Fundamentos conceptuales

Cálculo de enunciados, espacio de fases y proposiciones experimentales. Dado un sistema físico X, una observación de X es una asignación numérica x ₁, …, x _n tal que mantiene una correspondencia con cada μ _k , donde μ ₁,…, μ _n denotan las mediciones. Un punto cualquiera (x ₁, …, x _n ) es determinado por cierta medida μ ₁,…, μ _n . Como explican ^{Birkhoff & von Neumann (1936)}: “an ‘observation’ of a physiccal system X can be described generally as a writing down of the readings from various compatible measurements”. En este contexto, las predicciones son comprendidas como aquellas circunstancias en las que cierto punto (x ₁, …, x _n ) pertenece a un subconjunto A de un espacio tipo (x ₁, …, x _n ). Un espacio de observación de X consiste en un espacio tipo (x₁, ..., x_n) que se encuentra en relación con X. Así pues, se denominan proposiciones experimentales a los subconjuntos A _i de los espacios de tipo (x ₁, ., x _n ) que se encuentran en relación con X, es decir, sus espacios de observación. A tales espacios de observación pertenecen los puntos (x ₁,…,x _n ) determinados por μ ₁,…, μ _n .

La representación matemática de un estado de un sistema físico es un punto p de Σ, siendo Σ un espacio de fases fijo. Se asume como hipótesis que cualquier sistema X se encuentra asociado con algún p _t en cada instante t_n. Como señalan ^{Birkhoff & von Neumann (1936)}: " Σ is a region of ordinary 2n-dimensional space" en el contexto mecánico-clásico, pero en electrodinámica " Σ is a function-space of infinitely many dimensions" y la posibilidad de determinar los puntos del espacio de fases del sistema electrodinámico depende de la especificación previa de determinadas funciones. ^{Von Neumann (1932)} empleó los espacios de Hilbert para formalizar la mecánica cuántica dado que constituyen una estructura matemática en la que la mecánica de ondas de Schrödinger y la mecánica matricial de Heisenberg son equivalentes. De modo que un sistema mecánico-cuántico Σ es un espacio de función para el cual se emplean los espacios de Hilbert, en tanto que las funciones de onda constituyen los puntos de dicho espacio. Al relacionar esto último con las proposiciones experimentales, decimos que el representante matemático de algún A _i incluido en cualquier espacio de observación relacionado con X no es más que el conjunto al que pertenecen todos los puntos del espacio de fases de X.

Todo ello ofrece los elementos para el establecimiento de un cálculo preposicional mecánico-cuántico que capte las reglas de correspondencia en virtud de las cuales el formalismo adquiere contenido físico. En nuestra propuesta se trataría de las reglas de la interpretación parcial. Debemos tener en cuenta que, dada una predicción, una medida define una asignación de números que llamamos observación, la cual pertenece a una proposición experimental incluida en un espacio de observación que se encuentra asociado al sistema X. Debido a que los subconjuntos de un espacio de fases no son ontológicamente lo mismo que los subconjuntos de un espacio de observación (pues estos subconjuntos son las proposiciones experimentales), el objetivo de la lógica cuántica consiste en esclarecer la relación entre los subconjuntos de un espacio de fases y las proposiciones experimentales en mecánica cuántica.

Si se trata de un sistema clásico, es posible obtener el momento a partir de la velocidad y la posición del estado del sistema, lo cual permite definir una correspondencia entre los subconjuntos de un espacio de observación y los de un espacio de fases en la que la relación de inclusión se preserva. La definición de dicha correspondencia puede representarse con un álgebra de Boole. Un retículo de Boole permite expresar la suma, el producto y el complemento conjuntistas, ya que tienen las mismas propiedades en cualesquiera subconjuntos de espacio de fases y proposiciones experimentales. Ahora bien, no es posible mantener la misma expresión booleana en un sistema cuántico, pues sus medidas no pueden predecirse a partir de su estado. Esta condición no permite establecer una relación biyectiva entre los subconjuntos de un espacio de fases y las proposiciones experimentales. La propuesta del R_OM consiste en que: "this situation has an exact algebraic analogue in the calculus of propositions" (^{Birkhoff & von Neumann, 1936}), definiendo ese análogo a través de un álgebra no booleana. Las condiciones de tal definición son las siguientes:

Relación de las proposiciones experimentales con los subconjuntos de un espacio de fases

Para esclarecer la relación que existe entre las proposiciones experimentales y los subconjuntos de un espacio de fases, de la cual obtendremos el cálculo proposicional del R_OM, Birkhoff y von Neumann introdujeron una definición y un postulado de carácter heurístico.

Dada una sucesión α _r ..., α _n de observaciones compatibles en X, se colige que existe una clase Ω_i∈Σ de subespacios lineales cerrados y mutuamente ortogonales. Por consiguiente, cada f∈Σ se expresa α ₁ f ₁ +α ₂ f ₂ +α ₃ f ₃ +…f _i∈ Ω_i.. A partir de tal indicación, ^{Birkhoff & von Neumann (1936)} elabora la siguiente definición:

"By the 'mathematical representative ' of a subset A of any observation-space (determined by compatible observations α ₁ ..., α _n ) for a quantum-mechanical system X, will be meant the set of all points f of the phase-space of X, which are linearly determined by proper functions f _k satisfying α ₁ f _k =λ ₁ f _k ,…, α _n f _k =λ _n f _k , where (λ ₁ ,…, λ _n )∈ A".

La definición permite especificar la relación entre un subconjunto del espacio de fases y una proposición experimental. El representante matemático de cada A de un espacio de observación es el conjunto de todas las f ∈ Σ.. Esto quiere decir que el representante matemático de cualquier A_i de un espacio de observación es el conjunto al que pertenecen las funciones del espacio de fases determinadas linealmente por las funciones propias que cumplen α ₁ f _k =λ ₁ f _k ,…,α _n f _k =λ _n f _k . Es menester tener en cuenta que el conjunto A _i y el concepto de proposición experimental son coextensionales y que una función propia f _k es un punto de Σ. Lo que establece la relación consiste en que para cada λ _n ∈S: f _k satisface λ _n f _k , de tal modo que se preserva una igualdad con las observaciones tal que α _n f _k =λ _n f _k ..

De la definición se extraen dos corolarios conceptualmente relevantes. Por un lado, dado que el espacio de fases de un sistema mecánico-cuántico X es un espacio de Hilbert H, un subespacio lineal cerrado de H es un representante matemático de una proposición experimental. Por otro lado, dado que los operadores son hermíticos en un sistema mecánico-cuántico X, el complemento ortogonal de una proposición experimental es el representante matemático de la negación de dicha proposición experimental. Asimismo, siendo P y Q dos proposiciones experimentales, son equivalentes estas cláusulas:

Tales condiciones permiten a ^{Birkhoff & von Neumann (1936}) introducir el siguiente postulado necesario para definir el R_OM:

"The set-theoretical product of any two mathematical representatives of experimental propositions concerning a quantum-mechanical system, is itself the mathematical representative of an experimental proposition."

Por consiguiente, dados cualesquiera Ω₁, Ω₂∈ H, su suma lineal cerrada es el complemento ortogonal del producto cartesiano de los complementos ortogonales de y Ω₁, y Ω₂. De lo cual se deriva que:

En síntesis, un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert representa una proposición experimental de una entidad cuántica. Asimismo, es posible realizar la definición lógico-formal de una conectiva unaria, dos binarias y una relación de consecuencia lógica. Esto permite especificar un cálculo preposicional de un sistema mecánico cuántico a partir de sus proposiciones experimentales. Se trata de un cálculo preposicional "wich is formally indistinguishable from the calculus of linear subspaces with respect to set products, linear sums, and ortogonal complements and resembles the usual calculus of propositions with respect to and, or and not" (^{Birkhoff & von Neumann, 1936}). No obstante, las proposiciones cuánticas que pertenecen al conjunto de los espacios cerrados de un espacio de Hilbert no satisfacen la distribución de la disyunción en la conjunción y viceversa. Por consiguiente, no pueden ser representadas mediante un álgebra de Boole.

Lógica ortomodular

Usamos las siguientes constantes metalógicas: no, &, o, ⇒, sii, ∀, ∃, las cuales mantienen el sentido habitual. Partimos de las siguientes definiciones:

Def. 1. Un semirretículo es un par R≔ <D,•>, tal que

Def. 2. Un retículo es una tripleta R≔ <D,⊔,⊓>, tal que

Son equivalentes la definición algebraica y la definición en tanto que orden de un retículo (prueba en ^{Grätzer, 2011}). Por este motivo emplearemos la relación ≤ de orden parcial.

Def. 3. Un retículo acotado es una estructura R≔ <D,≤,1,0>, tal que

Def. 4. Un ortorretículo es una estructura R≔ <D,≤,1,0,’>, tal que

Def. 5. Un retículo ortomodular es una estructura R≔ <D,≤,1,0,’>, tal que

Un ortorretículo no satisface las leyes distributivas:

No obstante, sí cumple versiones más débiles:

A continuación establecemos una definición algebraica de los modelos lógicocuánticos que interpretan un lenguaje L≔ <F_A, C, FBF>, donde F_A es el conjunto de fórmulas atómicas, {¬, ∧} es el conjunto C de conectivas y FBF es el conjunto de fórmulas bien formadas que se generan inductivamente a partir de C y F_A del modo habitual y que expresaremos con letras griegas minúsculas. Se trata de un lenguaje simplificado debido a que la finalidad es la aclaración conceptual.

Def. 6. Un modelo M_OL del lenguaje L para una ortológica es un par <R,I>, donde

En este contexto, ⊥ y ⊤ son los valores de verdad y se leen como “falso” y “verdadero”, respectivamente.

Def. 7. Verdad en una ortológica:

Def. 8. Relación de consecuencia de una ortológica:

Γ⊨M_OL φ: φ es consecuencia de Γ en M_OL sii ∀x∈ D: ∀ψ∈ Γ(x≤v(ψ) ⇒ x≤v(φ)).

Def. 9. Un modelo M_O del lenguaje L para una lógica ortomodular es la misma estructura <R,I> de M_OL (supra, def. 6), pero siendo R un retículo ortomodular.

Def. 10. Verdad en una lógica ortomodular: las definiciones de verdad en M_O, de verdad lógica de una lógica ortomodular y de modelo de una fórmula en una lógica ortomodular son análogas a las definiciones correspondientes de una ortológica (supra, def. 7) empleando M_O.

Def. 11. Relación de consecuencia de una lógica ortomodular: la definición es análoga a la correspondiente definición de una ortológica (supra, def. 8) empleando M_O.

Lógica ortocomplementada ortomodular

Dado el fundamento conceptual de la lógica de un sistema físico, las proposiciones experimentales P de un sistema X pueden ser representadas matemáticamente por los subconjuntos Ω_i de un espacio de fases Σ. Lo que expresa una proposición experimental consiste en que una cantidad física tiene un valor y los subconjuntos Ω_i son las cualidades físicas o eventos. Asimismo, se dice que P se encuentra asociado con Ω si en tal subconjunto de Σ están contenidos aquellos estados puros (u observaciones maximales que comprueban los estados de X) por los que P se sostiene. De este modo, si p∈Ω es un estado puro, X en p verifica a Ω y a su P asociado. La estructura de la totalidad de las cualidades físicas, es decir, el conjunto de todos los eventos, es el conjunto M(Σ), el cual denota las partes medibles del espacio de fases. Las operaciones lógicas de M(Σ) en un sistema clásico son algebraicamente esquematizadas por un álgebra de Boole, esto es, un retículo distributivo complementado.

Def. 12. Un retículo de Boole es una estructura R≔ <M(Σ),1,0,⊆,−,∪,∩>, tal que

Si se los caracteriza semánticamente como conectivas lógicas, entonces obtenemos las siguientes condiciones. El estado p verifica:

En los sistemas clásicos la ley del tercio excluso se satisface, por lo que en términos semánticos tenemos que los estados deciden todo evento: ∀p∀Ω: p∈Ω o p∈−Ω. Por el contrario, en los sistemas cuánticos los estados puros establecen valores probabilísticos para los eventos. En este caso, los estados puros Ψi son funciones de onda. Tal como Chiara & Giuntini (2008) observan, dado el estado Ψ y la proposición experimental P, semánticamente caben tres posibilidades:

Podemos interpretar tales posibilidades como la proposición experimental cuántica P siendo verdadera, falsa o ni verdadera ni falsa en el estado Y para el sistema X. Tal como proponen ^{Birkhoff & von Neumann (1936)}, el representante matemático apropiado para las proposiciones experimentales cuánticas es un subespacio lineal cerrado de un espacio de Hilbert. En el caso mecánico-cuántico, C(H) es el conjunto de subespacios lineales cerrados de H. A diferencia del conjunto de eventos medibles M(Σ) del caso clásico que constituye un álgebra de Boole, el conjunto C(H) de todos los eventos de H tiene el esquema de un retículo ortomodular ortocomplementado. Esto se debe a que:

Def. 13. Un retículo ortomodular ortocomplementado es una estructura R≔ <C(H), 1,0,’,⊆,⊔,∩>, tal que

Destacan dos aspectos importantes. En primer lugar, debido al teorema de proyección, existe un isomorfismo entre el conjunto C(H) y el conjunto P(H) de todas las proyecciones de H. En segundo lugar, la disyunción cuántica no es semánticamente bivalente, de tal modo que es posible que Ψ∈Ω₁⊔Ω₂ pero, a la vez, Ψ∉Ω₁ & Ψ ∉Ω₂, es decir, la ley distributiva falla.

Retener la modularidad

El retículo de Hilbert es un ortorretículo no distributivo R= <C(H),≤,1,0,'>, por lo que prima facie era la alternativa de mayor plausibilidad para el establecimiento de las reglas del sistema preposicional de la mecánica cuántica. Sin embargo, como lo señalan ^{Dalla Chiara et al. (2007)}, se rechazó de forma deliberada la referencia al retículo de Hilbert para hacer efectivo el propósito de retener la modularidad. Explican ^{Dalla Chiara et al. (2007)} que el objetivo de von Neumann consistía en "to interpret the algebraic structure representing quantum logic as the algebra of random events in the sense of a non-commutative probability theory". Ahora bien, dicha motivación no era viable si las probabilidades se comprendían como frecuencias relativas, lo cual le condujo a estudiar la interpretación lógica con el siguiente carácter:

"Hence we conclude that the propositional calculus of quantum mechanics has the same structure as an abstract projective geometry.

Moreover, this conclusion has been obtained purely by analyzing internal properties of the calculus, in a way which involves Hilbert space only indirectly"

^{Birkhoff & von Neumann (1936)} introducen heurísticamente el presupuesto de las dimensiones finitas, en virtud de lo cual se restringe finitamente la cadena de elementos de un retículo. Así pues, "(...) the projective geometry corresponding to the complex Hilbert space represents more intrinsically the physics of the quantum world as does the Hilbert space itself." (^{Aerts, 2009}).

^{Birkhoff (1935)} mostró que las geometrías proyectivas son definibles en términos de operaciones combinatorias elementales dado el presupuesto de la finitud. Más aún, probó que son expresables en un sistema abstracto de geometría proyectiva tanto la identidad modular como los retículos finitos complementados. El recurso a la geometría proyectiva abstracta permite considerar estructuras algebraicas que presentan propiedades más débiles que el álgebra de Boole, no obstante, ^{Rédei (2009)} indica que, dentro de esa posibilidad, lo que se plantea es un cálculo proposicional formulado a partir de un retículo ortocomplementado no distributivo modular y no identificado con el retículo ortomodular no modular de todos los subespacios lineales cerrados de un espacio de Hilbert complejo de infinitas dimensiones, el cual es el retículo de Hilbert.

La ley distributiva falla en las estructuras lógicas de la mecánica cuántica. Conceptualmente, el motivo de su incumplimiento estriba en que esta ley es "a logical consequence of the compatibility of the observables" (^{Birkhoff & von Neumann, 1936}), compatibilidad que no se cumple en un sistema cuántico. Los autores ofrecen dos justificaciones del fallo de la ley distributiva en mecánica cuántica:

Para seleccionar el retículo adecuado debemos considerar las diferencias entre las siguientes tres propiedades ∀xyz∈ D:

La alternativa que proponen como condición suficiente para expresar las relaciones entre los subespacios cerrados de H es la modularidad. Esta propiedad es una versión débil de la ley distributiva y una forma fuerte de la ortomodularidad. ^{Rédei (2009)} señala dos propiedades del álgebra de Boole que pretenden ser conceptualmente análogas en el cálculo proposicional cuántico: "it represents the propositional algebra of a classical propositional calculus and it also represents the set of random events on which probability measures are defined". Si mantenemos el retículo de Hilbert y, por lo tanto, no tenemos la modularidad, entonces la estructura algebraica no tiene capacidad para expresar una "event structure for a relative frequency interpreted non-commutative probability theory" (^{Rédei, 2009}, p.19). La modularidad debe conservarse para que el cálculo preposicional pueda representar algebraicamente los eventos de una teoría de la probabilidad donde la propiedad de aditividad fuerte sea fundamental para la medida probabilística. ^{Birkhoff & von Neumann (1936)} mencionan que la modularidad "is closely related to the existence of an 'a priori thermo-dynamic wieght of states'" (la justificación se puede consultar en ^{Dalla Chiara et al., 2007}, y en ^{Rédei, 2009}, dado que ^{Birkhoff & von Neumann, 1936}, no la desarrollan). Es la conservación de la modularidad el motivo por el cual rechazaron el retículo de Hilbert, puesto que esta estructura solo es modular si H "is finite dimensional as a linear space"" (^{Dalla Chiara et al., 2007}) dada su definición en términos de geometría proyectiva. Sin embargo, para representar un sistema cuántico, H debe ser infinitamente dimensionado. Más aun, "von Neumann viewed this fact as a pathological property of the Hilbert space formalism. (...) von Neumann expected the standard Hilbert space formalism to be superseded by a mathematical theory that he hope would be more suitable for quantum mechanics" (^{Dalla Chiara et al., 2007}).

En síntesis, tal como ^{Birkhoff (1948)} lo declara, "the logic of quantum mechanics is an orthocomplemented modular lattice"". Para definir la estructura de un retículo orto-complementado modular debemos mencionar que un retículo de Dedekind es aquel cuyos elementos satisfacen la identidad modular.

Def. 14. La estructura de un retículo ortocomplementado modular es la de un retículo de Dedekin que admite un automorfismo dual x→x’, tal que ∀xy∈ D:

Def. 15. Un modelo M_OM del lenguaje L para una lógica ortocomplementada modular es la misma estructura <R,I> de M_OL (supra, def. 6), donde R es un retículo ortocomplementado modular.

Def. 16. En una lógica ortocomplementada modular (M_OM) las definiciones de verdad lógica y de modelo son análogas a las definiciones correspondientes de una ortológica (supra, def. 7) empleando M_OM.

Def. 17. Relación de consecuencia de una lógica ortocomplementada modular: la definición es análoga a la correspondiente definición de una ortológica (supra, def. 8) empleando M_OM.

Problemas

Al coordinar el R_OM con la tesis de la interpretación parcial para proponerlo como enfoque exitoso de interpretación de la mecánica cuántica, nos encontramos ciertos problemas en distintos niveles. Tomando como referencia las críticas planteadas por ^{Popper (1968)}, determinamos dos aspectos problemáticos para la discusión. En primer lugar, formalmente los propios Birkhoff y von Neumann obtuvieron resultados en la teoría de retículos posteriores a su propuesta de 1936. ^{Popper (1968)} destaca que tres de ellos problematizan la sostenibilidad del R_OM: (i) si un retículo es modular y únicamente complementado, entonces es un álgebra de Boole; (ii) si un retículo es únicamente complementado, completo y atómico, entonces es un álgebra de Boole, y (iii) si un retículo es únicamente complementado y ortocomplementado, entonces es un álgebra de Boole.

Por consiguiente, estos resultados muestran que, técnicamente, la lógica cuántica de ^{Birkhoff & von Neumann (1936)} es un álgebra de Boole: "The lattice proposed by Birkhoff and von Neumann and intended to be non-Boolean is, in fact, Boolean"" (^{Popper, 1968}). Una posible réplica es la reformulación del cálculo proposicional de Birkhoff y von Neumann como "non-Boolean and orthocomplemented, with a unique operation of orthocomplementation, but not with unique complements" (^{Popper, 1968}). Sin embargo, la contrarréplica consiste en poner de manifiesto que el retículo propuesto por Birkhoff y von Neumann es únicamente complementado, puesto que es mensurable. Al coordinar una estructura reticular con una función de medición tenemos tres reglas: (i) ∀xy∈ D, x=y sii para toda medición μ admisible, μ(x)=μ(y), (ii) para toda μ admisible hay dos números reales tal que k ₀=μ(0) & μ(1)=k ₁ y (iii) para toda μ admisible, μ(x)+μ(y)=μ(1)+μ(x⊔y). Una medición μ es “admisible” si μ(x) es una función que asigna números reales a cada elemento de su dominio, está definida en un retículo mensurable y cumple las reglas expuestas. ^{Popper (1968)} aclara que en la propuesta de ^{Birkhoff & von Neumann (1936)} están vigentes las reglas de la medición antedichas y, por consiguiente, su lógica cuántica es un retículo mensurable.

En segundo lugar, conceptualmente, Birkhoff y von Neumann plantean una doble justificación de la inadmisibilidad de la identidad distributiva. Para dar razón del carácter no distributivo del cálculo proposicional propio de la mecánica cuántica, oblicuamente hacen referencia al principio de incertidumbre de Heisenberg y directamente a un experimento mental (supra p. 320). La dificultad a la que se enfrenta la primera justificación consiste en que ^{Birkhoff & von Neumann (1936)} no la desarrollan argumentalmente. Simplemente sugieren que "it is interesting that [distributive law] is also a logical consequence of the compatibility of the observables (...)". En cuanto a la segunda justificación, ^{Popper (1968)} critica que, aun siendo formalmente correcto, el argumento no contiene elementos que lo enlacen de manera específica con la mecánica cuántica: "for wave-packets, elephants, or even classical mass-points, this is perfectly compatible with the property denoted earlier by b; that is to say with the property 'symmetric about the plane'. It is also compatible with many other properties". ^{Jammer (1974)} continúa este contraargumento mostrando la forma en que se viene abajo la desigualdad que motiva el fallo de la ley distributiva: el complemento a' no es la observación de Y en el 'otro' lado del plano, sino su observación 'no en un lado' ("not on the one side") del plano, siendo a la observación de una Y en un lado de un plano en espacio ordinario. De modo que b (la observación de Y en un estado simétrico sobre el plano) se puede sustituir por a', de lo que obtenemos b=bna'. Por consiguiente, la desigualdad desaparece (debe tenerse presente el experimento mental supra p. 320). El principal argumento que desarrollan ^{Birkhoff & von Neumann (1936)} en favor del fallo de la ley distributiva es precisamente el comentado experimento mental. ^{Popper (1968)} lo consideró como "a simple slip -one of those slips which, once in a lifetime, may happen even to the greatest mathematicians".

La problemática reside en dificultades técnicas para eludir el álgebra de Boole y retener la modularidad. Es posible modificar la propuesta de tal modo que se redefinan los operadores del cálculo de enunciados para elaborar una adecuada interpretación. Así pues, las dificultades pueden concebirse como ambigüedades expresivas concernientes a la disyunción y la conjunción de proposiciones incompatibles en lugar de errores técnicos. En este sentido, para el caso cuántico el ínfimo y el supremo de dos proposiciones experimentales serían también proposiciones experimentales sii el caso excepcional en que las medidas fueran compatibles. ^{Birkhoff & von Neumann (1936)} declararon que "in classical mechanics, one can easily define the meet or join of any two experimental propositions as an experimental proposition (...). This is true in quantum mechanics only exceptionally-only when all the measurements involved commute (are compatible)". Para resolver la excepcionalidad es preciso modificar las reglas de las conectivas del cálculo no booleano que se proponga. Por consiguiente, las dificultades inciden en el modelo ortocomplementado modular pero no necesariamente en el enfoque general.