1. Introducción a la teoría de modelos

En esta sección presentamos las definiciones básicas que serán requeridas para el desarrollo del presente artículo. En § 1.1 respondemos a la pregunta "¿que es la teoría de modelos?". En § 1.2 definimos lenguaje, teoría, modelo, formula, etc. En § 1.3 hacemos un recuento histórico en el que mencionamos los resultados que allanan el camino a la teoría de estabilidad geométrica (que tratamos en § 3) y posteriormente a la definition de geometrías de Zariski. En este apartado, también presentamos la forma más elemental en que la teoría de modelos se vale de la geometría algebraica como motivación para § 2. Naturalmente, el tratamiento de los tópicos de esta sección no es exhaustivo ni mucho menos riguroso. Recomendamos trabajos como [¹², ¹³] para profundizar en teoría de modelos. En relation a la historia reciente de la teoría de modelos recomendamos [¹⁴].

1.1. ¿Que es, a grandes rasgos, la teoría de modelos?

La interpretación más aceptada de la teoría de modelos es que es el área de las matemáticas "que estudia la relación entre las fórmulas matemáticas y las estructuras matemáticas que las satisfacen o rechazan" (véase [¹⁵, p. 1]). Sin embargo, la evolución de la teoría ha dado lugar a diversas interpretaciones acordes a la tendencia de la línea de investigación del momento. Por ejemplo, en 1973 Chang & Keisler (ver [¹³, p. 1]) propusieron que la teoría de modelos era "la suma del algebra universal y la lógica matemática". Por supuesto, desde un punto de vista técnico de la "teoría de modelos moderna", esta interpretation no es del todo précisa, aunque sí lo fue en los inicios tempranos de la teoría. En 1993, en su celebre libro Model Theory, Wilfrid Hodges afirmo que la teoría de modelos es "geometría algebraica sin campos" que, desde nuestro punto de vista, es una interpretación acorde a muchos de los temas que hoy enfrenta la teoría de modelos. Más aun, el tema a desarrollar en este artículo sigue el espíritu de la afirmación de Hodges: las geometrías de Zariski proporcionan una forma de ver la geometría desde el punto de vista de la lógica matemática sin apelar al algebra y, además, la information algebraica se recupera a partir de algunos datos topológicos.

Finalmente, una interpretation que logra capturar el espíritu de los problemas recientes, fue brindada por Hrushovski: "la teoría de modelos es la geografía de las matemáticas dociles" (ver [¹⁶]) y que sería la respuesta (probable) que daría un teórico de modelos. Sin entrar en los detalles de lo que significan "matemáticas dociles", en cualquier caso, todas las interpretaciones conocidas coinciden en que "la teoría de modelos es, a grandes rasgos, la rama de la lógica matemática cuyo objeto de estúdio son las estructuras matemáticas".

1.2. Teoría de modelos elemental: Una revision rápida

Con el propósito de hacer una breve revision histórica que nos permita construir una línea de tiempo que conlleve a la construcción del concepto de geometrías de Zariski, será indispensable presentar algunas definiciones rigurosas, no obstante, desprovistas de ciertos tecnicismos. Para un tratamiento riguroso y técnico recomendamos [¹², ¹³] y [¹⁷].

Definition 1.1 Un lenguaje de primer orden es una colección de símbolos que contiene:

Para un lenguaje de primer orden caracterizamos dos tipos distintos de cadenas de símbolos. A saber, sus términos y sus fórmulas. Intuitivamente, los términos son las concatenaciones de símbolos de un lenguaje que nombran objetos. Por su parte, las formulas son, intuitivamente, aquellas cadenas de símbolos que expresan afirmaciones. A modo de ejemplo, consideremos el lenguaje de la aritmética de primer orden = {+, ≤, <,0,1}, donde ∙, + son símbolos de función de aridad dos, 0,1 son símbolos de constantes y ≤ es un símbolo de relation de aridad dos. En este caso, x+y y 1 +1 son términos y ∀x ∃y (x+y = 0) y ∀x (x+y = 0) son formulas. Repare que en la primera de estas fórmulas ambos símbolos de variables x, y están sujetos a un cuantificador. Contrario a lo que vemos en la segunda de estas formulas donde el símbolo de variable y es "libre", esto es, que no está sujeto a un cuantificador. Estaremos interesados en aquellas formulas donde todas sus variables están cuantificadas y son llamadas sentencias o axiomas. Intuitivamente, estas son fórmulas que expresan propiedades globales que ciertos elementos de un conjunto pueden tener o no. Un conjunto T de sentencias sobre un lenguaje es llamado -teoría. Si el lenguaje es entendido, omitiremos el prefijo .

Interpretar un lenguaje dentro de un conjunto no vacío M se trata de que los símbolos de relation, función y constantes, se interpreten como relaciones y funciones habituales sobre el conjunto M preservando su aridad y las constantes como elementos fijos de M. Volviendo a nuestro ejemplo y escogiendo a M por el conjunto de los números naturales, ℕ, el símbolo + se interpreta como la función de aridad 2 que corresponde a la suma de números naturales, ∙ como el producto de números naturales, ≤ como el orden usual y 0, 1 como los elementos neutros para la suma y el producto, respectivamente. Ahora bien, un conjunto no vacío M junto con las interpretaciones de , es llamado -estructura y si todos los axiomas de una teoría T son válidos sobre una estructura M, diremos que M es un modelo de T . En pocas palabras, un modelo es un conjunto no vacío que con una estructura especificada valida los axiomas de una teoría T.

Ejemplo 1.2 Considere el lenguaje = ∅, es decir, como aquel que no contiene símbolos no logicos. Definimos la teoría Inf de conjuntos infinitos sin estructura como el conjunto (infinito) de axiomas:

En este sentido, la sentencia n-esima expresa que existen n elementos distintos y el conjunto Inf expresa que hay infinitos elementos. Note que un modelo de Inf es simplemente un conjunto infinito y esta teoría no tiene modelos finitos. En efecto, si M tiene n elementos, con n Є ℕ, entonces la (n + 1)-sentencia que afirma que existen n + 1 elementos distintos, es falsa en M.

Ejemplo 1.3 En el lenguaje = {E} donde E es un símbolo de relation de aridad 2, definimos la teoría de relaciones de equivalencia Equiv por los axiomas:

∀xE (x, x) (reflexividad),

∀x, y (E (x, y) → E (y, x)) (simetría),

∀x,y,z((E(x,y) ΛE(y,z)) → E(x,z)) (transitividad).

Una manera fácil de obtener modelos de esta teoría es considerar cualquier conjunto no vacío con la relation de igualdad. En aras de obtener ejemplos no triviales y más interesantes, consideremos la siguiente construcción: sea ℂ en conjunto de los números complejos y 𝔸ⁿ _ℂ = ℂ x ∙∙∙ x ℂ (n-veces). Dados Є 𝔸ⁿ _ℂ definimos si y solo si existe λ Є ℂ -{0} tal que = λ ∙ Entonces, ~ define una relation en 𝔸ⁿ _ℂ donde los axiomas de Equiv se verifican. Esto es, (𝔸ⁿ _ℂ, ~) es un modelo de Equiv.

1.3. Historia y un recorrido sobre resultados pioneros de la teoría de modelos

La teoría de modelos se establecio formalmente a mediados del siglo XX y, nos atrevemos a afirmar, que la mayoría de los resultados pioneros se deben a A. Robinson y A. Tarski. Sin embargo, algunas ideas previas estaban implícitas en los trabajos de exponentes como K. Godel, L. Löweheim y Th. Skolem. Precisamente, Godel en [¹⁸] presenta resultados relacionados a la existencia de modelos de teorías de primer orden como, por ejemplo, el Teorema de compacidad. Este teorema establece, grosso modo, que una teoría con infinitos axiomas definida sobre un lenguaje con una cantidad contable de símbolos de constantes admite un modelo si y sólo si cada subconjunto finito de la teoría tiene un modelo. Por otro lado, Loweheim en [¹⁹] demostro que una teoría de primer orden con un modelo infinito tiene un modelo contable. Empero, en su demostración Loweheim uso implícitamente un resultado conocido hoy por Lema de Kooning, cuya demostracion solo fue publicada posteriormente por D. Koning en [20]. Por otro lado, en [²¹], Skolem subsano lo hecho por Loweheim y en [²²] A. Maltsev mostro una version completa y mejorada de este teorema afirmando que, una teoría de primer orden en un lenguaje contable que tiene un modelo infinito, tiene un modelo de cada cardinal infinito. Este resultado hoy es conocido con el nombre de Teorema de Loweheim-Skolem. Asimismo, Maltsev en ibidem, probo un resultado más general del Teorema de compacidad de Godel a los lenguajes no contables y demostro la existencia de "modelos no-estándar" de la aritmética utilizando este teorema, siendo el pionero en exhibir el poder del Teorema de compacidad.

Sean un lenguaje de primer orden y T una -teoría. Denotaremos por Mod(T) la clase de todos los modelos de T. Teoricamente, la situación ideal es que todo modelo en Mod( T) esté determinado (a menos de una cierta noción de isomorfismo) por un único modelo N (véase la introducción de [²³]). No obstante, esta situación nunca es posible. En efecto, por el Teorema de Loweheim-Skolem se concluye que las teorías de primer orden no pueden controlar el cardinal de sus modelos infinitos. Esto es, si existe un modelo infinito de una teoría de primer orden T, existirán infinitos modelos de T cuyo cardinal к es cualquier cardinal infinito. Denotaremos ahora por Mod_K (T) la clase de modelos de T de cardinal fijo к. ¿Esta Mod_K (T) determinada (a menos de isomorfismo) por un único modelo de T ? La respuesta es de nuevo negativa. Por ejemplo, se pueden construir modelos contables de la aritmética de primer orden no isomorfos a los números naturales, los llamados "modelos no-estándar". Esto nos lleva a considerar la siguiente situacion: llamaremos a T к -categorica si todos los modelos de T con cardinal к son isomorfos. R. Vaught demostró en [²⁴], y también de forma independiente J. Lós en [²⁵], que si T es к-categorica y no tiene modelos finitos, entonces T es completa, esto es, dada una sentencia ф del lenguaje de T, o bien ф o bien ￢ф es teorema de T. M. Morley demostro en [26], que si T es una teoría de primer orden sobre un lenguaje contable (i.e., el lenguaje contables símbolos de constantes) y es к- categórica en algún cardinal infinito y no contable к, lo es en cada cardinal no contable. Este resultado es conocido hoy como Teorema de Morley y había sido previamente conjeturada por Lós, convirtiendo el Teorema de Morley en una respuesta positiva a la Conjetura de Lós.

Valga mencionar para cerrar la discusión anterior, que el Teorema de Morley fue generalizado por S. Shelah en [²⁷] para lenguajes no contables. En resumen, el Teorema de Morley garantiza que si una teoría es categórica en algún cardinal no contable, será categórica en todos los cardinales no contables. Encontramos así que las teorías de primer orden que son categóricas en cardinales no contables tienen modelos "bien comportados", lo que intuitivamente supondría tener cierto criterio de estabilidad para la teoría en cuestión.

1.4. Eliminacion de cuantificadores

Considere ф ( ) una -formula cuyas variables no cuantificadas estan en = (x _i1,…, x _in ) y cuyas constantes estan en = (a _i1,…, a _im ). Consideremos ф ( ,M) el conjunto de soluciones de ф ( ) en un modelo M. Los conjuntos de esta forma se llaman -definibles. A modo de ejemplo, considere ф ( ) por la formula ∃ x₁ ∃ x₂ ∃ x₃ ∃ x₄( y= )(y entonces el conjunto ф (,ℤ) coincide con Z>₀, el conjunto de los enteros no negativos. En efecto, por un conocido teorema de J. Lagrange, todo entero no-negativo es la suma de cuatro cuadrados. De esta forma, ℤ≥₀ es definible.

Los conjuntos definibles son una herramienta clave en la teoría de modelos y sus aplicaciones. El problema radica en que estos conjuntos pueden ser difíciles de determinar. No obstante, cuando ф ( ) es una formula sin cuantificadores, la tarea es más fácil. Esta discusión lleva a la siguiente definition.

Definition 1.4 Sea T una -teoría. Si para toda -formula ψ existe una formula sin cuantificadores ф en el lenguaje de T tal que en cualquier modelo de T se valida la formula ф ↔ ψ decimos que T tiene eliminación de cuantificadores o que T elimina cuantificadores.

Cuando nos restringimos a los conjuntos definibles, decir que una teoría T elimina cuantificadores, es equivalente a afirmar que, para cualquier modelo M de T, la función de proyección canónica π _mn : M ^m → M ⁿ preserva conjuntos construibles, es decir, para E ⊆ M ^m construible, π _mn (E) es construible. Aquí un conjunto es construible si es una combinacion Booleana de conjuntos definidos por formulas que son igualdades o formadas a partir de relaciones. En efecto, basta con suponer que el conjunto construible E ⊆ M ^m es definible por ф( ). Luego, π _mn (E) ⊆ M ⁿ es definible por ∃x₁ ∙∙∃x_m-n ф ( ), de donde se sigue la afirmación. Ahora bien, en general, probar la eliminación de cuantificadores para una teoría es a veces una tarea difícil y por ello se han desarrollado muchas técnicas. El ejemplo más relevante es el trabajo de A. Tarski para el campo complejo (ℂ, +, ∙, -, 0,1), que, de hecho, es un ejemplo particular de eliminación de cuantificadores para campos algebraicamente cerrados. Concretamente, existe una teoría de primer orden, que denotamos por Acf, en el lenguaje de anillos = {+, ∙, -,0,1} tal que los modelos de Acf son exactamente los campos algebraicamente cerrados, i.e., los axiomas de Acf expresan las propiedades de ser un campo algebraicamente cerrado. Para esta teoría, se vale que dada una formula ф, existe una fórmula ψ sin cuantificadores tal que ф y ψ tienen el mismo significado en Acf.

La eliminación de cuantificadores y algunas formas débiles son técnicas muy importantes en el estudio de teorías algebraicas con teoría de modelos. Un ejemplo notable es la prueba modelo-teórica del Teorema de los ceros de Hilbert brindada por Robinson y que discutiremos en la siguiente sección. Recomendamos [¹⁵, Cap. 2] para una demostración de la eliminación de cuantificadores para Acf y varios ejemplos mas. También se puede consultar el texto [¹², Cap. 3] para una discusión amplia y enriquecedora sobre eliminación de cuantificadores.

La eliminación de cuantificadores desde el punto de vista de conjuntos construibles tiene un enunciado similar al Teorema de Chevalley en la geometría algebraica (ver [¹², Corolario 3.2.8 ii)]). De hecho, la eliminación de cuantificadores para Acf tiene como consecuencia de que los conjuntos construibles desde el punto de vista descrito arriba coinciden con los conjuntos construibles desde el punto de vista de la geometría algebraica. Así las cosas, la eliminación de cuantificadores acabara siendo el análogo en la teoría de modelos del Teorema de Chevalley. En la siguiente sección abordaremos este tema con más detalles y mencionaremos varios casos relevantes de demostraciones obtenidas en geometría algebraica a partir del enfoque de la teoría de modelos, interpretando ciertos fenómenos geométricos y algebraicos desde el punto de vista de la lógica. En este sentido, tales resultados serán el abre bocas para la posterior introducción de la teoría de estabilidad geométrica y la tricotomía de Zilber, principal motivación de las geometrías de Zariski, al menos, desde el punto de vista clásico.

2. Introducción a la geometría algebraica

En esta sección daremos una mirada rápida a ciertos conceptos básicos de la geometría algebraica. Asimismo, presentaremos algunos resultados ilustres de la relation de esta con la teoría de modelos, a saber, los Teoremas de Tarski-Chevalley, Ax-Grothendieck y de los Ceros de Hilbert o Nullstellensatz; la Conjetura de Mordell-Lang y, finalmente, los trabajos recientes de Zilber. Para profundizar en las temáticas aquí presentadas recomendamos los textos [¹²] y [²⁸].

2.1. Conjuntos algebraicos afines

Sea k un campo algebraicamente cerrado. El producto cartesiano de n-copias de k, será denotado por 𝔸_k ⁿ. Para cada I ⊆ k[x₁,..., x_n], un ideal del anillo de polinomios en n-variables con coeficientes en k, denotamos por V (I) ⊆ 𝔸_k ⁿ el conjunto de ceros de I, esto es,

Es posible demostrar que la colección de los V (I) generan una topología, conocida como topología Zariski. En esta topología cada V (I) corresponde a un subconjunto cerrado de 𝔸_k ⁿ, llamado conjunto algebraico afín. Esta relación de la geometría de 𝔸_k ⁿ con conceptos provenientes de la k-álgebra de polinomios k[x₁x_n], permite establecer propiedades interesantes y que distinguen a esta construcción. Precisamente, 𝔸_k ⁿ con la topología Zariski es un espacio irreducible y Noetheriano. La primera propiedad significa que todo abierto no-vacío de 𝔸_k ⁿ es denso y la segunda, que para cada sucesión X₁ ⊋ X₂ ⊋ ... de subconjuntos cerrados en 𝔸_k ⁿ existe un m > 0 tal que X _m = X _m+l , para cada l > 0. Estas dos propiedades resultan de dos hechos algebraicos importantes asociados a k[x₁,...,x_n], a saber, que es un dominio integral y que es un anillo Noetheriano (i.e., todo ideal es finitamente generado), respectivamente. En aras de generalizar estas propiedades para cualquier subconjunto algebraico X de 𝔸_k ⁿ asociamos a este un ideal en I(X) ⊆ k[x_1,…,x_n], definido por

A partir de ahí, es posible definir una k-álgebra de funciones regulares sobre X dada por las funciones f: X → k tales que f = p|_X para algun p Є k[x₁,...,x_n]. En realidad, esta k-algebra es justamente el cociente k[X]: = k[x ₁ ,...,x _n ]/I(X). En este sentido, X es un espacio topológico Noetheriano con la topología de Zariski (inducida), esto es, Y ⊆ X es cerrado, si Y = V(I) para algún I ideal de k[x₁,...,x _n ] tal que I(X) ⊆ I. Asimismo, X es irreducible si y solo si k[X] es un dominio integral, equivalentemente, I(X) es un ideal primo de k[x1 . . . , x _n ].

En definitiva, las propiedades de Noetherianidad e irredu-cibilidad en un espacio topológico Noetheriano X implican que todos sus cerrados Y son expresados como una unión finita Y = Y ₁ ∪∙∙∙∪ Y _s de cerrados irreducibles Y _i unicamente determinados por la propiedad de que Y _i ⊈ Y _j , para cada i ≠ j. Los Y _i son llamados componentes irreducibles de Y.

Un importante invariante (birracional) en geometría es el de dimension. Precisamente, para un conjunto algebraico irreducible X la dimension de Krull de X es por definition el grado de trascendencia del campo k(X ) de funciones racionales de X sobre k, la cual coincide, no solo con la dimension de X como espacio topológico, sino también con la llamada dimension de Krull del anillo de funciones regulares k[X]. Por ejemplo, 𝔸_k ⁿ tiene dimension n, ya que el grado de trascendencia de k(x₁ x _n ) sobre k es n. En general, la dimension de un conjunto algebraico Y es definida por dim Y = sup_i dim(Y ), donde Y _i son las componentes irreducibles de Y. Por ejemplo, conjuntos algebraicos de dimension 1 y dimension 2, son llamados, respectivamente, curva y superficie algebraica.

Dado un conjunto algebraico X, la noción de dimension se puede "especializar" a cada punto p Є X , a saber, podemos hablar de la dimension infinitesimal de X en cada uno de sus puntos al calcular la dimension, como k-espacio vectorial, del espacio tangente a X en p, denotado por T _X , _p . La dimension (global) de X y la dimension infinitesimal, pueden diferir, siendo esta última mayor o igual que la dimension del conjunto en sí. En realidad, el conjunto de puntos de X donde estas difieren forman un subconjunto cerrado propio de X, llamado conjunto de singularidades de X. En particular, en el caso en que X sea una curva, el conjunto de singularidades es un conjunto finito. Ahora bien, en el caso en que estas coincidan en cada p Є X, esto es, el conjunto de singularidades es el conjunto vacío, X es llamado con-junto algebraico suave. Un caso especial e importante para nosotros y al que nos referiremos más adelante es al caso de curvas suaves.

2.2. El espacio proyectivo

Además de los conjuntos algebraicos afines, historicamente, uno de los contextos de interés en geometria algébrica son los conjuntos algébricos proyectivos. Precisamente, son los subconjuntos algebraicos X = V(I) del espacio proyectivo Aquí ℙⁿ _k corresponde al conjunto de rectas que pasan por el origen de k ⁿ + ¹ . De forma equivalente, ℙⁿ _k es el conjunto de clases de equivalencia [x₀, x _n ] determinada por cada vector (x₀,...,x _n ) Є k ⁿ + ¹ \ 0 por la relation de equivalencia: (x₀,...,x _n ) ~ (y₀,...,y _n ) si y solo si existe λ Є k \0 tal que y _i = λx _i para cada i = 0,..., n.

De este modo, un conjunto algebraico proyectivo X = V(I) es determinado por un ideal de k[x₀,...,x _n ] finitamente generado I = (f ₁,...,f _m) donde los polinomios f _i son homogéneos, esto es,

En este sentido los V(I), así definidos, generan una topología conocida como la topología Zariski del espacio proyectivo ℙⁿ _k y en ella cada subconjunto algebraico afín X de 𝔸_k ⁿ corresponde a un conjunto algebraico proyectivo , de la misma dimension que X, pero con puntos "en el infinito". Precisamente, cada corresponde a la clausura de X en ℙⁿ _k donde los nuevos puntos surgen por la intersection de con el hiperplano en el infinito, H∞, que es identificado con ℙ^n-1 _k. Por ejemplo, = ℙⁿ _k el cual es identificado con . En particular, ℙ¹ _k = 𝔸_k ⁿ ⊔ {∞} y así ℙⁿ _k es considerada como la "compactificación" de 𝔸_k ⁿ. De este modo, en este nuevo contexto, se pueden considerar curvas algebraicas proyectivas suaves, como aquellos conjuntos algebraicos proyectivos de dimension 1 que son suaves, siguiendo generalizaciones naturales de los conceptos para el caso afín al caso proyectivo.

2.3. La teoría de modelos en la geometría algebraica

A continuación presentamos algunos ejemplos destacables de como la teoría de modelos interactúa con la geometría algebraica.

2.3.3. El Nullstellensatz de Hilbert

Una teoría es modelo-completa si para cualquier par de sus modelos N y M, con N ⊆ M, se tiene que una fórmula es valida en N si y solo si es valida en M (donde las tuplas solo se toman en N). La teoría Acf es modelo-completa ([¹², Corolario 3.2.3]) y esta propiedad tiene una consecuencia interesante: el Teorema (debil) de los ceros de Hilbert o Nullstellensatz (debil), el cual afirma que si k es un campo algebraicamente cerrado, entonces V (I) ≠ Ø, donde I es un ideal propio de k[x₁,...,x_n]. Una version equivalente de este teorema, la cual se prueba por una simplification en el argumento debida a G. Rabinowitsch, afirma que si f es algún polinomio en k[x₁,…,x _n ] que se anula en el conjunto algebraico V(I) entonces existe un numero natural r tal que f ^r está en I. Esta última versión fue demostrada por primera vez por D. Hilbert en [³¹] y establece una relación fundamental entre la geometría y el álgebra. Tal relación es la base de la geometría algebraica.

A. Robinson demostró en [³², p. 38] el Nullstellensatz débil utilizando métodos de teoría de modelos. La prueba de Robinson sigue, a grandes rasgos, la siguiente línea de ideas: tomemos I = ( f ₁ , . . . , f _m ) (lo cual está garantizado ya que en el anillo de polinomios todo ideal es finitamente generado) y sea J un ideal maximal que contiene a I. Como J es maximal K = k[x _1,…, x _n ]/J es un campo y k = L ⊆ K con L = k^-alg. Note que tanto L como K son modelos de Acf. Ahora, existe un elemento en AK que anula a todos los fi's y este hecho es expresable por una formula de primer orden, i.e., existe una fórmula de primer orden en el lenguaje de anillos que expresa el hecho de que existe un cero para todos los fi's y tal formula se valida en K. Por ser Acf modelo-completa, la fórmula vale en k, esto es, hay una n-tupla de elementos en k tal que f ( ) = 0 para todo f Є I, i.e., V(I) ≠ 0.

3. La estabilidad geométrica

En la prueba dada por Morley a la Conjetura de Lós, este introdujo y desarrolló algunas ideas importantes. Entre ellas, la mas notable es el concepto de "rango de Morley". Este sencillo pero poderoso concepto, es la clave de la teoría de modelos moderna. Grosso modo, el rango de Morley es una abstraction del concepto de "dimension" para cualquier teoría en matemáticas. Por ejemplo, cuando se estudian campos algebraicamente cerrados, el "rango de Morley" y el "grado de trascendencia" coinciden. Más aun, el trabajo de Morley fue la base de la teoría de la estabilidad que, según Pillay (ver la introducción de [³⁷]) "es un conjunto de técnicas que se pueden desarrollar bajo unos supuestos sobre una teoría T para saber cuáles son los modelos de T". A modo de ejemplo, escribamos I(T, к) para el numero de modelos no isomorfos de T con cardinal к. Sea T una teoría contable y ℵ₁ -categorica. Consideremos el problema de encontrar el numero I(T, ℵ₀). Es decir, queremos responder a la pregunta: ¿cuántos modelos contables existen para T? Morley demostro que I(T, ℵ₀) ≤ ℵ₀. Años más tarde, J. Baldwin y A. Lachlan, demostraron en [³⁸] que I(T, К₀) o es igual a 1 o bien a ℵ₀ (ver [³⁷]).

Una de las personas que participó de manera activa en el desarrollo temprano de la teoría de estabilidad es Zilber, considerado por algunos como uno de los fundadores de la teoría, quien en la introducción de su trabajo [²³] señala que:

■ Es posible establecer una jerarquía de "perfection lógica" para las teorías de primer orden. En dicha jerarquía, las teorías no-contablemente categóricas ocupan la posición más alta.

■ La principal característica de una teoría de la estabilidad es una teoría de la dimension y, asociada a ella, una teoría de la dependencia. Tanto las teorías de dependencia como las de dimension son similares a las que surgen en la teoría de campos.

La teoría de la estabilidad geométrica es una parte principal de la teoría de modelos geométrica y fue introducida en una serie de artículos por Zilber, Hrushovski, Pillay, G. Cherlin y muchos otros. Esta recibe su nombre dado a que en gran parte se ocupa de la clasificación modelo-teórica de estructuras en términos de cantidades de dimensión que pueden ser descritas en términos de nociónes de geometría combinatoria. Esto nos obliga a mencionar la siguiente definition:

Definition 3.1 Un matroide finitario o pregeometría M es un par ( M, cl) donde M es un conjunto no-vacío y cl es una funcion definida en 2^M, tal que para todo A ⊆ M y a, b Є M se verifican las siguientes condiciones:

i) Reflexividad: A ⊆ cl(A).

ii) Caracter finito: cl(A) coincide con ∪{cl(A₀) : A₀ es un subconjunto finito de A}.

iii) Transitividad: cl(cl(A)) = cl(A).

iv) Intercambio: Si a Є cl (A ∪ {b}) - cl(A), entonces b Є cl(A ∪{a}).

Sea M un modelo y A ⊆ M. Definimos la clausura algebraica de A, que denotamos por acl(A), como el conjunto de elementos de M que son solución de alguna fórmula con parámetros en el conjunto A, con solo finitas soluciones. Consideremos que M es una estructura fuertemente minimal (es decir, cualquier subconjunto definible de M ⁿ es finito o cofinito con cota uniforme) y consideremos que "acl(-)" es la función que envía A ⊆ M a acl(A). La estructura resultante M = (M, acl) es una pregeometría y se define una buena noción de "dimension (combinatoria)", dim, para subconjuntos de M en términos de acl. Como un ejemplo práctico para visualizar esta construcción, considere V un espacio vectorial y, así, acl(A) con A ⊆ V es justamente el subespacio de V generado por combinaciones lineales (finitas) de elementos en A. De este modo, las condiciones i)-iii) se satisfacen naturalmente para (V, acl) y por tanto es un matroide finitario. Ahora bien, un ejemplo trivial se obtiene al considerar un conjunto infinito M sin estructura dada, para el que cualquier A ⊆ M, acl(A) = acl({a}).

De hecho, hasta finales de la decada de los 80, los unicos ejemplos conocidos de pregeometrías no triviales eran localmente modulares, i.e., aquellas que satisfacen la condición dim(A ∪ B) + dim(A ∪ B) = dim(A) + dim(B) para cualquier A, B ⊆ M; o no localmente modulares. Zilber observó que en todos los casos no triviales, la noción de dependencia obtenida era o bien la dependencia algebraica en la teoría de campos o bien la dependencia lineal en la teoría de espacios vectoriales. Esto, junto al Teorema débil de la tricotomía de Zilber, fue la base de la Conjetura de la tricotomía de Zilber (véase [³⁹]):

Conjetura de tricotomía (Zilber, 1984): Si M es un conjunto fuertemente minimal y (M, acl) es el operador de clausura algebraica correspondiente a M, entonces la pregeometría (M, acl) es trivial, localmente modular, o no localmente modular. En particular, si los dos primeros casos no ocurren, entonces existe un campo algebraicamente cerrado k definible en M y al única estructura en k inducida por M es la mera estructura de campo.

Destacamos que se han demostrado varios casos positivos de la conjetura de Zilber en situaciones similares. Más aun, según [¹⁰, p. 79] "la más famosa de todas las tricotomías (aparte de la de Zilber) es la Tricotomía de Peterzil-Starchenko en el caso de las teorías o-minimales y el 'control geométrico' de las estructuras viene dado por la information 'diferencial abstracta' que puede extraer de la o-minimalidad de una teoría".

La "mala hora" de la Conjetura de la tricotomía llega cuando Hrushovski prueba en [⁹] que esta es falsa en general. Precisamente, Hrushovski muestra que existe un modelo fuertemente minimal y no localmente modular que no in terpreta ningún grupo infinito. En cierto modo, la desaprobación de la conjetura de Zilber resulto más fructífera que una solución afirmativa. En efecto, en [⁹] el autor ofrece un nuevo método para construir estructuras estables y, en particular, estructuras fuertemente míniales. Es importante mencionar que en este artículo, Hrushovski no usa técnicas o conceptos de la geometría y el contexto de ese trabajo es puramente combinatorio.

3.1. Geometrías de Zariski uno-dimensionales

A pesar de la refutacion de Hrushovski, la Conjetura de tricotomía es válida para muchas clases importantes de estructuras matemáticas. Probablemente, la más importante de dichas clases es la clase de las "geometrías unidimensionales de Zariski". Estas estructuras fueron definidas y estudiadas inicialmente por Zilber bajo el nombre de Z-estructuras y con una configuración mas general, "como una forma de aislar la mejor clase posible en la cima de la jerarquía de estructuras estables" según el mismo escribe en [²³, p. 3], donde además indica que "las condiciones puramente lógicas no son suficientes para que la Conjetura de la tricotomía se cumpla, pero asumir algunas propiedades topológicas similares a la topología de Zariski sobre una curva algebraica suave sobre un campo algebraicamente cerrado podría remediar la situación".

Una herramienta fundamental en el desarrollo de la teoría de Zilber es la axiomatización de como la topología interactúa con la dimension de Knill. De forma más precisa, una caracterización debil de suavidad de la geometría en cuestión permite una definition abstracta del espacio tangente (vease el Axioma (Z3) mas adelante); esto fue suficiente para obtener la existencia de un campo definible en el ano 1989, aunque, según [¹, p. 12] tal resultado no tuvo mucho impacto en ese momento pues la condición de suavidad parecía muy restrictiva.

La clase de geometrías unidimensionales de Zariski fue introducida por Hrushovski y Zilber en [¹]. A grandes rasgos, una geometría unidimensional de Zariski es un conjunto fuertemente minimal en el que tiene sentido una generalización plausible de la topología de Zariski sobre una curva algebraica suave. En el contexto de las geometrías de Zariski se demostró que la Conjetura de la tricotomía de Zilber es cierta. Se obtiene con esto una primera forma de clasificar las geometrías de Zariski unidimensionales: triviales, localmente modulares o no localmente modulares y no triviales. En estas últimas, siempre es posible interpretar un campo algebraicamente cerrado en el que la única estructura inducida es la propia estructura de campo. Sin embargo, el trabajo [¹] no termina allí, adicionalmente, clasifica de manera mucho mas fina y geometrica las geometrías de Zariski localmente modulares y las no triviales y no localmente modulares. Precisamente, los autores introducen el concepto de geometrías "amplia" y "muy amplia" y se prueba que las geometrías amplias son exactamente las localmente modulares y estas se pueden identificar como cubiertas finitas de curvas suaves. Para las geometrías muy amplias se prueba que son, en esencia, curvas suaves. En lo que resta de esta sección, mencionaremos los enunciados precisos de los resultados hasta aquí parafraseados.

Antes de continuar es preciso aclarar nuestra notation. Sean X, Y conjuntos. Entonces: cl(X) es la clausura topológica de X (i.e., el cerrado mas pequeño respecto a la inclusión que contiene a X); X ⊆_cl Y significa que X es un subconjunto cerrado de Y. |X | como la cardinalidad de X. Dado cualquier C ⊆_cl X ⁿ x X^m, para Є X ⁿ ponemos C( ): = { Є X ^m : ( , ) Є C} y "dimension" significa "dimension de Krull".

Para el resto de este trabajo, cuando digamos "geometría de Zariski", el lector debe entender "geometría de Zariski de dimension uno", ya que no trabajaremos con geometrías de dimensión mayor.

Definition 3.2 Una geometría de Zariski es un conjunto infinito D con una topología Noetheriana sobre cada D,D ² ,... tal que los siguientes axiomas se cumplen:

(Z0) ■ (Coherencia) Sea f _i un mapa de proyeccion f _i ( ) = x _σ ( _i ) (donde σ (i) es el valor de una biyeccion {1,..., n} → {1,..., n}) o un mapa constante f _i (x) = c. Entonces el siguiente mapa

es continuo.

■ (Separabilidad) Los conjuntos diagonales Δⁿ _ij : = { Є D ⁿ : x _i = x _j } son cerrados.

(Z1) (QE debil) Sea C ⊆_cl D ⁿ y ϖ _nm : D ⁿ → D ^m un mapa de proyección, entonces hay un conjunto cerrado propio F ⊆ _cl cl(ϖ _nm (C)) tal que ϖ _nm (C) ⊆_cl c l(ϖ _nm (C)) - F .

(Z2) ■ (Irreducibilidad) D es irreducible.

■ (Unidimensionalidad) D es uniformemente unidimensional, i.e., si C ⊆ _cl x Dn existe N tal que para todo Є D ⁿ , |C( )| ≤ N o C( )= D.

(Z3) (Teorema de la dimension) Sea U un conjunto cerrado irreducible en D ⁿ y Δⁿ _ij la diagonal i j, entonces cualquier componente de U ∩ Δⁿ _ij tiene dimensión ≥ dim(U) - 1.

En relation a la definition anterior, es bueno mencionar que: el Axioma (Z0) relaciona las distintas topologías sobre las potencias de D y relaja la suposición de que la topología sobre D ⁿ sea la topología del producto de (D, т₁). Pero, ¿por qué no asumir sobre cada potencia la topología producto, si esto haría (en teoría) la definition más facil? Una razón importante es que tal supuesto excluiría varios modelos importantes, por ejemplo si k es un campo algebraicamente cerrado, la topología de Zariski en 𝔸² = 𝔸_k ¹ x 𝔸¹ _k no es la topología producto de Zariski sobre 𝔸_k ¹. Respecto al Axioma (Z1), mencionamos que es una forma débil de la eliminación de cuantificadores (de hecho es posible probar que toda geometría de Zariski elimina cuantificadores en su lenguaje natural, que definiremos en breve).

Hay muchos ejemplos de geometrías de Zariski en matemáticas. En efecto, los conjuntos infinitos sin estructura son ejemplos triviales de geometrías de Zariski (ver [⁴⁰, Cap. 4]). Asimismo, como fue probado por Zilber, las variedades complejas compactas y fuertemente minimales son ejemplos de geometrías Zariski. Por otro lado, Hrushovski y Sokolovicí probaron que los campos diferencialmente cerrados son también ejemplos de este tipo de geometrías (ver [¹², Teo. 8.3.17]), entre otros. Los ejemplos por excelencia de geometrías de Zariski son las curvas algebraicas suaves. El teorema de clasificación principal de la teoría clásica es que bajo condiciones apropiadas de "amplitud", la afirmación reciproca es verdadera.

Definicion 3.3 Sea D una geometría de Zariski.

i) Un curva plana sobre D es un conjunto unidimensional irreducible en D ² .

ii) Un familia de curvas sobre D consiste en un conjunto irreducible cerrado E ⊆ _cl D ⁿ y un subconjunto irreducible cerrado C del producto E x D ² tal que el conjunto C( ) es una curva plana para e genérico en E¹.

iii) Decimos que D es amplia si existe una familia de curvas planas C ⊆ E x D ² tal que para cualquier ₁ , ₂ Є D ² existe una curva C( ) que pasa por ₁ y ₂.

iv) Decimos que D es muy amplia si existe una familia de curvas C ⊆ E x D ² sobre D que hacen de D una geometría amplia y tal que para cualquier ₁, ₂ e D² existe una curva C(e) que pasa solo por uno de ellos.

Ejemplo 3.4 Sea k un campo algebraicamente cerrado y considere la familia de curvas

Entonces, para cada (a, b, c) Є 𝔸³ _k - {0} tenemos una línea recta C( a, b, c): ax+ by+ c = 0 en 𝔸_k ².

La familia de curvas (C, 𝔸_k ³) es muy amplia. En efecto, sean (x₁,y₁), (x₂,y₂) puntos distintos de considere (y₂ -y1,x1 -x2,x2y1 -x1y2) Є 𝔸³ _k - {0}. Es facil ver que (x1,y1 ) y (x₂, y₂) pertenecen a la recta C(y₂ - y₁, x₁ - x₂, x₂y₁ -x1 y2) con ecuación

Entonces la familia es amplia. Ahora veamos que es muy amplia. Tenemos tres casos posibles:

Caso 1. Los puntos (x₁, y₁ ) y (x₂, y₂ ) son tales que x₁ = x ₂ pero y1 ≠ y2.

Entonces, la línea C(0,1, -y ₁ ): y - y₁ = 0 pasa por (x₁, y₁ ) pero no por (x2, y2).

Caso 2. Los puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂ ) son tales que x₁ Ф x₂ y y₁ ⁼ y₂ ^.

En este caso C( 1, 0, -x₁ ): x - x₁ = 0 pasa por (x₁, x₂ ) pero no por (x₂, y2).

Caso 3. Los puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂ ) son tales que x₁ ≠ x₂ y y₁ ≠ y₂ ^.

La línea C(0,1, -y₁) : y - y₁ = 0 pasa por (x₁, y₁) pero no por (x₂, y₂).

Por lo tanto la familia descrita es muy amplia

Hemos visto una familia muy amplia de curvas, pero en realidad también podemos dar ejemplos de familias que no son amplias (y por tanto tampoco muy amplias). A saber:

Ejemplo 3.5 Sea k un campo algebraicamente cerrado y consideremos ℙ_k ² el espacio 2-proyectivo sobre k. Fijemos una recta ℓ: ax+by+cz = 0 y supongamos que c ≠ 0. Sea C la familia de rectas proyectivas paralelas a l. La condition de "amplitud" de la definicion falla para esta familia ya que (0 : 0:1) no puede estar separada de ningún punto de ℙ_k ². por curvas de C, ya que cualquier líneas de este tipo pasa por (0: 0 : 1). En realidad, la condición de "amplitud" también falla para esta familia.

El lector seguramente habrá notado que las definiciones anteriores se basan en propiedades de naturaleza topológica. Sin embargo, estamos interesados en las propiedades de primer orden de estas estructuras, por lo que introducimos los lenguajes necesarios para expresar estas propiedades. En efecto, si D es una geometría de Zariski, consideraremos dos lenguajes para D:

i) El lenguaje completo de D, denotado _full(D), que contiene un símbolo de relation n-ario para cada subconjunto cerrado de D ⁿ, para todo n en N.

ii) El lenguaje natural de D, que es el sublenguaje _nat(D) de _full (D) que consiste en todos los subconjuntos invariantes bajo todos los automorfismos de D ⁿ para todo n.

En lo que respecta al lenguaje completo de D, note que los singuletes de D son cerrados, de donde _full (D) incluye símbolos para las constantes de D, en consecuencia, un automorfismo de D debe preservar las constates y así, sera la identidad (en el lenguaje completo), es decir, D no tiene automorfismos no triviales en el _full(D). Ahora, es un poco improbable que en el lenguaje natural haya símbolos de relación distintos de la igualdad, sin embargo en el Teorema 3.8 quedara en claro que este lenguaje no es trivial, en el sentido que es suficientemente expresivo como para interpretar estructuras complejas como campos y curvas, sin siquiera requerir constantes para tal interpretación.

Ya que una geometría de Zariski D se puede considerar como una estructura de primer orden en su lenguaje natural o su lenguaje completo, es posible probar para ella propiedades como eliminación de cuantificadores, ω -estabilidad (sea lo que sea que esto signifique), etc.

Por otro lado, la information geométrica sobre D como el hecho de que sea amplia o muy amplia, se puede traducir en términos puramente lógicos empleando recursos como internalidad y externalidad de tipos y mapas. Con estas ideas, se prueba que una geometría de Zariski es amplia si y sólo si es localmente modular, y que si D no es trivial y no localmente modular, entonces hay un campo algebraicamente cerrado k interpretable en D tal que la unica estructura que la geometría D induce sobre k es la mera estructura de campo. En otras palabras, la tricotomía de Zilber se vale en el contexto de geometrías de Zariski.

Yendo más lejos, Zilber y Hrushovski (ver Teorema A y Proposicion 1.1 en [¹]) muestran:

Teorema 3.6 Si D es una geometría de Zariski muy amplia, entonces existe una curva algebraica suave C sobre un campo algebraicamente cerrado k tal que C es isomorfa a D como geometrías de Zariski. Más aún, el campo k es tunico salvo un isomorfismo de campos y la curva C es única salvo un isomorfismo de curvas. □

En otras palabras, la clase de geometrías de Zariski muy amplias es justamente la clase de geometrías de Zariski correspondientes a curvas suaves sobre campos algebraicamente cerrados. Ahora, en relation a las geometrías de Zariski amplias, estas corresponden a cubiertas finitas de alguna línea proyectiva (ver [¹, Teo. B]), más concretamente:

Teorema 3.7 Si D es una geometría de Zariski amplia, entonces existe un campo algebraicamente cerrado k y un morfismo sobreyectivo f : D → ℙ¹ _k que envía conjuntos cons-truibles a conjuntos algebraicamente construibles. Ademas, existe un subconjunto cofinito de D donde f es un morfismo cerrado de Zariski. □

Canónicamente hablando, las geometrías de Zariski (amplias) son en esencia curvas algebraicas, salvo por fibras finitas. Esto es (ver [¹, Teo. B']):

Teorema 3.8 Sea D una geometría de Zariski amplia. Entonces existe un campo algebraicamente cerrado k, una curva algebraica suave C sobre k, y un morfismo sobreyectivo de Zariski finito-a-uno (es decir, la imagen inversa de todo punto en C es finita) f : D → C. Todos, C, ky f son definibles sin parcimetros en el lenguaje natural de D. □

Note que el Teorema 3.8 nos responde, por cierto, esa pregunta un poco no evidente de que el lenguaje natural contenga símbolos no lógicos distintos de la mera igualdad. De otro lado, "este teorema es verdadero en su totalidad en el contexto de las superficies complejas compactas. Esto es consecuencia del Teorema de Existencia de Riemann. Sin embargo, no existe ninguín análogo de este teorema en el contexto de las geometrías de Zariski" [²³]. En efecto (ver [¹, Teo. C]):

Teorema 3.9 Existe una geometría de Zariski amplia pero no muy amplia que no es interpretable en ningún campo algebraicamente cerrado.

Con esto cerramos nuestra presentation de los resultados de Zilber y Hrushovski.

4. Tendencias recientes y otras líneas de Investigación

En esta sección mencionaremos temas relativos a las geometrías de Zariski que se han desarrollado en años recientes. No daremos preliminares sobre ninguno de los temas que mencionamos, pues hacerlo extendería este trabajo mas alla de lo deseado, ni entraremos en discusiones detalladas de ningun tema. En su lugar, dejaremos una buena cantidad de referencias para el lector interesado.

4.1. Z-estructuras

En el trabajo [⁴¹] Zilber introdujo el concepto de Z-estructura y en [²³] dicha noción se refina para generalizar la noción de geometría de Zariski a dimensiones superiores. En este entorno se dispone de un análogo parcial del Teorema 3.6. Afirma que "si D es una geometría de Zariski casi fuertemente minimal de dimension 2 o mas, y existe una familia de curvas en D tal que dos puntos cualesquiera están separados por una curva y dos puntos cualesquiera se encuentran con-juntamente en alguna curva, entonces existe un subconjunto abierto denso de D isomorfo a una variedad algebraica", veáse [²³, Cap. 4].

4.2. Geometrías de Zariski analíticas

Recientemente, Zilber introdujo las estructuras analíticas de Zariski con el fin de encontrar una generalization de las geometrías de Zariski, y la principal diferencia entre las estructuras de Zariski y las estructuras analíticas de Zariski es el supuesto de Noetherianidad en las topologías. En efecto, las estructuras analíticas de Zariski no se suponen Noetheterianas. Como señala Zilber "la ausencia de esa hipótesis hace más complicada la definición de estructura analítica de Zariski: hay que distinguir entre subconjuntos cerrados generales de M ⁿ y los que tienen mejores propiedades topológicas (los analíticos). Uno de los principales resultados sobre las geometrías analíticas de Zariski afirma que cualquier estructura analítica compacta de Zariski es Noetheriana". Remitimos al lector a [²³, Cap. VI] como una buena fuente sobre el tema.

Sea k un campo y sea k ^x su grupo multiplicativo. Las posibles compactaciones modelo teoricas de una cubierta de k^x se discuten en [⁴²] por L. Smith. Varias de estas compactificaciones se muestran como cubiertas de variedades toricas y las estructuras correspondientes se muestran como estructuras analíticas de Zariski en un subconjunto abierto denso. Otros ejemplos de estructuras analíticas de Zariski son construidas en [⁴³] por M. Gavrilovich a partir de cubiertas de variedades abelianas.

4.3. Clases elementales quasi-minimales

En el trabajo [⁴⁴] K. Kangas estudió las clases elementales abstractas que surgen de una estructura de pregeometría cuasiminimal y desarrollo una teoría de independencia en M^eq, trabajando con el operador de clausura acotada. Además, Kangas generalizo el Teorema de la configuración de grupos de Hrushovski a su caso y, en un intento de generalizar las geometrías de Zariski al contexto de las clases cuasiminimales, proporciono una axiomatizacion para las estructuras tipo Zariski. Mediante el uso de su teorema de configuracion de grupos, Kangas demostró que cualquier pregeometría no trivial (obtenida a partir del operador de clausura acotado) interpreta un grupo. Para dar un ejemplo de una estructura tipo Zariski, Kangas utilizó la cubierta del grupo multiplicativo de un campo algebraicamente cerrado.

En [⁴⁵] Kangas muestra que si D es una estructura tipo Zariski y la pregeometría canonica obtenida del operador de clausura acotada no es localmente modular, entonces D interpreta un campo algebraicamente cerrado o un grupo no clásico. De este modo, los principales teoremas de [⁴⁴, ⁴⁵] corresponden a los analogos de la tricotomía que Zilber y Hrushovski mostraron en [¹, § ⁶].

4.4. Algebras afines de Azuyama

En la tesis doctoral [⁴⁶], V. Solanki definió una subcategoría adecuada de "algebras de Azumaya afines" y construyo un functor desde esta categoría a la categoría de estructuras de Zariski (en el sentido de [²³]). Solanki también construyó la base de una teoría de presheaves de estructuras topológicas y proporciona ejemplos de estructuras en un parámetro genérico. En este trabajo tambien definió la categoría _EA de algebras equivariantes y para cada M Є b ( _EA ) se definió una teoría de primer orden. En este caso, se demostró que, bajo condiciones adecuadas, la categoricidad incontable y la eliminación del cuantificador se cumplen. En particular, Solanki probó que los modelos de estas teorías son estructuras de Zariski.

4.5. Especializaciones de geometrías de Zariski

Las completaciones y extensiones para las especializaciones de las geometrías de Zariski se estudian en la tesis de maestría de S. Pinzón en la Universidad de Los Andes [¹¹].

Es bueno mencionar que la teoría de las especializaciones en el contexto de la geometría algebraica es bien conocida y entendida. Los textos [⁴⁷] y [⁴⁸] son buenas referencias sobre el tema. Sin embargo, fuera del campo de la geometría algebraica las especializaciones no son bien comprendidas. Esta noción es especialmente importante en el desarrollo de las geometrías de Zariski, pues son una pieza crucial en la prueba de la Conjetura de tricotomía para geometrías de Zariski. Un tipo especial de especializaciones son las especializaciones universales cuya teoría es estudiada en [⁴⁹] por A. Onshuus y Zilber. U. Efem estudio especializaciones de campos algebraicamente cerrados y variedades definibles en ellos en [⁵⁰] y en su tesis doctoral [⁵¹] Efem estudia la pregunta "¿cuando una especialización es к-universal?"

Aquí tambien podemos mencionar el trabajo conjunto de Efem y Zilber [⁵²] en que se estudian las propiedades de existencia y unicidad de extensiones de especializaciones universales de una estructura base de Zariski a su cubierta regular.

4.6. Geometrías de Zariski sobre unarios

En la tesis doctoral [⁴⁰], A. Albalahi axiomatizó la teoría de unarios. A saber, un unario es una estructura M en un lenguaje cuyo unico símbolo no lógico es un símbolo de función de aridad uno f. En realidad, Albalahi clasifico los unarios fuertemente minimales M (sobre un lenguaje = { f }) donde f ^M es inyectivo y da axiomatizaciones completas para ellos. En [⁴⁰, Cap. 5] Albalahi demostró la eliminación de cuantificadores para estas teorías después de afiadir algunos símbolos de relation a . Dando una topología a las estructuras subyacentes demostró que estas topologías satisfacen los axiomas (Z0)-(Z3) ([⁴⁰, Cap. 6]). También recomendamos el trabajo de Albalahi como fuente auto contenida para ejemplos no elementales de las geometrías de Zariski.

4.7. Espacios lineales abstractos

En [⁵³], D. Sustretov estudia el problema de definir ciertas geometrías de Zariski en la teoría de campos algebraicamente cerrados. En este caso, Sustretov axiomatizó una clase de estructuras, llamadas "espacios lineales abstractos", que no son más que una reducción común de estas geometrías de Zariski. Mediante esta description, Sustretov describe lo que es una interpretación de un espacio lineal abstracto en un campo algebraicamente cerrado.

Ademas, se dan las condiciones necesarias y suficientes para que una geometría cuántica de Zariski (definida por Zilber en 2008, véase [⁵⁴]) sea definible en un campo algebraicamente cerrado. Se intenta extender los resultados descritos anteriormente al entorno analítico-complejo y se proporcionan las condiciones necesarias y suficientes para que una geometría de Zariski cuántica suave tenga un modelo analítico complejo.

4.8. Espacios algebraicos de tipo finito

En el trabajo [⁵⁵] C. Ruiz estudia los espacios algebraicos de tipo finito sobre un campo algebraicamente cerrado utilizan-do geometrías de Zariski. Mediante el uso de la eliminación de imaginarios para la teoría de campos algebraicamente cerrados, la eliminación debil de imaginarios para las geometrías de Zariski unidimensionales y una version fuerte del teorema de la tricotomía para las geometrías de Zariski, el autor da una nueva demostración de algunos resultados sobre la representabilidad de los espacios algebraicos. Además, Ruiz ofrece un estudio de los esquemas no reducidos: dado un esquema no reducido X, considere la estructura reducida X _red asociada a X. Si X _red es una variedad algebraica, existe una geometría de Zariski que le corresponde. En este entorno Ruiz estudia la pregunta "¿cuanta information sobre X contiene la teoría de X _red ?".

4.9. Geometrías de Zariski y mecánica cuantica

El estudio de las relaciones entre la física y las geometrías de Zariski lo inició Zilber y varios de sus resultados en el area se encuentran en su libro [²³]. Sin embargo, vale la pena mencionar aquí el reciente trabajo de M. Zanussi [⁵⁶] en el se menciona una aplicación de las estructuras no clásicas de Zariski al cálculo de fórmulas de mecánica cuántica mediante un método de aproximación estructural desarrollado por Zilber.

4.10. Un invariante por isomorfismos: el género

En el trabajo [⁵⁷] se explora la posibilidad de clasificar de manera mas fina la clase de geometrías de Zariski muy amplias empleando una noción de género: sea D una geometría de Zariski muy amplia. Decimos que D tiene género g si es isomorfa a la geometría de Zariski de una curva algebraica C de género g. (En este sentido, una geometría de Zariski de género 0 es aquella que es isomorfa a la geometría de Zariski de ℙ_k ¹ donde k es un campo algebraicamente cerrado. Similarmente, una geometría de Zariski de género 1 es aquella que es isomorfa a la geometría de Zariski de una curva elíptica, etc.) El género de una geometría de Zariski muy amplia es bien definido en virtud del Teorema 3.6. Ahora bien, como el género de una curva suave es invariante bajo isomorfismos (de curvas suaves) se deduce que el género de una geometría de Zariski es invariante bajo isomorfismos (de geometrías de Zariski). En relation a esta noción, existe la siguiente pregunta:

"¿como definir el género de una geometría de Zariski sin apelar a la noción algebraica de género?"

A pesar de no tener respuesta para la pregunta anterior y de que la definición carece de un metodo explícito para hallar el género de una geometría de Zariski, esta puede emplearse para clasificar (mediante morfismos) geometrías de Zariski muy amplias.

En [⁵⁷] se muestra que si C, C son curvas algebraicas suaves quasi-proyectivas sobre un campo algebraicamente cerrado k y h: C → C' es un morfismo inyectivo de geometrías de Zariski, existe un morfismo racional de variedades algebraicas l: C →C'. Este resultado extiende la Proposition 1.1 de [¹] y puede usarse para derivar una version del Teorema de Riemann-Hurwitz para geometrías de Zariski. A saber, en geometría algebraica, este teorema afirma que si C, C' son curvas algebraicas quasi-proyectivas suaves sobre un campo algebraicamente cerrado k y existe un morfismo f: C - C' no-constante, entonces gen(C') ≤ gen(C), donde gen(C) es el género de la curva algebraica C (vease [²⁸, p. 299]); en términos de geometrías de Zariski se sigue que: si D y D' son geometrías de Zariski muy amplias y existe un campo algebraicamente cerrado k interpretable en ambas geometrías y un morfismo inyectivo f: D → D', entonces gen(D') ≤ gen(D). En particular, si D es una geometría de Zariski muy amplia y k un campo algebraicamente cerrado interpretable en D y si existe un morfismo inyectivo f: ℙ_k ¹ → D, entonces gen(D) = 0.

Esta idea de definir el género de geometrías de Zariski muy amplias y emplearlo para clasificarlas "esta sobre el tintero" y resta mucho de estudiar en torno a ella. Varias preguntas como la expresividad en primer orden de esta propiedad o versiones plausibles del Teorema de Hurwitz están abiertas y fueron tratadas parcialmente en [⁵⁷].