Noción de currículo

Por currículo de matemáticas se entiende "el plan de formación en matemáticas para los niños, jóvenes y adultos que tiene lugar en el sistema educativo de un país" (^{Rico y Lupiáñez, 2008}, p. 10). Una forma de abordar la noción de currículo consiste en distinguir entre el currículo pretendido, el implementado y el logrado (^{Travers y Westbury, 1989}), como se muestra en la figura 1. El currículo pretendido corresponde a lo que la sociedad espera que los estudiantes aprendan y se concreta en diversos documentos, usualmente de carácter nacional, regional o local. El currículo implementado abarca lo que sucede en clase cuando profesores y estudiantes interactúan con la intención de aprender lo que se pretende. El currículo logrado se refiere a lo que los estudiantes han aprendido y se establece usualmente a través de pruebas estandarizadas de rendimiento y las pruebas de evaluación en clase.

Un currículo busca dar respuesta a las siguientes cuestiones (^{Rico, 1997}, p. 381).

¿Qué es, en qué consiste el conocimiento?

¿Qué es el aprendizaje?

¿Qué es la enseñanza?

¿Qué es, en qué consiste el conocimiento útil?

Estas cuestiones establecen cuatro dimensiones del análisis curricular: conceptual, cognitiva, formativa y social. Rico (p. 409) considera cuatro niveles del currículo, que ^{Gómez (2007}, p. 20) extendió a cinco: fines, disciplinas académicas, sistema educativo, planificación para los profesores y análisis didáctico (tabla 1).

Fuente: Travers y Westbury (1989).

Figura 1 Currículo pretendido, implementado y logrado 

Fuente: Gómez (2007)

Tabla 1 Componentes del currículo según los niveles y las dimensiones 

La organización por dimensiones y niveles del currículo permite estudiar una diversidad de fenómenos relacionados con la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. El contenido de esta tabla se describe en detalle en, por ejemplo, ^{Gómez (2007}), ^{Rico (1997}) y ^{Rico y Lupiáñez (2008)}. Utilizaremos este marco curricular como sustento conceptual para el análisis de los documentos curriculares objeto de este estudio.

Procesos de planificación⁶

En este apartado, presentamos una breve revisión de la literatura sobre los procesos de planificación del profesor, y concretamos ese proceso de planificación en el contexto de la normativa colombiana.

Planificación del profesor: algunas investigaciones

La planificación del profesor se describe de diferentes maneras, pero gira alrededor de un tema común. Se trata de "la interacción del profesor con el contenido para llegar a decisiones sobre qué y cómo un contenido particular se debe abordar para satisfacer las condiciones únicas de una situación de enseñanza" (^{Lai y Lam, 2011}, p. 221). Se refiere, por tanto, a las decisiones de enseñanza y aprendizaje que el profesor toma con anterioridad a la ejecución de sus planes en el aula (^{Sardo-Brown, 1996}, p. 519).

Se han realizado múltiples investigaciones sobre los procesos de planificación del profesor que han establecido, por ejemplo, que los profesores se basan más en la intuición que en sus aprendizajes formales (^{Miller, Austin Windle y Yazdanpanah, 2014}); en las prácticas de planificación del profesor experto (^{Akyuz, Dixon y Stephan, 2013}); y en la preocupación de los profesores por el diseño de las tareas que darán a sus estudiantes, que por su aprendizaje (^{Akyuz et al., 2013}; ^{Strangis, Pringle y Knopf, 2006}). Los investigadores han identificado algunas de las dificultades de los profesores al planificar. ^{Jones, Jones y Vermette (2011}) encontraron que los profesores no tienen claridad sobre el objetivo de aprendizaje, producen una evaluación que no es coherente con dichos objetivos y no saben cómo comenzar la clase. ^{Ainley y Pratt (2002)} observaron que los profesores no logran producir tareas matemáticamente interesantes que contribuyan a las expectativas de aprendizaje. También se ha encontrado que los profesores no saben identificar las dificultades de sus alumnos, toman decisiones poco fundamentadas (^{Schmidt, 2005}) y no logran implementar su conocimiento en el proceso de planificación (^{Bigelow y Ranney, 2005}). Estos y otros estudios han identificado algunos de los factores que influyen en esos procesos de planificación. Entre ellos se encuentran su conocimiento, los requerimientos del currículo y los materiales, y los recursos disponibles (^{Lai y Lam, 2011}); las concepciones y creencias del profesor y sus visiones y preferencias acerca de las matemáticas y su enseñanza (^{Thompson, 1984}); y el conocimiento del contenido y conocimiento pedagógico de contenido del profesor (^{Baumert, Kunter, Blum, Brunner, Voss et al., 2010}).

Planificación del profesor en el contexto colombiano

Como lo indicamos, en nuestro país, la Ley General de Educación 115 (^{MEN, 1994}) establece la autonomía curricular de las instituciones educativas que se responsabilizan de la formulación y el registro de un proyecto educativo institucional (PEI). El PEI debe incluir un plan de estudios en el que se debe concretar el diseño curricular de las áreas. Denominamos a este plan de estudios como plan de área de matemáticas. Consiste usualmente en un documento, elaborado por el departamento de matemáticas de la institución educativa, en el que se establece el currículo del área de matemáticas para cada grado. Los grados se organizan por periodos académicos y, para cada periodo, se describen, con diferentes términos, diversos componentes de las cuatro dimensiones del currículo (^{Gómez y Restrepo, 2012}). Estos documentos se revisan al comienzo del año académico, el consejo académico los puede avalar y puede sugerir mejoras, y deben, en principio, guiar el trabajo de los docentes en el aula.

Todo docente hace una planificación de sus clases. Esta planificación puede registrarse en un documento, en unas notas o en unas ideas no escritas que el docente lleva al aula y que guían su actuación con los estudiantes. Denominamos a esta planificación el plan de aula, el cual debe, en principio, concretar el plan de área para una o más sesiones de clase específicas. Es el documento que guía la implementación del currículo.

En la figura 2, resumimos estas ideas. Hemos denotado con líneas continuas las relaciones que la normativa requiere del funcionamiento curricular en la escuela, y con líneas punteadas aquellas relaciones que se espera que tengan lugar, pero que no son requeridas por la normativa (relación entre los documentos curriculares y el plan de área), o que no necesariamente tienen lugar en la institución educativa (relación entre el plan de área y el plan de aula).

Fuente: Gómez et al. (2014)

Figura 2 De la normativa curricular al plan de aula 

Para mejorar los aprendizajes de los estudiantes se requiere optimizar la planificación institucional. Los planes de área en las instituciones educativas dan cuenta de heterogeneidad, producto de la autonomía curricular contemplada en la Ley General de Educación (MEN, 1994). Es claro que en los planes de área se pueden identificar deficiencias que surgen de la falta de preparación de los docentes que elaboran estos documentos. Por ello, consideramos que el Estado puede aportar al mejoramiento en la planificación de área con guías, sugerencias y fundamentos que permitan a los docentes concretar las dimensiones conceptual, cognitiva y social del currículo.

Reconocemos lo difícil que sería generar un documento de lineamientos que llegue al nivel de la planificación de aula. Un documento de este tipo puede llevar a los docentes a considerar que solamente deben "implementar" el currículo propuesto para cada sesión de clase y asignar la responsabilidad del éxito de la enseñanza al currículo mismo. Por otro lado, para que un diseño curricular de aula tenga probabilidades de éxito, debe contener la información suficiente para que el docente pueda tomar decisiones en clase. Un diseño curricular de ese tipo sería muy extenso y podría condicionar la actuación del docente, al no permitirle adaptarse a las condiciones de su contexto. Finalmente, aunque se propongan documentos con el propósito de que sean ejemplos, resulta natural que los docentes no atiendan esa sugerencia y los tomen como las guías para realizar sus clases. Por estas razones, consideramos que los documentos curriculares deben garantizar la efectividad en la elaboración de los planes de área. De esta forma, el docente tendrá un marco de referencia para sus planes de aula que podrá adaptar a las condiciones de su contexto.

Documentos curriculares de matemáticas

A continuación, caracterizamos los documentos curriculares previos a los derechos básicos de aprendizaje -lineamientos curriculares, estándares, lineamientos de las pruebas Saber y la matriz de referencia de matemáticas- con el fin de establecer su relación con ese documento.

Documento de los lineamientos curriculares

Los Lineamientos curriculares de matemáticas se publican en 1998. Este documento plantea algunos criterios para orientar el currículo y presenta los enfoques que debería tener la enseñanza de las matemáticas en el país.

El documento de los lineamientos curriculares contempla una visión global e integral del quehacer matemático que incluye tres aspectos para la organización del currículo: a) los procesos generales, relacionados con el aprendizaje, como el razonamiento, la resolución y el planteamiento de problemas, la comunicación, la modelación, y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos; b) los conocimientos básicos, relacionados con el desarrollo de los pensamientos numérico, espacial, métrico, aleatorio y variacional; y c) los contextos con los que se generan situaciones problemáticas de las mismas matemáticas, de la vida diaria y de las otras ciencias (^{MEN, 1998b}, pp. 18-20).

Este documento propone que hacer matemáticas implica ocuparse de problemas y enfatiza la necesidad de reflexionar sobre cuestiones como ¿para qué y cómo se enseñan las matemáticas?, ¿qué relación se establece entre las matemáticas y la cultura?, ¿cómo se puede organizar el currículo de matemáticas? y ¿qué principios, estrategias y criterios orientarían la evaluación del desempeño matemático de los alumnos? (^{MEN, 1998b}, p. 9).

Documento de los estándares

El documento de los estándares se publica, en su versión final, en 2006. Este documento se genera a partir de los lineamientos curriculares y establece unos referentes comunes que orientan la búsqueda de la calidad de la educación y proporcionan unos criterios para las evaluaciones externas (^{MEN, 2006,} p. 11). "Los estándares son unos referentes que permiten evaluar los niveles de desarrollo de las competencias que van alcanzando los y las estudiantes en el transcurrir de su vida escolar" (p. 12).

El documento de los estándares relaciona el aprendizaje por competencias y el aprendizaje significativo y comprensivo. Aborda la importancia de formar ciudadanos matemáticamente competentes a partir del desarrollo de los procesos generales de la actividad matemática, que también fueron contemplados en el documento de los lineamientos curriculares. Los estándares se presentan como niveles de avance en el desarrollo de las competencias.

El documento de los estándares aborda los contenidos desde una perspectiva estructural, pero da cuenta de una visión funcional del currículo -en la que "el conocimiento permite modelizar situaciones reales y está orientado a la resolución de cuestiones y problemas en diferentes contextos" (^{Rico y Lupiáñez, 2008}, p. 95)-. También, se menciona la resolución de problemas como marco en el que se pueden relacionar los cinco tipos de pensamiento matemático, que a su vez contribuyen a organizar el contenido matemático.

Los listados de estándares están organizados por conjuntos de grados y tipos de pensamiento. Los enunciados de los estándares están estructurados por un proceso general, el concepto y procedimiento matemático, y el contexto (^{MEN, 2006}, p. 77). En el documento de los estándares se expone la relación que tiene un estándar determinado con los estándares de los demás pensamientos dentro del mismo conjunto de grados (coherencia horizontal).

Documento de los lineamientos de las pruebas Saber

El ICFES propone un marco de evaluación de matemáticas en el que se establece la organización del contenido en componentes y la evaluación de competencias a través de tareas y preguntas contextualizadas, denominado Lineamientos para las aplicaciones muestral y censal 2015.

En este documento, las competencias y los componentes se relacionan directamente con los procesos generales de la actividad matemática y los tipos de pensamiento descritos en los documentos de los lineamientos curriculares y los estándares ^{(ICFES, 2015}, pp. 71-72). Las competencias están organizadas en tres grupos: a) razonamiento y argumentación; b) comunicación, representación y modelación; y c) planteamiento y resolución de problemas. Los componentes responden a la reorganización de los cinco tipos de pensamiento: a) numérico-variacional, b) geométrico-métrico y c) aleatorio.

La prueba de matemáticas Saber 3°, 5° y 9° evalúa las afirmaciones que han sido elaboradas para las competencias y los componentes que presentamos en el párrafo anterior. Se proponen afirmaciones -que nosotros asociamos a expectativas de aprendizaje- por ciclos de grados (de 1° a 3°, de 4° a 5° y de 6° a 9°). Las afirmaciones son enunciados acerca de los conocimientos, las capacidades y las habilidades de los estudiantes. A partir de ellas, se establecen las evidencias -que nosotros asemejamos a explicaciones cognitivas de las afirmaciones y que no se hacen explicitas en este documento-. Con base en estas evidencias, se construyen las tareas y las preguntas de evaluación que responden a contextos financieros, de divulgación científica, sociales y ocupacionales (^{ICFES, 2015}, p. 72).

En la figura 3, presentamos el proceso propuesto en los lineamientos de las pruebas Saber para la deconstrucción de las preguntas, en el que se parte de las expectativas de aprendizaje incluidas en el documento de los estándares.

Fuente: ICFES (2015, p. 17).

Figura 3 Proceso de construcción de especificaciones de pruebas a través del Modelo Basado en Evidencias (ICFES, 2015, p. 17) 

Consideramos indispensable que el trabajo que ha venido desarrollando el ICFES sea contemplado en la revisión y el ajuste del documento de los derechos básicos de aprendizaje, o en la construcción de un nuevo documento curricular, ya que propone un diseño técnico para el periodo 2009-2021, está alineado con el documento de los estándares y proporciona ejemplos de tareas de evaluación.

Matriz de referencia de matemáticas

La matriz de referencia es un documento publicado por el MEN en 2015. La matriz de referencia se define como un instrumento de consulta, basado en el documento de los estándares, que presenta los aprendizajes que el ICFES evalúa en cada competencia. Estos aprendizajes -que se corresponden con las afirmaciones Saber- se relacionan con las evidencias -descripciones cognitivas de los aprendizajes- de lo que el estudiante debería hacer o manifestar tras el logro de los aprendizajes (^MEN,2015b, p. 2). Este documento se proporciona como insumo para la elaboración de las pruebas Saber 3°, 5° y 9°, y como elemento orientador en los procesos de planificación.

Vemos que los elementos contemplados en la matriz de referencia tienen directa relación con el documento de los lineamientos de las pruebas Saber y lo complementan. Los aprendizajes y las evidencias están organizados por competencias y componentes. Las competencias enunciadas corresponden al primer proceso que se contempla en cada grupo de competencias Saber: a) comunicación, b) razonamiento y c) planteamiento. Los componentes responden a la reorganización de los cinco tipos de pensamiento propuesta en el documento de los lineamientos de las pruebas Saber y se presentan en el siguiente orden: a) aleatorio, b) espacial-métrico y c) numérico-variacional.

El documento de la matriz de referencia de matemáticas complementa el documento de los lineamientos de las pruebas Saber al proporcionar las evidencias para cada uno de los aprendizajes (afirmaciones de las pruebas Saber). Al hacer público este documento, el MEN ha proporcionado una información importante para la descripción y comprensión de las expectativas que el Estado tiene en relación con el aprendizaje de los estudiantes. Infortunadamente, ninguno de los dos documentos establece de manera explícita la relación entre los estándares y los aprendizajes (o afirmaciones).

Relación del documento objeto de estudio con los documentos curriculares previos

A continuación, exponemos las relaciones que logramos establecer entre el documento de los derechos básicos de aprendizaje y los documentos curriculares previos.

Documento de los lineamientos curriculares

Las expectativas de aprendizaje contempladas en los derechos básicos de aprendizaje se centran en el proceso de elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos, y dejan de lado los otros procesos generales. La resolución de problemas no se aborda, y la mayoría de los enunciados se enmarcan en el contexto de las mismas matemáticas. Observamos que el listado de los derechos básicos de aprendizaje no da cuenta de la organización del contenido matemático propuesto en el documento de lineamientos curriculares, que sirvió de base para la organización de los estándares.

Documento de los estándares

El documento de los estándares es la principal referencia que usan actualmente las instituciones y los docentes del país para abordar el diseño y el desarrollo del currículo de matemáticas. Por esa razón, consideramos muy importante que un nuevo documento curricular se ajuste de manera coherente a este documento. Abordamos la relación entre el documento de los estándares y el documento de derechos básicos de aprendizaje desde las siguientes perspectivas: a) visión del currículo, b) cubrimiento de contenido, c) tratamiento de las expectativas de aprendizaje de nivel superior, y d) organización por grados y coherencia horizontal.

Visión del currículo. El documento de los derechos básicos de aprendizaje parece adoptar una visión instrumental del currículo -"centrado en el dominio y uso de hechos, destrezas y conceptos básicos, que se toman como herramientas" (^{Rico y Lupiáñez, 2008}, p. 94)-, en contraste con la importancia que se asigna a las expectativas de aprendizaje de nivel superior (procesos generales y competencias) en el documento de los estándares. En el documento de los derechos básicos de aprendizaje no se explicita el objetivo de promover la formación de ciudadanos matemáticamente competentes.

Cubrimiento del contenido. En el documento de los derechos básicos de aprendizaje se percibe un afán por adelantar contenidos de grados superiores, más que por desarrollar los estándares de cada conjunto de grados. Por ejemplo, para grado 9° se presenta el derecho básico de aprendizaje 13, "Conoce las razones trigonométricas seno, coseno y tangente en triángulos rectángulos" (^{MEN, 2015a}, p. 3), que puede asociarse al estándar "Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas", contemplado para el conjunto de grados 10° y 11° en el documento de los estándares (^{MEN, 2006}, p. 88). Pese a esto, y como argumentamos enseguida, se percibe un retroceso en las expectativas de aprendizaje que pretenden ser los derechos básicos de aprendizaje, pues no se abordan expectativas de aprendizaje de nivel superior (competencias o procesos generales), ni la inclusión de recursos didácticos y tecnológicos.

Expectativas de aprendizaje de nivel superior. En cuanto a la alineación entre los derechos básicos de aprendizaje y los estándares, podemos identificar relaciones entre los listados de derechos básicos de aprendizaje enfocados en el contenido matemático, mas no en el desarrollo de los procesos generales. Consideramos que abordar todos los derechos básicos de aprendizaje no garantiza el desarrollo de los estándares y que no todos los estándares se están abarcando con los derechos básicos de aprendizaje. Por ejemplo, entre el derecho básico de aprendizaje 18, "Realiza inferencias simples a partir de información estadística de distintas fuentes" (^{MEN, 2015a}, p. 4), y el estándar "Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas)" (^{MEN, 2006}, p. 87) puede establecerse una relación conceptual, pero no implica que el estándar se aborde completamente. Los siguientes son algunos de los estándares que parecen no contemplarse en los derechos básicos de aprendizaje de grado 9°: a) "Justifico la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas ciencias", y b) "Analizo los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales" (p. 87).

Organización por grados y coherencia horizontal. Los derechos básicos de aprendizaje se proponen por grados, no por conjuntos de grados. En los listados de derechos básicos de aprendizaje no se evidencia una organización de expectativas de aprendizaje -por pensamientos o competencias-; además, no se está dando la misma importancia a todos los estándares contemplados en cada pensamiento matemático. No se constata la coherencia horizontal que promueve el documento de los estándares.

Documento de los lineamientos de las pruebas Saber

Es claro que un estudiante debería aprender, al menos, lo que se le va a evaluar en una prueba. Por consiguiente, los derechos básicos de aprendizaje deberían abordar los requerimientos de las pruebas Saber, que pretenden evaluar el nivel de competencia de los estudiantes y promover la solución de problemas contextualizados. Vemos que los derechos básicos de aprendizaje no consideran las competencias y los componentes establecidos por Saber, pese a que, como lo indicamos anteriormente, las afirmaciones y preguntas de esa prueba están alineadas con los lineamientos y estándares básicos de competencias.

Los derechos básicos de aprendizaje se quedan cortos en relación con las afirmaciones Saber. Las pruebas Saber están enfocadas en la evaluación de competencias. En ellas se valoran las competencias básicas de los estudiantes, se analizan los factores que inciden en sus logros (^{ICFES, 2015}, p. 12) y se proponen tareas de evaluación contextualizadas. La relación de los derechos básicos de aprendizaje con las afirmaciones de la prueba Saber se limita parcialmente al contenido.

Matriz de referencia

Los aprendizajes incluidos en la matriz de referencia están organizados por competencias y componentes, lo que no sucede con los listados de derechos básicos de aprendizaje. Es claro que estos aprendizajes están direccionados hacia el alcance de expectativas de aprendizaje de nivel superior (competencias o procesos generales). Su descripción -mediante evidencias- proporciona descripciones cognitivas de los aprendizajes, que son útiles para el docente en su proceso de planificación y que no se incluyen en el documento de los derechos básicos de aprendizaje. Como sucede con los demás documentos curriculares previos, los derechos básicos de aprendizaje y la matriz de referencia están relacionados únicamente y de manera limitada por el contenido matemático.

Papel del documento objeto de estudio en los procesos de planificación

Algunas de las dudas que surgen al pensar en la planificación que hace el docente de matemáticas, con base en el documento de los derechos básicos de aprendizaje, son las siguientes: a) ¿cómo pretenden contribuir los derechos básicos de aprendizaje a la planificación?, b) ¿los derechos básicos de aprendizaje podrían tomarse como objetivos de periodo?, c) ¿todos los derechos básicos de aprendizaje se deben abordar en un año?, d) ¿por qué no proponer derechos básicos de aprendizaje que concreten los procesos, contenidos y contextos del documento de los estándares?

Es necesario concretar a qué planificación (área o aula) se pretende contribuir con el documento de los derechos básicos de aprendizaje. Como hemos argumentado, no es posible contribuir a los dos tipos de planificación simultáneamente.

Si se tienen en cuenta las diferencias encontradas entre los documentos de lineamientos curriculares, estándares, lineamientos de pruebas Saber, matriz de referencia, por un lado, y el documento de derechos básicos de aprendizaje, por el otro, entonces surgen nuevas preguntas: a) ¿cómo podría un docente relacionar los documentos curriculares para su planificación?, b) ¿por qué no proponer que los derechos básicos de aprendizaje concreten los procesos, contenidos y contextos del documento de los estándares? y c) ya que los ejemplos propuestos en el documento de los derechos básicos de aprendizaje se centran en procedimientos rutinarios, ¿esa es la prioridad en la planificación y en los procesos de aprendizaje? Si la respuesta a esta última pregunta es afirmativa, las prácticas de aula se centrarían únicamente en hechos y destrezas exclusivamente matemáticos.

Un problema que puede surgir con la implementación del documento de los derechos básicos de aprendizaje es que los docentes relacionen los documentos curriculares a la fuerza en su planificación de área y aula. Ellos pueden llegar a incluir celdas en los formatos planeadores para escribir aspectos o expectativas de aprendizaje de cada documento, y suponer que, con esto, se cumplen las directrices nacionales.

Virtudes y deficiencias del documento objeto de estudio

Apreciamos el esfuerzo que se manifiesta en el documento de los derechos básicos de aprendizaje para facilitar el diseño y desarrollo curricular del docente. El documento de los estándares presenta un conjunto de expectativas de aprendizaje de nivel superior que el Estado espera que los estudiantes logren, pero no da indicaciones de cómo las instituciones y docentes pueden contribuir a esos propósitos. Está claro que instituciones y docentes necesitan fundamentos y guías para ello. Destacamos positivamente la intención del documento de los derechos básicos de aprendizaje de abordar este problema. Consideramos valiosa la intención de proporcionar expectativas de aprendizaje por grados, no por conjuntos de grados. No obstante, hemos identificado algunas dificultades (adicionales a las mencionadas en los dos apartados anteriores) que mencionamos a continuación. Se refieren a: a) el uso del término "derecho", b) los propósitos expuestos en la introducción y no logrados, c) el lector objetivo, d) la redacción de expectativas de aprendizaje, e) la homogeneidad y el nivel de concreción, e) el papel de las ideas secundarias, f) los ejemplos y la visión instrumental del currículo, g) el hilo conductor y h) errores puntuales.

El término "derecho". Vemos conveniente que, antes de publicar la versión definitiva del documento de los derechos básicos de aprendizaje, se reflexione sobre el uso del término "derecho" y sus implicaciones. Se podría pensar que, si no se implementa algún derecho básico de aprendizaje, entonces se está vulnerando. Sugerimos que se utilice la etiqueta "expectativas básicas de aprendizaje" para las expectativas que se presentan en el documento de los derechos básicos de aprendizaje.

Introducción. Aunque se menciona en la introducción, es necesario reiterar en su difusión que el documento de los derechos básicos de aprendizaje complementa los documentos curriculares previos y que no lo son todo, pues el docente debe complementarlos con otra información para usarlos en el aula. Es evidente que hay un avance en querer concretar las acciones para la enseñanza, pero, como lo hemos mostrado, la introducción establece muchos propósitos que no se satisfacen a lo largo del documento.

Lector objetivo. Como se expuso inicialmente, el documento de los derechos básicos de aprendizaje está dirigido a diferentes tipos de lectores. Resulta muy difícil que un mismo documento satisfaga las expectativas y necesidades de esa variedad de agentes y se redacte con el lenguaje, el detalle y la profundidad que cada agente requiere. Consideramos que el documento se debe concretar a un lector específico. En el caso de las familias, el lenguaje del documento de los derechos básicos de aprendizaje es técnico. Esto puede generar problemas de interpretación para padres que no tengan un nivel de escolaridad suficiente. Adicionalmente, el documento de los derechos básicos de aprendizaje podría funcionar como una lista de chequeo. Esto puede limitar la autonomía curricular y el desarrollo de las prácticas de aula. Por lo anterior, sugerimos que el documento de los derechos básicos de aprendizaje se dirija al docente de aula y al área de matemáticas y que, por tanto, se piense en los problemas que ellos tienen en su práctica docente (particularmente, en el diseño del plan de área).

Redacción de expectativas de aprendizaje. Los enunciados de los derechos básicos de aprendizaje son combinaciones de contenidos con verbos no observables (comprende, entiende) que impiden que se asuman realmente como expectativas de aprendizaje. Por ejemplo, ¿cómo puede un docente establecer si el estudiante reconoce un significado (derecho básico de aprendizaje 1)?

Homogeneidad y nivel de concreción. Los derechos básicos de aprendizaje no son homogéneos en su nivel de concreción. Un ejemplo de esta situación se puede encontrar en el listado de grado 9°, al comparar los siguientes derechos básicos de aprendizaje: "Reconoce el significado de los exponentes racionales positivos y negativos, y utiliza las leyes de los exponentes" (derecho básico de aprendizaje 1), y "Realiza demostraciones geométricas sencillas a partir de principios que conoce" (derecho básico de aprendizaje 14).

Papel de las ideas secundarias. Las ideas secundarias no aparecen en todos los derechos básicos de aprendizaje. Constatamos que, en muchas ocasiones, más que dar significado al derecho básico de aprendizaje, las ideas secundarias son una explicación teórica del contenido matemático al que se refieren.

Ejemplos y visión instrumental del currículo. El documento de los derechos básicos de aprendizaje indica que los ejemplos ilustran lo que se espera que el estudiante pueda realizar una vez ha aprendido el derecho básico de aprendizaje (p. 4). Por su definición, reconocemos los ejemplos como tareas de evaluación. Constatamos que la mayoría de ejemplos del documento de los derechos básicos de aprendizaje están centrados en el contenido matemático. Esta es una visión restringida de lo que significa la formación del estudiante matemáticamente competente. Además, la mayoría de los ejemplos están relacionados con tareas netamente procedimentales. Percibimos, por tanto, una visión instrumental del currículo que se centra en el manejo de hechos y destrezas puramente matemáticas (^{Rico y Lupiáñez, 2008}, p. 94). Como consecuencia, los ejemplos de los derechos básicos de aprendizaje no promueven sistemáticamente, por ejemplo, la representación, la modelación o el planteamiento y resolución de problemas.

Hilo conductor. No encontramos un hilo conductor o estructura para la organización de los derechos básicos de aprendizaje. Por consiguiente, no se evidencia una secuencia que ayude a organizar la estructura curricular de un año escolar en la planificación de los docentes.

Errores puntuales. Hemos identificado algunos errores en el documento. Por ejemplo, en el derecho básico de aprendizaje 5 del listado para grado 9°, se enuncia la función lineal y se emplea la representación simbólica de la función afín.

Propuesta de ajuste

Las reflexiones que presentamos anteriormente apoyan nuestra propuesta para un nuevo documento curricular que aborde las dificultades y los problemas que hemos identificado. Esta propuesta sugiere que se concrete un lector objetivo específico (el docente de matemáticas) y se ponga el foco de atención en un tipo de planificación (el plan de área). Nuestra propuesta retoma los elementos propuestos para los derechos básicos de aprendizaje y pretende lograr un ajuste coherente entre el nuevo documento y los documentos curriculares previos. También, proponemos que se conserve la organización de expectativas de aprendizajes por grados.

Esquema de la propuesta de ajuste

Hemos argumentado que uno de los problemas clave del diseño y desarrollo curricular de matemáticas en las instituciones es la construcción del plan de área. Consideramos que es necesario que el nuevo documento curricular aborde este problema; por consiguiente, este debe tener al docente y al área de matemáticas como su lector objetivo.

Dado el recorrido que el documento de los estándares ha hecho en los últimos nueve años en las instituciones educativas colombianas y la importancia que se está dando a la evaluación en el sistema educativo nacional, es necesario que el nuevo documento se ajuste de manera coherente a los documentos curriculares previos y contribuya a que las instituciones y los docentes puedan ofrecer oportunidades para que los estudiantes logren las expectativas de aprendizaje esperadas (los estándares) y lo pongan de manifiesto en las pruebas estandarizadas (pruebas Saber y PISA). Es decir, si se desea contribuir a la formación de estudiantes matemáticamente competentes, es necesario que se especifiquen los procesos generales a los que apuntan los derechos básicos de aprendizaje. Es importante procurar una relación estrecha entre los documentos de estándares y de derechos básicos de aprendizaje, en la que este último supla aquellos vacíos que se evidencian en el documento de los estándares (^{Gómez et al., 2014}). Sugerimos que la redacción de los derechos básicos de aprendizaje se aborde de tal manera que pueda ser comprensible para cualquier docente, que las frases sean lo suficientemente claras (de modo que no dependan de los ejemplos) y que los ejemplos incluyan situaciones contextualizadas.

En la figura 4, presentamos un esquema que relaciona el nuevo documento curricular (DBA), el documento de los estándares (EBC), el documento de los lineamientos de las pruebas Saber (Saber) y el documento de la matriz de referencia (MR). Los tres últimos se relacionan de manera coherente. Para este caso, hemos equiparado los elementos de la matriz de referencia con los elementos de las pruebas Saber. El documento de los lineamientos de las pruebas Saber recoge los pensamientos matemáticos del documento de los estándares en unos componentes y organiza los procesos generales del documento de los estándares en unas competencias. Adicionalmente, el documento de los lineamientos de las pruebas Saber formula unas expectativas de aprendizaje -afirmaciones- que configuran unas evidencias, en las que basa la formulación y organización de las tareas de evaluación. El documento de la matriz de referencia retoma las afirmaciones del documento de lineamientos de las pruebas Saber, que denomina aprendizajes, y hace públicas las evidencias que caracterizan cognitivamente esos aprendizajes. Nuestra propuesta consiste en mantener la estructura de los derechos básicos de aprendizaje y utilizar las descripciones cognitivas de los aprendizajes incluidas en la matriz de referencia y los ejemplos de tareas de evaluación proporcionados en los lineamientos de pruebas Saber.

Fuente: los autores

Figura 4. Relación entre estándares, pruebas Saber, matriz de referencia y derechos básicos de aprendizaje 

Como mencionamos, proponemos llamar "expectativas básicas de aprendizaje" a los derechos básicos de aprendizaje. Estas expectativas deben relacionarse con las afirmaciones de la prueba Saber o aprendizajes de la matriz de referencia, y formularse para periodos académicos, organizadas por grados. Las expectativas básicas de aprendizaje deben estar vinculadas a una estructura de contenido (componentes) y relacionarse con los procesos generales de la actividad matemática (competencias).

En la figura 5, mostramos la estructura de nuestra propuesta y la comparamos con la estructura de los derechos básicos de aprendizaje, en un esquema que contempla una expectativa básica de aprendizaje, la descripción cognitiva de la expectativa, una tarea de evaluación, y el contexto y alcance de la tarea de evaluación. La expectativa básica de aprendizaje es lo que se espera que el estudiante aprenda. Esta expectativa debe describirse desde el punto de vista de lo que el estudiante debe saber y ser capaz de hacer para que se considere que la ha logrado. La tarea de evaluación concreta aspectos de esa descripción cognitiva en un contexto.

Fuente: los autores.

Figura. 5 Estructura de las expectativas básicas de aprendizaje  

Ejemplo del esquema para una expectativa básica de aprendizaje

A continuación, presentamos un ejemplo de una expectativa básica de aprendizaje para grado 9°, de acuerdo con el esquema que propusimos en el apartado anterior. Para este propósito, elegimos uno de los estándares propuestos para los grados

8o y 9o. Después, seleccionamos una de las afirmaciones de las pruebas Saber 2015 para el ciclo 6o a 9o, que se corresponde con el estándar, y realizamos una descripción cognitiva de esta afirmación. Finalmente, proporcionamos una tarea de evaluación como ejemplo e indicamos a qué parte de la descripción corresponde.

Estándar

El estándar seleccionado se ubica en el pensamiento espacial y sistemas geométricos: "Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas" (^{MEN, 2006}, p. 86).

Esquema para la expectativa básica de aprendizaje

Como indicamos en el apartado anterior, el esquema contempla la expectativa de aprendizaje, la descripción cognitiva de esa expectativa, una tarea de evaluación, y el contexto y alcance de la tarea de evaluación.

Expectativa básica de aprendizaje. Tomamos como expectativa básica de aprendizaje una de las afirmaciones de la prueba Saber que se corresponde con el estándar seleccionado: "Representa y reconoce objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas" (^{ICFES, 2015}, p. 76). Esta afirmación se ubica en el componente geométrico-métrico y se asocia a la competencia comunicación, representación y modelación. Esta afirmación de la prueba Saber se relaciona con el aprendizaje "Representar y describir propiedades de objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas" (^{MEN, 2015b}, p. 7).

Descripción cognitiva de la afirmación. Esta afirmación implica, entre otras, que el estudiante: a) identifica objetos tridimensionales, ubicados en diferentes posiciones; b) identifica un objeto a partir de sus vistas frontal, lateral, posterior y superior; c) representa objetos tridimensionales a partir de una observación frontal, lateral, posterior y superior; d) reconoce la posición de un observador, en relación con la vista que él tiene del objeto; e) reconoce una vista a partir de la posición del observador; y f) describe características de objetos tridimensionales.

Tarea de evaluación. Una tarea de evaluación que ejemplifica esta afirmación es la siguiente (^{NCES 2013}, pp. 12-13):

En las figuras 1 y 2 de abajo, se ven dos vistas de la misma torre. En la figura 1, se ven tres caras del tejado de la torre. En la figura 2, se ven cuatro caras.

Figuras 1 y 2. Dos vistas de la misma torre 

En la figura 3 se muestra la vista del tejado de la torre desde arriba. Se han señalado cinco posiciones en el dibujo. Cada una de ellas está marcada con una cruz (x) y se han denominado de Pi a P5.

Figura 3 Vista del tejado de la torre desde arriba 

Desde cada una de estas posiciones, una persona que mirase la torre sería capaz de ver un número determinado de las caras del tejado de la torre.

En la tabla siguiente, rodea con un círculo el número de caras que se verían desde cada una de estas posiciones.

(NCES 2013, pp. 12-13)

Contexto y alcance de la tarea de evaluación. Asociamos la tarea de evaluación a un contexto social, según los contextos definidos por el ICFES. Esta tarea permite dar cuenta de algunas de las explicaciones de la afirmación, específicamente de los literales c, e y f.