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1. Introducción
De acuerdo con la Organización Mundial de la Salud [1], anualmente más de un millón de personas se quitan la vida y son muchas más las que intentan suicidarse. Este fenómeno en los últimos años se ha ubicado entre las cinco principales causas de muerte en personas con edades desde 15 a 44 años a nivel global [2], catalogándose como un grave problema de salud pública.
Se han desarrollado investigaciones orientadas a comprender la dinámica de la población suicida empleando distintas metodologías. En el campo de las ecuaciones diferenciales, Mishara [3] formula un modelo para describir la población con tendencia suicida, Gyllenberg y Parvinen [4] plantean condiciones necesarias y suficientes para la evolución del suicidio bajo ecuaciones deterministas tipo Lotka - Volterra. De la Poza y Jódar [5,6] presentan modelos dinámicos para el suicidio en España y Grecia, definidos mediante ecuaciones en diferencias. Con estos sistemas se realizan proyecciones y simulaciones, y se analiza su sensibilidad mostrando escenarios que generan condiciones de riesgo.
La literatura del área da cuenta de otros trabajos, por ejemplo, Metha et al. [7] modelan el riesgo de suicidio en adolescentes estudiantes de secundaria en Arizona Estados Unidos, Lo et al. [8] proponen ecuaciones diferenciales estocásticas para el riesgo de suicidio en adultos empleando datos de ocurrencia de suicidios en China, y Wang et al. [9] quienes basados en estadísticas estadounidenses construyen un modelo dinámico y enfatizan la necesidad de describir los procesos de cambio no lineales asociados al suicidio a través de ecuaciones diferenciales. Para más profundidad, una revisión sistemática puede consultarse en [10].
En Colombia existen trabajos donde estudian los factores relacionados con el riesgo de suicidio, por ejemplo [2, 11, 12], y también artículos enfocados en las necesidades de atención en salud mental y el acceso a estos servicios, como son [13,14]. En cuanto a modelación formal de la dinámica poblacional se reportan pocos trabajos, sobresalen Granada et al. [15] quienes con información demográfica y boletines epidemiológicos del departamento de Tolima, estiman series para la población de personas con edad de 10 o más años que son susceptibles de atentar contra su propia vida, personas que tienen ideación suicida o han intentado suicidarse y están recibiendo atención médica, y personas que ya han recibido un tratamiento efectivo. También formulan un modelo no lineal para representar la dinámica de estas poblaciones con el cual obtienen proyecciones hasta el año 2034. En este caso los autores asumen que los intentos de suicidio son ocasionados por factores desencadenantes [16].
Con base en lo expuesto por Granada et al. [15], la dinámica asociada a las poblaciones mencionadas puede modelarse en otras regiones, incluso para un grupo poblacional vulnerable distinto. En el presente artículo se construye la función de distribución para los intentos de suicidio respecto a la edad para Colombia, y se propone una función para la tasa de riesgo de conductas suicidas en la población colombiana con edad de 5 o más años, límite de edad a partir del cual se reportan casos de intento de suicidio según datos del Sistema
Nacional de Vigilancia en Salud Pública (Sivigila) [16], esto se expone en la sección 2.
Para el análisis se discrimina la población objeto de estudio en tres tipos, personas en riesgo debido a la influencia de factores desencadenantes o problemas de salud mental, población que recibe tratamiento, y población resistente. Con base en la función de riesgo y empleando estadísticas de la proporción de personas atendidas en el sistema de salud por problemas asociados a este fenómeno que reporta el Ministerio de Salud y Protección Social (Minsalud), en la sección 2 se construyen las series temporales para las distintas poblaciones. Para modelar la dinámica poblacional se plantea un sistema no lineal en la sección 3 y se calibra para el caso de Colombia. En el estudio de estabilidad se obtiene una configuración de parámetros que garantiza la aparición de una bifurcación transcrítica cuya prueba se desarrolla en la sección 4. Para interpretar los resultados obtenidos se ha destinado la sección 5, y en la sección 6 se discute el alcance de esta investigación y las conclusiones.
2. Definición población vulnerable y caracterización de poblaciones sin riesgo, en riesgo con tratamiento y sin tratamiento
Para 2008 < t ≤ 2022, de [17] se pueden extraer la población colombiana total N y la población total P por edades. Se denota con P(E, t) a la población con edad mayor o igual a E años en el año t. En [16] se encuentran bases de datos nominales sin identificación personal de las ocurrencias de intento de suicidio para Colombia entre los años 2016 - 2022, aquí se puede apreciar que la edad mínima reportada común en todos los años para el intento de suicidio es de 5 años. Por otra parte, en [18] se puede obtener la serie de las diferentes causas de mortalidad por edad, donde se reportan las defunciones no fetales ocurridas entre el 01 de enero y el 31 de diciembre para los años 2008-2022. En particular, en el ítem respectivo a suicidios también se observa que la edad mínima reportada es de 5 años. Dicha edad mínima puede ser mayor dependiendo de la región que se considere, por ejemplo en el departamento del Tolima como se muestra en [15].
De esta forma, se asume que la población vulnerable a factores desencadenantes del suicidio está conformada por personas colombianas con edad mayor o igual a una edad límite E* = 5. Este límite puede variar para cada país según las políticas y características socioculturales, y no serán analizados en esta investigación. De manera similar a la notación P(E, t) se definen la cantidad de muertes M(E, t), de suicidios Su(E, t) y de intentos de suicidio I(E, t).
La tasa de defunción respecto a la edad límite se representa en la Figura 1, indicando como a medida que la edad límite aumenta, también aumenta la tasa de defunción en la población. Por ejemplo, para la población mayor o igual a 80 años dicha tasa corresponde a 0.087 mientras que en el caso de edades mayores o iguales a 18 años representada con el punto de color rojo es de 6.651281 X 10-3.
En la Figura 2 se muestra que según la variación de la edad límite, la tasa de suicidio representada de color negro con escala de orden 10-5 (eje derecho) es menor que la tasa de intento de suicidio de color azul (eje izquierdo) con orden de 10-4. Sobre estas curvas se presenta con un punto de color rojo la edad límite de 18 años, donde TSu = 6.6589506 X 10-5 y Τi = 5.4387513 X 10-4. Lo interesante de estos resultados es que la tasa de suicidio tiene poca variación cuando la edad límite varía entre [5,80] y se evidencian dos crestas, una entre [5,40] años y otra entre [40,80], esto puede indicar que los factores que conllevan al suicidio pueden variar dependiendo de la edad límite. Respecto a la tasa de intento de suicidio, una mayor variación se presenta y el comportamiento es decreciente cuando la edad límite es mayor de 16 años.
Las tasas de muerte Tm (E), intento de suicidio Ti (E), suicidio Tsu(E) y de muerte por no suicidio T NSu (E), se calculan empleando las medias geométricas de las tasas correspondientes para cada edad límite E a través de la ecuación (1), donde J ∈ {M, I, Su, NSu}.
Para analizar las edades donde ocurren los intentos de suicidio, en la Figura 3 se muestra la distribucion de las 197072 edades x ∈ [5,100] obtenidos con la concatenación de los registros de [16] en el periodo [2016,2022]. Al utilizar el toolbox dfittool de Matlab R2021a se encontró por máxima verosimilitud que una curva de tipo Burr es la distribución que exhibe una mejor aproximación; su ecuación está dada por
Al estimar los parámetros de la función planteada en la ecuación (2) se obtiene a = 15.8248, c = 7.4094 y k = 0.3185. El valor esperado de la distribución es μ = 26.56 y se puede apreciar que las edades más propensas al intento de suicidio están entre Q1 = 16.67 y Q3 = 28.42.
Estimadas la tasa de intento de suicidio en personas con 18 años o más Ti (18) = 5.4387513 X 10-4 y para personas con 5 o más años de edad Ti(5) = 6.077 X 10-4, se obtiene una buena aproximación I(E) = T E l P(E,t) a la información disponible en las bases de datos, tal aproximación se resalta en la Figura 3 con las curvas punteadas; los puntos de color negro para los intentos de suicidio en edad mayor o igual a 5 años y de color rojo para los mayores o iguales a 18 años.
Asumiendo la poblacion vulnerable P(t) = P(5, t), personas colombianas con edad de 5 años o más, se define una tasa variacional poblacional que depende de la edad límite escogida, está dada por la ecuación (3) y se dibuja de color negro en la Figura 4.
Dicha tasa variacional puede emplearse para determinar la tasa de riesgo p0 en la población como función de las tasas de suicidio y de intento de suicidio bajo la ecuación (4), y se representa en la Figura 4 en color azul.
Al calcular ρ 0(18) a través de la ecuación (4) se obtiene ρ 0(18) = 0.672. Esta proporción de riesgo es próxima a la obtenida en el año 2023 por Minsalud [19], donde reportan que el 66.3 % de las personas mayores de edad en alguna oportunidad ha experimentado algún problema de salud mental. Obsérvese que la tasa del 66.3 % se muestra en la Figura 4 con un punto de color rojo.
Para el caso de la edad límite de 5 años, a partir de la ecuación (4) resulta p0(5) = 0.9142. El hecho de que p0(5) ≥ ρ 0(18) guarda total sentido en el contexto del problema puesto que por ejemplo, la Figura 3 indica alta acumulación de intentos de suicidio en edades de 14 a 18 años, lo cual se asocia con mayor susceptibilidad a factores desencadenantes en este margen de edad.
De esta forma, se puede definir la población en riesgo R s (5, t) = ρ 0(5)P(t) como una proporción de la población vulnerable P(t). En consecuencia, la población vulnerable P(t) que no está en riesgo será de R(t) = (1 - ρ 0(E))P(t). De acuerdo con estadísticas oficiales del Minsalud, como son la Encuesta Nacional de Salud Mental [20] de la cual se desprenden trabajos como [13,14, 21], de las personas con edad de 18 o más años que experimentan algún problema de salud mental, tan sólo el 38.9% reciben atención en el sistema de salud para esta condición. Dada la dificultad para obtener series de atención de la población P(t) que recibe tratamiento, ayuda psiquiátrica o psicológica, se asume que es la misma tasa, es decir, asumimos como p1(5) = 0.389 la tasa de atención para la población en riesgo R s (5, t).
2.1. Aproximación de la dinámica poblacional del suicidio
Se considera ρ 0 = ρ 0(5), ρ 1 = ρ 1(5) y la población vulnerable P(t) = P(5, t), como el número de personas colombianas con edades mayores o iguales a 5 años.
Figura 5: Esquema de la distribución porcentual de las poblaciones consideradas en el modelo dinámico del riesgo de suicidio.
Para un tiempo t ≥ 0 se asume que la población P(t) se divide en dos grupos, el primero dado por la población que no tiene riesgo de suicidio (sin problemas de salud mental) denotada por
y el segundo, la población vulnerable que sí presenta riesgo
La población vulnerable que presenta riesgo puede dividirse también en dos R s = S + T, por una parte aquella población que está recibiendo ayuda o atención en el sistema de salud
y la población en riesgo que no está recibiendo tratamiento puede escribirse como
Si se denota como P t al conjunto de personas con edad mayor o igual a cinco años (población vulnerable), R t al conjunto de personas vulnerables que no tienen riesgo, Tt al conjunto de personas en riesgo que reciben tratamiento y S t al conjunto de personas que están en riesgo y no reciben tratamiento, los conjuntos S t , R t y T t son disjuntos entre sí y además P t = S t + T t + Rt. El esquema porcentual para dichas poblaciones se resume en la Figura 5. Con las ecuaciones (5) - (8) se obtienen las aproximaciones a las poblaciones vulnerable P(t), en riesgo Rs(t), en riesgo sin tratamiento S(t), en riesgo con tratamiento T(t) y sin riesgo R(t), que se muestran en la Figura 6.
Para cada población, su tasa poblacional varía dependiendo del valor de (ρ 0, ρ 1) ∈ [0,1] X [0,1]. Particularmente, en la Figura 7 se representan las tasas poblacionales
que presentan un cambio significativo para el valor del parámetro crítico P1 = 0.5, ya que para ρ 1 < ρ * 1, T S > T T y cuando ρ 1 > ρ * 1 tenemos que T S < T T . Las tasas poblacionales
presentan un comportamiento similar para el valor crítico de ρ * 0 = 0.5 como se observa en la Figura 8. De esta manera las figuras 7 y 8 permiten inducir el comportamiento de las diferentes tasas poblacionales de acuerdo a los distintos valores posibles de ρ 0 y ρ 1, valores que pueden variar para cada región o país según diversas características.
3. Formulación del modelo no lineal y estimación de parámetros
Asumimos que la población vulnerable P crece a una tasa constante θ y decrece debido a la tasa de defunción δ = TM(5) = 5.1125 X 10 3, esto se expresa mediante la ecuación
A partir de la ecuación (9) se puede estimar el valor del parámetro 0 = 1.8009 X 10-2. Por otra parte, la tasa de muerte por causas distintas al suicidio está dada por δ n = T Nsu (5) = 5.0552 X 10 3, y dado que el suicidio afecta directamente a la población en riesgo R s = S + T, entonces la ecuación (9) se expresa como
De la ecuación (11) se puede estimar la tasa de suicidio δ s = 2.4996 X 10 4. Ahora bien, de acuerdo con la ecuación (10) y teniendo en cuenta las poblaciones S(t), T(t) y R(t), se propone que la dinámica poblacional del suicidio está dada por
con condiciones iniciales S(0), T(0) y R(0). El crecimiento poblacional θP de la ecuación (10) se puede descomponer como θP = θ(S + T) + 0R, es decir el incremento de la población se divide en dos partes, el término θ(S + T) que afecta al crecimiento de la población susceptible afectada por los factores desencadenantes, y el término 0R que afecta el crecimiento de la población R como se muestra en las ecuaciones (12) y (14) respectivamente. En estas dos ecuaciones también se puede observar que una proporción de la población sin problemas de salud mental ΨR puede verse afectada por factores desencadenantes bajo ciertas circunstancias, y pasar a ser susceptible.
Las ecuaciones (12) y (13) muestran que la población susceptible puede acudir a atención en el sistema de salud bajo dos alternativas que se ven afectadas por el parámetro β. Por una parte, la porción γ(1 - β)δ
s
S acude al sistema de salud por su propia cuenta debido al impacto del suicidio y a los factores que conducen a la ideación, y otra parte acude influenciada a recibir tratamiento por la población T, lo que se puede representar mediante la proporción βδ
. En la ecuación (13) la proporción ρT representa las personas que han terminado su tratamiento y son dadas de alta, y por lo tanto pasan a ser parte de la población R. Finalmente, en las ecuaciones (12) - (14) los términos en los que se involucra los parámetros δ
s y δ
n corresponden a la tasa de defunción por suicidio y por otra causa.
De las ecuaciones (5) - (8) se tienen las igualdades R = (1-ρ 0)P, T = ρ 0 ρ 1 P y S = (1 - ρ 1) ρ 0 P(t). Al suponer p0 y p1 como constantes, al reemplazar en la ecuación (13) e igualar con T = p0p1PP, se obtiene una expresión para la tasa ρ = ρ(β,γ) como se muestra en la ecuación (15).
De forma similar, al reemplazar en la ecuación (14) las expresiones de S, T y R, y al igualar con R = (1 - p0)P, se tiene la expresión para la tasa Ψ = Ψ (β, γ) presentada en la ecuación (16).
Dadas las ecuaciones (15) y (16), faltan por estimar los parámetros β y γ de tal forma que garanticen que 0 ≤ Ψ ≤ 1 y 0 ≤ ρ ≤ 1. Para ello, se toma (β,γ) ∈ [0,0.9] X [0,5000] y un subconjunto de 500 puntos equiespaciados en cada intervalo en el cual se define cada variable.
La región de los valores que garantizan las condiciones para Ψ y ρ se visualiza en la Figura 9, que puede entenderse como una región de viabilidad conformada por 87255 pares de la forma (β i, γ i ), y de donde puede extraerse la configuración apropiada (β, γ). Para conseguir la pareja ordenada (β *,γ *) óptima que se representa en la Figura 9 de color azul, se propone el Algoritmo 1.
Algoritmo 1 Pareja ordenada (β *, γ *) óptima.
1. Series para comparar: Dado que el sistema conformado por las ecuaciones (12)-(14) es autónomo, consideramos los tiempos [2008,2022] como t e [0,14]. Al contar con la serie F 1 = PL(t) = P(t), se obtienen las series de las poblaciones F 2 = SL(t), F3 = TL(t) y F 4 = RL(t) con las ecuaciones (8), (7) y (5) respectivamente.
2. Configuración de parámetros: Se fijan los parámetros δ n , δ s y θ como en laTabla 1. Ahora, para k = 1,2, • • • , 87255, tomamos la pareja (βk, yk) dentro de la región de viabilidad para Ψ y ρ. De esta forma para cada pareja se calculan ρ k y Ψ k por las ecuaciones (15) y (16) respectivamente.
3. Sistema a integrar: Las ecuaciones que conforman el sistema para las poblaciones P, S,T y R están dadas por las ecuaciones (10), (12), (13) y (14).
4. Condiciones iniciales: P(0) = 41676666, S(0) = (1 - ρ 1) ρ 0 P(0), T(0) = ρ 0 ρ 1P(0) y R(0) = (1 - ρ 0)P(0).
5. Integración del sistema: Para cada configuración de parámetros de la iteración k especificada en el paso 2, se integra el sistema expuesto en el paso 3, en el intervalo [0,14]. La integración se realiza con la ayuda del software Matlab2021b bajo la función ode45 tomando 1 X 10-9 como tolerancia relativa y absoluta, y las condiciones iniciales del paso 4. De aquí se obtienen las series de las poblaciones F k 1 = Pk(t), F k 2 = Sk(t), F k 3 = Tk(t) yF F k 4 = Rk(t).
6. Cálculo de errores: Bajo la norma euclidiana, para cada serie poblacional calculada en el paso anterior, se determina el error de la iteración k al compararla con la serie obtenida en el paso 1:
7. Configuración óptima: Por último, para cada valor k = 1,2, • • • , 87255, se escogen los parámetros (β*, γ *, Ψ * , ρ * ) para la iteración k * donde el error E k * sea mínimo.
Cabe resaltar que en la ejecución del Algoritmo 1, en el paso 6 se obtuvieron los errores E k cuya media fue de
y además |Ek - E| ≤ 2.9465 X 10-13. Por lo tanto, para cualquier configuración (β, γ) dentro de la región de viabilidad garantizaría una buena aproximación con error relativo de 0.8163%.
Al implementar el Algoritmo 1 se obtuvo la pareja óptima (β*, γ*) que se representa por un punto de color azul en la Figura 9, y concretamente los valores de los parámetros β, y especificados en la Tabla 1.
La Figura 10 muestra la evolución del sistema con la estimación de los parámetros de la Tabla 1 y la respectiva comparación con las series presentadas en la Figura 6. Claramente el error en la estimación es bajo.
4. Análisis del estado estacionario
Para analizar el estado estacionario del sistema descrito por las ecuaciones (12)-(14), se asume que P(t) es constante, de donde P = 0. De acuerdo con las ecuaciones (5)-(8) las poblaciones S(t), T(t) y R(t) son proporcionales a la población P, en este sentido, se asume también que existen unas tasas de proporcionalidad dependientes del tiempo que definen las variables de estado S(t) = s(t)P(t), T(t) = w(t)P(t) y R(t) = r(t)P(t). Al aplicar la regla de la cadena se observa que Ṡ = ṡP + ṡṖ = ṡP, Ṫ = ẇP y Ṙ = ṙP y al reemplazar estas expresiones en las ecuaciones (12)-(14) se llega al sistema
con valores iniciales s(0), ω(0) y r(0). Las ecuaciones (17)-(19) constituyen una normalización del sistema planteado en (12)-(14). Las variables de estado s, ω y r se interpretan como la tasa poblacional para la población en riesgo sin tratamiento, en riesgo con tratamiento y sin riesgo respectivamente, y el rango correcto de valores para cada caso es el intervalo [0,1]. La solución del sistema (17)-(19) existe y es única, esto a la luz del Teorema Fundamental de Existencia y Unicidad [22, 23].
Dado que P(t) = S(t) + T(t) + R (t), se deduce
de donde ṡ = -ẇ - ṙ. Por otra parte, para que P(t) sea constante (Ṗ = 0), en virtud de la ecuación (10) se debe tener la siguiente condición de equilibrio
Las ecuaciones (20) y (21) hacen que el sistema (17)-(19) pueda ser analizado en su estado estacionario como un sistema planar, el cual queda descrito por las ecuaciones (22) y (23).
4.1. Puntos de equilibrio y condiciones de estabilidad
Los puntos fijos del campo vectorial f = (ẇ, r), con ẇ, ṙ dadas por (22) y (23), permiten caracterizar condiciones en los parámetros que conlleven a escenarios particulares en la dinámica poblacional del riesgo de suicidio, propósito de esta investigación. Para tal fin se presenta el estudio de estabilidad local fundamentado en el criterio de Routh-Hurwitz y el método de Lyapunov [22]. La matriz jacobiana correspondiente al campo fresulta ser
donde
Los resultados que se expondrán en seguida son producto de la implementación de técnicas numéricas de continuación de equilibrios, con este método se permite discernir cómo pequeñas variaciones en los parámetros conllevan cambios cualitativos en la dinámica del sistema (22)-(23). La implementación de esta metodología se define formalmente en el Algoritmo 2, a través del cual se examina cómo la variación de las tasas de suicidio δ s y reincidencia Ψ afectan la dinámica poblacional.
Algoritmo 2 Continuación numérica de puntos de equilibrio.
1. Los parámetros δ
n
, ρ, γ se fijan como en laTabla 1, se asume β = 1 y δ
s
, Ψ varían según (δ
s
, Ψ) ∈ [0, y
] [0, δn].
2. Se toma un subconjunto de 500 puntos equiespaciados en el intervalo donde se define cada parámetro, y se construye una regilla del plano cartesiano. De esto resultan 250000 parejas de la forma (δ si , Ψ i ).
3. Para cada pareja (δ si , Ψ i ) se reemplaza el valor de los parámetros en el sistema (22) - (23) y se obtienen los puntos de equilibrio factibles.
4. El punto (o los puntos) resultado del paso 3, y el valor de los parámetros, se reemplazan en la matriz jacobiana (24) y se obtienen sus autovalores. Estos valores propios se examinan y se clasifica cada punto de equilibrio de acuerdo con las siguientes condiciones:
- Foco estable: 2 valores propios complejos conjugados con parte real negativa.
- Nodo estable: 2 valores propios reales negativos.
- No hiperbólico: Un valor propio nulo y el otro real distinto de cero.
- Punto de silla: Un valor propio real negativo y uno positivo.
5. Se construyen representaciones gráficas de acuerdo con la siguiente convención de colores:
Punto de equilibrio trivial:
Para δ s γ (1 - β )= 0 se obtiene el punto de equilibrio P 1 = [0,0]. Al estudiar la matriz jacobiana (24) en el punto P1 se obtienen los valores propios λ1 = δ s - Ψ, λ2 = - (δ n + ρ + δ s (1 - β)), en este sentido se tendrá un nodo estable cuando δ s < Ψ, y al atravesar el valor crítico δs = Ψ donde existe un punto no hiperbólico, se genera un cambio de estabilidad dando lugar a un punto de silla. Este comportamiento, para el caso β = 1, se expone el Figura 11, además se demuestra la existencia de una bifurcación transcrítica en la Proposición 1.
Para el caso β ≠ 1 y variando δs, Ψ como en el Algoritmo 2, P1 será nodo estable. En el mismo sentido cuando se varía δ s y ρ, se obtienen nodos y focos estables como se muestra en la Figura 13.
Punto de equilibrio no trivial:
Obsérvese que ṙ = 0 es una ecuación cuadrática en la variable r
la cual tiene dos raíces. Dichas soluciones al ser reemplazadas en (22) proporcionan una ecuación en la variable ω que al resolverse entrega hasta 4 soluciones distintas. Por el contexto del fenómeno en estudio sólo consideramos el punto de equilibrio factible P2 = [К ω ,К Г ], con к ω , K r expresadas a través de los distintos parámetros del sistema, donde las variables de estado estén acotadas entre [0, 1] y se satisfaga la ecuación (20). Para el caso de este punto, debido a la extensión y complejidad de las expresiones que lo definen, no se logra sintetizar una expresión para los valores propios de la matriz (24); no obstante, se han examinado distintas configuraciones de parámetros investigando numéricamente las condiciones de estabilidad. En primer lugar, la Figura 11 muestra que para β = 1 se tiene un valor crítico δ s = Ψ a partir del cual P2 es factible, y cuando δ s > Ψ dicho equilibrio es asintóticamente estable.
A su vez, en la Figura 13 se observan las condiciones de estabilidad local para el punto P2 con β = 0.4028 y bajo la variación de los parámetros δ s y ρ. Este análisis indica que dependiendo de los valores bs, p que se tomen las trayectorias pueden experimentar notables cambios cualitativos, esto en virtud de la aparición de valores propios complejos conjugados para la matriz (24). Nótese que al fijar p = 0.8 y los demás parámetros como en la Tabla 1, se obtiene
y los valores propios complejos conjugados
que definen un foco estable, el cual bajo la relación (20) conduce al punto verde mostrado de la Figura 16. Dichos autovalores ocasionan un cambio en la estructura topológica de la órbita ya que ésta, al ingresar en la variedad estable del punto de equilibrio, tendrá un movimiento oscilatorio acercándose cada vez más a P2. Este comportamiento se distingue en el campo vectorial de la Figura 16. Ahora bien, con los parámetros definidos en la Tabla 1 se deduce
y se obtienen los valores propios
es decir P2 es un nodo estable. En el mismo sentido se representa este punto con color azul en la Figura 15 donde además se visualiza el comportamiento del campo vectorial. Para el caso en que 0 ≤ β < 1, la Figura 13 expone las regiones donde se tendrán focos estables y nodos estables cuando se varían δs y p. Para ver este comportamiento, se define β y los demás parámetros como en la Tabla 1 y al variar los parámetros (δ s,p) e [0, δ n] X [0,1] bajo la misma metodología planteada en el algoritmo 2 se obtienen las figuras 13 y 14.
Como resultado clave del análisis de estabilidad desarrollado en esta sección se deduce la aparición de una bifurcación transcrítica. Este hecho se escribe formalmente en la Proposición 1, para desarrollar la prueba se demuestran las condiciones establecidas en el Teorema de Sotomayor [23].
Proposición 1 Para β = 1 el sistema (22) - (23) exhibe una bifurcación transcrítica sobre los puntos P1 y P2 cuando el parámetro Ψ atraviesa el valor crítico Ψ = d s .
Prueba: Sea β = 1, Ψ el parámetro de bifurcación y sea Ψ 0 = δ s el valor crítico. De la Figura 11 se observa que cuando Ψ = δs setendrá P 1 = P 2 = [0,0],además la matriz(24)en P 1 tiene un valor propio nulo, λ1 = 0, cuyos vectores propios asociados son
Se satisfacen las condiciones del Teorema de Sotomayor. En efecto:
1. El vector de derivadas parciales de las componentes del campo vectorial f con respecto al parámetro Ψ evaluado en Ψ 0 resulta ser
2. La matriz jacobiana del vector f Ψ evaluada en el punto de equilibrio y en el valor crítico es
por lo tanto ω T [Df Ψ (P1, Ψ 0) v] = -1 ≠ 0.
3. Con las derivadas parciales de segundo orden del campo f se obtiene
Y con esto
Siempre que δ s ≠ 0.
Esto completa la demostración corroborando la existencia de una bifurcación transcrítica. □
5. Interpretación de resultados y discusión
Los resultados mostrados en la sección 4 tienenimplicaciones en la dinámica de tasas poblacionales s, ω y r, involucradas en el modelo del riesgo de suicidio. En este apartado se discutirá la influencia del comportamiento mostrado en las figuras 11 y 13, en el contexto específico del modelo.
Para β = 1, la bifurcación transcrítica de la Figura 11, muestra que la población en riesgo acudirá al sistema de salud influenciada o por recomendación del grupo poblacional que está recibiendo tratamiento. Si i > δs se tendrá s = 1 lo cual constituye un escenario dinámico donde la totalidad de población vulnerable es susceptible a factores desencadenantes, se encuentra en riesgo de suicidio y no acude al sistema de salud. Por otra parte, para i ≤ δs , la tasa de reincidencia i tiene una relación directa con la población susceptible s, e inversa con r como se muestra en el campo vectorial de la Figura 12 para Ψ < δs. Cuando Ψ = 0 se tendrá r = 1, y para i = δs se alcanza s = 1. Dado que la tasa de reincidencia es muy baja, independientemente de la proporción de personas que terminan el tratamiento ρ, la dinámica muestra que ω converge asintóticamente a cero. Esto puede indicar que si las entidades gubernamentales desarrollan estrategias que disminuyan la tasa de reincidencia, a largo plazo no se requerirán tratamientos en salud mental por riesgo de suicidio.
β ≠ 1 se concibe en el sentido de que una proporción de personas susceptibles ingresan a tratamientos por su propia cuenta debido al impacto del suicidio y a los factores que conducen a la ideación. La Figura 13 expone el comportamiento de la tasa poblacional sin riesgo r bajo la variación de la tasa de suicidio δ s y la tasa de personas que terminan el tratamiento ρ.
Con los parámetros fijados en los valores de la Tabla 1 se obtiene ω = 0.367515, r = 0.088625 y s = 0.54386, lo cual indica que si no se toman medidas que afecten los valores de los parámetros a largo plazo, los porcentajes de la población total discriminada en la poblaciones sin riesgo, en riesgo con tratamiento y sin tratamiento serán respectivamente del 8.86 %, 36.75 % y del 54.39 %. La dinámica bajo estas condiciones se expone en el campo vectorial de la Figura 15.
Figura 13: Componente r del punto de equilibrio bajo la variación de los parámetros δs y p con β = 0.4028.
Al fijar ρ = 0.8 y los demás parámetros como en la Tabla 1, la Figura 16 representa el campo vectorial donde se evidencia que la dinámica converge a las coordenadas r = 0.1238, ω = 0.1305, s = 0.7457. Esto indica que al implementar estrategias para que un mayor número de personas que acuden al sistema de salud terminen su tratamiento, hace que a largo plazo el número de personas sin riesgo sea muy bajo, lo anterior debido a que con dicha configuración de parámetros la tasa de reincidencia es muy alta (Ψ = 0.8437) que indicaría baja efectividad de los tratamientos, y además no se han tomado medidas para reducir la tasa de suicidio.
Si las entidades encargadas de tratar problemas en salud mental logran implementar protocolos que disminuyan sustancialmente la tasa de reincidencia, podría concebirse un escenario más conveniente. Por ejemplo, al definir una configuración de parámetros como los especificados en la Figura 17, se puede apreciar que dada la condición inicial representada de color negro con coordenadas ω(0) = 0.3556, r(0) = 0.0857 y s(0) = 0.5587, el campo vectorial hace que la trayectoria a largo plazo llegue al punto de equilibrio con coordenadas ω = 0.1625, r = 0.6504 y s = 0.1871. Desde esta perspectiva la tasa poblacional en riesgo disminuye mientras la tasa de la población que no tendrá riesgo es cercana al 65 % de la población.
Si bien existen múltiples factores asociados al desarrollo de conductas suicidas [2] y esta investigación no detalla el impacto individual de cada uno de estos, pues se centra en la identificación del comportamiento dinámico de las poblaciones involucradas, nuestros resultados sugieren el diseño y la ejecución de políticas orientadas a la detección de las personas con ideación suicida, y tratamientos efectivos.
A través de las figuras mostradas y las diferentes configuraciones de parámetros utilizadas se ha expuesto la influencia a largo plazo de las tasas de reincidencia y tratamientos recurrentes sobre la dinámica del riesgo de suicidio. La efectividad de las estrategias de tratamiento conlleva la disminución de la tasa de muertes por este fenómeno y la tasa de reincidencia, pues con esto se tendrá un bajo porcentaje de la población susceptible a factores desencadenantes del suicido, lo cual minimiza el riesgo. Bajo políticas de salud mental robustas que rápidamente detecten personas con ideación suicida y se vinculen a tratamientos β = 1, y con baja probabilidad de reincidencia, la bifurcación transcrítica podría ocasionar un notable incremento de la población sin riesgo.
6. Conclusiones
En este documento se ha investigado la dinámica poblacional del riesgo de suicidio desde un enfoque de modelación matemática basado en ecuaciones diferenciales ordinarias. En primera instancia, usando estadísticas de Sivigila [16] se muestra que la distribución de intentos de suicidio por edad se ajusta a una función de distribución tipo Burr (ver Figura 3), destacando que las personas más vulnerables a estos intentos son aquellas entre los 16 y 28 años. Además se formula y emplea la ecuación (4) que representa la tasa de riesgo de la población en función de las tasas de suicidio y de intento de suicidio.
Se estiman series poblacionales para la población sin riesgo, y en riesgo con y sin tratamiento, se formula un sistema autónomo no lineal empleando ecuaciones diferenciales ordinarias y se calibra para Colombia, el cual permite identificar a través de su dinámica diferentes escenarios en estado estacionario. Se logra determinar configuraciones de parámetros para focos estables, nodos estables y puntos sillas, también se logra identificar las condiciones para alcanzar una bifurcación transcrítica (ver Figura 11).
Con las simulaciones realizadas se evidencia que las políticas de tratamiento para problemas de salud mental contribuyen significativamente a la reducción de la tasa de riesgo, además se observa que controlando parámetros relacionados con el índice de recaída podría la totalidad de población ser resistente a factores desencadenantes del suicidio. Cabe resaltar que las series poblacionales obtenidas en este trabajo deben de ser manejadas con precaución ya que pueden variar significativamente dependiendo de los cambios en las políticas de salud pública que se vayan implementando y que afecten los valores de los parámetros.
Los resultados obtenidos se dejan en discusión para que puedan ser analizados por expertos en el área de salud mental, dado que no se cuenta con series estadísticas poblacionales involucradas en el modelo que permitan medir su capacidad de predicción. Ahora bien, si se pudieran obtener reportes sobre estas poblaciones, un problema abierto es analizar la capacidad predictiva del modelo e incluir la interacción de factores socio-económicos.
