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INTRODUCCIÓN
La historia de la Óptica Geométrica e Instrumental está relacionada con la historia de las lentes. El descubrimiento de las leyes de la reflexión y de la refracción en el siglo XVII por Snell1 dio lugar a un modelo para la comprensión de la formación de las imágenes y en consecuencia, al desarrollo de instrumentos ópticos como el telescopio, el microscopio y el espectroscopio, de los cuales la mayoría de los instrumentos ópticos posteriores son modificaciones de éstos. En el siglo XIX Karl Friedrich Gauss estableció la teoría de primer orden de la óptica geométrica, basada en la ley de Snell mediante con sideraciones geométricas para el cálculo de la posición y el tamaño de las imágenes en lentes.
A la fecha el avance tecnológico ha proporcionado un escenario que ha favorecido el desarrollo del cálculo numérico, con lo cual ha sido posible diseñar instrumentos ópticos con mayor precisión, mediante simulación computacional y elevar así la calidad de los dispositivos ópticos, ajustando los parámetros de diseño previos a su construcción.
En este documento se expone el esquema de un modelo de representación geométrica de puntos y las relaciones entre estos, que dan lugar a un conjunto de vectores y de superficies esféricas donde se satisface la ley de Snell y está estructurado de la siguiente manera:
En la sesión 1 se establecen los parámetros topológicos de la región geométrica que acota los puntos que estructuran la lente.
La sección 2 expone el enfoque vectorial del trazado de rayos y del cálculo de la intersección de rayo lente bajo el régimen de la ley de Snell.
La sección 3 presenta la descripción paramétrica de la lente geométrica y el acople modular del sistema de lentes en un arreglo matricial.
En la sección 4 se expone el esquema modular para el acople de lentes en la modelación de un sistema óptico compuesto por un grupo de lentes en secuencia.
La sección 5 presenta gráficamente el comportamiento de un vector, que cruza la región constituida por un sistema acoplado de lentes, aplicado a: un dispositivo tipo Tessar y a un modelo propio desarrollado por los autores nombrado dispositivo de telescopio Jairus.
Los cálculos y representaciones geométricas han sido desarrolladas en Matlab como ambiente portador y entre los resultados alcanzados se dispone de la modelación de lentes rápidas tales como el dispositivo Tessar, además de situaciones asociadas a los sistemas ópticos del tipo de aberración esférica.
1. MODELO GEOMÉTRICO DE LA LENTE
En términos geométricos, la lente se acota por la superficie que denota el conjunto de puntos asociados a parámetros que describen su forma y posición sobre el eje óptico. Esta superficie es parametrizada mediante por un índice de refracción, n, encerrado entre dos superficies curvas con radios curvatura, R1 para la primera superficie y R2 para la segunda, cuyos vértices están separados por una distancia d que determina el grosor de la lente (Thompson, 2001). El parámetro α es asociado al ángulo visual que determina la dimensión de la pupila de la lente (Gómez González, 2012), esta descripción es ilustrada en la Figura 1.
Así la lente es parametrizada en términos de la localización del vértice de la primera superficie los radios de curvatura el grueso de la misma y un índice de refracción asociado a la región acotada entre los radios de curvatura separados una distancia d. En ésta, las coordenadas cartesianas de los puntos de cada superficie curva, satisfacen las Ecuaciones (1), (2) y (3) (Lehmann, 1989).
siendo (hl , kl) las coordenadas del centro de la lente l. xil e yil son las coordenadas cartesianas de los puntos de la superficie de la lente para θi, descrito por la Ecuación (4) que define los rangos de la pupila de la lente. La convención de los signos para los radios de curvatura considera a R positivo si su centro está a la derecha del vértice y será negativo si su centro está a la izquierda, siempre y cuando, la dirección de los rayos de luz vaya de izquierda a derecha en la forma como aumenta la coordenada sobre el eje óptico (Hugh D. Young, 2009).
2. TRAZADO DE RAYOS
Dado que las trayectorias en los medios homogéneos e isotrópicos son rectilíneas sobre el plano (Thompson, 2001), el rayo de luz es tratado como un vector geométrico de dos dimensiones y es definido mediante la correspondencia entre dos puntos que denotan los extremos de un segmento de recta (Mortenson, 1999), la versión paramétrica del vector presentada en la Ecuación (5) e ilustrada gráficamente en la Figura 3.
En esta ecuación, P(s) representa el punto geométrico de la cabeza del vector U₤ de magnitud s y con origen en el punto Po.
El vector 
entre los puntos P
o
y P
1
es calculado mediante la diferencia relativa entre sus coordenadas paralelas como se describe en la Ecuación (6).
2.1 Cruce del rayo de luz con la lente
El punto de incidencia del rayo con la lente es calculado mediante la intersección de dos vectores. Uno de ellos, el vector V s , es tangente a la superficie de la lente con el origen en p v2 como se escribe paramétricamente en la Ecuación (7), es construido por dos puntos sucesivos del conjunto de puntos que definen la lente, planteado en la sección I. EL otro vector Vi con origen p v1 , descrito paramétricamente por la Ecuación (8) (Mortenson, 1999) representa al rayo incidente como lo muestra la Figura 4.
El punto de intersección es calculado cuando P 1 = P 2, esto lo determina el resultado de la solución del sistema de ecuaciones paramétricas (7) y (8) como sigue:
2.2 Ley de Snel
La ley de Snell determina la dirección (con respecto al vector normal a la superficie) de un rayo de luz que emerge de un medio con índice de refracción n i a otro de índice n t diferente (Wolf, 1970) (Serrano, 2005). Este es calculado a través de la Ecuación(10) y descrita gráficamente en la Figura 5.
Figura 5 El rayo incidente, el reflejado, el transmitido o refractado y el vector normal a la superficie en el punto de incidencia, están en el mismo plano
El rayo incidente parte la fuente de iluminación y va dirigido hacia la lente, hasta el punto de incidencia el cual es calculado a través de la Ecuación (9), y es la base para el cálculo del vector normal de la curva que da forma a la lente. Esta situación es ilustrada en la Figura 5.
2.3 Transformación de coordenadas
Los ángulos de incidencia y de refracción son transformados al sistema de referencia fijado por el eje óptico. En la descripción geométrica exhibida en la Figura 5, se observan las relaciones angulares descritas en la Ecuación (11).
donde ρ es el ángulo del vector normal, αi el ángulo del rayo incidente y αt el ángulo entre el rayo refractado con respecto al Eje Óptico (EO) (Thompson, 2001). La Figura 6, ilustra cuatro situaciones de intersección para el cálculo del ángulo de refracción θt. Dos situaciones se presentan cuando el rayo entra en la región de la lente, una a cada lado del eje óptico, e igualmente cuando el rayo sale. Éstas son presentadas en función del radio de curvatura y la inclinación respecto al eje óptico del vector incidente, de la manera como se plantea en la Tabla 1.
TABLA 1 RELACIONES ENTRE LA GEOMETRÍA DE LA LENTE Y EL ÁNGULO DE REFRACCIÓN COMO RESULTADO DE ESTA SELECCIÓN SE CONSTRUYE EL VECTOR Vt
De esta manera el vector que representa el rayo refractado puede ser calculado de la manera descrita en la Ecuación (12).
La propagación del rayo dentro de la lente el vector refractado en la primera superficie hace las veces de el vector incidente de la segunda superficie, en la cual el rayo emerge de la lente. Este procedimiento hace posible generalizar el cálculo de los vectores de incidencia y refracción de los rayos que se propagan en un sistema de lentes acoplado.
A diferencia del tratamiento matricial presentado otros autores (Halrach, 1964) y (Hetch, 2005), el cual muestra ser funcional en la óptica paraxial, el presente planteamiento aplica para lentes de mayor apertura numérica, ampliando el rango de la pupila de entrada y el grueso de la lente no tiene restricción.
3. ACOPLE MODULAR DE LENTES
El acople de las lentes es establecido por el vértice de la primera superficie, los radios de curvatura R 1 y R 2, el grueso d, el índice de refracción n, y el eje óptico (EO), en orden sistemático y sucesivo para su localización en el sistema. La Tabla 2 presenta el arreglo matricial del dispositivo Tessar (Hetch, 2005) ilustrado en la Figura 7 compuesto por cuatro lentes ordenados secuencialmente sobre el eje óptico en la dirección de x. En la matriz, las lentes son ordenadas en filas y ordenadas en una secuencia que inicia de la parte superior de la matriz. Los parámetros de la segunda lente están en la segunda fila y así en sucesión hasta el final de la tabla. La primera columna presenta el valor de la coordenada x del vértice de la primera superficie de la lente, la segunda columna contiene el valor del radio de curvatura de la primera superficie, R 1, la tercera columna contiene el radio de la segunda superficie R2; en la cuarta columna, el valor del grueso de la lente, la quinta contiene el índice de refracción n. El parámetro δ denota la distancia de separación entre el vértice de la segunda superficie con el vértice de la primera superficie del lente a continuación y la última columna indica la coordenada y del eje óptico.
4. ESQUEMA MODULAR DEL SISTEMA TRAZADOR DE RAYOS
En las secciones anteriores se trató un modelo geométrico para la lente y un esquema matricial modular para el acople de lentes en un sistema óptico compuesto, los cuales en conjunto con el modelo de trazado de rayos de la sección 2 provee un escenario para el diseño de sistemas ópticos compuestos.
La Figura 8 presente el esquema de operación del sistema acoplado de lentes y rayos. En este los lentes y los vectores son construidos separadamente en la manera como se presentaron en las sesiones 1 y 2. Por un lado se toma el sistema de lentes y por el otro lado el número de rayos que inciden sobre el sistema de lentes, tomando uno a uno las superficies de las lentes, dos por cada una, y se someten a la ley de Snell generando el grupo de rayos que se propagan por cada una de las lentes de manera individual hasta la totalidad de las lentes.
5. RESULTADOS
En las secciones 1, 3 y 4 se trató un modelo geométrico para la lente y un esquema matricial modular para el acople de lentes en un sistema óptico compuesto, los cuales en conjunto con el modelo de trazado de rayos de la sección 2 provee un escenario para el diseño de sistemas ópticos compuestos.
Para exhibición de la funcionalidad del esquema expuesto en este informe se han modelado tres situaciones: La primera ilustrada en la Figura 9 presenta el modelo de trazado de rayos sobre una lente menisco cóncava que es atravesada por un conjunto de rayos. En esta puede verse como no todos los rayos cruzan el eje óptico en el mismo lugar, tal como lo define la aberración esférica.
En la segunda, el dispositivo Tessar, descrito matricialmente en la Tabla 2, es expuesto gráficamente en la Figura 10. El sistema puede verse como una fuente puntual de luz que se propaga de izquierda a derecha atravesando un sistema óptico, generando a la salida de este un conjunto de rayos que se propagan hacia el infinito en forma paralela.
En la tercera situación, el esquema modular se ha usado para diseñar un dispositivo de telescopio “Jairus” de mayor potencia, ilustrado en la Figura 11, el cual atrapa rayos que vienen desde la izquierda y los hace converger al punto imagen.
Esta interpretación se hace basado en el principio de reversibilidad2 (Sagrario Millán, 2004) a través del cual puede entenderse en este dispositivo al conjunto de rayos que vienen paralelamente desde el infinito, de derecha a izquierda, y los rayos que atraviesan el sistema de lentes convergen en el punto imagen.
6. CONCLUSIONES
Este reporte expone el tratamiento de la óptica geométrica en la descripción del funcionamiento de sistemas ópticos compuestos mediante una aplicación sistemática de los principios básicos de la óptica geométrica proporcionando el fundamento del funcionamiento de las lentes esféricas.
Los aspectos resultados en el presente trabajo son de uso práctico para la comprensión de la óptica geométrica de los modelos de propagación de rayos de luz a través de los lentes y en la implementación de una amplia gama de aspectos relacionados con el diseño y funcionamiento de sistemas ópticos complejos.
