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Iteckne

Print version ISSN 1692-1798

Iteckne vol.13 no.2 Bucaramanga July/Dec. 2016

 

Aplicación del modelo de control en espacios de estado a partir de las pérdidas totales obtenidas del porcentaje de carbono de la chapa de acero al silicio

Application control model in state spaces from the total loss percentage obtained from the carbon silicon steel sheet

María Gabriela Mago-Ramos1, Luis Vallés-Defendine2, Jhon Jairo Olaya-Flórez3, Christian Palomino-Naranjo4

1Ph. D. Ingeniería Universidad ECCI. Bogotá, Colombia mmagor@ecci.edu.co
2Ph. D. Ingeniería Universidad de Carabobo. Valencia, Venezuela le.vallesd@gmail.com
3Ph. D. Ciencias de los Materiales Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, Colombia jjolayaf@gmail.com
4Ingeniero Mecánico Universidad ECCI. Bogotá, Colombia palomino.christian@ecci.edu.co


RESUMEN

Esta investigación muestra los modelos de control en espacios de estado que representan un modelo matemático descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden, a partir de las pérdidas totales obtenidas del porcentaje de carbono de la chapa de acero al silicio, con la cual se fabrican los núcleos de los transformadores de distribución. El modelo propuesto permite evaluar las señales de corriente en el lado primario, secundario y de magnetización a partir de las pérdidas totales, ajustando el valor del coeficiente de acoplamiento de la chapa de acero. La aplicación de este traerá ventajas a las empresas que fabrican o reparan estos equipos, ya que podrán diseñar la chapa de acero silicio bajo alguna condición de falla versus valores nominales, también se puede presentar el modelo propuesto de forma canónica o natural: controlable, no observable y estable (C0E).

PALABRAS CLAVE: chapa de acero al silicio, modelo de control en espacios de estado, pérdidas totales, porcentaje de carbono.


ABSTRACT

This research presents the control models in state space representing a mathematical model described by a set of inputs, outputs and state variables related by first-order differential equations from the total percentage obtained carbon losses veneer silicon steel cores which distribution transformers are manufactured. The proposed model allows evaluating current signals in the primary, secondary and magnetizing side from total losses, adjusting the coupling coefficient of the steel sheet. Its application will bring benefits to companies that manufacture or repair this equipment, as they can design the silicon steel sheet under a fault condition versus nominal values, you can also submit the proposed model of canonical form or nature: controllable and not observable and stable (COE).

KEYWORDS: silicon steel sheet, model of state control spaces, total losses, percentage of carbon.


1. INTRODUCCIÓN

En ingeniería de control, una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Para prescindir del número de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial (esto último solo puede hacerse cuando el sistema dinámico es lineal e invariante en el tiempo). La representación de espacios de estado (también conocida como aproximación en el dominio del tiempo) provee un modo compacto y conveniente de modelar y analizar sistemas con múltiples entradas y salidas. Con entradas y salidas tendríamos que escribir varias veces la transformada de laplace para procesar toda la información del sistema. A diferencia de la aproximación en el dominio de la frecuencia, el uso de la representación de espacios de estado no está limitado a sistemas con componentes lineales ni con condiciones iniciales iguales a cero. El espacio de estado se refiere al espacio de dimensiones cuyos ejes coordenados están formados por variables de estados. El estado del sistema puede ser representado como un vector dentro de ese espacio. La creación del conocimiento está basada en la aplicación de un Modelo de Control en Espacios de Estado inédito, a partir de las pérdidas totales obtenidas del porcentaje de carbono de la chapa de acero al silicio. En el 2014 el grupo de investigación liderado por Zhang R. [1], [2] también realiza trabajos novedosos en modelos de control en espacios de estado en forma predictiva para sistemas de control optimizando su rendimiento en forma parcial ante alguna perturbación, aplicando controles de velocidad, sin embargo, la característica innovadora es compartida en esta investigación por la aplicación para los transformadores utilizados como objeto estudio. Previamente, habían realizado un artículo para el control de temperatura de un equipo industrial [3], cuya condición operativa para ese modelo de control puede aplicarse en investigaciones similares para equipos del sistema eléctrico, lo que sin duda mejoraría la confiabilidad a los operadores del sistema, de tal manera que, puedan diseñarse sistemas multivariantes [4] que se desacoplen como un sistema MISO (única salida y múltiples entradas) incorporando una función de transferencia con análisis de frecuencia de la red. El transformador monofásico de poste, tiene una eficiencia o rendimiento que dependen tanto de la potencia de salida como de entrada, donde las pérdidas en el núcleo y en los devanados son consideradas, por lo tanto para esa condición, un método de bucle cerrado para perturbaciones desconocidas [5] que incluya un actuador parcial ante alguna condición de falla, (aunque las perturbaciones podrían traer errores) harían posible incluir en el modelo de espacio de estado propuesto, un controlador-observador en forma predictiva [6], más adelante se explicará que el modelo es controlable, no observable y estable, pero con esta modificación se haría predictivo para evaluar otras condiciones en estos equipos y sistemas eléctricos. Por otra parte, cuando se utilicen transformadores trifásicos se pueden aplicar modelos de control robusto que satisfagan la incertidumbre y el manejo de restricciones sin perder la estabilidad [7], desarrollando un mapeo de la respuesta a la condición de falla [8] sin dejar de lado el marco de la reciprocidad como si el transformador tuviera una zona muerta no lineal [9] y fuera inestable, esto permitiría la comprobación de las ecuaciones propuestas. Las condiciones ambientales pueden incluirse si se utiliza un modelo difuso que se linealice por tramos [10], cuyos algoritmos recursivos cuadrados permitan bondad de ajuste que derivarán en sistemas multivariables [11], [12]. Estas investigaciones permitirán sin duda alguna, el desarrollo de controles especiales para estos equipos [13] con lo cual se fortalecen los sistemas de protección y la probabilidad de ocurrencia de fallas en forma imprevista.

2. MODELOS DE CONTROL EN ESPACIOS DE ESTADO

Es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Para prescindir del número de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial (esto último solo puede hacerse cuando el sistema dinámico es lineal e invariante en el tiempo). [14]. El estado del sistema puede ser representado como un vector dentro de ese espacio.

2.1 Variables de estado

Las variables de estado son el subconjunto más pequeño de variables de un sistema que pueden representar su estado dinámico completo en un determinado instante. En la Fig. 1 se muestra un modelo de espacio de estado típico, teniendo en cuenta que estas variables de estado deben ser linealmente independientes. El número mínimo de variables de estado necesarias para representar un sistema dado, n, es normalmente igual al orden de la ecuación diferencial que define al sistema.

2.2 Espacios de estado:

La relación existente entre variables de estado y entradas del sistema de acuerdo con la expresión matemática (1):

2.2.1 Controlabilidad:

Esta condición de estados implica que es posible, mediante entradas admisibles, dirigir los mismos desde cualquier valor inicial a cualquier valor final dentro de un intervalo de tiempo.

2.2.2 Observabilidad:

Es la medida de cuán correctamente los estados internos de un sistema pueden ser inferidos conociendo las salidas externas.

2.3 Metodología

Se trabaja con el circuito equivalente aproximado referido al lado secundario, además se ha simplificado la admitancia de magnetización. Las entradas son los voltajes V y V2, los estados: el cambio en la reactancia de magnetización y en la reactancia de la bobina del lado secundario, Fig. 2.

Donde:

Vp = voltaje del lado primario
Vs = voltaje del lado secundario a = relación de espiras del transformador Rp = resistencia del lado primario (Q)
Xp = reactancia del lado primario (Q)
Rs = resistencia del lado secundario (Q)
Xs = reactancia del lado secundario (Q)
Rc = resistencia del núcleo o rama de magnetización (Q) Xm = reactancia de magnetización (Q)
Ip = corriente del lado primario (A)
Is = corriente del lado secundario (A)

2.3.1 Ecuaciones fundamentales

corresponden a las entradas del modelo de estado, Voltaje V1 y Voltajes V1 y V2 (2) y (3), respectivamente.

Se construye la ecuación en función de las entradas y estados, a partir de (4) y (5) indicadas anteriormente:

2.3.2 Modelo linealizado

procedemos a linealizar el modelo de estado no lineal de la siguiente manera, obtener el modelo de estados con sus respectivas matrices: de estado, entrada, salida y transmisión directa (A, B C y D). Para obtener respuesta del modelo utilizamos el programa MatlabSimulink© y verificamos sus condiciones de funcionamiento (simulamos un proceso de operación con condiciones iniciales iguales a cero).

Las ecuaciones (8) y (9) corresponden a un transformador monofásico de 5 KVA, el cual fue obtenido a partir de los ensayos en vacío (sin carga) y cortocircuito, tal y como se indica a continuación:

Tap en 2, tensión del lado primario 13.800 Voltios, relación de espiras a = 57.5, donde N1 = 4715 y N2 = 2x 41 = 82. (N1 son las espiras del lado primario y N2 las espiras del lado secundario).

Resultado del ensayo en vacío (sin carga)

RC(BT)= 1309.0909 Ω
RC(AT)= 4328181.78812 Ω
XC(BT)= 348.84130 Ω
XC(AT)= 1153356.548112 Ω

Resultado del ensayo en cortocircuito

Xeq(AT)= 116.3575 Ω
X1(AT)=X2(AT)= 58.1787 Ω
L1(AT)=L2(AT)= 0.154323 Ω
Req(AT)= 822.7863 Ω
R1(AT)(30p)= 450.2 Ω
R1(AT)(750)= 526.7935 Ω
R2 (AT)(75°)= 295.992727 Ω
Inp = 0.3623 Amp y Im = 20.8333 Amp para V2 = 240 Volts.

Donde:

Rc(BT)= resistencia del ensayo en vacío medida por el lado secundario (Ω)
Rc(AT)= resistencia del ensayo en vacío medida por el lado primario (Ω)
X1(AT)= reactancia del lado primario medida por el lado primario (Ω)
Xeq(AT)= reactancia equivalente medida por el lado primario (Ω)
X2(AT)= reactancia del lado secundario medida por el lado primario (Ω)
Xc(BT)= reactancia del ensayo en vacío medida por el lado secundario (Ω)
L2(AT)= inductancia del lado secundario medida por el lado primario (Ω)
Xc(AT)= reactancia del ensayo en vacío medida por el lado primario (Ω)
L1(AT)= inductancia del lado primario medida por el lado primario (Ω)
Req(AT)= reactancia equivalente medida por el lado primario (Ω)
Xc(AT)= reactancia del ensayo en vacío medida por el lado primario (Ω)
R1(AT)(30o)=resistencia del lado primario medida por el lado primario a una temperatura de 30° (Ω)
R1(AT)(75°)=resistencia del lado primario medida por el lado primario a una temperatura de 75° (Ω)
R2 (AT)(75°)= resistencia del lado secundario medida por el lado primario a una temperatura de 75° (Ω) Ω
Inp = corriente nominal del lado primario (A)
Ins = corriente nominal del lado secundario (A)
V2 = voltaje nominal del lado secundario (V)

2.4 Pérdidas totales en el núcleo de los transformadores de distribución

Las pérdidas totales en los transformadores de distribución dependen de las pérdidas por corrientes de Focault (F) (10), Histéresis Magnética (H) (11) y en el cobre, siendo estas últimas de rangos despreciables, finalmente la eq (12) correspondiente a las pérdidas totales. Los equipos que han estado operando bajo carga deben cumplir valores establecidos por la norma [15].

En la simulación se conecta a una carga resistiva de 11.52 Ω correspondiente a los valores nominales de V2 en 240 Voltios e I2 en 20.83 Amp. Los valores de pérdidas totales obtenidos deben ser cambiados en el bloque correspondiente, al igual que el coeficiente de oscilación tal y como se indica a continuación en la tabla I:

2.4.1 Propiedades físicas del material

Las propiedades físicas del material (chapa de acero al silicio, con la cual se fabrica el núcleo del transformador), como Resistencia eléctrica, Conductibilidad térmica, Saturación magnética, Fuerza coercitiva, Inducción remanente y Permeabilidad magnética. El análisis químico incluye dos mediciones y el valor promedio verificando los contenidos de hierro (Fe), carbono (C), manganeso (Mn), fósforo (P), azufre (S), silicio (Si), cobre (Cu), niquel (Ni), cromo (Cr), vanadio (V), molibdeno(Mo), wolframio o tusgteno (W), cobalto (Co), titanio (Ti), estaño (Sn), aluminio (Al), niobio(Nb), boro (B), plomo (Pb), manganeso (Mg). El porcentaje de carbono obtenido y comparado con el valor promedio mostrado en la Tabla I es el referente utilizado para determinar las propiedades físicas de las aleaciones de acero al silicio, entre las cuales se encuentran: la resistencia eléctrica y la fuerza coercitiva, la conductibilidad térmica, la inducción remanente y permeabilidad magnética. En la Fig. 3 se muestra la influencia del carbono en las propiedades físicas del acero al silicio:

La saturación magnética mostrada en la Fig. 4, es cualquier incremento posterior en un campo de magnetización externo H no provoca un aumento en la magnetización del material, con la cual se obtiene el valor Bmáx requerido para determinar las pérdidas totales a través del cálculo del porcentaje de carbono, tablas II y III

2.4.2 Aplicación de métodos numéricos

Se aplican métodos numéricos con el programa Matlab©. Construyendo una Recta de regresión y=Ax+B que mejor se ajusta en el sentido de los mínimos cuadrados a los N datos (X1,Y1), ..., (Xn,Yn) [16].

X= esta serie corresponde al porcentaje de carbono de la aleación.
Y= esta serie corresponde a la Saturación magnética.

2.4.2.1 Tipo de Falla: Térmica. Causa: Sobrecarga

A continuación se indica script realizado en el programa Matlab a fin de construir la recta de regresión. Cabe destacar que la respuesta del método numérico es dada en lenguaje diferente al español, por ejemplo Ans corresponde a la respuesta obtenida y viene predeterminada por el programa >> X= [0 0.1 0.193 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2]; >> Y= [2000 1900 1850 1800 1700 1600 1450 1300 1100 900 700 500 300 0]; >> lsline(X,Y) Ans = -1.6463e+003 >> sum(X) ans = 7.9910 >> sum(Y) ans = 17100 >> G=((-7.9910*-1.6463e+003)+17100)/(14) = 2.1611e+003 >> y = (-1.6463e+003*(0.193))+2.1611e+003 = 1.8434e+003 de Saturación magnética, corresponde a la densidad de flujo máximo, el cual será utilizado para determinar las pérdidas totales, tomando en consideración el peso del equipo, que para un transformador de capacidad 5 kVA es de 75_kg. A continuación en la Fig. 5 se muestra la saturación magnética obtenida versus porcentaje de carbono de la aleación que presentó la falla térmica debido a una sobrecarga:

A continuación en la Tabla III se muestran los resultados obtenidos de las pérdidas totales aplicando (10), (11) y (12), respectivamente.

2.5 Esquema de modelo de estado utilizando Simulink@

A continuación en la Fig. 6 se muestra el modelo de estado realizado en el espacio Matlab Simulink con el esquema que incluye las ecuaciones y gráficas de voltaje para el lado primario, secundario y rama de magnetización, que permiten a través del cambio en el coeficiente de acoplamiento variar las pérdidas totales del núcleo (Histéresis magnética y Corriente parásitas).

3. RESULTADOS

Luego de aplicar el modelo de control en espacios de estado se obtienen las señales correspondientes en el lado secundario, primario y rama de magnetización, Figs. 7, 8 y 9.

3.1 Matrices de estado del modelo propuesto

Utilizando el siguiente script del Matlab© se obtienen las matrices de estado, entrada, salida y transmisión directa:

xo = [20.31;0.71];
ui = [13800;238.5];
yo = [20.31;0.71];
ix = []; iu = [1;1];

[x,u,y,dx] = trim(<Proyecto_Mago_Entrada_ Salida>,xo,ui,yo,ix,iu)
[A,B,C,D] = linmod(<Proyecto_Mago_Entrada_Salida>,x)
Proyecto_Mago_Entrada_Salida = idss(A,B,C,D);
idtf(Proyecto_Mago_Entrada_Salida)

3.1.1 Forma canónica controlable

Esta condición de estados implica que es posible, mediante entradas admisibles, dirigir los mismos desde cualquier valor inicial a cualquier valor final dentro de un intervalo de tiempo, (13)

3.1.2 Forma canónica observable

Es la medida de cuán correctamente los estados internos de un sistema pueden ser inferidos conociendo las salidas externas, (14)


3.1.3 Función de transferencia

esta respuesta caracteriza las relaciones de entrada-salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo, (15)

3.1.4 Matriz de estado del modelo propuesto

La ecuación (16) es la ecuación de estado del sistema lineal e invariante con el tiempo, mientras que la (17) es la ecuación de salida para el mismo sistema

4. DISCUSIÓN DE RESULTADOS

El modelo en espacios de estado permite evaluar las señales de corriente en el lado primario, lado secundario y magnetización, a partir de las pérdidas totales, pero, ajustando el valor del coeficiente de oscilación. Esto traerá ventajas a las empresas que fabrican o reparan estos equipos, ya que podrán evaluarla chapa de acero al silicio bajo esta condición de falla versus condiciones nominales. Con respecto a las variables ambientales, específicamente la temperatura ambiente, aunque se ajusten los valores de las resistencias del lado y primario y secundario, "no es posible establecer un valor de temperatura mayor a 85°C o superior, dado que el punto de Curie es demasiado elevado", por los resultados obtenidos en las pruebas experimentales la chapa de acero al silicio "no pierde o cambia sus propiedades magnéticas", pero, se llena de óxidos o inclusiones debido a precipitados por alta temperatura que desmejoran la calidad térmica. La forma canónica, esta viene a ser la forma más perfecta, pura, natural o simple en la cual se puede presentar un "modelo" matemático, que por norma matemática, debe ser presentado. El modelo de control en espacios de estado para el transformador de distribución, es controlable, no observable y estable.

5. CONCLUSIONES

En el caso de las pérdidas totales hay que ajustar el coeficiente de acoplamiento del material o Kh que es una variable que depende del tipo de material, este ajuste hace que se revise el valor obtenido de la corriente nominal como punto de verificación para el modelo.

El sistema es controlable dado que el rango de la matriz es n x n, "se dice que un modelo es controlable en el tiempo t0 si se puede llevar de cualquier estado inicial Xt(0) mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito".

El modelo no es observable: "se dice que un modelo es observable en el tiempo t0 si, el modelo en el estado X(t0), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito".

"El modelo es estable ya que la parte real del número complejo en el módulo de los polos obtenidos son menores que uno, por lo tanto, están dentro del circulo unitario lo cual garantiza esta condición".

Estocásticamente el modelo desarrollado tiene una confiabilidad C0E (controlable, no observable y estable) de 76,74%.

AGRADECIMIENTOS

A la empresa TRANCECA en Venezuela y FYR Ingenieros en Colombia, de igual manera al Laboratorio de Tratamientos Térmicos de la Universidad Nacional de Colombia sede Bogotá y al CDCH (Centro de Desarrollo Científico y Humanístico) de la Universidad de Carabobo en Valencia, Venezuela.


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