La mecánica clásica y la teoría de la relatividad

La física newtoniana quedó consignada en la obra Philosophice naturalis principia mathematica, cuya primera versión fue publicada en 1687 bajo la supervisión de Edmond Halley. Los Principia se inauguran con las definiciones de materia, masa, inercia, fuerza centrípeta, movimiento, espacio y tiempo, y se hace "la distinción entre las nociones «absolutas, verdaderas y matemáticas» de espacio, tiempo, lugar y movimiento, y las nociones «relativas, aparentes y comunes»" (^{Maudlin, 2014}, p. 40). Esta distinción será crucial en el desarrollo de la física hasta Einstein. A diferencia de la mecánica actual, las demostraciones matemáticas de los Principia son de corte puramente geométrico y no algebraico, y la carencia de técnicas algorítmicas complicó, posteriormente, su análisis detallado. Aún en algunas demostraciones de los dos primeros libros hay rasgos de cálculos de curvaturas, métodos de integración o series infinitas mediante el método de fluxiones, sin embargo, Newton no ofreció detalle alguno sobre "técnicas altamente algorítmicas" (^{Guicciardini, 2007}, p. 78). Durante el siglo XVIII se intentó aplicar matemáticas algorítmicas a la mecánica newtoniana con el fin de simplificarla, el resultado fueron dos líneas: la británica, con una metodología de corte geométrico muy al estilo estrictamente newtoniano y la francesa, que trató de alejarse del método geométrico y apostó al cálculo analítico. La obra de Newton llegó a Francia a través de Voltaire, quien, fascinado por los hallazgos de los Principia, se encargó de convencer a la marquesa de le Chatelet, "una de las mujeres matemáticas más destacadas de la historia" (^{Hacyan, 2014}, p. 15), de traducir los Principia. Luego, "tanto ella como sus colegas Maupertuis, D' Alembert y otros contribuyeron a propagar la nueva ciencia. Era necesario, sin embargo, reescribir a Newton en un lenguaje matemático más claro y manejable" (^{Hacyan, 2014, p. 15}). El trabajo por renovar los postulados dinámicos de Newton a un lenguaje matemático más simple y general atrajo la atención de muchos de los matemáticos y geómetras más ilustres de la época.

Así surge la llamada mecánica analítica, una versión algebraica de la mecánica newtoniana que permite estudiar los sistemas inerciales en igualdad de términos sin cambiar las leyes de Newton, y cuyo objetivo sería postular principios generales para deducir algebraicamente ecuaciones diferenciales de movimiento y lograr describir los fenómenos dinámicos con mayor precisión. La mecánica de Newton y las formulaciones de la analítica se agrupan todas en la denominada mecánica clásica (^{Poggi-Varaldo, et al., 2006}). El primero en trabajar una nueva mecánica fue el matemático Leonhard Euler, quien desarrolló un enfoque de la dinámica analítica con funciones que representan expresiones analíticas, dando paso a la 'desgeometrización' del cálculo en favor de funciones simbólico-matemáticas, como la fórmula f = ma para la segunda ley.

Jean Le Rond D'Alembert también contribuyó a la transformación aritmética de la mecánica newtoniana. D'Alembert estableció, a partir de la segunda ley de Newton, que el conjunto de fuerzas externas e inerciales forman un estado total de equilibrio dinámico (^{Romero, 2007}). Con ello, Euler y D'Alembert introducen la mayoría de las ecuaciones de la mecánica clásica y sus notaciones matemáticas, sin embargo, estas solo encontrarían su versión definitiva 45 años más tarde con la mecánica de Joseph Louis Lagrange. En su obra Mécanique Analytique (1788), reformuló y complementó los avances en mecánica realizados desde los Principia hasta sus días. Esta formulación desarrolla, por primera vez, un modo matemático, general y uniforme de la mecánica newtoniana que resolvía todos los problemas relacionados con el movimiento de los cuerpos. Otro físico destacado en el desarrollo de la matematización de la mecánica mediante el método analítico fue Pierre-Simon Laplace, quien introdujo los últimos descubrimientos de su época que explicaban los fenómenos anómalos en el movimiento lunar o en las órbitas de Saturno. Entre sus aportes se cuenta la famosa ecuación de Laplace reformulada luego por Poisson.

Ahora bien, la formulación lagrangiana de la mecánica newtoniana no fue la única que se hizo. William Rowan Hamilton se dedicó al estudio de las obras de Newton y Laplace para aplicar sus hallazgos en óptica a la mecánica. Hamilton se dio cuenta de que los sistemas físicos y ópticos obedecen a un principio variacional común que da como resultado una nueva formulación de la mecánica analítica, diferente de la de Lagrange y caracterizada por la denominada función hamiltoniana (H(pq) = p.q' - L), posteriormente desarrollada por Jacobi y Poisson, quienes introducen una estructura geométrica en el espacio de fases de la mecánica lagrangiana. Los resultados alcanzados por Hamilton hicieron posible su aplicación a la mecánica cuántica años más tarde. Así pues, la mecánica analítica posee dos formulaciones diferentes (lagrangiana y hamiltoniana) fundadas en la mecánica newtoniana que logran describir un mismo fenómeno a partir de métodos distintos.

Esta fue la mecánica que Einstein recibió y de la cual se apartó en aspectos esenciales. Einstein publica en 1905 la teoría de la relatividad especial o restringida. Según esta, cuando se estudia un suceso en dos sistemas de referencia distintos que se trasladan en línea recta y con un movimiento uniforme, se puede determinar objetivamente dicho suceso por medio de las transformaciones de Lorentz, es decir, las leyes de la mecánica son las mismas sin importar el sistema de referencia. En este sentido, la teoría de la relatividad restringida no dispone de un sistema de referencia privilegiado, esto es, un espacio absoluto (^{Lovett-Cline, 1980}).

La teoría de la relatividad está sustentada sobre dos principios: el principio de relatividad (todos los sistemas inerciales son equivalentes por medio de transformaciones) y el principio de constancia de la velocidad de la luz (esta se mueve siempre a la misma velocidad en cualquier sistema de referencia inercial) (^{Einstein, 1983}). El establecimiento de estos dos principios trajo consigo una nueva visión del espacio y el tiempo. Pocos años después, con los aportes de Minkowski, se unifican ambas categorías en un solo concepto: el espacio-tiempo. Según ^{Einstein (1983)}, este se corresponde con una estructura cuasi-euclidiana de la realidad conformada por tres coordenadas espaciales y una temporal.

Desde 1908 Einstein comenzó a trabajar en la generalización del principio de relatividad con el propósito de extender la teoría restringida a una que tuviera en cuenta los cambios en las aceleraciones y los efectos gravitatorios. El problema que introdujo la teoría de la relatividad general cuestionaba la distinción de la mecánica clásica entre masa pesante o gravitatoria y masa inercial, según la cual las aceleraciones horizontales dependen de la inercia de un cuerpo, en tanto que las aceleraciones verticales efectuadas por la fuerza de gravedad son siempre constantes; así, todos los cuerpos, sin importar su material o tamaño, caen siempre a la misma velocidad en ausencia de la fricción que supone el aire. Esta distinción era incompatible con el principio de relatividad, razón por la cual Einstein propuso alcanzar una equivalencia entre los dos tipos de masa.

Se comenzó la elaboración de una teoría general de la relatividad que explicara el movimiento de un cuerpo expuesto a un campo gravitatorio. De este modo, el espacio-tiempo casi euclidiano de la primera formulación se reemplazó por un espacio curvo (riemmeniano) en el que los objetos afectados por un campo gravitacional no describen líneas rectas sino geodésicas determinadas por la estructura del espacio-tiempo. Esto permitió que "las ecuaciones que expresan las leyes de la naturaleza [fueran] covariantes con respecto a todas las transformaciones continuas de las coordenadas. Este es el principio de relatividad general" (^{Einstein, 1983}, p. 158). Según ^{Einstein (1983)} la velocidad de la luz marca un límite al movimiento y velocidad de los cuerpos que, si es sobrepasado, acarrea cambios en el cuerpo que se traslada. La masa es también una medida de la energía de un cuerpo, por ello, cuando una partícula se mueve a una velocidad cercana a c (velocidad de la luz) comenzará a aumentar sus cantidades de energía.

Inconmensurabilidad y generalizaciones simbólicas

En términos generales, los elementos intraducibles entre ambas teorías son de dos clases: los términos homónimos, cuyas relaciones y significados han cambiado o han sido reformulados por completo, y los términos nuevos, que no poseen traducción directa de una teoría a otra. Entre los términos reformulados por la relatividad están la noción de fuerza, reemplazada por la idea de campo gravitatorio -según ^{Maudlin (2014)}, la idea de fuerza newtoniana no es la misma que la usada en la actualidad, aquella se corresponde "más bien con lo que hoy se llamaría un "impulso", es decir, la acción de una fuerza a través de un cierto intervalo de tiempo" (p. 46)-.

Otro ejemplo puede evidenciarse en la reformulacion de la noción de masa, la cual es constante en la mecánica clásica, en tanto que en la einsteniana es variable (^{Kuhn, 2013}), ya que una de las modificaciones esenciales que realizó Einstein a los fundamentos de la física clásica fue la coincidente "correspondencia entre la masa de un cuerpo, considerada como fuente de gravedad en la ley de la gravitación de Newton, y la masa de un cuerpo como medida de la inercia en las leyes del movimiento de Newton" (^{Lovett-Cline, 1980}, p. 291). Según ^{Einstein (1983)} "la teoría de la relatividad debe su existencia al hecho empírico de la igualdad numérica entre la masa inerte y el peso de los cuerpos, un hecho fundamental para el que la mecánica clásica no proporciona ninguna interpretación" (p. 55), de modo que fue necesaria la reformulación de este principio para hacer general la teoría de la relatividad especial, para lo cual Einstein introdujo modificaciones que, desde la persperctiva kuhniana, son recategorizaciones teóricas que permitían vincular la inercia y la gravedad.

Un tercer ejemplo lo encontramos en el término aceleración: para la relatividad "la aceleración de un cuerpo que cae no es independiente de su velocidad horizontal o energía interna del sistema" (^{Einstein, 1983}, p. 95), de tal forma que la aceleración, a diferencia de lo que ocurre en la mecánica newtoniana, no es solo una relación entre la masa y la fuerza sino que hay una relación con la gravedad, con el principio de equivalencia de las masas y con el presupuesto de un espacio continuo y relativo.

Entre los términos intraducibles está el de energía. Según la relatividad, la cantidad de energía siempre será equivalente a la masa cuando la velocidad del cuerpo se acerque a la de la luz. Así, para aumentar la velocidad de un cuerpo hay que proporcionarle energía, lo que se manifiesta en un aumento de la masa del cuerpo, lo cual contrasta con las relaciones taxonómicas de la mecánica newtoniana, en las que para aumentar la velocidad de un cuerpo es necesario imprimirle una fuerza, lo que no modifica en modo alguno su masa. De este modo, el holismo local del elemento masa, como lo señala ^{Kuhn (2002)}, impide que este concepto pueda ser individualizado y luego conservado dentro de la relatividad. En el paso de la taxonomía newtoniana a la einsteniana el concepto de masa se ha visto alterado y redefinido tanto en las relaciones con otros términos de la misma categoría como con los referentes del mundo.

Pero el cambio más radical entre la mecánica de Newton y la relatividad de Einstein se efectuó sobre las concepciones de tiempo y espacio y, por ende, sobre las estructuras generales de ambas teorías. Según ^{Kuhn (2002)} "para la transición de Newton a Einstein, el cambio de léxico más significativo reside en el vocabulario cinemático anterior para el espacio y el tiempo" (p. 95). Recuérdese que la noción de «absoluto» pasó a la mecánica relativista con la connotación de inmóvil, inactivo o compartido por todos los puntos, relación inexistente en la primera formulación de la mecánica de Newton. Cabe resaltar que el espacio-tiempo relativista también es abstracto y matematizable, rasgos que le otorgan naturaleza absoluta al tiempo y al espacio newtoniano. A partir de esta caracterización, las nociones newtonianas y einstenianas parecen relacionables o deducibles entre sí. Pero en sentido estricto no son iguales.

Con la formulación de la teoría de la relatividad especial, el tiempo y espacio absolutos pierden precisión empírica; por otra parte, "con el descubrimiento de la relatividad de la simultaneidad, el tiempo y el espacio fueron fusionados en un único continuo [...] Así el espacio físico fue extendido a un espacio de cuatro dimensiones que también incluye la dimensión del tiempo" (^{Einstein, 1983}, p. 90). En síntesis, la mecánica relativista restringida hace uso de sistemas de coordenadas para especificar el sistema de referencia que estudia, sin embargo, estas nociones -sistemas de coordenadas y sistemas inerciales- se encuentran ausentes en la formulación inicial de la mecánica newtoniana. La necesidad de un sistema de coordenadas lo introduce por la mecánica analítica para que las leyes de la teoría clásica "puedan enunciarse en forma algebraica" (^{Maudlin, 2014}, p. 63), como en la mecánica analítica posterior de Euler; por otra parte, la noción de un marco de referencia desaparece casi completamente con la relatividad general y es reemplazada por ecuaciones diferenciales.

Ahora, con respecto a los métodos de transformación que usan ambas teorías, el principio de relatividad se hace efectivo gracias a que las coordenadas entre dos sistemas de referencia pueden relacionarse entre sí a través de las transformaciones de Lorentz; sin embargo, tal principio y tales transformaciones son inexistentes en la formulación de los Principia, al igual que el uso mismo de coordenadas, que solo fueron introducidas por la mecánica analítica del siglo XVIII. Esta, por su parte, relaciona coordenadas espaciales y temporales a través de otro conjunto de transformaciones, las denominadas galileanas, que no son aplicables para la relatividad.

Después de esta presentación general, este análisis se centra, justamente, en las generalizaciones simbólicas o simbología matemática usada para expresar el mundo. Afirma Kuhn: En las ciencias, particularmente en la física, las generalizaciones suelen encontrarse ya en forma simbólica: . Otras se expresan en palabras: "la acción es igual a la reacción", "la composición química está en proporciones fijas por peso", o "Todas las células provienen de células". Nadie negará que los miembros de una comunidad científica emplean por costumbre expresiones como éstas en su trabajo [...] sin un compromiso compartido respecto de un conjunto de generalizaciones simbólicas, la lógica y las metamatemáticas aplicarían rutinariamente en el trabajo de una comunidad (1993, p. 322).

Según lo anterior, la equivalencia matemática no sería un argumento a favor de la conservación léxica entre teorías, pues "sería posible hallar núcleos estructurales que fueran simbólicamente idénticos para las dos teorías, pero la identidad de las mismas sería sólo aparente. Es decir, las dos utilizarían teorías distintas del espacio-tiempo para especificar sus funciones teóricas" (^{Kuhn, 1977}, p. 156). El autor también afirma que con las anomalías las leyes de una teoría son revisadas y modificadas para tratar de superarla, sin embargo, tras este escrutinio el científico puede hacer ecuaciones que parecen versiones examinadas, pero en realidad las nuevas secuencias de símbolos se conectan con el mundo de una manera muy diferente a las ecuaciones precedentes. En palabras de Kuhn:

Tras una revisión de este tipo -digamos la transición al vocabulario einsteniano- uno puede escribir secuencias de símbolos que parecen versiones revisadas de la segunda ley [de Newton] o de la ley de la gravedad. Pero la semejanza es engañosa, porque en las nuevas secuencias algunos símbolos se conectan a la naturaleza de un modo diferente del que los símbolos correspondientes lo hacían en las antiguas, diferenciando así situaciones que, en el vocabulario anterior, eran las mismas. Son los símbolos utilizados para términos cuya adquisición implicaba leyes que han cambiado de forma con el cambio de teoría: las diferencias entre las viejas leyes y las nuevas se reflejan en los términos adquiridos con ellas. Cada uno de los léxicos resultantes, entonces, da acceso a su propio conjunto de mundos posibles y los dos conjuntos son disjuntos. Las traducciones que involucran términos introducidos con las leyes alteradas son imposibles (2002, p. 95).

En la relatividad de Einstein, la generalización simbólica de la segunda ley de Newton (f = ma) (introducida en realidad por Euler) aunque se usará ya no representaría lo mismo que en la mecánica clásica, ya que la segunda ley de Newton, al igual que la mayoría de las generalizaciones simbólicas, es una solución estándar a problemas aprendidos por los estudiantes en su formación científica, en este sentido:

Esta expresión simbólica es, sin embargo, más un esquema de ley que una ley. Hay que volverla a escribir en una forma simbólica diferente para cada problema físico antes de que la deducción lógica y matemática se apliquen a ella. Para la caída libre se convierte en para el péndulo es mg sin para los pares de osciladores armónicos toma la forma de dos ecuaciones, la primera de las cuales se puede escribir así: m¹ + k ₁ s₁ = k₂ (d + s₂ - s₁); y así sucesivamente (^{Kuhn, 1977}, p. 442).

En efecto, la segunda ley de Newton es un esquema flexible que permite el hallazgo de relaciones de similitud que dotan con una estructura al mundo o, en palabras de Kuhn, una "gestalt newtoniana". La ecuación de la segunda ley se volvió el centro y el fundamento de la mecánica clásica, y, desde la perspectiva de la lógica, esta puede situarse en el núcleo de la teoría. Con la introducción de la mecánica relativista esta ecuación sufre cambios que modifican esa estructura del mundo newtoniana. Por ejemplo, a partir del principio de equivalencia -que afirma la igualdad entre la masa inerte y la masa gravitatoria- Einstein modifica la segunda ley del movimiento newtoniano para hacerla consistente con la idea de campo gravitatorio. Esta reformulación no solo descubre nuevas relaciones para el término masa, también redefine la noción de aceleración de un cuerpo. Según Einstein:

La ecuación de Newton del movimiento en un campo gravitatorio desarrollada completamente es: (Masa inerte). (Aceleración)= (Intensidad del campo gravitatorio). (Masa gravitatoria). Es evidente que sólo en el caso de ser numéricamente iguales las masas gravitatoria e inerte resulta la aceleración independiente de la naturaleza del cuerpo (1986, p. 114).

De ahí que en la relatividad la segunda ley de Newton sea sustituida por una ecuación de campo gravitatorio. Autores como ^{Popper (1975)} sostienen que ambas teorías poseen puntos en común, por ejemplo, la ecuación de Poisson, sin embargo, para Kuhn dicha ecuación no es newtoniana, sino que es introducida por la mecánica analítica del siglo XVIII. Sin embargo, como lo afirma ^{Einstein (1983)}, esta ecuación tuvo que ser complementada para llegar a la ecuación general de campo, es decir, cuando se está en una condición de v - c (velocidad inferior a la de la luz) la ecuación general de campo de la relatividad puede reducirse a la ecuación de Poisson usada en la mecánica clásica analítica. No obstante, la ecuación de Poisson es modificada conceptualmente en la taxonomía relativista, ya que "la estructura del campo gravitatorio difiere fundamentalmente de la que está de acuerdo con la teoría de Newton. La diferencia reside en el hecho de que el potencial gravitatorio no posee un carácter escalar sino tensorial" (^{Einstein, 1986}, p. 151). Por ello, en la ecuación general de campo Einstein introduce tensores como el de Ricci (Rmv), el de energía (Tmv) o el métrico (Gmv), que son incompatibles con las ecuaciones de la mecánica clásica. Es cierto que la ecuación de Poisson sirve como modelo para la ecuación general del campo de la relatividad, pero, con las alteraciones introducidas en este, los referentes que se toman en ambas ecuaciones varían notablemente.

Podría afirmarse, por otra parte, que al compartir la constante de gravitación universal -escrita como G = 6,67.10^-8 -, ambas teorías gozan de un aspecto conmensurable, no obstante, ^{Einstein (1986)} argumenta que con la introducción de esta constante la estructura de la gravedad descrita en la ecuación general de campo no es la misma que en la mecánica newtoniana, razón por la cual acuña una nueva constante que lleva su nombre y que se expresa como la cual relaciona el tensor de curvatura del campo gravitatorio y el tensor de energía provocado por la materia que genera al campo.

Así, aunque las ecuaciones de Einstein parezcan reformulaciones de las de Newton, estas ya no se relacionan de la misma manera con el mundo (^{Kuhn, 1977}) y, en consecuencia, la relatividad no contendría matemáticamente la mecánica newtoniana. No obstante, Einstein cree que la teoría de la relatividad no modifica grosso modo las ecuaciones matemáticas usadas en la mecánica clásica y, en este sentido, la teoría de Newton podría estar contenida como aproximación matemática en la relatividad. Pero ^{Kuhn (1977)} considera esto como un argumento circular que se basa en el afán de ratificar una traducibilidad completa, pues, aunque desde el punto de vista matemático las teorías se conserven, desde un punto de vista conceptual no son consistentes entre sí. El mismo Einstein sostiene que:

Desde el punto de vista cuantitativo [la relatividad] solo modifica la teoría de Newton en forma mínima, pero desde el punto de vista cualitativo, en cambio, la modificación es profunda. La inercia, la gravitación y el comportamiento métrico de los cuerpos y relojes fueron reducidos a una única cualidad del campo. Dicho campo, a su vez, fue reducido como dependiente de los cuerpos (1983, p. 68).

Por consiguiente, y en consonancia con la tesis de Kuhn, la teoría de la relatividad es inconmensurable con los términos básicos de la mecánica clásica, a pesar de que muchos como ^{Lakatos (1975)}, ^{Popper (1983)}, ^{Rivadulla (2003)} y el mismo ^{Einstein (1986)} sostengan que los términos compartidos por dos teorías sucesivas y separadas por una revolución científica son idénticos y, por lo tanto, no son inconmensurables. Por otra parte, ^{Kuhn (1989)} no ha negado la existencia de términos homónimos entre dos taxonomías, su punto es más bien considerar los términos intraducibles que no comparten las teorías separadas por una revolución científica.