NOTA SOBRE LAS GEOMETRIAS PLANAS NO EUCLIDEAS

Después de que el lector se haya informado bien del juicio crítico en referencia y de la manera como se ha confeccionado la Trigonometría plana hiperbólica, se convencerá de que Gauss, Lobattcheffsky y Riemann, y en general los que han estudiado a fondo y detenidamente el asunto, han tenido forzosamente que llegar a las mismas conclusiones a que hemos llegado nosotros respecto del postulado de Euclides. Habiendo tropezado aquellos sabios cou un interesante acertijo, se guardaron de aclararlo para dejar un motivo de entretenimiento a los curiosos, presentando el enigma bajo la forma de verosimilitud de otras Geometrías planas no euclídeas.

El progreso moderno ha sido quizás la causa de que el acertijo no haya sido puesto en claro, pues los quehaceres y entretenimientos impiden al hombre moderno, en esta época de automovilismo y cinematografía, estudiar los asuntos con la debida atención. Por otra parte, se puede afirmar que hoy el mayor número de personas estudiosas, sea por falta de tiempo o sea por desconfianza en la fuerza de su propio entendimiento, prefiere recargar la memoria más bien que cultivar la inteligencia ejercitándola en la investigación de la verdad.

La confusión de conceptos que reina hoy en el mundo sabio respecto de la formación y desarrollo de las ideas cuantitativas, es indudablemente debida a las causas atrás anotadas. Tal confusión de ideas ha sido a su vez causa de que el juguete presentado por Lobattcheffsky haya tomado el carácter de inextricable misterio. En efecto, los geómetras kantianos que, antes de Lobattcheffsky, conferían a los axiomas la categoría de verdades necesarias, admitieron después la existencia lógica de espacios no euclídeos! En cambio, otros sabios que prohijan las ideas psicológicas modernas, discuten no obstante sobre las diferencias que existen entre lo que ellos han llamado espacios visual, táctil y motor y el espacio que llaman geométrico, a fin de poder deducir que este último es convencional y que, por tanto, las Geometrías euclídeas o no euclídeas no encierran verdades sino convenciones más o menos ventajosas unas que otras! Tales sabios psicólogos adulteran profundamente la psicología experimental, según la cual el cerebro, centro nervioso, ha venido transformándose paralela y progresivamente bajo la influencia resultante del conjunto de todos los sentidos y simultáneamente con ellos durante toda la historia de la vida en la labor de adaptación del sér al medio en que actúa. Según esta escuela la idea de espacio proviene del efecto resultante de todas las sensaciones en circunstancias variadísimas, pero consecuentes a la modalidad que se llama coexistencia, y además representables en la imaginación.

No se vaya a creer, por lo que acabamos de decir, que el asunto concierne a la alta Filosofía; muy al contrario, es cuestión sencilla al alcance de todos.

La posibilidad de existencia de toda figura geométrica que la imaginación pueda concebir de una manera clara, es el principio fundamental de la Geometría. Las ideas sobre tales figuras son intuitivas; al hablar en el lenguaje cartesiano se diría que son ideas innatas; según la psicología moderna, deben ser tan antiguas en la historia del desarrollo de la vida, como el mismo centro cuya forma han modelado en la lenta labor de adaptación del individuo al medio.

El lenguaje ordinario de que se ha servido la Geometría pura en la exposición de sus proposiciones, no le permite definir categóricamente los lugares geométricos, como podía hacerlo el simbolismo cuantitativo del análisis; sin embargo, la imaginación al reproducir de manera perfecta los lugares geométricos se halla en capacidad de reconocerles algunas propiedades simples, de las cuales se sirve la Geometría pina para designar las figuras, (ralando de suplir por ese medio la deficiencia anotada. ¿Pero cuántas de aquellas propiedades bastan para caracterizar los diversos lugares?

Al representar en nuestra imaginación la línea recta, por ejemplo, notamos que es la más corta entre dos cualesquiera de sus puntos, pues nos recuerda la forma del hilo en tensión; igualmente reconocemos como consecuencia de aquélla que dos rectas no pueden tener sino un solo minio común, a menos de confundirse en toda su ilimitada extensión, etc., etc.

Así fue como Euclides designó la línea recta por medio de las dos propiedades indicadas; pero bien pronto necesitó de una nueva propiedad para terminar su Geometría; esta nueva propiedad recibió el nombre de Postulado de Euclides.

Como el geómetra griego no necesitó mayor número de propiedades de la línea recta, se puede concluir (¡ue los axiomas de nuclides son necesarios y suficientes para definir cualitativamente la recta. Estos axiomas o postulados son:

1^o Entre dos puntos de un plano hay una línea que es la más corta, y es la recta. Consecuencia directa de esta propiedad es la de que dos rectas no pueden tener sino un solo punto común a menos de confundirse; y

2 ^o En un plano, por un punto fuéra de una recta no puede trazarse sino una sola paralela.

Al decir que las dos propiedades indicadas son a la vez necesarias y suficientes, se quiere significar: a) que sólo la línea recta cumple a la vez las dos condiciones, y b) que, por ejemplo, la primera propiedad no es suficiente para definir cualitativamente la recta por existir otros lugares geométricos que la verifican. Bien entendido que se trata de la manera como se razona en la Geometría pura.

Trazar sobre una faja de papel una raya y llamarla recta con la sola condición de que cumpla la primera propiedad, y considerar al papel como un plano por la condición de que la línea pueda desalojarse sobre él sin cambiar de forma, no son datos suficientes pura que se pueda edificar la Geometría del plano. En efecto, ¿se puede estar seguro de antemano de que no habrá líneas que sin ser rectas cumplan sobre ciertas superficies que no son planas, las propiedades conferidas a las rayas y al papel? Es claro que no. Se podría elaborar la Geometría de ciertas superficies de curvatura constante en la creencia de haber hecho una Geometría plana. Tal es lo acontecido con la Geometría llamada hiperbólica, la cual estudia las propiedades de las figuras formadas por círculos máximos de una esfera imaginaria sobre la cual se mueven dichas figuras. El razonamiento geométrico puro puede, pues, conducir a equivocaciones aun no sospechadas antes de Lobattcheffsky.

Se llama geodésica la línea más corta que une dos puntos de una superficie. Ahora bien: en las superficies de curvatura constante, las geodésicas son las secciones normales. Si, pues, se hace caso omiso del postulado, el raciocinio geométrico no podría conducir sino a propiedades comunes a todas las superficies de curvatura constante, positiva, nula o negativa. Pero si en vez de suprimir el Postulado de Euclides se le sustituye por el de Lobattchefsky, se hallan entonces las propiedades de las figuras de curvatura negativa, etc.

Algunos, sea por haberse dado cuenta de que el Postulado de Euclides no venía a ser sino una condición de incompatibilidad de ecuaciones de primer grado, como lo veremos después, sea por intuición directa, creyeron posible deducir el citado principio como consecuencia de que dos rectas no pueden tener sino un sólo punto común sin confundirse en toda su extensión. Sus tentativas no podían tener éxito, pues emplearon el método usual de la Geometría pura, en el cual no es posible distinguir cuándo las rayas y el papel representan rectas en un plano y cuándo son circunferencias de círculos máximos sobre la esfera real o imaginaria, y el postulado siendo como es propiedad exclusiva de la recta, no podía deducirse como consecuencia lógica de raciocinios aplicables a especies distintas de líneas y de superficies.

Los geómetras, no habiéndose dado cuenta en un principio de la circunstancia que hemos anotado, e insistiendo en la demostración de la citada propiedad euclídea, intentaron llegar a ella por el método del absurdo. Lobattcheffsky sustituyó al Postulado de Euclides el de que por un punto fuéra de una recta y en el plano del punto y de la recta se pueden trazar infinidad de rectas no secantes contenidas dentro de un ángulo desconocido. Pero en lugar de llegar a contradicción vio que una nueva Geometría (la de las superficies de curvatura negativa constante) tan lógica como la del plano deducida por Euclides, se desarrollaba ante la fuerza de sus razonamientos. El geómetra ruso estudió las propiedades de tales figuras en la errónea creencia de que descubría una nueva Geometría plana no euclídea.

La línea recta, siendo una línea de curvatura nula podrá considerarse como el límite de una circunferencia de círculo máximo de esfera real o imaginaria, cuando el módulo del radio de la esfera crece más y más. En realidad las fórmulas de la Trigonometría esférica real y de la Trigonometría esférica imaginaria o hiperbólica, se reducen para mod. R = ∞ a las de la Trigonometría rectilínea.

En la deducción de la Geometría plana hiperbólica, las circunferencias de los círculos máximos de esfera imaginaria se consideraron como líneas rectas sin que nada hiciese recelar de su verdadera forma. Se podría creer que el mismo éxito se hallaría al tratar de establecer la Trigonometría esférica imaginaria como si fuese Trigonometría plana no euclídea; pero tal cosa no es posible, lo cual proviene de que si bien es cierto que la recta puede considerarse como el límite de la circunferencia de un círculo de curvatura positiva o negativa, tal límite no es alcanzado, pues hay una diferencia sustancial entre la recta y las líneas de curvatura constante positiva o negativa, como que la recta no cierra mientras las otras son curvas cerradas. Tal diferencia es de capital importancia desde el punto de vista del análisis, pues el espacio descrito por un punto móvil que se desaloja en determinado sentido no puede servir de variable sino a funciones uniformes de la posición ocupada por aquel punto; mientras que el espacio descrito por un punto que recorre una curva cerrada en determinado sentido puedo servir de variable para expresar funciones periódicas de aquel espacio, las cuales no tienen sino un solo valor para cada posición del punto sobre la curva. Tales funciones serán de período real o imaginario según que la circunferencia sea de radio real o de radio imaginario.

Lobattcheffsky no salió de su error sino cuando se propuso crear la Trigonometría correspondiente a su nueva Geometría.

La teoría de las variables complejas debida a Cauchy permite estudiar las funciones circulares y las hiperbólicas independientemente de toda consideración geométrica, como simples series de potencias enteras y positivas convergentes para todos los valores de las variables. Las funciones circulares senx y cosx siendo funciones periódicas de w cuyo período real es designado por 2 ϖ, pueden determinarse independientemente de toda consideración geométrica por medio de los lazos de Prouet. Las funciones hiperbólicas S (x) y C (x) son también periódicas, pero su período o 2ϖi es imaginario¹.

Las funciones sen x y cos x son holomorfas y toman valores iguales pero signos contrarios cuando x crece en un múltiple impar de semiperíodos ϖ ; en consecuencia la función tang x que es el cociente del senx por cos x será meromorfa cuyos polos son los ceros de cos x y admitirá por período al semiperíodo ϖ. Igualmente T(x) cociente de S(x) por C(x) admite por período a

Sea (Fig. 1) L'L una recta indefinida, P un punto situado fuéra de ella, PO la perpendicular bajada de P sobre LL’ y O el pie de esa perpendicular. Tomando a O como origen de las distancias contadas sobre la recta L'L y considerando las magnitudes situadas a la derecha de O tales como Om como positivas y las Om' como negativas, un punto móvil que recorra a L'L de izquierda a derecha tendrá a cada instante una distancia z a O la cual variará de una manera continua desde - ∞ hasta + ∞. El punto móvil no pasará sino una sola vez por cada punto m de la recta y no podrá ir de m' a m sino pasando por O, a menos de salirse de la recta.

Si se une m al punto P se tendrá una nueva recta única, pues por dos puntos no se puede hacer pasar sino una sola recta. Si por P se traza una recta cualquiera en el plano, ésta no podrá cortar a L o L’ en más de un punto y sólo a una distancia real Om = z, la cual podrá hacerse infinita.

Haciendo centro en P y con un radio cualquiera tracemos el círculo À MBM'A el cual quedará cortado en dos partes iguales por la recta MP que formará un diámetro, pues pasa por el centro P.

Las propiedades de rectas y círculos de que acabamos de servirnos son independientes del Postulado de Euclides y no nos detendremos, pues, a demostrarlas, lo cual sería muy sencillo. Tendremos:

arc.MBM' = arc.M'AM = media circunferencia = ¹ / ₂ C

llamando C la circunferencia entera.

Imaginemos un punto móvil que partiendo de A en el sentido AMBM' recorra la circunferencia. Dicho punto pasará y repasará sucesivamente por los puntos M y M' a. cada nueva vuelta. Los espacios recorridos por el móvil cada vez que pasa por M estarán dados por la fórmula AM + n.C en donde n representa el número de vueltas dadas. Los espacios recorridos por el mismo móvil cada vez que pasa por M’ serán AM + (n + ¹ / ₂ ) C.

Tomemos por unidad para medir arcos contados sobre la circunferencia AMBM'A un arco tal que la circunferencia entera valga 2ϖ y por tanto ϖ la semicircunferencia. Llamando β₀, la medida, en esa unidad, del arco AM, las dos series de arcos que terminan en M y M’ y que determinan una recta única M'PMm serán designadas por los valores siguientes:

(A) En M......β = cc + 2nϖ En M'......β’ = β₀ + (2n + 1)ϖ.

Ahora bien: a cada valor real y finito de z corresponde un punto m de la recta, el cual unido al punto P por medio de la recta Pm cortará a la circunferencia en dos puntos opuestos M y M' a los cuales corresponden, respectivamente, las dos series de arcos (A), las cuales dan para la función tang (β) un solo valor, a saber:

tang (β) - tang (β₀ + 2nϖ) = tang(β₀ + (2n + 1)ϖ) = tangβ'

Sabemos, además, que tanto z como tang β pueden variar desde - ∞ hasta + ∞.

Recíprocamente, dado un valor de tang β, se hallarán dos series (A) de arcos, los cuales determinan una recta única Pm, la cual cortará a L'OL en un punto único m a distancia z = Om. La uniformidad recíproca de las variables z y tang(β) está, pues, rigurosamente establecida, pues ambas cantidades son reales, varían de - ∞ a + ∞ y ambas son funciones periódicas del mismo período de una tercera variable cíclica β; de manera que a cada valor particular de z no corresponde sino un valor particular de tang(β) y recíprocamente.

Podemos, pues, concluir que z y tang(β) están ligadas por una ecuación de la forma

A z. tang (β) + B z + C tang (β) + D = o. (1)

La determinación de los coeficientes es fácil. Para z = o se halla β₀ = o y por tanto tang (β) = o. Se tendrá, pues, D = o. Así, la ecuación puede reducirse a

A z. tang (β) + Bz + C tang (β) = o. (1)'

Habiendo tomado las magnitudes Om hacia la derecha como valores positivos para z y los arcos siendo medidos en el sentido atrás indicado, resultará que z y tang(β) tendrán siempre el mismo signo. Por tanto, haciendo z negativa, tendremos también que hacer negativa a tang(β), lo que da:

A z. tang (β) - Bz - C tang (β) = o. (1)"

Sumando (1)' y (1)" se hallará: 2 A z. tang (β) - o De donde resulta que A = o y por tanto, la relación se reduce a: Bz + C tang (β) = o O bien a z = g tang (β) (I)

pues deberá ser una magnitud positiva para que z y tang(β) tengan el mismo signo.

Si damos a β cualquiera de las dos series de valores

o se tendrá : tang β₁, = tang β₂ = tang ϖ/2 = ∞

Y por tanto (I) dará: z = ∞.

Las dos series de arcos no definen sino un mismo diámetro del círculo AMBM'A el cual es perpendicular a PO. En consecuencia no habrá sino una sola recta trazada por P que no corta a L'OL. Esta recta es la perpendicular a PO. Cualquiera otro valor de β dará valor finito para tang β y por tanto, para z. (Postulado de Euclides).

Grande ha debido ser la sorpresa de Lobattcheffsky al hallarse, cuando menos lo esperaba, frente a frente con el postulado de Euclides. ¿Por qué motivo no había hallado antes contradicción alguna en sus raciocinios impecables al suponer falsa la propiedad euclídea de las rectas? La respuesta era clara: no había razonado con rectas situadas en un plano, sino sobre otra clase de líneas y superficies.

¿Cuáles eran esas superficies y esas líneas? En sus raciocinios, Lobattcheffsky había encontrado que la suma de los tres ángulos de un triángulo era menor que dos rectos; precisamente lo contrario de lo que acontece con los triángulos esféricos en donde el exceso esférico es la relación del área del triángulo al cuadrado del radio de la esfera. Si, pues, el radio de la esfera se hiciese imaginario, su cuadrado se haría negativo y el exceso esférico se convertiría en defecto, tal y conforme corresponde al caso estudiado. Lobattcheffsky había, pues, razonado sobre una esfera imaginaria considerada como plano y con círculos máximos de tal esfera considerados como rectas.

Los razonamientos de la Geometría pura son más delicados de lo que se pudiera creer debido al empleo exclusivo del lenguaje ordinario.

Las fórmulas de la Trigonometría correspondiente a la Geometría de Lobattcheffsky son, pues, las de la Trigonometría esférica imaginaria, como vamos a demostrarlo.

Las fórmulas fundamentales de la Trigonometría esférica real son:

Llamemos α β y γ los lados del triángulo esférico referidos a una unidad definida distinta del radio de la esfera y R el radio de ésta en la misma unidad. Las fórmulas se harán

Si en estas fórmulas hacemos tendremos:

Sustituyendo estos valores en las formulas anteriores obtendremos las formulas fundamentales de la trigonometría esférica imaginaria, así:

Hagamos y tendremos, en ese caso particular:

De las últimas dos se deduce:

Volviendo sobre la figura 2ª supondremos que las líneas que habíamos considerado como restas sean sino círculos máximos de la esfera imaginaria cuyo radio R tuviese por modulo K.

Hagamos γ=z β=PO y C=θ Tendremos

Como el punto P lo superponemos fijo respecto de L’L se tendrá que β y por tanto será contante; y llamando A esta constante, se tendrá la formula (γ)

De formula (γ) pueden deducirse las tres fórmulas fundamentales de la trigonometría imaginaria, como lo ha hecho Lobattcheffsky.

La fórmula (γ) puede, por otra parte, establecerse directamente aplicando la fórmula de la relación de dos funciones recíprocamente uniformes cuando se cambia el plano por una esfera imaginaria y las rectas por círculos máximos de tal esfera.

Sea (Fig. 2) la representación simbólica de tal esfera; H'L'OmLHm' un círculo máximo, y k el módulo de la unidad de longitud, de manera que la circunferencia valga 2ϖki; P un punto cualquiera de la superficie, OPO' un círculo máximo perpendicular al anterior.

Sea m un punto de la primera circunferencia, y pongamos mO = z.

Sea m’ el punto diametralmente opuesto; se tendrá:

o representando a por i OmHm' = z + ϖki.

Supongamos un punto ficticio que describe la circunferencia OmHBO'm'H ; cada vez que pasa por m y por m' el arco descrito tendrá por valor:

En m .... z + 2 ϖnki En m'.... z + (2n + 1) ϖki

Tomando por variable cíclica la relación del arco descrito al módulo k de la unidad elegida, los valores de tal variable φ serán:

En m.... En m’....

Como la tangente hiperbólica admite por período ϖi resultará que

Tracemos la circunferencia AMBM' con polo en P y consideremos un punto móvil que la recorra. Tomemos una variable cíclica representada por la relación del arco descrito por el punto a una unidad tal que la circunferencia valga 2ϖ. El círculo máximo mPm' cortará la circunferencia en cuestión en dos puntos opuestos M y M' los cuales corresponden a los valores de la variable cíclica θ, así:

En M .... 0 = AM + 2ϖn En M' .... θ' = AM + (2ϖ + 1)n.

Como la tangente circular admite por período a resultará que

tang θ = tang (AM + 2 ϖn) = tang (AM + (2 ϖ + 1) n) = tang θ

Cuando el móvil que recorre la circunferencia H'L'OmLH, cada vez que pasa por m si se traza la circunferencia máxima mMPM'm' se tendrá un valor para la tangente hiperbólica de la variable f y también un valor para la tangente circular de la variable θ . Si se da el valor de T(φ) se tendrán dos puntos m y m' correspondientes a una sola circunferencia máxima, la cual corta en dos puntos M y M' a la circunferencia de polo P y por tanto, un solo valor de tang θ. Recíprocamente a un valor de tang θ corresponden dos puntos M y M' opuestos, por los cuales no pasa sino una sola circunferencia máxima mPm'. A los puntos m y m' corresponden dos series de valores de la variable cíclica φ y φ’ los cuales dan un valor único para la tangente hiperbólica T(φ).

Las funciones T(φ) Y tangθ son recíprocamente uniformes, de lo cual se deduce fácilmente la formula (β):

Considerando, pues, las líneas como circunferencias de círculos máximos de esfera imaginaria, se puede establecer la fórmula (β) y por tanto, las fórmulas de la Trigonometría esférica imaginaria.

Cuando se consideran rectas las líneas L'L no es posible establecer con rigor la fórmula (β) sino haciendo caso omiso de los valores imaginarios de la variable, a saber:

y lo cual no es admisible.

Además, ¿cómo se podría justificar la introducción de la constante k ? ¿Qué significaría esa, entonces, misteriosa constante?².

Si en lugar de considerar imaginario el radio de la esfera lo hubiésemos considerado real, los arcos terminados en m y m' serían:

En M En m’

Como la tangente circular admite por período ϖ resulta que tang φ = tang φ’ y habría perfecta uniformidad recíproca entre ésta y tang θ, de donde se deducirla que de la cual se deducirían, a su vez, las fórmulas de la Trigonometría esférica real.

En resumen: La Geometría cíe Lobattcheffsky es verdadera, sin que por ello dejen de serlo las de Euclides y Riemann; pero mientras la primera se refiere al estudio de las propiedades de las figuras situadas sobre superficies de curvatura negativa y la última al estudio de las figuras situadas sobre esferas reales, la de Euclides se refiere a las figuras planas. No hay, en el fondo, contradicción entre el postulado de Euclides y los de Lobattcheffsky y Riemann. La suma de los ángulos de un triángulo esférico es mayor que dos rectos, sin que dejen de valer dos rectos la suma de los ángulos de un triángulo rectilíneo.

El error consiste en designar con los nombres de Geometrías planas no euclídeas a las Geometrías esféricas y en poner en duda el postulado de Euclides.

NOTA SOBRE BALISTICA EXTERIOR

ADVERTENCIA DE LA DIRECCION.-Aunque el estudio a continuación no tiene relación alguna con el tema que constituye el fundamento de los apuntes míticos de Garavito, lo insertamos aquí para dar un poco de variedad a la Revista, evitando la pesadez que podría resultar para los lectores de ella, de la insistencia sobre estos tópicos. Así continuaremos en el número próximo con el estudio de Garavito sobre las funciones hiperbólicas, que comprende la nota anterior referente a las Geometrías planas no euclídeas.