresponde al estado 1s-like, Ψ₂ corresponde al estado 2p_-like y Ψ₃ corresponde al estado 2p₊-like, así es la energía de transición del estado final Ψ _f al estado inicial Ψ _i .

El efecto de la variación de la posición de la impureza y/o la variación del campo magnético sobre la energía de transición entre los estados (1 s-like y 2p_-like) y (1s-like y 2p₊-like) se muestran en las Figura 2(A)-(B), respectivamente. Se observa que en ausencia de campo magnético E21 = E31 para cualquier posición de la impureza. Esto se debe a que la energía del orbital hidrogenoide 2p es degenerada cuando B = 0 T, también se observa que este degeneramiento se rompe al aplicar un campo magnético indicando un efecto Zeeman en el sistema. Este fenómeno indica que el campo magnético es un parámetro externo que permite la sintonización de la frecuencia de resonancia en fenómenos ópticos presentes en nano-estructuras con impurezas en su interior. También se observa que para cualquier valor del campo magnético, las energías de transición E₂₁ y E₃₁ se desplazan hacia el rojo cuando la impureza se mueve desde el centro del CQD. La razón de este comportamiento se debe a la disminución de la interacción electrostática promedio ión-electrón en la impureza, cuando la impureza se acerca a la barrera de potencial. Se observa en la Figura 2 que el aumento de la posición radial de la impureza disminuye mucho más las energías de transición, que el aumento de la posición axial de la impureza. Esto se debe a que el potencial de confinamiento geométrico en la dirección radial ecuación (3) es mayor que el potencial de confinamiento geométrico en la dirección axial ecuación (4).

Figura 2 Energía de transición E _fi entre los estados (A) 1s-like y 2p_-like. (B) 1s-like y 2p ₊-like. La línea azul indica la variación de E _fi con la posición radial de la impureza para z₀ = 0. La línea purpura indica la variación de E _fi con la posición axial de la impureza en p ₀ = 0. Para tres valores de campo magnético: B = 0 T (circulo), B = 10 T (rectángulo), B = 20 T (rombo). 

4 Conclusiones

En este artículo, se calcularon las energías y las correspondientes funciones de onda para los estados 1 s-like, 2p -like y 2p₊-like de una impureza hidrogenoide en un CQD de GaAs/Ga_0,6Al _0,4As,, en presencia de un campo magnético uniforme. Se encontró que existe degeneramiento en la energía de la impureza para los estados 2p_-like y 2p ₊-like en ausencia de campo magnético. Este degeneramiento se rompe solo al aplicar un campo magnético indicando un efecto Zeeman en el sistema, permitiendo sintonizar la condición resonancia de dos fotones con la variación del campo magnético.