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Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

Print version ISSN 0370-3908

Rev. acad. colomb. cienc. exact. fis. nat. vol.45 no.177 Bogotá Oct./Dec. 2021  Epub Feb 25, 2022

https://doi.org/10.18257/raccefyn.1456 

Ciencias Físicas

Convergencia estadística en medida para sucesiones triples de funciones con valores difusos

Statistical convergence in measure for triple sequences of fuzzy-valued functions

Carlos Granados1  * 

1 Estudiante de Doctorado en Matemáticas, Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia.


Resumen

En este artículo, definimos y extendemos las nociones de dos tipos de convergencia en medida, estos son interna y externa estadística convergencia para sucesiones triples de funciones medibles con valores difusos. Además, mostramos que ambas sucesiones son equivalentes en un espacio de medida finita. Adicionalmente, definimos y estudiamos la noción de estadística convergencia en medida para sucesiones triples de funciones medibles con valores difusos. En adición, mostramos y probamos la versión estadística del teorema de Egorov para sucesiones triples de funciones con valores difusos sobre un espacio de medida finita.

Palabras clave: Sucesiones triples; espacio de medida; teorema de Egorov; interna y externa estadística convergence; funciones con valores difusos

Abstract

In this paper, we define and extend the notions of two kinds of convergence in measure, these are inner and outer statistical convergence for triple sequences of fuzzy-valued measurable functions. Besides, we show that both kinds of convergence are equivalent in a finite measurable space. Additionally, we define and study the notion of statistical convergence in measure for triple sequences of fuzzy-valued measurable functions. In addition, we show and prove the statistical version of Egorov’s theorem for triple sequences of fuzzy-valued functions on a finite measure space.

Keywords: Triple sequence; Measure space; Egorov’s theorem; Outer and inner statistical convergence; Fuzzy-valued function

Introduction

La convergencia estadística, si bien se introdujo hace casi cincuenta años como una generalización de la convergencia habitual, la cual fue inicialmente introducida bajo el nombre de casi-convergencia en la publicación principal de la conocida monografía de (Zygmund, 1935). Sin embargo, en un caso general, ni los límites ni los limites estadísticos pueden calcularse o medirse con absoluta precisión. Para reflejar esta imprecisión y modelarla mediante estructuras matemáticas, se han desarrollado varios enfoques en matemáticos tales como la teoría de conjuntos difusos y la lógica difusa. Adicionalmente, esta convergencia fue estudiada por (Fast, 1951), después (Salát, 1980) y (Schoenberg, 1959) establecieron algunas de sus propiedades. En adición, en 1985 una nueva noción relacionada con este concepto fue presentada por (Fridy, 1985), esta noción es conocida como sucesión estadística de Cauchy; además, mostró que ambos conceptos son equivalentes. En la última década, la convergencia estadística se ha convertido en un área de investigación activa en donde diferentes matemáticos han estudiado las propiedades de la convergencia estadística y han aplicado este concepto en diversas áreas como en la teoría de la medida, series trigonométricas, teoría de la aproximación, espacios localmente convexos, espacios de Banach y entre otros. (Ilkhan & Kara, 2018) introdujeron otras variantes de sucesiones estadística de Cauchy en la que presentaron su relación con la completitud de Bourbaki. Los autores (Sahiner, Gurdal, & Duden, 2007) definieron y estudiaron las nociones mencionadas anteriormente en triple sucesiones, mientras que la convergencia común para sucesiones triples viene dada por (Pringsheim, 1900). (Balcerzak, Dems, & Komisarski, 2007) examinaron diferentes tipos de convergencia estadística y convergencia sobre espacios de ideales para sucesiones únicas de funciones con valores en un espacio métrico o en el conjunto R (el conjunto de números reales), es decir, puntuales, uniformes y equiestadísticos (o, ideal) convergencia. (Esi & Necdet, 2014) discutieron sobre algunos conceptos de convergencia estadística puntual y uniforme de triple sucesiones de funciones en R. Recientemente, utilizando la noción de triple sucesiones y convergencia estadística, (Granados, 2021) definió la noción de sucesiones localizadas y sucesiones localizadas de Cauchy teniendo en cuenta la noción de ideal (Kostyrko, Salat, & Wilczynski, 2000/2001). Además, (Das, Tripathy, Debnath, & Bhattacharya, 2021) definieron la noción de secuencia triple incierta compleja, en la cual estudian la convergencia estadística de sucesiones complejas sobre espacios de medidas finitas.

El término “conjuntos difusos” fue planteado por el matemático (Zadeh, 1965). Utilizó los conceptos de intersección, inclusión, relación, unión, complemento, convexidad, y así sucesivamente, para establecer la noción de conjuntos difusos. La noción de un conjunto difuso proporciona una conveniente punto de partida para la construcción de un marco conceptual paralelo en muchos aspectos al marco utilizado en el caso de conjuntos ordinarios, pero es más general que el último y, potencialmente, puede llegar a tener un alcance mucho más amplio de aplicabilidad, particularmente en los campos de clasificación e información de patrones. Esencialmente, dicho marco proporciona una forma natural de abordar problemas en los que la fuente de imprecisión es la ausencia de criterios de pertenencia a una clase en lugar de la presencia de variables aleatorias. A partir de lo mencionado anteriormente, los conjuntos difusos y la lógica difusa conectaron de manera efectiva a los científicos de las diferentes áreas del saber, por ejemplo, la ingeniería de control y la teoría de la decisión, y además los investigadores en inteligencia artificial. La utilidad y la importancia de los límites de sucesiones de conjuntos difusos, los límites (continuidad) y las derivadas de funciones de valores difusos se han aplicado en muchas áreas, por ejemplo, análisis variacional, optimización por conjuntos difusos, teoría de la estabilidad, análisis de sensibilidad, entre otros. Durante los últimos 50 años, numerosas sucesiones de números difusos y sus propiedades de convergencia han sido estudiadas y han sido bien acogidas por la comunidad científica. (Nuray & Savas, 1995) discutieron sobre la convergencia estadística en la configuración de sucesiones (simples) de números difusos, y recientemente, esta noción a través de operadores de diferencia junto con la media ponderada ha sido definida y estudiada por (Mohiuddine, Asiri, & Hazarika, 2019). El autor (Savas, 1996) presentó la idea del límite de Pringsheim de sucesiones de números difusos, y luego, en 2004, (Savas & Mursaleen, 2004) presentaron la generalización del límite de Pringsheim en sentido estadístico. La convergencia estadística ha sido estudiada en diferentes areas del saber matemático, espacios normativos difusos intuicionistas (Mursaleen & Mohiuddine, 2009), espacios Riesz localmente sólidos (Mohiuddine, Alotaibi, & Mursaleen, 2012) y entre otros. Para estudios realizados sobre números difusos, los teoremas de Tauberian con vistas a Cesáro y la sumabilidad estadísstica de Cesáro fueron obtenidos por (Canak, Totur, & O¨ nder, 2017), (O¨ nder, C¸ anak, & Totur, 2017) y para la convergencia estadística de (Talo & Bayazit, 2017). (Gong, Zhang, & Zhu, 2015) discutieron sobre la convergencia estadística y otras nociones asociadas para sucesiones únicas de funciones con valores difusos y también obtuvieron algunas sus propiedades básicas. Recientemente, (Hazarika, Alotaibi, & Mohiuddine, 2020) estudiaron la convergencia estadística en medida sobre doble sucesiones para funciones con valores difusos y obtuvieron algunas propiedades importantes las cuales serán de gran utilidad para el desarrollo de este artículo.

Nociones preliminares

En esta sección mostramos algunas nociones que son de gran utilidad para el desarrollo de este artículo.

Para cualquier conjunto A diferente de vacío, (Zadeh, 1965) definió la noción de un conjunto difuso como: Un subconjunto no vacío de A se dice que es un conjunto difuso si {(α1,y-(α1)):α1A}de A × B = [0, 1] para alguna función y-: AB = [0, 1]. Una función y-:RB = [0, 1] se dice que es un número difuso si satisface las siguientes propiedades:

  1. es convexa, es decir,

    , donde

    .

  2. es normal, es decir, existe un

    .

  3. es semi-continua por arriba, es decir, para cada

    es abierto en la topología usual de

    para todo

    . .

  4. es compacto, (cl denota el operador clausura).

A través de este artículo, denotaremos el conjunto de todos los números difusos por F( R). El conjunto ℝ puede estar en F( R) si r-FR está dado por r-1)=1 si α1 = r y r-1)= 0 si α1 ≠ r.

Para 0 < α ≤ 1, α-cortado de 𝑦 es un intervalo cerrado y acotado de ℝ que esta dado por y-α=α1R:y-α1α=y-α-,y-α+.Ahora, supongamos que y-1 y y-2 son dos números difusos, entonces la Hausdorff distancia entre y-1 y y-2 (ver (Negoita & Ralescu, 1975)) está definida como:

Dy-1,y-2=supα0,1dy-1α,y-α=supα0,1maxy-1α--y-2α-,y-1α+-y-2α+

donde D : F( R) × F( R) → [0, +∞) y d es la métrica de Hausdorff. Además, es bien sabido que para cualquier y-1,y-2,y-3,y-4 FR:

  1. es un espacio métrico completo.

  2. .

  3. .

  4. .

Lema 0.1 (Negoita & Ralescu, 1975). Sea y- FR y y-α=y-α-,y-α+Entonces los siguientes enunciados se satisfacen:

  1. .

  2. son continuas por la derecha en α = 0.

  3. son funciones continuas por la izquierda monotonas crecientes y continuas por la derecha monotonas decrecientes, respectivalemte, en (0, 1].

Una sucesión triple x = (x uvq ) tiene un Pringsheim límite L (abreviado, P-limx = L, o, L es el P-límite de x) (Pringsheim, 1900) si para cada ε > 0 existe un N  N tal que xuvq-L < ε para cualquier u, v, q > N. Para A N×N×N×y k, l, pN, δklp(A)es llamado el klpth triple parcial densidad de A si,

δklpA=A1,1,1,2,2,2,,k,l,pklp,

donde |.| representa la cardinalidad del conjunto enmarcado. Recordemos que, δ klp es un operador de medida de probabilidad sobre P1 = P ( N×N×N) con la ayuda de {(1, 1, 1), (2, 2, 2), ... , (k, l, p)}. Si

δ3A=limn,m,j1nmjun,vm,qj:u,v,qA

en el sentido de Pringsheim, es decir,

δ3A=P-limk,l,p+δklpA

existe, es llamada la triple natural densidad de A. Analogamente, esta noción puede ser definida de la siguiente manera: Sea K N×N×N y K(m, n, p)= {(m, n, p) : k ≤ m, j ≤ n, i ≤ p}. Entonces, la triple natural densidad de K está dada por

δk=P-limm,n,p+1mnpk=1mj=1ni=1pχK(m,n,p)k,j,i

si el límite existe. Además, =AN×N×N:δ3A=0se dice que es conjunto de triple densidad cero. La sucesión triple x = (x uvq ) es estadísticamente convergente (ver (Sahiner et al., 2007)) a L si dado ε > 0, el conjuntou,v,q,qn,vm,qj:xuvq-Lε tiene triple densidad cero.

Ahora, vamos a recordar algunos conceptos definidos por (Kumar, Kumar, & Bhatia, 2012).

Una sucesión triple de conjuntos difusos ( y-uvq) es estadísticamente convergente al número difuso 𝑦 0 ; esto lo denotaremos como S3-limy-uvq=y-0, si para cualquier ε > 0, la triple natural densidad cero del el conjunto B = (u, v, q) N×N×N:D(y-uvq,y-0)ε es cero, esto significa que δ3(B)= 0, en otras palabas,

u, v, qN×N×N:(y-uvq,y-0)ε.(1)

De 1, podemos observar que S3-limy-uvq=y-0si y solo si para cada ε > 0, existe T N×N×N que satisface δ3(T)= 0 tal que D(y-uvq,y-0)ε, para todo u,v,qN×N×N-T.

Resultados

Esta sección está dividida en dos partes, la primera, se discutirá sobre el Teorema de Egorov par sucesiones triples de funciones con valores difusos, y la segunda, se mostrarán los resultados obtenidos sobre convergencia estadística en medida de sucesiones triples de funciones con valores difusos.

La generalización del teorema de Egorov, un famosos y clásico resultado de la teoría de la medida, se ha presentado por varios autores en diferentes maneras. En esta sección, probamos el teorema de Egorov para sucesiones triples de funciones con valores difusos en un espacio de medida finita. Durante el desarrollo de esta sección, asumiremos que g-:a,bFR y g-klp:a,bFR son la función de valor difuso y una sucesión triple de funciones con valores difusos para todo k, l, p ∈ N, respectivamente.

Definición 0.1 Sea g-klpuna sucesión triple de funciones con valores difusos. Se dice que g-klp converge puntual estadísticamente a una función con valor difuso g- en [a, b] (en el sentido de Pringsheim), denotado por pS3limg-klpy=g-(y) o g-klppS3g-, si para todo y [a,b] y para todo y ε > 0, existe T y   tal que para todo u,v,qN×N×N-Ty, tenemos que Dg-uvqy,g-y <ε.g- se llama el límite estadístico de Pringsheim (o triple) función de g-klp.

Definición 0.2 Seag-klp una sucesión triple de funciones con valores difusos. Se dice que g-klp converge uniformemente en estadística a una función con valor difuso g- en [a, b] (en el sentido de Pringsheim), denotado por uS3-limg-uvqy=g-y en [a, b] o g-uvquS3g-, si para todo ε>0,δ3u,v,qN×N×N:Dg-uvqy,y- )ε=0, para todo y [a,b].

Definición 0.3 Sea g-klp una sucesión triple de funciones con valores difusos. Se dice que g-klp converge equi-estadísticamente a una función con valor difuso g- en [a, b] (en el sentido de Pringsheim), denotado por g-uvqeS3g-, si dado un ε>0,Gklp,ε=δklpu,v,qN×N×N:Dg-uvqy,y- )εcon respecto a y ∈ [a, b] es uniformemente convergente a la función cero. Así, g-uvqeS3g- si y solo si para todo ε,β>0, existe m, n, j ∈ N, para todo k ≥ n,l ≥ m,p ≥ j, , δklpu,v,qN×N×N:Dg-uvqy,y- )ε<β. Podemos observar que por la monotonocidad de δ klp , se puede tomar β=ε.

Observación 0.1 Podemos observar que g-uvqpS3g- si y solo si para todo y ∈ Y y para todo ε,β>0 existe m,n, j N para todo k ≥ n,l ≥ m y p ≥ j, , δklpu,v,qN×N×N:Dg-uvqy,y- )ε<β. En este caso, tomamos β = ε, y tenemos que g-uvqeS3g- g-uvqpS3g-. Adicionalmente, g-uvquS3g- implica g-uvqeS3g-

El siguiente teorema, es una versión estadística del teorema de Erogov para sucesiones triples de funciones con valores difusos.

Teorema 0.1 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida finita, y consideremos que g- y g-uvq son medibles y definidas en casi todas partes en Ω. Además, consideremos que g-uvqpS3g-en casi todas partes en Ω. Entonces, para todo ε > 0 existe un A ⊆ M tal que µ (Ω - A) < ε g-uvqAeS3g-Aen A.

Demostración: Supongamos que las funciones con valores difusos g- y g-uvq están definidas en todas partes en Ω y consideremos que g-uvqypS3g-y para todo y Ω. Ahora, para cualquier t, k, l, p  N observemos que el conjunto

W=yΩ:δklp({u,v,qN×N×N:Dg-uvqy,g-y1t)<1t}

es medible. Entonces, la función σuvqy=Dg-uvqy,g-y, y Ω es medible. Ahora, sea Euvq=σuvq-11t,)). Para todo y Ω, tenemos que y W si y solo si

1klpu=1kv=1lq=1pχEuvq(y)<1t.

Dado que

g=1klpu=1kv=1lq=1pχEuvq(y)

es medible, tenemos que W=g-1-,it.Para m, n, j  N,denotemos Υt,nmj=y Ω:kn,lm,pj, δklpu,v,qN×N×N:D g-uvqy,g-y1t})<1t}.Así, teniendo en cuenta lo mencionado previamente, podemos decir que Υt,nmjes medible. Además, tenemos que Υt,nmjΥt,n+1,m+1,j+1, para todo

En consecuencia,

Para todo m, n, j N y para todo ε > 0, definamos n(t),m(t), j(t) N tal que μΩ-Υt,ntmtjt<ε2t Fijemos

Entonces, tenemos que

μA0t=1μΩ-Υt,ntmtjt<ε

Ahora, sea

Así, μΩ-A=μA0<ε. Por lo tanto, tenemos que t N, para todo k ≥ n(t), l ≥ m(t), p ≥ j(t) y para todo y ∈ A, δklpu,v,qN×N×N:D g-uvqy,g-y1t})<1t}. Esto prueba que g-uvqAeS3g-Aen A.

Corolario 0.1 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida finita, y consideremos que g- y g-uvq son medibles y definidas en casi todas partes en Ω. Entonces, g-uvqpS3g- en casi todas partes en Ω si y solo si existe una sucesión (A n ) de conjuntos de M tal que g-uvqAneS3g-Anen A n para todo

Demostración: Supongamos que g- y g-uvq son medibles y definidas en casi todas partes en Ω. Además, consideremos que g-uvqpS3g- en casi todas partes en Ω. Entonces, la prueba se sigue si consideramos ε=1n para todo n N en el Teorema 0.1.

Ahora, supongamos que g-uvqAneS3g-Anen A n para todo n. Entonces, tenemos que g-uvqAnpS3g-An en A n para todo n. Por lo tanto, concluimos que g-uvqpS3g- en casi todas partes en Ω.

Teniendo en cuenta el Teorema 0.1 y el Corolario 0.1, se mostró que la clásica versión estadística del teorema de Ergovod se puede extender a sucesiones triples de funciones con valores difusos en un espacio de medida finita (Ω, M, µ). Estos resultados también fueron estudiados para sucesiones dobles por (Hazarika et al., 2020).

A continuación, procedemos a definir, estudiar y extender las nociones de convergencia estadística externa e interna en la medida para sucesiones triples de funciones con valores difusos. Además, se demuestra que estas dos nociones son equivalentes. Para conocer más detalles sobre la mensurabilidad de integrales de funciones con valores difusos, ver ((Kim & Ghil, 1997) y (Zhang, 2001)).

Definición 0.4 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida. Supongamos que L0 es el conjunto de todas las las funciones medibles con valor difuso definidas en casi todas partes en Ω. Consideremos que g-uvq , g-  L0. La externa convergencia estadística en medida de una triple sucesión de funciones medibles con valores difusos g-uvqa una función medible con valor de difuso g-, se define como

δklpu,v,qN×N×N:μ ({{yΩ:D(g-uvqy,g-y)t}τ})η})0 si k,l,p    (2)

para cualquier q, τ, η > 0. Esto lo denotaremos como g-uvqδ3,μg-. Si le cambiamos el orden a 2, obtenemos la interna convergencia estadística en medida de una triple sucesión de funciones medibles con valores difusos g-uvqa una función medible con valor de difuso g-, la cual se define como

μ({{yΩ:δklpu,v,qN×N×N: D(g-uvqy,g-y)t}τ})η})0 si k,l,p

Esto lo denotaremos como g-uvqμ,δ3g-.

Teorema 0.2 Sea (ω, M, µ) un espacio de medida y supongamos que g-, g-uvqL0. Entonces, los siguientes enunciados se satisfacen:

Si entonces

Si Entonces donde

Demostración: Dado que δklp: P10,1k,l,pN es una medida de probabilidad, μ×δklp es una medida producto sobre la álgebra producto MP1 de subconjuntos de Ω×N×N×N. Ahora, para un q > 0, tenemos que Sq={y,u,v,qΩ×N×N×N:g-uvqy,y-)q}. Definamos una función ϕ:Ω×N×N×NR donde ϕ(y,u,v,q=Dg-uvqy,g-y,(y,u,v,q)Ω×N×N×N es MP1-medible. Por lo tanto, SqMP1. Ahora, para cualquier BΩ×N×N×N, definamos By={u,v,qN×N×N:(y=u,v,q)B si yΩ, y Bu,v,q={yΩ:(y,=u,v,q)B si u,v,qN×N×N.

Para probar (1), debemos probar que

ε,η>0,k0,l0,p0N,kk0,ll0,pp0,μ({yΩ:δklp(Sqy)η})<ε   (3)

para η > 0 y ε > 0. Dado que g-uvqμ,δ3g-, para un k0, l0, p0N y para todo k ≥ k0, l ≥ l0 y p ≥ p0, tenemos que.

δklp({u,v,qN×N×N:μ(Squ,v,q)1})<η3    (4)

δklp({u,v,qN×N×N:μ(Squ,v,q)ηε6})<ηε6.   (5)

Ahora, consideremos que E = {(u, v, q) N×N×N: µ(S q (u, v, q)) < 1}. Entonces, de (4) tenemos que δklpN×N×N-E<η3, para todo k ≥ k0, l ≥ l0 y p ≥ p0. Por lo tanto, para todo k ≥ k0, l ≥ l0 y p ≥ p0 tenemos que

μ({yΩ:δklp(Sqy)η})

μ({yΩ:δklp(SqyE)η3})+μ({yΩ:δklp(Sqy-E)η3})

μ({yΩ:δklp(SqyE)η3}).

Ahora, sea Sq*=SqΩ×E. De esto obtenemos que, Sq*y=Sq(y)E (para y ∈ Ω) y Sq*u,v,q=Squ,v,q (para (u, v, q) ∈ E).

Para obtener la relación de (3), es suficiente si probamos que para todo k ≥ k0, l ≥ l0 y p ≥ p0,

μ({yΩ:δklp(Sq*y)η3<ε. (6)

Para el conjunto Sq*Ω×E y para todo k, l, p N, aplicando el teorema de Fubini para la función caracteristica de Sq* de una medida finita μ×δklp En consecuencia,

Sq*=u,v,qE({u,v,q×Squ,v,q),

donde μ(Squ,v,q)<1 para todo (u, v, q) ∈ E y δklpu,v,q=0 para todo u > k, v > l y q > p. Así,

Eμ(Sq*u,v,q)dudvdq=μ×δklpSη*=Ωδklp(Sη*(y))dy.

Asumiendo k0, l0 y p0 tal que k ≥ k0, l ≥ l0 y p ≥ p0, tenemos que

ηε6>ηε6+δklp({u,v,qN×N×N:μ(Squ,v,q)ηε6})

{u,v,qE:μ(Squ,v,q)<ηε6}μ(Squ,v,q)dudvdq

+{u,v,qE:μ(Squ,v,q)<ηε6}1dudvdq

Eμ(Squ,v,q)dudvdq

=Eμ(Sq*u,v,q)dudvdq

=Ωδklp(Sq*y)dy

={yΩ:δklp(Sq*y)η3}δklp(Sq*y)dy

η3μ({yΩ:δklp(Sq*y)η3}),

y esto muestra que la estricta desigualdad (6) es verdadera.

2. Supongamos que μΩ<. Para q > 0. Para probar (2), necesitamos mostrar que para todo ε, η > 0, existe k0, l0, p0 ∈ℕ para todo k ≥ k0, l ≥ l0 y p ≥ p0, δklp({u,v,qN×N×N:μ(Squ,v,q)η})<ε

Dado que g-uvqμ,δ3g-, donde k0, l0, p0N para todo k ≥ k0, l ≥ l0 y p ≥ p0, tenemos que μ({yΩ:δ3klp(Sq(y))ηε3μ(Ω)})<ηε3, para todo ε > 0 y η > 0 dados.

Aplicando el teorema de Fubini para la función caracteristica de SqΩ×N×N×N, tenemos que

Ω:δklpSq(y))dy=(μ×:δklp)Sq=N×N×Nμ(Sq*u,v,q)dudvdq

Ahora, asumiendo k0, l0, p0N para todo k ≥ k0, l ≥ l0 y p ≥ p0, obtenemos que.

ηε>ηεμΩ3μ(Ω)+μ({yΩ:δklp(Sqy)ηε3μΩ})

Ωδklp(Sq*y)dy

=N×N×Nμ(Squ,v,q)dudvdq

{u,v,qN×N×N:μ(Squ,v,q)η}μ(Squ,v,q)dudvdq

ηδklp({u,v,qN×N×N:μ(Squ,v,q)η}).

Esto completa la demostración.

El Teorema 0.2 muestra que las convergencias de la Definición 0.4 son equivalentes si Ω es un espacio de medida finito. Por lo tanto, considerando el espacio de medida finito Ω, definimos la convergencia en medida como lo muestra la Definición 0.5.

Definición 0.5 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida finita. Consideremos que g-uvq,g-L0 Una triple sucesión de funciones medibles con valores difusos g-uvq es convergente en medida a una función medible con valores difusos g- si μ({yΩ:D(g-uvqy,g-y)q})converge a 0 para todo q > 0. Esto lo denotaremos como g-uvqμg-.

Definición 0.6 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida finita. Consideremos que g-uvq,g-L0 Una triple sucesión de funciones medibles con valores difusos g-uvq es estadísticamente convergente en medida a una función medible con valores difusos g- si μ({yΩ:D(g-uvqy,g-y)q}) es estadísticamente convergente a cero para todo q > 0. Esto lo denotaremos como g-uvqμS3g-.

Proposición 0.1 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida finita y consideremos que g-uvq,g-L0 Entonces g-uvqμS3g- implica g-uvqμS3g-

Demostración: Es consecuencia directa de las definciones 0.2 y 0.6.

Teorema 0.3 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida y sea g-uvq,g-L0. Si la triple sucesión de funciones con valores difusos g-uvq converge puntualmente estadísticamente a una función con valores difusos 𝑔 casi en todas partes sobre Ω, entonces g-uvqμS3g-.

Demostración: Supongamos que g-uvq(y)pS3g-(y) casi en todas partes sobre Ω. Del Teorema 0.2 podemos inferir que g-uvq(y)μ,δ3g-(y) es equivalente a g-uvq(y)μS3g-(y). Así, para probar el resultado, vamos a probar que g-uvq(y)μ,δ3g-(y).

Supongamos que para todo ε > 0 y q > 0. Por el Teorema 0.1 tenemos que A ⊂ M tal que g-uvqAeS3g-A y μΩ-A<ε. Ahora, para indexaciones m, n e i, tenemos que δklp({u,v,qN×N×N:D(g-uvqy,g-y))q})<q para todo k ≥ m, l ≥ n y p ≥ i, e y ∈ A. Así, para todo k ≥ m, l ≥ n y p ≥ i, tenemos que {yΩ:δklp({(u,v,q)N×N×N:D(g-uvqy,g-y)q})q}Ω-A. Por lo tanto, para todo k ≥ m, l ≥ n y pi,μ({yΩ:δklp({(u,v,q)N×N×N:D(g-uvqy,g-y)q})q})<ε.

Teorema 0.4 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida finito y consideremos que g-uvq,g-L0. Si g-uvqpS3g- casi en todas partes sobre Ω, entonces g-uvq(y)μS3g-(y).

Demostración: Para q, ε > 0 dados y por el Teorema 0.1, existe un A ⊂ Ω tal que g-uvqAeS3g-A sobre A y μΩ-A<ε. Ahora, consideremos m, n, i N tal que δklp({u,v,qN×N×N:D(g-uvqy,g-y)q})<q, para todo k ≥ m, l ≥ n y p ≥ i, y y ∈ A. En consecuencia, {yΩ:δklp({(u,v,q)N×N×N:D(g-uvqy,g-y)q})q}Ω-A, para todo k ≥ m, l ≥ n y p ≥ i. Por lo tanto, concluimos que μ {yΩ:δklp({(u,v,q)N×N×N:D(g-uvqy,g-y)q})q}<ε.

Corolario 0.2 Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida finito y consideremos que g-uvq,g-L0. Si g-uvqyμS3g-y, entonces existe una sub-sucesión g-umvnqi de g-uvq tal que g-umvnqi(y)pS3g-(y) casi en todas partes sobre Ω.

Demostración: Supongamos que g-uvqyμS3g-y, así, cualquier sub-sucesión g-umvnqi de g-uvq converge estadísticamente en medida a g- Por lo tanto, g-uvqtiene una subsucesión que converge estadísticamente en medida a g- casi en todas partes sobre Ω. Esto significa que g-umvnqi(y)pS3g-(y) casi en todas partes sobre Ω.

Conclusión

En este artículo, probamos la versión estadística del teorema de Egorov para secuencias triples de funciones con valores difusos definidas en un espacio de medida finita (Ω, M, µ). Además, definimos las nociones de convergencia estadística externa e interna para sucesiones triples de funciones medibles con valores difusos y se demostró que estos dos tipos de convergencia estadística son equivalentes si la medida es finita. Por otra parte, introdujimos una nueva noción de convergencia estadística en medida para secesiones triples de funciones medibles con valores difusos sobre espacios de medida finita y obtuvimos algunos resultados interesantes.

Por otro lado, como continuación del presente artículo, se puede definir la noción de convergencia uniformemente estadística en medida y estudiar algunas relaciones entre las nociones introducidas en este documento. Adicionalmente, se puede extender el estudio de las convergencias definidas y estudiadas en este artículo sobre la convergencia lacunary estadística (Fridy & Orhan, 1993), espacios de ideales teniendo en cuenta los estudios realizados sobre convergencia de ideales para sucesiones triples (ver (Kostyrko et al., 2000/2001); (Sahiner & Tripathy, 2008)), espacios normados neutrosóficos (Granados & Dhital, 2021), sucesiones inciertas complejas (Das et al., 2021) y como aplicación para los investigadores que estudian la teoría de aproximación y la teoría de sumabilidad estadística, pueden aplicar teoremas de aproximación de tipo de Korovkin para funciones de tres variables utilizando los métodos de convergencia definidos en este artículo.

Agradecimientos

El autor agradece a los revisores y al editor por sus comentarios sobre el artículo que mejoraron la presentación del artículo.

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Citación: Granados C. Convergencia estadística en medida para sucesiones triples de funciones con valores difusos. Rev. Acad. Colomb. Cienc. Ex. Fis. Nat. 45(177):1011-1021, octubre-diciembre de 2021. doi: https://doi.org/10.18257/raccefyn.1456

Editor: Francisco José Marcellán Español

Recibido: 18 de Abril de 2021; Aprobado: 26 de Agosto de 2021; Publicado: 15 de Diciembre de 2021

*Correspondencia: Carlos Granados; carlosgranadosortiz@outlook.es

Conflicto de intereses

El autor declara no tener conflicto de intereses con respecto al contenido de este artículo

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