ARTÍCULO ORIGINAL

HALFTONING: REVISIÓN Y ANÁLISIS

HALFTONING: REVIEW AND ANALYSIS

Fernando Pelcastre^**; Leticia Peregrina^***; Marcela García^****; Alejandro Ochoa^*; Ulises Juárez^*; Elizabeth Ríos^*; Gibran Benítez^*; Mariko Nakano^**;

** Ingeniero en computación, estudiante del programa de Maestría en Microelectrónica, Instituto Politécnico Nacional de México. Dirección: Av. Santa Ana no. 1000, Col. San Francisco Culhuacan, México D. F., México.

** Doctora en ciencia, Investigadora de Instituto Politécnico Nacional de México, Dirección: Av. Santa Ana no. 1000, Col. San Francisco Culhuacan, México D. F., México, Correo electrónico: mnakano@ipn.mx, Fax: +52 55 56562058.

Recibido: 04/08/2012
Aceptado: 05/11/2012

RESUMEN

Halftoning es una técnica indispensable para mostrar imágenes digitales en pantalla e imprimirlas en papel usando cualquier tipo de impresora tales como Inkjet y láser. Además de lo anterior, la técnica de halftoning se ha empleado recientemente en diversas aplicaciones en el campo de computación y comunicación, tales como compresión y autenticación de imágenes, criptografía visual, etc. Este artículo proporciona una revisión detallada de los métodos principales de halftoning, los cuales son ordered dither, difusión de error, difusión de error con enfatización de borde, difusión de puntos, ruido verde y búsqueda binaria directa. Para el análisis de las ventajas y desventajas de cada método de halftoning se realizó una comparación de calidad de imagen halftone generada por los métodos mencionados anteriormente usando medición MOS (Mean Opinion Score). Asimismo, se consideró la complejidad computacional de cada método de halftoning.

PALABRAS CLAVE

Halftoning, imagen binaria, sistema visual humano, impresión.

ABSTRACT

Halftoning is an indispensable technique used for showing digital images on screen and printing them on paper using any kind of printer such as Inkjet and Laser. Additionally, halftoning technique has been employed recently in several applications in the computation and communication fields, such as compression and authentication of images, visual cryptography, etc. This article provides as detailed review of the main halftoning methods, such as ordered dither, error diffusion, error diffusion with edge emphasis, dot diffusion, green noise, and direct binary search. For analyzing advantages and disadvantages of each halfoning method, a quality comparison of the halftone image generated by the already named methods was performed using Mean Opinion Score (MOS) measurement. Likewise, computational complexity of each halftoning method was taken into consideration.

KEY WORDS

Halftoning; binary image; human visual system; printing.

INTRODUCCIÓN

Halftoning es una técnica de binarización de imágenes en escala de grises. A diferencia de la técnica de binarización convencional, halftoning crea imágenes binarias que mediante el Sistema Visual Humano (SVH) se perciben como imágenes en escala de grises. Una binarización convencional convierte un píxel con 8 bits de información en un valor binario usando un umbral fijo para toda la imagen. La diferencia entre halftoning y binarización se puede observar en la figura 1. La figura 1 (b) es imagen binaria resultante de la binarización, mientras que la figura 1(c) es la imagen binaria obtenida por halftoning. La figura 1 (d) muestra una región amplificada de (c).

A grandes rasgos, el método de halftoning se puede clasificar en dos ramas: la primera es halftoning AM (Amplitud Modulada) que se refiere a que el tamaño de los puntos de halftone varía dependiendo de la tonalidad de la imagen, mientras su frecuencia espacial no cambie; y la segunda es halftoning FM (Frecuencia Modulada) que se refiere a que el tamaño del punto de halftone es constante, mientras varíe su frecuencia espacial [1]. La figura 2 muestra la diferencia de representación entre ambos tipos de halftoning. El número de elementos negros (puntos negros) representan una tonalidad diferente. Las figuras 2(a) y (b) muestran niveles de grises de 4/64 y 16/64 usando el halftoning AM, mientras que las figura 2(c) y (d) muestran mismos niveles de grises usando el halftoning FM.

La técnica de halftoning es utilizada en la vida cotidiana, ya que en el proceso de impresión y despliegue en pantalla, todas las imágenes se representan en forma de halftone; además de esta gran utilidad, la técnica de haftoning está siendo aplicada recientemente en varios campos, tales como la estenografía, la criptografía [2], la compresión de imágenes y vídeo [3], y la autenticación de imágenes [4], etc. El método de halftoning ha evolucionado junto con el avance de impresoras y monitores; por ejemplo, el halftoning AM es una técnica frecuentemente usada para la industria de la imprenta debido a que la impresora no permite imprimir micropuntos con un tamaño establecido; sin embargo, después de varios años ha sido remplazado por el halftoning FM; aun así, ambos métodos presentan ventajas y desventajas. Generalmente el halftoning AM produce mejor calidad que el halftoning FM en el área donde la tonalidad varía lentamente, mientras que el halftoning FM es superior al método de AM por la reproducción de detalles.

El presente artículo provee un tutorial de las principales técnicas de halftoning, permitiendo comprender y evaluar las ventajas y desventajas de cada uno de los métodos. Está organizado de tal modo que es posible seguir la evolución del método halftoning y proporcionar una comparación numérica de los métodos desde el punto de vista de la calidad y complejidad computacional.

1 PRINCIPALES MÉTODOS DE HALFTONING

En esta sección, se presenta una descripción de cada uno de los principales métodos de halftoning, los cuales son método de ordered dithering, método de difusión de error, incluyendo versión de enfatización de borde, método de difusión de punto, método de ruido verde, método de búsqueda binaria directa.

1.1 Método de Ordered dither

El método de ordered dithering pertenece al método basado en un umbral, en el cual una matriz llamada ''matriz de pantalla'' con un tamaño de 8x8 o 4x4 se usa para determinar valores binarios de la imagen. Cabe mencionar que esta matriz ya está determinada y no depende de la imagen en escala de grises. En este método, los valores de píxeles se comparan con los valores de la matriz de pantalla; si el valor del píxel es mayor que el valor de matriz, se asigna 1 (blanco) a la imagen halftone y en caso contrario, asigna el valor 0 (negro) a la imagen halftone, cuyo proceso está dado por (1).

donde h es la imagen halftone y t_n es la matriz de pantalla que se genera usando la matriz de umbral aplicando (2).

donde I_n(u,v) es la matriz de umbral del tamaño nxn.

En este método, la matriz de umbral determina la calidad de imagen halftone. Existen básicamente dos clases de matrices de umbral: la matriz de umbral concentrada y la matriz de umbral dispersa. En la matriz de umbral concentrada, los elementos de la matriz están arreglados de tal forma que generan puntos negros en el centro de cada bloque en la imagen halftone. La figura 3 muestra las matrices de umbral concentrada del tamaño 8x8. Podemos observar de la figura 3(a) que los números desde 0 hasta 63 están ordenados desde el centro hacia afuera en forma de espiral. Esta forma de ordenar los elementos de la matriz de umbral produce una imagen halftone tipo AM. Las figuras 3 (b) y (c) muestran variaciones de la matriz de umbral concentrado, las cuales producen imágenes halftone con mejor calidad que la de la figura 3 (a) [5].

La matriz de umbral dispersa se genera sistemáticamente usando la siguiente fórmula [5].

Aplicando (3) y (4), obtenemos I₄, I₈, como se muestra en la figura 4. Una vez que se obtiene la matriz de pantalla, se aplica la operación de binarización dada por (1). La figura 5 muestra los resultados de halftoning usando las matrices de umbral de las figuras 3 y 4. Como se puede observar, el método de ordered dither usando la matriz de umbral concentrado pierde detalles de la imagen, mientras que el método con la matriz de umbral dispersa produce mejor calidad visual.

1.2 Método de difusión de error

El esquema del método de difusión de error se muestra en la figura 6 [6]. En esta figura, Q es el proceso de cuantificación que binariza usando un valor umbral. Este proceso se puede expresar como:

El error que se produce en el proceso de cuantificación e(i,j) se calcula como

H es un filtro 2D, en el cual se calcula la cantidad de error que difunde a los vecinos usando el error de cuantificación e(i,j). Antes de la cuantificación de siguiente píxel, este recibe la cantidad correspondiente de error causado por el píxel anterior; esto está dado por

donde el operador '*' significa convolución.

Los coeficientes de filtro H determinan el número y la región de los vecinos, así como la forma en que se va a difundir el error. Por ejemplo, Floyd-Steinberg determina un filtro como la figura 7 (a), el cual indica que el error de cuantificación se difunde entre cuatro vecinos, y el vecino de la derecha tiene más peso (la cantidad de error que difunde es mayor), seguidamente el vecino de abajo, el vecino de la diagonal izquierda y el último es el vecino de la diagonal derecha. Para la generación de la imagen halftone, se realiza un escaneo de izquierda a derecha para todos los renglones de la imagen; esta forma de escaneo se llama raster. Para reducir el artefacto horizontal de la imagen halftone, en lugar de usar el escaneo raster, se usa escaneo de serpiente, en el cual los renglones impares se escanean de izquierda a derecha usando los coeficientes de filtro de la figura 7 (a), y los renglones pares se escanean de derecha a izquierda, aplicando los coeficientes de filtro de la figura 7 (b). Además del filtro de Floyd-Steinberg, existen diferentes filtros para difundir el error de cuantificación con el fin de mejorar la calidad de la imagen halftone; algunos de ellos son el filtro de Jarvis y Stucki [6] que usan más vecinos para determinar la compensación que causa la binarización. Las figuras 7(c) y (d) muestran el filtro Jarvis y Stucki. Las figuras 8-10 muestran resultados de imágenes halftone producidas por el método de difusión de error. Cabe mencionar que el método de difusión de error pertenece a halftoning FM, por la naturaleza de su proceso.

La calidad de la imagen halftone generada por el método de difusión de error puede mejorar enfatizando los bordes [7]. El método de difusión de error con enfatización de borde agrega una porción de valor de píxel de entrada antes del proceso de cuantificación Q. Este esquema se muestra en la figura 11. La operación de cuantificación y el cálculo de error son los mismos que los de difusión de error convencional, la única diferencia es que el dato de entrada x(i,j) multiplicado por un factor L se agrega al dato u(i,j) antes de la operación de cuantificación, el cual está dado por (8).

Como el filtro H determina la cantidad de error que difunde a los vecinos, se pueden usar los mismos filtros de método convencional de difusión de error, es decir, Floyd-Stainberg, Jarvis y Stucki. La figura 12 muestra las imágenes de halftone con diferentes valores del factor L. No se pueden observar grandes diferencias entre las tres imágenes generadas con diferentes valores de L; sin embargo, en las imágenes (a) y (c), la parte del adorno del sombrero se ve más claro en (c) que en (a); por lo tanto, este método trata de conservar sobre todo la información del borde de la imagen. Cuando L = 0, este método es igual al método convencional de difusión de error.

1.3 Método de difusión de punto

Este método de halftoning fue desarrollado por Knuth [8], tiene como objetivo conservar las buenas características del método de difusión de error mientras que también ofrece un paralelismo sustancial. Este método tiene un único parámetro de diseño llamado ''matriz de clase C''. Esta matriz establece una clasificación de umbral para los píxeles y determina el orden en el cual serán procesados. Por tanto, las posiciones del píxel (i, j) de una imagen son divididas en I x J clases de acuerdo a i mod I, j mod J) donde I y J son constantes enteros que indican tamaño de la matriz de clase.

Sea x(i,j) el tono continuo de la imagen con valores de píxel en el rango normalizado [0,1]. A partir de la clase k = 1, se procesan los píxeles para incrementar los valores de k. Para una k fija, se toman todas las ubicaciones del píxel (i, j) que pertenecen a la clase k y se definen los píxeles halftone de la siguiente manera:

Se calcula el error de cuantificación e(i,j) = x(i,j) – h(i,j). A continuación se examinan los ocho vecinos de (i, j) y se sustituye el píxel de tono continuo con una versión ajustada de aquellos vecinos que tienen una clase de número mayor (aquellos vecinos a los que no se les ha aplicado halftone). Las modificaciones de los vecinos ortogonales y diagonales con números de clase mayor que el actual píxel x(i,j) están dadas por (10) y (11), respectivamente.

donde w es la suma de los errores añadidos a todos los vecinos. El factor adicional de dos para vecinos ortogonales (vecinos adyacentes verticalmente y horizontalmente) es porque los patrones de error orientados horizontalmente o verticalmente son más perceptibles que los patrones diagonales. Este proceso se repite desde el número de clase k = 0 hasta último número de clase I x J – 1. La figura 13 muestra un ejemplo de este proceso. En la figura 13, los números en la matriz son números de clase y los valores 1 o 2 asignado en la flecha son pesos de difusión. Los vecinos de 33 con los números de clases más altas son aquellos que están etiquetados como 58, 45, 42, 37, 63, 47; por lo tanto, el error generado en 33 es dividido por la suma de los pesos relativos de los coeficientes de difusión, los cuales son w = 9 (2x3+1x3) en este caso. El resultado de la división e es el error que se difunde a los vecinos diagonales y 2e se difunde a los vecinos ortogonales. Puesto que hay 64 clases, el algoritmo completa el halftoning en 64 pasos. Por lo general una imagen es mejorada antes de aplicar el método de difusión de punto. Para esto los píxeles de la imagen continua C(i,j) son remplazados por donde es promedio de C(i,j). Aquí, el parámetro α determina el grado de mejora. Si α = 0, no hay mejora y la mejora es mayor cuando α se incrementa. Si α = 0.9 entonces el filtro de mejora se simplifica a

donde Ω es una ventana de 3x3 cuyo centro es (i, j)-ésimo píxel.

La definición de la matriz clase juega un papel muy importante en el método de difusión de punto ya que de ella depende el orden en que los píxeles de una imagen serán procesados y la distribución del error a los vecinos. Han propuesto varios métodos para la creación de matriz de clase óptima [8, 9]; hasta la fecha la matriz de clase basada en SVH [9] proporciona mejor calidad de la imagen halftone. La figura 14 muestra la matriz de clase basada en SVH y la imagen halftone generada por esta matriz.

1.4 Método basado en ruido verde

El análisis espectral de las imágenes de halftone generadas por el método de difusión de error muestra que su frecuencia principal es más alta que la de otros métodos de halftoning [11]. Considerando la distribución de píxeles blanco y negro de una imagen halftone como un tipo de ruido; el método de difusión de error genera un ruido llamado ruido azul que contiene alta frecuencia [11]. Debido a que el SVH no percibe ruidos de alta frecuencia, el ruido azul no se puede percibir por ojos humanos. Esta es la principal razón de la buena calidad perceptual que ofrece el método de difusión de error. Generalmente la imagen halftone con característica de ruido azul se ve muy bien en la pantalla; sin embargo, cuando esta imagen se tiene que imprimir, la calidad de impresión sufre mayor degradación, debido a deficiencias de la impresora, tales como extensión de tinta y baja precisión de la misma impresora [11,12]. Para introducir la opción que varíe el tamaño de puntos al método de difusión de error que pertenece a halftoning FM, se han realizado algunas propuestas, tales como el método de Levien y el filtro hexagonal [11-13]. Los dos métodos producen imágenes halftone híbridas FM-AM, cuya frecuencia principal es más baja que la de imágenes halftone generadas por el método de difusión de error convencional; por lo tanto, estos métodos se denominan halftoning de ruido verde.

Levien propuso una modificación al método de difusión de error, agregando una retroalimentación que depende del valor de salida [13]. La figura 15 muestra el esquema de Levien. En la figura, H es un filtro para difusión de error, F es un filtro para retroalimentación y G es una ganancia que controla el tamaño del punto. Cuando G se incrementa, el tamaño del punto que va a generar en la imagen halftone también se incrementa y viceversa.

El algoritmo de Levien está dado por

donde el operador '*' significa convolución.

La figura 16 muestra los filtros de retroalimentación F propuestos por [13]. La figura 17 muestra resultados de halftoning usando el método de Levien con los filtros F mostrados en la figura 16, con ganancias G = 0.5 y G = 0.9. Aquí el filtro de difusión de error H es el filtro de Floyd-Steinberg dado en la figura 7(a). Como se puede observar en la figura 17, cuando la ganancia G es grande, el tamaño de cada punto de halftone también es más grande.

Otra forma de generar imágenes de halftone con FM-AM híbrido es el uso del filtro hexagonal (figura 18(b)) para el filtro de difusión de error en lugar de filtro cuadrado, tales como Floyd-Steinburg, Jarvis y Stucki [6]. Como se puede observar de este filtro hexagonal, el error de cuantificación producido en el píxel actual, indicado con '•', no se propaga a los vecinos más cercanos. Esta forma de propagación de error estimula la agrupación de puntos. La figura 18 muestra diferencia entre halftoning de difusión de error convencional, el método de Levien y difusión de error con el filtro hexagonal, usando una imagen homogénea con un nivel de gris 1/2 (figura 18(a)) como entrada. Las figuras 18(c)-(e) son imágenes halftone generadas por los métodos mencionados anteriormente. Para analizar numéricamente las imágenes halftone, Ulichney introdujo una medición llamada densidad promedio de espectro de potencia radial (RAPSD), la cual indica la frecuencia principal de cada imagen haftone y está dado por (16).

Donde R(f_p) es una región generada por dos círculos concéntricos de diferentes radios: el círculo interno tiene un radio de y el círculo externo tiene un radio de , siendo Δ_p el ancho de la región anular. N(R(f_p)) es el número de muestras en frecuencia dentro de la región y es el espectro de potencia de la imagen halftone. Las figuras 19(a)-(c) muestran la RAPSD de tres imágenes halftone generadas por los tres métodos, las cuales indican claramente la frecuencia principal de cada método, siendo más bajas las frecuencias principales del método de Levien y el filtro hexagonal que las del método de difusión de error convencional. Esto indica el efecto de agrupación de puntos del método de Levien y el filtro hexagonal.

1.5 Búsqueda binaria directa (DBS)

El método de búsqueda binaria directa (DBS: Direct Binary Search) es un método exhaustivo para obtener la mejor calidad de imagen halftone, adaptando la combinación o distribución de píxeles binarios dependiendo de la imagen de entrada [9, 10]. La figura 20 muestra un esquema genérico de DBS. En la figura 20, f(m,n), g(m,n) son imágenes en escala de grises e imágenes halftone, respectivamente. Dos señales bi-dimensionales f(m,n), g(m,n) son entradas de un filtro que representa el SVH. Si las salidas de los filtros son iguales, ambas imágenes son idénticas para los ojos humanos, por lo tanto el error es cero. Cuando el error no es igual a cero, los valores (0 o 1) de píxeles de g(m,n) se modifican hasta que el error sea suficientemente pequeño o llegue a un mínimo local. Los valores iniciales de g(m,n) pueden ser resultado de la imagen halftone producida por algún método de halftoing, como puede ser el método de difusión de error. Generalmente esta adaptación se lleva a cabo por cada bloque de tamaño TxT, y se opera en todos los bloques de la imagen en manera independiente.

El filtro del SVH juega un papel muy importante en el esquema de la DBS, ya que la calidad de la imagen halftone depende directamente de este filtro. Hasta la fecha han propuesto varios modelos que representan el SVH [9], dentro de los cuales, la función de sensibilidad al contraste (FSC) propuesta por Nasanen [9, 10] es considerada en la construcción de varios métodos de halftoning basado en la DBS. La figura 21 muestra la FSC propuesta por Nasanen y la imagen haltone generada por la DBS.

2 COMPARACIÓN DE MÉTODOS

A fin de evaluar la calidad de las imágenes halftone generadas por los seis principales métodos de halftoning descritos en la sección anterior, se realizó una evaluación sugestiva llamada MOS (Mean Opinion Score), que consiste en promediar los puntajes asignados a cada imagen halftone generada por los seis métodos. Se realizó una encuesta a 100 observadores, en la cual se les cuestionó acerca de la calidad de tres imágenes halftone comparadas con sus respectivas imágenes originales (en escala de grises), las cuales fueron mostradas en un monitor de 60 pulgadas. Las imágenes usadas para la evaluación se muestran en la figura 22.

El criterio de evaluación se especifica en la tabla 1. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 2, los valores son promedio de puntajes de tres imágenes evaluadas por 100 observadores. Como se puede observar de la tabla, la imagen halftone generada por el método de difusión de error con enfatización de borde ofreció mejor calidad, seguida del método de ruido verde.

Teóricamente hablando, el método de la DBS debería proporcionar mejor calidad de imagen halftone comparando con otros métodos; sin embargo, en el algoritmo de adaptación no se puede alojar un mínimo global, llegando siempre a mínimos locales con un error grande, especialmente para la imagen de figura 22(b). Como consecuencia de esta situación, el valor de MOS de la DBS no fue tan alto como se esperaba.

Otro asunto importante para las aplicaciones de la técnica de halftoning es la complejidad computacional de cada método. La tabla 3 muestra el promedio del tiempo de ejecución de cada método usando 10 imágenes con diferentes características. El programa de todos los métodos está desarrollado en Matlab (ver. 2010^a) y ejecutado en una computadora con Intel Core 2 Duo. Como se observa en la tabla 3, la complejidad computacional de todos los métodos, excepto el de la DBS, es similar, pero hay que destacar que los métodos de ordered dither y de difusión de punto se pueden realizar en forma paralela, lo cual ofrece una reducción importante del tiempo de ejecución.

3 CONCLUSIONES

En este artículo se hizo una revisión de los principales métodos de halftoning, los cuales son ordered dither, difusión de error incluyendo las versiones de enfatización de borde, difusión de punto, ruido verde y búsqueda binaria directa (DBS). Cada método genera imágenes halftone con diferentes características. Cuando el objetivo es desplegar la imagen, el método de difusión de error con enfatización de borde puede ser la mejor opción, ya que esta ofrece mejor calidad visual de imagen halftone, mientras que si la impresión de imágenes es el objetivo final, el método de halftoning tipo AM o híbrido FM-AM son las mejores opciones, dependiendo de la precisión de la impresora y el tipo de tinta. Para ello, ordered dither o ruido verde son los métodos adecuados para producir la imagen halftone de tipo AM e híbrido FM-AM. Cuando la velocidad del proceso de halftoning es importante, el método de difusión de punto ofrece una solución, ya que este método tiene la posibilidad de realizar el proceso en paralelo, proporcionando también una buena calidad de imagen halftone.

Además de la impresión en papel y el despliegue de imágenes en pantalla donde la técnica de halftoning es indispensable, recientemente se ha considerado como una herramienta importante en varios campos de computación y comunicación. Por todo lo anterior, se considera de gran utilidad el presente artículo.

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