1. Si P es una fórmula atómica entonces P es una fórmula de tipo-1.

2. Si X es una fórmula de tipo-1 entonces ∼(X) es una fórmula de tipo-1.

3. Si X y Y son fórmulas de tipo-1 entonces (X) → (Y), (X) ↔ (Y), (X) ∧ (Y) y (X) ∨ (Y ) son fórmulas de tipo-1.

-A×CP : los axiomas de CP sobre las fórmulas de profundidad-(n+1) son axiomas de LER-(n + 1).

- MP+<: +(A → B) → (+A → +B) es un axioma de LER-(n + 1), donde A es de tipo-a, B es de tipo-b y 1 ≤ a < b ≤ n.

- MP+=: +(A → B ) → (+A → +B) es un axioma de LER-(n + 1), donde A es de tipo-a, B es de tipo-b y 1 ≤ a = b ≤ n.

- A × R: A → •A es un axioma de LER-(n + 1), donde A es de tipo-a, • es de tipo-r, 1 ≤ a ≤ n y a ≤ r.

- A×T: −₂¬₁X→ •₁X es un axioma de LER-(n + 1), donde +₁X es una fórmula de profundidad-n.

- A×E: −₁X→ ¬₂ +₁X es un axioma de LER-(n + 1), donde +₁X es una fórmula de profundidad-n.

- A×A×: X es un axioma de LER-(n + 1), donde X es un axioma de LER-n

- A×+: +X es un axioma de LER-(n + 1), donde X es un teorema de LER-n.

1. Para n ≥ 1, X y Y fórmulas de tipo-t, con t ≤ n. +(X ∧ Y) → (+X ∧ +Y) es un teorema de LR-(n + 1) y de LR.

2. Para n ≥ 1, X y Y fórmulas de profundidad-t, con t ≤ n. (+X ∧ + Y ) → +(X ∧ Y) es un teorema de LR-(n + 1) y de LR.

3. Para n ≥ 1, X y Y fórmulas de tipo-t, con t ≤ n. +(X ∧ Y) ↔ (+X ∧ +Y) es un teorema de LR-(n + 1) y de LR.

1. RM_a (Restricción del mundo actual). Si M_a es el mundo actual entonces 1 ≤ a ≤ n.

2. RE < (Restricción de encaje interno). Si Dq₊₁ es un mundo posible entonces Dq es un mundo posible. Se dice que Dq está encajado en Dq₊₁.

3. RA (Restricción de accesibilidad). Las relaciones de accesibilidad son de la forma N_{q +1}RD_q.

4. RAE< (Restricción de accesibilidad encajada interna). Si N_p+2RD_p+1, N_p+1 existe y D_p existe entonces N_p+1RD_p.

5. (a) RR (Restricción de reflexividad). Para cada N_q+1, si R es de tipo-r y 1 ≤ q ≤ r entonces N_q+1RN_q.

6. RE (Restricción de euclidianidad). Si K_p+2R₂N_p+1 y K_p+1R₁F_p entonces N_p+1R₁F_p.

7. RT (Restricción de transitividad). Si K_p+2R₂N_p+1, N_p+1R₁F_p y Kp₊₁ existe entonces K_p+1R₁F_p.

5. (b) RS (Restricción de serialidad). Para cada N_q+1, si R es de tipo-r y 1 ≤ q ≤ r entonces existe D_q tal que N_q+1RD_q.

V∼. V (D_k, ∼X) = 1 ⇔ V (D_k, X) = 0.

V∧. V (D_k, X ∧ Y) = 1 ⇔ V (D_k, X) = 1 = V (D_k, Y).

V∨. V (D_k, X ∨ Y) = 0 ⇔ V (D_k, X) = 0 = V (D_k, Y).

V→. V (D_k, X → Y) = 0 ⇔ V (D_k, X) = 1 y V (D_k, Y) = 0.

V↔. V (D_k, X ↔ Y ) = 1 ⇔ V (D_k, X) = V (D_k, Y ).

V+. V (D_p+1,+Z ) = 1 ⇔ (∀N_p ∈ S)(D_p+1RN_p ⇒ V (N_p , Z) = 1), donde 1 ≤ p < a, y Z es una fórmula de tipo-p.

VP. Si X es una fórmula de tipo-p, con 1 ≤ p ≤ a, entonces para cada t, con p ≤ t ≤ a, si D_t existe entonces V (D_t, X) = V (D_p, X).

3. Para A y B fórmulas de profundidad-t, con 1 ≤ t ≤ n. Si A y A → B son n-válidas entonces B también es n-válida.

Prueba. Para la parte 1, supóngase que X de tipo-a es n-válida, por lo que, en la búsqueda constructiva de un n-modelo refutador de la fórmula X, resulta una cadena inconsistente C = M_a. . . N_k+1D_k para algún k tal que 1 ≤ k ≤ a ≤ n. Por lo tanto, en la búsqueda constructiva de un (n + 1)- modelo refutador de la fórmula X, resulta la misma cadena inconsistente C = M_a. . . N_k+1D_k para algún k, 1 ≤ k ≤ a ≤ n + 1. Se concluye entonces que X es (n + 1)-válida.

Supóngase que +X no es (n+1)-válida, por lo que existe un (n+1)-modelo refutador de +X, M O = (S, M_a+1, RA, V), con 1 ≤ a ≤ n, tal que +X no es verdadera en MO, es decir, V (M_a+1,+X) = 0. Por la regla V + resulta que existe un mundo posible Na tal que Ma+1RNa, donde R es la relación asociada a +, y V (N_a, X) = 0. El (n+1)-modelo MO se encuentra formado por cadenas consistentes de la forma M_a+1N_a . . . S_k, las cuales tienen profundidad a lo sumo a + 1, y, además, en el mundo M_a+1 la fórmula +X toma el valor 0, y en el mundo N_a la fórmula X toma el valor 0. A partir del (n + 1)-modelo refutador MO de +X se construye un n-modelo refutador MO′ de la fórmula X de la siguiente manera: se elimina el mundo actual M_a+1 del conjunto S obteniéndose el conjunto S′, y se toma como mundo actual del modelo MO′ el mundo N_a; en la relación de accesibilidad del modelo MO se eliminan las relaciones de accesibilidad existentes entre el mundo actual M_a+1 y cualquier otro mundo obteniéndose el conjunto de relaciones RA′, y del dominio de V se excluye el mundo actual M_a+1 obteniéndose V′. Como resultado se obtiene el modelo MO′ = (S′, N_a, R_A′, V ′), el cual por construcción se encuentra formado por cadenas consistentes N_a. . . S_k de profundidad a lo sumo a, con a ≤ n, lo que significa que MO′ es un n-modelo, y, además, en el mundo actual N_a la fórmula X toma el valor 0, por lo tanto, MO′ es un n-modelo refutador de la fórmula X, es decir, X no es verdadera en el n-modelo MO′, por lo que X no es n-válida. De lo anterior se concluye que si +X no es (n + 1)-válida, entonces X no es n-válida, es decir, si X es n-válida entonces +X es (n + 1)-válida.

La parte 2 se prueba como la parte 1.

Para la parte 3, sean A de tipo-a y B de tipo-b. Caso 1: a ≤ b, si B no es n-válida entonces existe un n-modelo con mundo actual M_b tal que V (M_b, B) = 0, pero como A → B es n-válida, resulta que V (M_b, A → B) = 1, por la regla V → se infiere que V (M_a, A) = 0, contradiciendo la n-validez de A. Caso 2: a ≥ b, si B no es n-válida entonces A∧B tampoco es n-válida, por lo que existe un n-modelo con mundo actual Matal que V (M_a, A ∧ B) = 0, es decir, V (M_a, A) = 0 ó V (M_b, B) = 0, pero como A es n-válida, entonces V (M_b, B) = 0, como A → B es n-válida, resulta que V (M_a, A → B) = 1, y por la regla V → se infiere que V (M_a, A) = 0, contradiciendo la n-validez de A.

Proposición 5.2 (n-validez de los axiomas). Sea X de profundidad-t, con t ≤ n. Si X es un axioma de LR-n entonces X es n-válida.

Prueba. Supóngase que X es un axioma de LR-n, se probará que X es n-válida haciendo inducción sobre n.

Paso base 1 (n = 1). Se debe probar: si X es un axioma de LR-1 entonces X es 1-válida, lo cual es cierto ya que el sistema LR-1 es el cálculo proposicional clásico CP, 1-validez es validez en CP y utilizando el teorema de validez de CP , presentado en [17], se obtiene que si X es un teorema de CP entonces X es CP-válida.

Paso de inducción. Como hipótesis inductiva 1 se tiene, para cada fórmula Y que, si Y es un axioma de LR-n entonces Y es n-válida. Supóngase que X es un axioma de LR-(n + 1), se debe probar que X es (n + 1)-válida. Al ser X un axioma se deben considerar nueve casos: en el primer caso X es un axioma de LR-n, en el segundo X es de la forma +Y , donde Y es un teorema de LR- n, en el tercer y cuarto caso X es de la forma +(Y → Z) → (+Y → +Z), en el quinto caso X es de la forma Z → •Z , donde el tipo de • es mayor o igual que el tipo de Z , en el sexto caso X es uno de los axiomas de CP, en el séptimo caso X es de la forma −₂¬₁Z→ •₁Z, en el octavo caso X es de la forma −₁Z→ ¬₂ +₁Z, y en el noveno caso X es de la forma +Z → •Z, donde el tipo de + es mayor o igual que el tipo de Z .

En el primer caso, X es un axioma de LR-n; utilizando la hipótesis inductiva resulta que X es n-válida y, por la proposición 5.1, numeral 1, se infiere que X es (n + 1)-válida.

En el segundo caso, X es de la forma +Y , donde Y es un teorema de LR-n. Se probará que Y es n-valida por inducción sobre la longitud L de la demostración de Y en LR-n.

Paso base 2 (L = 1). Si la longitud de la demostración de Y en LR-n es 1, entonces Y es un axioma de LR-n, lo cual, por la hipótesis inductiva 1, significa que Y es n-válida.

Paso de inducción. Como hipótesis inductiva 2 se tiene que para cada fórmula Z , si Z es un teorema de LR-n y la longitud de la demostración de Z tiene longitud menor que L (donde L ≥ 1) entonces Z es n-válida. Si Y es un teorema de LR-n y la longitud de la demostración de Y es L, entonces Y es un axioma de LR-n ó Y es consecuencia de aplicar modus ponens en pasos anteriores de la demostración. En el primer caso se procede como en el caso base. En el segundo caso se tienen en LR-n, para alguna fórmula W, demostraciones de W y de W → Y, donde la longitud de ambas demostraciones es menor que L; utilizando la hipótesis inductiva 2 se infiere que W y W → Y son n-válidas, y por la proposición 5.1, numeral 3, resulta que Y es n-válida.

Con la segunda inducción se ha probado que, si Y es un teorema de LR-n entonces Y es n-válida, y por la proposición 5.1, numeral1, resulta que +Y es (n + 1)-válida, por lo que X es (n + 1)-válida.

En el tercer caso (MP+ =), X es de la forma +(A → B) → (+A → +B ), donde A y B son fórmulas de tipo-a. Si esta fórmula no fuese (n + 1)-válida, entonces existiría un (n + 1)-modelo tal que en el mundo actual M_a+1, V(M_a+1,+(A → B) → (+A → +B)) = 0, lo cual, según la regla V →, significa V (M_a+1,+(A → B)) = 1 y V (M_a+1,+A → +B) = 0, y de nuevo, por la misma regla, se obtienen V (M_a+1,+A) = 1 y V (M_a+1,+B) = 0; de esta última, por la regla V +, se infiere la existencia de un mundo N_a tal que M_a+1RN_a y V (N_a, B) = 0, y como V (M_a+1,+(A → B)) = 1 por V + se infiere V (N_a, A → B) = 1, y como V (M_a+1,+A) = 1, por V + se obtiene V (N_a, A) = 1, y como ya se tiene V (N_a, A → B) = 1, por V → se genera V (N_a, B) = 1, pero esto es imposible, ya que V (N_a, B) = 0. Por lo tanto, +(A → B) → (+A → +B) es (n + 1)-válida.

En el cuarto caso (MP+ <), X es de la forma +(A → B) → (+A → +B), donde A es de tipo-a, B es de tipo-b y a < b. Si esta fórmula no fuese (n + 1)-válida, entonces existiría un (n + 1)-modelo tal que en el mundo actual M_b+1, V(M_b+1,+(A → B ) → (+A → +B )) = 0, lo cual, según la regla V →, significa V (M_b+1,+(A → B)) = 1 y V (M_b+1,+A → +B) = 0, por la restricción RE < existe la secuencia de mundos encajados M_b+1, M_b, . . . , M_a+1, M_a, . . . , M₂, M₁, y de nuevo por la regla V → se obtienen V (M_a+1,+A) = 1 y V (M_b+1,+B ) = 0; de esta última, por la regla V+, se infiere la existencia de un mundo N_b tal que M_b+1RN_b y V (N_b, B) = 0, y como V (M_b+1,+(A → B)) = 1, también se infiere V (N_b, A → B) = 1. Como M_b+1RN_b, entonces, por la restricción RAE<, resulta que M_bRN_b−1, . . . , M_a+1RN_a, y como V (M_a+1,+A) = 1, por V+ se obtiene V (N_a, A) = 1, pero, como ya se tiene V (N_b, A → B) = 1, por V → se genera V (N_b, B) = 1, pero esto es imposible, ya que V (N_b, B) = 0. Por lo tanto, +(A → B) → (+A → +B) es (n + 1)-válida.

En el quinto caso X es de la forma Z → •Z (axioma específico de LER-n), donde el tipo de • es mayor o igual que el tipo de Z. Supóngase que Z es de tipo-a y • es de tipo-r, con 1 ≤ a ≤ n y a ≤ r, si esta fórmula no fuese (n + 1)-válida, entonces existiría un (n + 1)-modelo tal que en el mundo actual M_a+1, V(M_a+1, Z→ •Z) = 0, lo cual, según la regla V →, significa V (M_a, Z) = 1 y V (M_a+1,•Z) = 0, es decir, V (M_a+1,∼+∼Z ) = 0, resultando que V (M_a+1,+∼Z ) = 1, utilizando la restricción RR (restricción específica de LER-n) se tiene M_a+1RM_a, resultando que V (M_a, ∼ Z) = 1, es decir, V (M_a, Z) = 0, lo cual no es el caso. Por lo tanto, Z → •Z es (n + 1)-válida cuando el tipo de • es mayor o igual que el tipo de Z.

En el sexto caso X es uno de los axiomas de CP , por lo que, utilizando las reglas Vat, V ∼, V ∧, V ∨, V → y V ↔, y procediendo como es habitual para la validez del cálculo proposicional clásico (para detalles del caso clásico ver [17]), se concluye que X es (n + 1)-válida.

En el séptimo caso X es de la forma −₂¬₁Z→ •₁Z. Supóngase que Z es de tipo-a, con 1 ≤ a < n, si esta fórmula no fuese (n + 1)-válida, entonces existiría un (n + 1)-modelo tal que en el mundo actual M_a+2, V(M_a+2,−₂¬₁Z→ •₁Z) = 0, lo cual, según la regla V →, significa V (M_a+2,−₂¬₁Z) = 1 y V (M_a+1,•₁Z) = 0, es decir, V (M_a+1,∼₊₁∼Z ) = 0 y entonces V (M_a+1,₊₁∼ Z ) = 1, utilizando la regla V − de la proposición 3.1 resulta que existe un mundo N_a+1 tal que M_a+2R₂N_a+1, y en el cual V (N_a+1,¬₁Z) = 0, por la regla V ¬ de la proposición 3.1 resulta que existe un mundo S_a tal que N_a+1R₁S_a, y en el cual V (S_a, Z) = 1, pero por la restricción RT se obtiene M_a+1R₁S_a, por lo que se infiere V (S_a, ∼ Z ) = 1, es decir, V (S_a, Z ) = 0, lo cual es imposible, por lo tanto, −₂¬₁Z→ •₁Z es (n + 1)-válida.

En el octavo caso X es de la forma −₁Z→ ¬_{2 +1}Z. Supóngase que Z es de tipo-a, con 1 ≤ a < n, si esta fórmula no fuese (n + 1)-válida, entonces existiría un (n+1)-modelo tal que en el mundo actual M_a+2, V(M_a+2,−₁Z→ ¬_{2 +1}Z) = 0, lo cual, según la regla V →, significa V (M_a+1,−₁Z) = 1 y V (M_a+2,¬₂+₁Z) = 0, utilizando la regla V − se infiere la existencia de un mundo N_a tal que M_a+1R₁N_a y V (N_a, Z) = 0, además, por la regla V ¬, resulta que existe un mundo S_a+1 tal que M_a+2R₂S_a+1 y V (S_a+1,₊₁Z) = 1; utilizando la restricción RE se obtiene S_a+1R₁N_a resultando que V (N_a, Z) = 1, lo cual es imposible, por lo tanto, −₁Z→ ¬₂₊₁Z es (n + 1)-válida.

En el noveno caso X es de la forma +Z → •Z (axioma específico de LDR-n), donde el tipo de + es mayor o igual que el tipo de Z . Supóngase que Z es de tipo-a y + es de tipo-r, con 1 ≤ a ≤ n y a ≤ r, si esta fórmula no fuese (n + 1)-válida, entonces existiría un (n + 1)-modelo tal que en el mundo actual M_a+1, V(M_a+1,+Z → •Z ) = 0, lo cual, según la regla V →, significa V (M_a+1,+Z ) = 1 y V (M_a+1,•Z) = 0, utilizando la restricción RS (restricción específica de LDR-n) se tiene la existencia de Natal que M_a+1RN_a, lo cual, de acuerdo a las reglas V + y V •, implica que V (N_a, Z ) = 1 y V (N_a, Z) = 0, lo cual es imposible. Por lo tanto, +Z → •Z es (n+1)-válida cuando el tipo de • es mayor o igual que el tipo de Z.

Proposición 5.3 (Validez de LER-n y LDR-n). Para n ≥ 1 y X una fórmula de profundidad-n. Si X es un teorema de LR-n entonces X es n- válida.

Prueba. Supóngase que X es un teorema de LR-n, se prueba que X es n-válida por inducción sobre la longitud L de la demostración de X es LR-n.

Paso base (L = 1). Si la longitud de la demostración de X en LR-n es uno, entonces X es un axioma de LR-n, lo cual, por la proposición 5.2, significa que X es n-válida.

Paso de inducción. Como hipótesis inductiva se tiene que para cada fórmula Y, si Y es un teorema de LR-n y la longitud de la demostración de Y tiene longitud menor que L (donde L ≥ 1), entonces Y es n-válida. Si X es un teorema de LR-n y la longitud de la demostración de X es L, entonces X es un axioma de LR-n ó X es consecuencia de aplicar modus ponens en pasos anteriores de la demostración. En el primer caso se procede como en el caso base. En el segundo caso se tienen en LR-n, para alguna fórmula Y , demostraciones de Y y de Y → X, donde la longitud de ambas demostraciones es menor que L; utilizando la hipótesis inductiva se infiere que Y y Y → X son n-válidas, y por la proposición 5.1, numeral 3, resulta que X es n-válida.

Proposición 5.4 (Teoremas de LR en LR-n). Para cada fórmula X. X es un teorema de LR si y sólo si existe t ≥ 1 tal que para cada n ≥ t, X es un teorema de LR-n.

Prueba. Supóngase que X es un teorema de LR, por lo que X es consecuencia de un número finito de axiomas de LR, pero los axiomas de LR son los axiomas de los sistemas LR-n, por lo que debe existir un t tal que todos los axiomas utilizados en la prueba de X sean axiomas de LR-t, resultando que X es un teorema de LR-t. Se ha probado que, si X es un teorema de LR entonces X es un teorema de LR-t, y como los axiomas de LR-t son axiomas de LR-n para n ≥ t, se obtiene que, si X es un teorema de LR entonces para cada n ≥ t, X es un teorema de LR-n. Para probar la recíproca, supóngase que X es un teorema de LR-t, lo cual significa que existe una demostración de X a partir de los axiomas de LR-t, y como los axiomas de LR-t son axiomas de LR, entonces la demostración de X en LR-t también es una demostración de X en LR, por lo tanto, X es un teorema de LR.

Proposición 5.5 (Validez de LER y LDR). Para cada fórmula X. Si X es un teorema de LR entonces X es válida.

Prueba. Supóngase que X es un teorema de LR y que X es una fórmula de profundidad-p arbitraria. Por la proposición 5.4 resulta que existe t ≥ 1 tal que para cada n ≥ t, X es un teorema de LR-n, lo cual, según la proposición 5.3, significa que para cada n ≥ t, X es n-válida.

Si X no es válida, entonces existe un modelo M en el cual X es falsa, es decir, V (M_a, X) = 0 donde M_a es el mundo actual, el cual es de profundidad- a, con a ≥ p, por lo que el modelo M es de profundidad-a, resultando que X no es a-válida, y como para cada n ≥ t, X es n-válida, entonces a < t. Pero si a < t entonces todo a-modelo es un t-modelo, resultando que X no es t-válida, lo cual es imposible. Por lo tanto, X es válida.

6 Completitud

Definición 6.1 (Extensión consistente y completa). Una extensión de un sistema deductivo se obtiene alterando el conjunto de axiomas de tal manera que todos los teoremas del sistema sigan siendo teoremas y que el lenguaje de la extensión coincida con el lenguaje del sistema deductivo. Una extensión es consistente si no existe ninguna fórmula X tal que tanto X como ∼X sean teoremas de la extensión. Un conjunto de fórmulas es inconsistente si de ellas se derivan Z y ∼Z para alguna fórmula Z. Una extensión es completa si para toda fórmula X, del lenguaje de la extensión, o bien X o bien ∼X es teorema de la extensión.

Proposición 6.1 (Extensión consistente de LER-n y de LDR-n).

1. Para cada n ≥ 1, LR-n es consistente.

Prueba. Supóngase que LR-n no fuese consistente, por lo que debe existir una fórmula X de profundidad-n tal que tanto X como ∼X sean teoremas. Entonces, por la proposición 5.3, tanto X como ∼X son fórmulas n-válidas, pero esto es imposible, ya que si ∼X es una fórmula n-válida, entonces para todo n-modelo (S, M_a, RA, V ) se tienen V (M_a, ∼X) = 1, es decir, según V∼, V (M_a, X) = 0, por lo que X no puede ser n-válida, lo cual no es el caso. Por lo tanto, LR-n es consistente.

Para la parte 2, si LR no es consistente, entonces existe una fórmula X tal que tanto X como ∼X son teoremas de LR. Pero las demostraciones de X y ∼X en LR son sucesiones finitas de fórmulas, por lo que cada demostración contiene casos particulares de un número finito de axiomas de LR. Por lo que debe existir un n suficientemente grande para que todos estos axiomas utilizados sean axiomas de LR-n, resultando que LR-n es inconsistente, lo cual, según la parte 1, no es el caso. Por lo tanto, LR es consistente.

La parte 3 es un resultado bastante conocido, para detalles ver [16, 17].

Proposición 6.2 (Extensión consistente y completa).⁴ Si E es una extensión consistente de LR-n (o de LR), entonces existe una extensión consistente y completa de E.

Prueba. Es una construcción estándar conocida como el lema de Lindenbaum, para detalles ver [16, 17].

Proposición 6.3 (Consistencia +-subordinada). Sean Y una fórmula de tipo-t, con t ≤ n, y Z₁, . . . , Z_k fórmulas de profundidad-a, con a ≤ t. Si {+Z₁, . . . , +Z_k, •Y } es consistente en LR-(n + 1), entonces {Z₁, . . . , Z_k, Y } es consistente en LR-n.

Prueba. Supóngase que {Z₁ , . . . , Z_k, Y} es inconsistente en LR-n, por lo que existe una fórmula W tal que, a partir de {Z₁ , . . . , Z_k, Y } se infieren W y ∼W en LR-n; utilizando LCP resulta que (Z₁ ∧ . . . ∧ Z_k∧ Y ) → (W ∧∼W ) es un teorema de LR-n, y, por LCP , en LR-n resulta ∼(Z₁∧ . . . ∧ Z_k∧ Y), lo cual, por LCP , significa (Z₁ ∧. . . ∧Z_k) →∼Y . Como esta fórmula es de tipo-t, utilizando A×+ resulta que +((Z₁ ∧. . .∧Z_k) →∼Y) es derivable en LR-(n+1) como a ≤ t, por MP+< y MP+= se infiere +(Z₁ ∧ . . . ∧ Z_k) → +∼Y . Como Z₁, . . . , Z_k son de profundidad-a, con a ≤ n, entonces, por la proposición 2.1, numeral 2, resulta que (+Z₁ ∧ . . . ∧ +Z_k) → +(Z₁ ∧ . . . ∧ Z_k) es un teorema de LR-(a + 1) y de LR-(n + 1), por lo que, utilizando LCP, se infiere (+Z₁ ∧ . . . ∧ +Z_k) → + ∼ Y en LR-(n + 1), lo cual, por LCP y la definición de posibilidad, equivale a ∼ (+Z₁ ∧ . . . ∧ +Z_k∧ •Y), por lo que {+Z₁, . . . , +Z_k, •Y} es inconsistente en LR-(n + 1).

Definición 6.2 (+-subordinado). Para 1 ≤ p ≤ n, si E es una extensión consistente y completa de LR-n, entonces E_p= {X ∈ E : X es de profundidad- p} es un encajado de E, y se dice que E_p es de profundidad-p. Cuando p < n, se dice que E_p es encajado de E_p+1. En se identifica con E.

Sean E y F extensiones consistentes y completas de LR-n, con 1 ≤ p < n. Se dice que F_p es +-subordinado de E_p+1 si y solamente si existe una fórmula Y de tipo-p tal que •Y está en E_p+1, y, además, para cada fórmula Z de tipo-p, tal que +Z está en E_p+1, se tiene que Y y Z están en F_p. Se dice que F es +-subordinado de E cuando F_n−1 es +-subordinado de E_n.

Proposición 6.4 (Extensión +-subordinada consistente y completa).

1. Para 1 ≤ p ≤ n, si E es una extensión consistente y completa de LR-n, entonces E_p es una extensión consistente y completa de LR-p.

Prueba. Para la parte 1, sea E una extensión consistente y completa de LR-n, y sea Ep un encajado de E_p+1. Si E_p es inconsistente entonces existe una fórmula Z tal que tanto Z como ∼ Z son derivables en E_p, y como E_p está incluido en E, resulta que tanto Z como ∼ Z son derivables en E, es decir, E es inconsistente, lo cual no es el caso. Por lo tanto, E_p es consistente. Sea X una fórmula de profundidad-t, con 1 ≤ t ≤ p, como E es completa entonces X ∈ E ó ∼X ∈ E, al ser X y ∼X de profundidad-t y E_p un encajado de E_p+1, por definición, se infiere que X ∈ E_p ó ∼ X ∈ E_p , es decir, E_p es completa.

Para la parte 2, sea X una fórmula de tipo-p tal que la fórmula •X esté en E_p+1. Sea E_X= {X} ∪ {Z : +Z está en E_p+1}, como por la parte 1, E_p+1 es consistente en LR-(p + 1), entonces, por la proposición 6.3, E_X también es consistente en LR-p, es decir, la unión de LR-p con E_X es una extensión consistente de LR-p. Utilizando la proposición 6.2, se construye una extensión consistente y completa F de LR-p la cual incluye a E_X. Como X está en E_X, también está en F, y como X es de tipo-p, resulta que X está en F_p. Si W es de tipo-p y +W está en E_p+1, por definición, W está en E_X, por lo que W está en F, y al ser W de tipo-p, también está en F_p. Por lo tanto, F_p es +-subordinado de E_p+1.

La parte 3, en el sistema LER-n, es consecuencia de la parte 2, al tener en cuenta que + es de tipo-r y p ≤ r, por A×R, en LER-2 se tiene •(Q → Q), donde Q es una fórmula atómica, y por A×R resulta • • (Q → Q) en LER-3, y continuando de esta manera se construye una fórmula Z de tipo-p tal que •Z está en LER-(p + 1).

La parte 3, en el sistema LDR-n, es consecuencia de la parte 2, al tener en cuenta que, por A×+, en LDR-2 se tiene +(Q → Q), donde Q es una fórmula atómica, y como + es de tipo-r y p 6 r, por A×S, resultaría •(Q → Q), de igual manera resulta • • (Q → Q) en LDR-3, y continuando de esta manera se construye una fórmula Z de tipo-p tal que •Z está en LDR-(p + 1).

La parte 4 se prueba de igual forma que la parte 3.

Proposición 6.5 (Propiedades de la +-subordinación). Para 1 ≤ p < n − 1 y 1 ≤ q ≤ n−1, sean E, F y G extensiones consistentes y completas de LR-n.

Prueba. Para la parte 1 supóngase que G_p es +₁-subordinado de F_p+1 y F_p+1 es +₂-subordinado de E_p+2. Como G_p es ₊₁-subordinado de F_p+1, entonces existe en F_p+1 una fórmula •₁Z tal que Z está en G_p y Z es de tipo-p. Si •₁Z no está en E_p+2, entonces al ser una extensión completa, ∼•₁Z si debe estarlo, además, por A×T , se tiene que −₂¬₁Z→ •₁Z está en E_p+2, por lo que ∼−₂¬₁Z, es decir, +₂+₁∼Z de tipo-(p + 2) también está en E_p+2, y al ser F_{p+1 +2} -subordinado de E_p+2 resulta que +₁ ∼ Z está en F_p+₁, lo cual significa que ∼ •₁Z está en F_p+1, pero esto es imposible ya que F_p+1 es consistente. Por lo que •₁Zestá en E_p+2, y como •Z es de tipo-(p + 1), entonces también está en E_p+1.

Sea W una fórmula de tipo-p tal que +₁W está en E_p+1, es decir, ∼•₁ ∼W está en E_p+1 y también en E_p+2; utilizando A×T −₂¬₁∼W → •₁∼W resulta que ∼−₂¬₁∼W está en E_p+2, por lo que +₂+₁ W está en E_p+2, y como es +₂-subordinado de E_p+2, se infiere que +₁W está en, como, además, G_p es +₁-subordinado de F_p+1, entonces W está en G_p. En resumen, existe una fórmula •₁Z en E_p+1 tal que para cada fórmula +₁ W en E_p+1 se tiene que Z y W están en G_p , y, por lo tanto, G_p es +₁-subordinado de E_p+1.

Para la parte 2 supóngase que F_p+1 es +₂-subordinado de E_p+2 y G_p es +₁-subordinado de E_p+1. Como G_p es +₁-subordinado de E_p+1, entonces existe en E_p+1 una fórmula •₁Z tal que Z está en G_p y Z es de tipo-p. Como •₁Z está en E_p+1, es decir, −₁ ∼ Z está en E_p+1 y también en E_p+2, utilizando A×E−₁∼Z → ¬₂+₁∼Z resulta que ¬₂+₁ ∼Z está en E_p+2, lo cual significa que +₂ •₁Z está en E_p+2, y como F_p+1 es un +₂-subordinado de E_p+2, entonces •₁Z está en F_p+1.

Supóngase que +₁W está en F_p+1 con W de tipo-p. Si +₁ W no está en E_p+1, entonces ∼+₁W está en E_p+1, es decir, −1W está en E_p+1, y también en E_p+2; utilizando A×E −₁W→ ¬₂+₁ W, se infiere que ¬₂+₁ W está en E_p+2, o sea que +₂∼+₁ W está en E_p+2, pero al ser F_p+1+₂-subordinado de E_p+2 se tiene que ∼+₁W está en F_p+1, lo cual es imposible ya que F_p+1 es consistente, y, por lo tanto, +₁W está en E_p+1, y como G_p es +₁-subordinado de E_p+1, entonces W está en G_p. Se concluye que, para cada +₁W en F_p+1 resulta que W está en G_p. En resumen, existe una fórmula •₁Z en tal que para cada fórmula +₁W en se tiene que Z y W están en G_p, y, por lo tanto, G_p es +₁-subordinado de F_p+1.

Para la parte 3, en el sistema LER-n sea F una extensión consistente y completa de LER-n, y sea X de tipo-p, con p < n − 1, un axioma de CP , por lo que en LER-p se tiene X, y por A×A× en LER-(p + 1) también se tiene X, y como + es de tipo-r y p ≤ r, por A×R, se tiene X → •X, derivándose •X, por lo que X y •X están en F, resultando que •X está en F_p+1 y X está en F_p. Supóngase que +W está en F_p+1, con W de tipo-p, por A×R en F_p+1 se tiene ∼W → •∼W F_p+1, es decir, +W → W , resultando que W también está en F_p+1, y como W es de tipo-p, entonces W está en F_p. Por lo tanto, F_p es +-subordinada de F_p+1.

Para la parte 4, supóngase que G_n−1 es +-subordinado de F_n donde 1 < n, + es de tipo-r y n − 1 ≤ r. Si la conclusión fuese falsa, debe existir un q máximo tal que, q < n − 1 ≤ r y G_q no es +-subordinado de Fq+1.

En el caso del sistema LER-n se sabe que Q → Q, donde Q es una fórmula atómica, está en LER-1, por A×R, •(Q → Q) está en LER-2, resultando que •(Q → Q) está en F₂ y Q → Q está en G₁, de nuevo por A×R, • • (Q → Q) está en F₃ y •(Q → Q) está en G₂, y continuando de esta manera se construye una fórmula Z de tipo-q tal que •Z está en F_q+1 y Z está en G_q.

En el caso del sistema LDR-n se sabe que Q → Q donde Q es una fórmula atómica está en LDR-1, por A×+, +(Q → Q) está en LDR-2, y por A×S, •(Q → Q) está en LDR-2, y de nuevo por A×+ y A×S, • • (Q → Q) está en LDR-3 y •(Q → Q) está en LDR-2, y continuando de esta manera se construye una fórmula Z de tipo-q tal que •Z está en LDR-(q + 1) y Z está en LDR-q, concluyéndose que existe una fórmula Z de tipo-q tal que •Z está en F_q+1 y Z está en G_q.

Se tiene entonces que en LR-n existe una fórmula Z de tipo-q tal que •Z está en F_q+1 y Z está en G_q, y como G_q no es +-subordinado de F_q+1, entonces debe existir una fórmula W de tipo-q tal que +W está en F_q+1 yW no esté en G_q. Si +W está en F_q+1, al ser de tipo-(q + 1) +W está en F_q+2, y también por A×T−¬ ∼ W → • ∼ W está en F_q+2, es decir, +W → + + W está en F_q+2, resultando que + + W está en F_q+2; como q es máximo tal que G_q no es +-subordinado de F_q+1, resulta que G_q+1 es +-subordinado de F_q+2, y entonces +W está en G_q+1, y se sabe por la parte 3 que G_q es +-subordinado de G_q+1, por lo que W está en G_q, lo cual no es el caso. Por lo tanto, para cada q, con 1 ≤ q < n, se tiene G_q es +-subordinado de F_q+1, donde 1 < n.

Para la parte 5, en los sistemas LER-n y LDR-n, como se muestra en la parte 4, existe X de tipo-q tal que •X está en E_q+1 cuando + es de tipo- r y q ≤ r; por la proposición 6.4, numeral 2, se infiere la existencia de una extensión consistente y completa F tal que F_q es +-subordinada de E_q+1.

Proposición 6.6 (Construcción de un n-modelo). Si E′ es una extensión consistente de LR-n, entonces existe un n-modelo en el cual todo teorema de E′ es verdadero.

Prueba. Se define el candidato a n-marco (S_n, M E_n, RA) de la siguiente manera: sean E, F, G, . . ., extensiones consistentes y completas de E′ (E_n la inicial y las demás subordinadas), presentadas en las proposiciones 6.2 y 6.4. A cada extensión F, es decir, F_n, se le asocia un mundo posible MF, es decir, M F_n, y a cada extensión encajada F_k de F se le asocia un mundo posible encajado M F_k de MF, sean S_n el conjunto de tales mundos posibles y ME_n el mundo actual. Las relaciones de accesibilidad R del conjunto RA se construyen así: M F_t+1RM G_t si y solamente si G_t es +-subordinado de F_t+1.

Para afirmar que (S_n, M E_n, RA) es un n-marco, se deben garantizar las correspondientes restricciones. La restricción RM a se encuentra garantizada por la proposición 6.2, la restricción RE < se encuentra garantizada por la definición de encajado y la proposición 6.4 numeral 1, RA por la definición de +-subordinado, RAE < por la proposición 6.5, numeral 4, RR por la proposición 6.5, numeral 3, RE por la proposición 6.5, numeral 2, RT por la proposición 6.5, numeral 1, y RS por la proposición 6.5, numeral 5.

Asociado al n-marco (S_n, M E_n, RA) se define el candidato a n-modelo M = (S_n, M E_n, RA, V) sobre las fórmulas de LR-n haciendo para cada M F_k en S_n y para cada fórmula X de tipo-t donde 1 ≤ t ≤ k ≤ n, V (M F_k, X) = 1 si X está en F_k, y V (M F_k, X) = 0 si ∼X está en F_k, donde F_k es la extensión consistente y completa asociada a M F_k. Nótese que V es una relación funcional por ser F_k consistente y completa. Ahora bien, ya que F_k es consistente, entonces V (M F_k, X) ≠ V (M F_k, ∼X) y, por lo tanto, V (M F_k, X) = 1 ⇔ V (M F_k, ∼ X) = 0, por lo que se satisface la definición V ∼. Para afirmar que M es un n-modelo, se debe garantizar que para cada uno de los conectivos, V satisface la definición de valuación.

Para el caso del condicional, sea X → Y una fórmula de tipo-t donde 1 ≤ t ≤ k ≤ n. Utilizando LCP se tiene la siguiente cadena de equivalencias: V (M F_k, X → Y) = 0, es decir, ∼ (X → Y) está en F_k, o sea que X∧ ∼ Y está en F_k, resultando que X y ∼ Y están en F_k, lo cual significa que V (M F_k, X) = 1 y V (M F_k, Y) = 0, por lo que se satisface la definición V →. Para los demás conectivos binarios se procede de igual forma.

Para el caso de la regla V +, donde 1 ≤ p < n, M es un mundo asociado a F_p+1, MG_p es un mundo asociado a G_p y Z es una fórmula de tipo-p. Supóngase que V (M ,+Z) = 1, por lo que +Z está en . Si MF_p+1 RM G_p, entonces G_p es subordinada de F_p+1 y Z está en G_p, resultando que V (M G_p, Z ) = 1. Se ha probado de esta manera que V (M ,+Z) = 1 ⇒ (∀M G_p ∈ S_n)(MF_p+1 RM G_p ⇒ V (M G_p, Z ) = 1).

Para probar la recíproca, supóngase que (∀M G_p∈ S_n)(MF_p+1 RM G_p⇒ V (M G_p, Z) = 1). Si V (MF_p+1 ,+Z) = 0, entonces al ser MF_p+1 el mundo asociado a la extensión consistente y completa F_p+1 resulta que ∼+Z está en F_p+1, por lo que ∼+∼∼Z, es decir, •∼Z está en F_p+1. Por la proposición 6.4, numeral 2, existe una extensión consistente y completa G_p subordinada de F_p+1 tal que ∼Z está en G_p. Como MG_p es el mundo asociado a G_p, entonces MF_p+1 RM G_p, lo cual, por el supuesto inicial implica V (M G_p, Z ) = 1, es decir, Z está en G_p, resultando que G_p es inconsistente, lo cual no es el caso. Por lo tanto, V (MF_p+1 ,+Z) = 1. Se ha probado de esta manera que (∀M G_p∈ S_n)(MF_p+1 RM G_p⇒ V (MG_p, Z ) = 1) ⇒ V (MF_p+1 ,+Z ) = 1.

Para el caso de la regla VP, sea X una fórmula de profundidad-p, con 1 ≤ p ≤ n, M F_p, el mundo asociado a la extensión F_p, y para cada t, con p ≤ t ≤ n, sea MF_t el mundo asociado a la extensión F_t. V (MF_p, X) = 1 si y sólo si X está en F_p, como X es de profundidad-p, lo anterior es equivalente a X está en F_t donde p ≤ t ≤ n, pero X está en F_t si y sólo si V (MF_t, X) = 1. Por lo tanto, para cada t, con p ≤ t ≤ n, V (MF_p, X) = V (MF_t, X).

Con base en el análisis anterior, y teniendo en cuenta la forma en que se construye el modelo, se concluye finalmente que V es una valuación, y, por lo tanto, M es un n-modelo.

Para finalizar la prueba, sea X un teorema de E′ , por lo que X está en En. Por lo tanto, utilizando la definición de V , resulta que V (M E_n, X) = 1, es decir, X es verdadera en el n-modelo M = (S_n, ME_n, R, V).

Proposición 6.7 (Completitud de LER-n y de LDR-n). Para cada fórmula X de profundidad-n, con n ≥ 1. Si X es n-válida entonces X es un teorema de LR-n.

Prueba. Sea X una fórmula de LR-n. Si X no es un teorema, entonces, por la proposición 6.1, numeral 3, la extensión E′, obtenida añadiendo ∼X como nuevo axioma, es consistente. Así pues, según la proposición 6.6, existe un n-modelo M tal que todo teorema de E′ es verdadero en M, y como ∼X es un teorema de E′, entonces ∼X es verdadero en M , es decir, X es falso en M, y, por lo tanto, X no es n-válida. Se ha probado de esta forma que, si X no es un teorema de LR-n entonces X no es n-válida, o dicho de otra manera, si X es n-válida entonces X es un teorema de LR-n.

Proposición 6.8 (Completitud de LER y de LDR). Para cada fórmula X, si X es válida entonces X es un teorema de LR.

Prueba. Supóngase que X es válida y que X es de profundidad-p arbitraria, por lo que en la construcción de un modelo refutador de la fórmula X, resulta una cadena inconsistente de mundos posibles C = M_aM_a−1 . . . M_m para algún m, donde a ≥ p ≥ 1 y M_a es el mundo actual de profundidad-a, lo cual significa que X no puede ser refutada por un a-modelo, es decir, X es a- válida. Por la proposición 6.7 se infiere que X es un teorema de LR-a, y como los axiomas de LR-a son axiomas de LR, se concluye que X es un teorema de LR.

Proposición 6.9 (Caracterización semántica de LER-n, LDR-n, LER, LDR). Sea X una fórmula de profundidad-n.

Prueba. La primera parte es consecuencia de las proposiciones 5.3 y 6.7, la segunda se sigue de las proposiciones 5.5 y 6.8.

7 Conclusiones

Cuando el razonador es lo suficientemente fuerte (el tipo de + mayor o igual que el tipo de X), con el axioma A×R se garantiza que las certezas sean verdaderas: +X 7→ X⁵, que las imposibilidades sean falsas: ¬X 7→∼X, que las verdades sean posibles: X 7→ •X, que las falsedades sean refutables: ∼X 7→ −X, y, además, la contraparte semántica de este axioma, es decir, la restricción RR, permite refutar las recíprocas; con el axioma A×S se garantiza que las certezas sean posibles: +X 7→ •X, que las imposibilidades sean refutables: ¬X 7→ −X, que las contradicciones sean refutables: −(X∧∼ X), y, además, la contraparte semántica de este axioma, es decir, la restricción RS, permite refutar las recíprocas.

En los sistemas LER-n, con el axioma A×T , al cual semánticamente le corresponde la restricción RT , se garantiza que refutar una certeza es una imposibilidad: ¬₂ −₁ X ↔ +₁X, y que la posibilidad de una fórmula imposible es una imposibilidad: ¬₂ •₁ X ↔ ¬₁X. Con el axioma A×E, al cual semánticamente le corresponde la restricción RE, se garantiza que la posibilidad de una fórmula posible es una certeza: +₂ •₁X↔ •₁X, y que refutar una fórmula refutable es una certeza: +₂ −₁X↔ −₁X.

Con el axioma MP+=, al cual semánticamente le corresponde la regla V+, se garantiza que si un condicional y su antecedente son certezas, entonces su consecuente también es una certeza cuando en X → Y el antecedente y el consecuente son del mismo tipo: [+(X → Y) ∧ +X] → +Y; y que si una disyunción es certeza y un disyunto es refutable, entonces el otro disyunto es posible: [+(X ∨ Y ) ∧−X] → •Y cuando los disyuntos son del mismo tipo. Con el axioma MP+<, al cual semánticamente le corresponde la regla V+ y a la restricción RAE <, se garantiza que si un condicional y su antecedente son certezas, entonces su consecuente también es una certeza cuando en X → Y el tipo del antecedente es menor que el tipo del consecuente: [+(X → Y ) ∧ +X] → +Y ; y que si una disyunción es una certeza y el disyunto de tipo superior es refutable, entonces el otro disyunto es posible: [+(X ∨ Y ) ∧ −Y ] → •X.

Tal como lo presenta Chellas en Modal logic: an introduction [20], el sistema de lógica modal S5 puede ser construido adicionando al cálculo proposicional clásico los axiomas A×T y A×E restringidos a un mismo razonador, los axiomas MP +< y A×R sin restricciones y la regla de construcción de certezas, de X se infiere +X, presentada en la proposición 5.1 y el axioma A×+. Por esta razón, los sistemas LER-n, con n ≥ 3 y LER, pueden ser considerados como extensiones del sistema S5 generalizado y con diversos tipos de restricciones, las cuales se reflejan en la semántica de mundos posibles como restricciones en la profundidad de los modelos y de los mundos, es decir, como restricciones en la longitud de las cadenas de mundos posibles, en la relación de accesibilidad entre ellos y en el lenguaje asociado a los mismos. Por otro lado, se sabe que al quitar de S5 algunos de los axiomas restringidos A×R, A×T y A×E, se generan diversos sistemas intermedios conocidos como K, KT, K4, K 5, KT 4, KT 5, K 45; observando la presentación de los axiomas, de las reglas semánticas y la estructura de las pruebas presentadas para los sistemas LER-n, se puede concluir que, asociado a cada uno de estos sistemas intermedios, se encuentra una jerarquía naturalmente obtenida a partir de los sistemas LER-n.

De manera similar, los sistemas LDR-n, con n ≥ 3 y LDR, pueden ser considerados como extensiones del sistema KD45 generalizado y con diversos tipos de restricciones; y también se puede concluir que, asociado a cada uno de los sistemas intermedios KD, KD4 y KD5, se encuentra una jerarquía naturalmente obtenida a partir de los sistemas LDR-n.

Observar que las restricciones en el lenguaje de los sistemas (al limitar la aplicabilidad de las reglas de creencia), y las restricciones en el tipo de los razonadores (al limitar las consecuencias del conocimiento de algunos razonadores), le imponen al problema de la omnisciencia lógica ciertos límites. Por ejemplo, en el sistema LR-4, un razonador de tipo-2 no siempre puede hacer inferencias cuando se involucran fórmulas de tipo-3, mientras que un razonador de tipo-3 o superior si puede hacerlas, sin embargo, ningún razonador puede hacer inferencias sobre fórmulas de tipo-4.

Finalmente, es importante señalar que las restricciones impuestas, por los axiomas MP+< y MP+=, pueden ser relajadas para los razonadores con suficiente capacidad deductiva, es decir, del tipo adecuado, adicionando MP+>: +(A → B) → (+A → +B) es un axioma de LR-(n + 1), donde A es de tipo-a, B es de tipo-b, + es de tipo-r, 1 ≤ b < a ≤ n y a ≤ r; este axioma es validado semánticamente por las restricciones RE>; (restricción de encaje externo): si R es de tipo-r, r > p, K_p+1RF_p y K_p+2; existe, entonces existe F_p+1, y RAE> (restricción de accesibilidad encajada externa): si R es de tipo-r, r > p, K_p+1RF_p, K_p+2 existe F_p+1y existe, entonces K_p+2RF_p+1.

Notas al pie

¹ En los sistemas LER-n, + es un operador de certeza en el sentido de saber, mientras que en LDR-n, + es un operador de certeza en el sentido de creer, donde saber es creencia cierta.

² En lo que sigue se entiende que +, •, − y ¬ son los operadores de conocimiento de tipo-r asociados al razonador R de tipo-r.

³ Sea T una fórmula de tipo-t y N_p un mundo de profundidad-p. V (N_p, T) no se encuentra definida cuando t > p, es decir, V (N_p, T) sólo se encuentra definida si la fórmula T es de profundidad-p. Es en este sentido que cada mundo tiene asociado un lenguaje.

⁴ Para llegar a las pruebas de completitud en las proposiciones 6.7 y 6.8 se siguen las directrices dadas por Henkin en The completeness of the first order functional calculus [18] y Kaplan en Review of Kripke [19] para probar la completitud de la lógica de primer orden y del sistema modal T .

⁵ X 7→ Y significa que X → Y , pero no siempre Y → X.

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