Sobre la distancia mínima de códigos AG unipuntuales castillo

Olaya León, Wilson; Granados Pinzón, Claudia

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Ingeniería y Ciencia

Print version ISSN 1794-9165

ing.cienc. vol.8 no.16 Medellín July/Dec. 2012

ARTÍCULO ORIGINAL

Sobre la distancia mínima de códigos AG unipuntuales castillo

On the Minimum Distance of One-Point Castle AG Codes

Wilson Olaya León¹ Claudia Granados Pinzón²

¹ Magíster en ciencias Matemáticas, wolaya@uis.edu.co, profesor escuela de Matemáticas, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, Colombia.

² Magíster en ciencias Matemáticas, cigranad@uis.edu.co, profesora escuela de Matemáticas, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, Colombia.

Recepción:03-may-2012, Aceptación:19-oct-2012

Disponible en línea: 30-nov-2012

MSC: 94.B27, 94.B65

Resumen

Presentamos una caracterización de la cota inferior d* para la distancia mínima de códigos algebraico-geométricos unipuntuales sobre curvas castillo. Calculamos explícitamente esta cota en el caso de un semigrupo de Weierstrass generado por dos elementos consecutivos. En particular, obtenemos una caracterización más simple del valor exacto de la distancia mínima para códigos Hermitianos.

Palabras claves: Códigos correctores de errores, códigos AG, distancia mínima, códigos Hermitianos.

Abstract

We present a characterization of the lower bound d* for minimum distance of algebraic geometry one-point codes coming from castle curves. This article shows explicit calculations of this bound in the case of a Weierstrass semigroup generated by two consecutive elements. In particular, we obtain a simple characterization of the exact value of the minimum distance Hermitian codes.

Key words: Error-correcting codes, AG codes, minimum distance, Hermitian codes.

1 Introducción

La teoría de códigos correctores de errores tiene su génesis en el año 1948 con la publicación del artículo [15] Shannon C.E., A Mathematical Theory of Communication en Bell System_s Technical Journal. Inicialmente, como sucede en los trabajos de Shannon, la teoría es esencialmente probabilística y los resultados obtenidos solamente demuestran la existencia de ''buenos'' códigos sin mostrar cómo podrían ser construidos. La necesidad de construir estos códigos explícitamente hizo que años más tarde el álgebra y la teoría de números hicieran importantes aportes a esta teoría, con los trabajos de R. Hamming, M. Golay y otros.

La finalidad de un código corrector de errores es preservar la calidad de la información que es transmitida a través de un canal con ruido. Por lo tanto, su objetivo es detectar y corregir la mayor cantidad posible de errores que puedan ocurrir durante dicha transmisión. La idea básica para conseguir esto es la de codificar los datos del mensaje agregando una cantidad extra de símbolos (redundancia) de un modo estructurado. De esta manera, el receptor tiene la posibilidad de determinar si han ocurrido errores durante la transmisión y recobrar con suficiente certeza el mensaje original.

El propósito de la teoría de códigos correctores consiste en crear códigos con alguna estructura matemática que permita corregir el máximo número posible de errores, añadiendo la menor cantidad de redundancia (es decir, códigos confiables y eficientes). Aunque en la práctica existen restricciones, se conocen como ''buenos'' códigos aquellos que mantienen un equilibrio entre estos dos aspectos.

En este sentido, la primera alternativa es considerar la 'información' como una larga secuencia de símbolos de un cuerpo finito _q (alfabeto). La forma más usada que se conoce como codificación por bloques consiste en dividir la información en bloques de k símbolos (símbolos de información) y el proceso de codificación se realiza agregando la redundancia que convierten el bloque inicial de k símbolos en un bloque de n símbolos (palabra), n > k. De esta manera, al receptor llega una n-tupla y este, conociendo la técnica con la que se ha codificado, puede verificar si han ocurrido cambios en la transmisión e incluso decidir, con bastante confiabilidad, cuál fue la n-tupla enviada. Esto último, se hace utilizando el mismo principio que cuando se corrigen errores en la digitalización de un texto (es decir, suponiendo que el error cometido es pequeño). Posteriormente, realizando el proceso contrario a la codificación, que se conoce como decodificación, se pueden recobrar los primeros k símbolos de información (si la decodificación se realiza bajo el supuesto mencionado anteriormente se conoce como decodificación de máxima verosimilitud o por vecino próximo), ver [11].

Más aún, se puede exigir que las palabras del código formen un subespacio lineal de . Estos códigos (lineales) han jugado un papel importante en el desarrollo de las telecomunicaciones y de la informática. Algunas aplicaciones de gran importancia son: la transmisión de datos desde el espacio (satélites de comunicaciones, sondas espaciales de la NASA), cintas magnéticas para computadores, sistemas digitales de audio y video (CD y DVD), redes ADSL, telefonía móvil, entre otras. En la actualidad los códigos detectores-correctores de errores se usan en prácticamente todos los dispositivos de tratamiento de información.

En 1977, utilizando conceptos de geometría algebraica, Goppa introdujo una nueva forma de construir códigos lineales. Más exactamente, a partir de una curva algebraica, no singular, absolutamente irreducible, de género g > 0, definida sobre el cuerpo finito _q, ver [5] y [12]. Estos códigos se conocen como códigos algebraico-geométricos (AG) o códigos geométricos de Goppa. El punto clave en las construcción de Goppa radica en que se puede obtener información acerca de los parámetros de un código (longitud, dimensión y distancia mínima) en términos de información aritmética y geométrica de la curva sobre la cual se ha construido (número de puntos racionales, género). El método de Goppa puede verse como una generalización de la construcción de códigos Reed-Solomon.

Dada una curva algebraica X de género g > 0 definida sobre un cuerpo finito _q con q = p^t elementos, p primo. Consideremos n puntos _q-racionales distintos P₁, P₂, ..., P_n. Sean D = P₁ + P₂ + ... + P_n y G otro divisor racional sobre X con sop(G)sop(D) = Θ. El código AG asociado a la terna (X,D,G) está definido como la imagen del espacio Riemann-Roch L(G) por la función evaluación en D, evD: L(G) --> , evD(f) = (f(P₁); f(P₂), ..., f(P_n). Fijados n y g, los parámetros del código C := C(X,D,G) solo dependen del grado del divisor G. Esto es, si 2g - 2 < grad(G) < n, entonces C tiene longitud n, dimensión k = grad(G) - g +1 y distancia mínima d > n - grad(G), ver [16]. La elección más lógica y simple y la que mejores resultados da habitualmente, es tomar G = mQ con Q un punto _q-racional tal que Q sop(D). El código C_m := C(X,D,mQ) se llama unipuntual (one-point). Cuando G = mQ el espacio L(G) está íntimamente relacionado con el semigrupo de Weierstrass en Q, H(Q) = {-vQ(f): E L(1∞Q)} donde vQ es la valoración en Q.

En el año 1982, M.A. Tsfasman, S.G. Vlâdut y Th. Zink [17] utilizaron códigos AG para construir explícitamente una familia de buenos códigos cuyos parámetros asintóticos sobrepasan la cota asintótica de Gilbert-Varshamov, esta es una medida clásica para evaluar el comportamiento asintótico de una familia de códigos. En consecuencia, se obtiene un camino para dar solución al problema fundamental de la teoría de códigos que fue considerado por Shannon en términos probabilísticos, como hemos dicho, pero sin dar ninguna idea constructiva de tales familias.

En general la teoría de códigos AG sobre curvas es complicada, ya que está basada en profundos resultados de curvas algebraicas. Esto hace que en la práctica sea difícil calcular los parámetros fundamentales del código, pues están relacionados con las propiedades aritméticas y geométricas de la curva. En este sentido, los problemas de los códigos AG producen una interesante motivación en la teoría de curvas algebraicas sobre cuerpos finitos, que se traduce en obtener ''buenas'' curvas. Desde el punto de vista de la teoría de códigos, una buena curva debe poseer un razonable manejo (a la hora de construir los códigos y calcular sus parámetros y propiedades), así como tener muchos puntos racionales con respecto a su género. En este sentido, existe una cota que relaciona el número de puntos racionales de una curva y el semigrupo de Weierstrass en uno de ellos, llamada la cota Lewittes-Geil-Matsumoto, #X(_q) > qρ₂ + 1, donde ρ₂ es la multiplicidad del semigrupo, ver [4] y [10]. Las curvas que alcanzan la igualdad en dicha cota cumplen con los requisitos exigidos. Estas se conocen como curvas castillo (llamadas así por Munuera et al. [14]) y los códigos obtenidos tienen excelentes parámetros y pueden ser estudiados de manera unificada sin importar la curva.

En [3], Geil et al. consideraron el conjunto H* = H*(D,G) = {m E ₀ : C_m C_m_-1} que establece la dimensión de todos los códigos unipuntuales C_m y permite dar una nueva cota inferior para la distancia mínima de dichos códigos, conocida como la cota d*.

En este trabajo presentamos una caracterización de la cota inferior d* para la distancia mínima de códigos unipuntuales sobre curvas castillo. En el caso de un semigrupo de Weierstrass generado por dos elementos consecutivos, el valor de dicha cota es calculado explícitamente. Finalmente y utilizando los resultados obtenidos damos una caracterización más sencilla que las conocidas en la literatura, para el valor exacto de la distancia mínima de los códigos Hermitianos.

2 Preliminares

2.1 Códigos AG unipuntuales sobre curvas castillo

Curvas castillo y códigos AG sobre curvas castillo fueron estudiados en [14] por Munuera et al.

Para definir las curvas castillo se utiliza la cota sobre el número de puntos racionales dada por Lewittes y mejorada recientemente por Geil y Matsumoto, que relaciona el semigrupo de Weierstrass sobre un punto racional. Las curvas que alcanzan la igualdad en esta cota combinan las propiedades de tener un razonable manejo y dar códigos unipuntuales con excelentes parámetros, es decir, donde la dimensión y la distancia mínima son grandes simultáneamente con respecto a su longitud. Muchas de las curvas bien conocidas son castillo, estas incluyen las variedades de Deligne-Lusztig de dimensión 1 (racional, Hermitiana, Suzuki y Ree) ver [6],[7] y [8], Hermitiana generalizada [1], normatraza [2] y muchas otras.

Por una curva punteada (X,Q) sobre _q entiéndase una curva algebraica X no singular, absolutamente irreducible, de género g > 0, definida sobre el cuerpo finito _q, con un punto racional Q. Denotaremos por H := H(Q) el semigrupo de Weierstrass en Q. Es decir,

El número ρ₂ es usualmente llamado multiplicidad en Q (o multiplicidad de H). Los elementos de H son llamados números polares. Los números naturales que no están en H se llaman lagunas de H. Denotaremos por c el conductor de H, este es el mayor elemento de H tal que c - 1 H. Si c = 2g, H es simétrico, en el sentido que ρ E H si y solo si c - 1 - ρ H.

El siguiente teorema, debido a Geil y Matsumoto [4, Teorema 1] da una cota superior sobre el número de puntos racionales, X(_q), de la curva X. Este generaliza un resultado previo de Lewittes [10, Teorema 1].

Teorema 2.1 (Cota Lewittes-Geil-Matsumoto). Supongamos que (X,Q) es una curva punteada, entonces

donde H es el semigrupo de Weierstrass en Q, ρ₂ su multiplicidad y qH*+H = {qα + β : α, β E H; α 0}.

Definición 2.2 (Curva castillo). Una curva punteada (X,Q) sobre _q es una curva castillo si H es simétrico y se tiene la igualdad en la cota Lewittes-Geil- Matsumoto, es decir, #X(_q) = qρ₂ + 1.

Sea (X,Q) una curva castillo de género g > 0 sobre _q con n + 1 puntos _q-racionales. Sean X(_q) = {Q, P₁, P₂, ..., P_n}, D = P₁ + P₂ + ... + P_n y G = mQ. Consideremos la secuencia de códigos AG unipuntuales (C_m)_{m >1}, donde C_m := C(X,D,mQ). Los parámetros de los códigos C_m se pueden estudiar de manera unificada independiente de la curva X, ver [14].

2.2 La cota d*.

Para la distancia mínima se conocen en la literatura algunas cotas inferiores. La más interesante es la cota orden (o cota Feng-Rao) cf.[9]. Esta cota da muy buenos resultados, pero tiene la desventaja que solamente puede ser aplicada a los duales de códigos AG unipuntuales que en general no son unipuntuales. Más aún, en general se sabe que la distancia mínima del dual C? no da información sobre la distancia mínima de C.

La cota d* fue introducida en [3]. A diferencia de la cota orden, que sólo se aplica al dual de un código AG unipuntual, esta es aplicada directamente a códigos AG unipuntuales.

Sea H* = H*(D,Q) := {m E ₀ : C_m C_m_-1}. Es claro que H* contiene n elementos, H* = {m₁,m₂, ...,m_n} H, m_n > n + 2g - 1 y dim(C_mi) = i. Más aún, para m < n se tiene que m 2 E H* si y solo si m E H. Para códigos AG sobre curvas castillo se tiene que

donde l_i son las lagunas de H. Además, H* es simétrico en el sentido que para cada entero m se tiene que m E H* si y solo si n + 2g - 1 - m E H*.

Para i = 1, 2, ..., n consideramos los conjuntos

Definición 2.3 (la cota d*). La cota d* para códigos AG unipuntuales es el valor

En [3] se prueba que el valor d*(i) es una cota inferior para la distancia mínima de un código AG unipuntual, es decir, d(C_m_i) > .

3 Caracterización de la cota d*.

En lo que sigue (X,Q) es una curva castillo de género g > 0 sobre el cuerpo finito _q con n + 1 puntos _q-racionales. Sean X(_q) = {Q, P₁, P₂, ..., P_n}, D = P₁ + P₂ + ... + P_n y G = miQ. Para m_i E H* consideremos los códigos AG unipuntuales C_mi . Denotamos por l_i para i = 1, 2, ..., g las lagunas de H.

Consideremos los conjuntos

Proposición 3.1.

1. Simetría de D_i: (m_j, l_k) E D_i si y solo si (2g-1-l_k, 2g-1-m_j) E D_i.

2. Simetría de : (l_k,m_j) E si y solo si (2g-1-m_j , 2g-1-l_k) E .

3. Para 0 < n - m_i < c. Si n - m_i es impar (resp. par), entonces #D_i es impar (resp. par).

4. #D_n_-3g+2 = #D_n-3g+3 = 0.

5. (l_i-n+g, 0) E . Por simetría (l_g, l_g - l_i-n+g) E . En consecuencia # > excepto para i = n, en este caso # = 1.

Demostración. 1. (2g - 1 - l_k) - (2g - 1 - m_j) = m_j - l_k = n - m_i.

2. (2g - 1 - m_j) - (2g - 1 - l_k) = l_k - m_j = l_i-n+g.

3. Por la simetría de Di, basta con encontrar los elementos de D_i en el intervalo . Si m_t es impar (resp. par), entonces (m_t + α, α) E D_i (resp. (m_t + α, α) D_i). En efecto, α es una laguna, pues de lo contrario 2α = 2g-1-m_t sería un número polar lo cual contradice la simetría de H. Por otro lado, m_t +α es un número polar pues m_t +α = 2g - 1 - α.

4. Para i = n-3g+2 se tiene que n-m_i = 2g-1 = l_g y si i = n-3g+3, n - m_i = 2g - 2 = m_g.

5. l_{g - l_i-n+g} E H, pues l_g = 2g - 1.

Sea ω_i la cantidad de números polares menores que n - m_i.

Teorema 3.2. Con la notación anterior se tiene que

Demostración. Si i > n-c-g+1, entonces m_i+c < n, luego = (m_i+H) H* = ((m_i+H)(H\n+) {n+l₁, ..., n+l_g} y #((m_i+H)(H\n+) = n - m_i - g.

Si n - c - g + 1 < i < n - g, entonces n - c < m_i < n. Sean X := {x E (m_i + H) H* : x < n - 1}, Y := {y E (m_i + H) H* : n < y < m _i + 2g} y Z := {z E (m_i + H) H* : z E m_i + 2g}. Por lo tanto, = X Y Z. Note que #X = ω_i, pues x E X si y solo si x = m_i + ρ < n para algún ρ E H i.e. ρ < n - m_i. Por simetría #Z = ω_i puesto que z E Z si y solo si z = n + l > m_i + c - 1 i.e. c - 1 - l < n - m_i. Finalmente #Y = #D_i pues y E Y y = (m_i + m_j) = n + l_k , (m_j, l_k) E D_i. En consecuencia, # = 2ω_i + #D_i.

Por último, si i > n - g, entonces m_i > n así m_i = n + l_i-n+g. Como los elementos de (mi + H) \ H* son aquellos tales que mi + m_j = n + l_k esto es los pares l_k - m_j = l_i-n+g, entonces # = #.

Corolario 3.3. Si i < n - c - g + 1, entonces

= n - m_i = d_G (C_{m_i})

donde d_G(C_m_i) es la cota de Goppa.

En la siguiente sección estudiamos el caso del semigrupo de Weierstrass generado por dos elementos consecutivos. Este, entre otros, es el caso del semigrupo deWeierstrass en el punto infinito de la curva Hermitiana, la cual es una curva maximal, pues alcanza la igualdad del número de puntos racionales en la cota Hasse-Weil, ver [16].

4 Computación de d*.

En lo que sigue suponemos que H es el semigrupo generado por dos elementos consecutivos, H = (a, a+1). Se sabe que el género es I = y el conductor es c = a(a - 1). Denotamos por mi los números polares de H y por l_i las lagunas.

Definición 4.1 (Oasis y Desiertos). Los oasis (resp. desiertos) de H son los conjuntos finitos maximales de números polares consecutivos (resp. lagunas consecutivas) de H.

Note que cuando H = (a, a+1), existen a-1 oasis y a-1 desiertos. Más aún, se tiene una caracterización sencilla de estos conjuntos.

Observación 4.2. Sea H = (a, a + 1).

1. Los oasis de H son M_t = {ta, ta + 1, ..., ta + t} para t = 0, 1, ..., a - 2. Además, si m_i E M_t, entonces m_i = ta - - 1 + i.

2. Los desiertos de H son L_t = {(t - 1)a + t, (t - 1)a + t + 1, ..., ta - 1g para t = 1, 2, ..., a - 1. Además, si l_i E L_t, entonces l_i = i + - 1.

Existe otra caracterización de los elementos de cada oasis y desierto, esta es debida a que todo entero z tiene representación única z = xa+y(a+1). Luego toda laguna l Ξ (x, y), si tiene representación única l = xa + y(a + 1) donde 0 < y < a y x < 0, y todo número polar m Ξ (x, y), si tiene representación única m = xa + y(a + 1) donde 0 < y < a y x > 0.

Proposición 4.3. Sea H = (a, a + 1).

1. Si m_i E M_t, entonces m_i Ξ

2. Si l_i E L_t, entonces l_i Ξ

Demostración. 1. Note que si m_i Ξ (x, y) E M_t, entonces x + y = t. Por otro lado, m_i = ta- -1+i = (x+y)a+y, luego y = i- -1 y x = - i.

2. Note que si l_i Ξ (x, y) E L_t, entonces x + y = t - 1. Como l_i = i + - 1 = (x + y)a + y, entonces y = i + - (a - 1)(t - 1) y x = (t - 1)a - - i.

Observación 4.4. Utilizando la anterior representación se tiene que:

1. Los elementos del t-ésimo oasis M_t son

2. Los elementos del t-ésimo desierto L_t son

4.1 Cálculo de D_i.

Primero supongamos que n-m_i = m_s es un número polar. Note que (m_j , l_k) E D_i , m_j - l_k = m_s , m_j - m_s = l_k. Si además m_s E M_t entonces en el mismo oasis hay - s elementos m_j tal que m_j - m_s es una laguna. En efecto, si m_s Ξ (x, y) entonces todos los elementos m_j > m_s en el oasis M_t satisfacen que m_j -m_s es una laguna, pues si m_j Ξ (x', y') entonces x' < x y y' > y.

Ahora, en cada uno de los restantes a - 2 - t oasis hay de dos tipos de elementos m_j E (x', y'), aquellos donde x' < x y los que y' < y. De cada uno hay -s y s- -1 elementos m_j tal que m_j -m_s es una laguna. En consecuencia se tiene el siguiente resultado.

Lema 4.5. Si n - m_i = m_s es un número polar y m_s E M_t, entonces

Corolario 4.6. Si n - mi = m_s es un número polar y m_s E M_t, entonces

Demostración. m_s = ta - - 1 + s.

Corolario 4.7. Para n-c-g+1 < i < n-g. Si n-m_i = m_s es un número polar, entonces

Demostración. Por el teorema 3.2, el teorema 4.6 y el hecho que ω_i = s-1.

Ahora, supongamos que n-m_i = l_s es una laguna y que l_s E L_t, entonces (t-i)a+(t-1) < l_s < ta. En el siguiente resultado probaremos que el cardinal de D_i, cuando n - m_i = l_s es cualquier laguna en el desierto L_t, es mayor o igual que el cardinal de D_n-g+1-ta para n -m_i = ta (el primer número polar del oasis M_t).

Lema 4.8. Sea (m_j, l_k) E D_n-g+1-ta. Si m_j E M_τ , entonces existe al menos un par (x, y) con 0 < x < m_j -τa y 1 < y < (τ -t+1)a-1-l_k tal que para todo 1 < s < a - t, (m_j - x, l_k + y) E D_n-g+1-ta+s.

Demostración. Para 1 < s < (τ - t + 1)a - 1 - l_k, tome y = s y x = 0. Y para (τ - t + 1)a - 1 - l_k < s < a - t, tome y = (τ - t + 1)a - 1 - l_k y x = s - (τ - t + 1)a + 1 + l_k.

Corolario 4.9. Si n - m_i = l_s es una laguna y l_s E L_t, entonces

Por lo anterior, se tiene probado el siguiente resultado.

Teorema 4.10. Supongamos que H es el semigrupo de Weierstrass generado por dos elementos consecutivos. Si i < n - g, entonces

4.2 Cálculo de .

Sea n - g + 1 < i < n. Supongamos que l_i-n+g Ξ (x, y) E L_t. Recuerde que -a < x < 0 y x + y = t - 1.

Note que si l_i-n+g 2 Lt, entonces l_i-n+g es la única laguna de L_t que es primer elemento de una pareja de . Para los demás desiertos entre t + 1 y a - 1 (estos son a - 2 - t desiertos) se tiene que (l_k, l_k - l_i-n+g) E con l_k > (x^', y^') si cumple que x^' > x y y^' > y.

Considerando los conjuntos A := {l_k = (x^', y') : l_k > l_i-n+g, x^' > x} y B := {l_k = (x^', y') : l_k > l_i-n+g; y' < y}, se tiene que #= #A - #B.

• Cálculo de #A. Existen x + (a - t) desiertos con -x elementos que pertenecen a A. Para los demás (a - 1 - t) - x - (a - t) = -x - 1 desiertos se tienen (-x - 1) + (-x - 2) + ... + 1 = elementos que están en A. En consecuencia, #A = 1+(-x)(x+(a-t)+ .

• Cálculo de #B. Existen y - t - 1 desiertos con y - t - 1, y - t - 2,...,1 elementos en B. En consecuencia #B = .

Por lo tanto hemos probado el siguiente resultado.

Teorema 4.11. Para n - g + 1 < i < n. Si l_i-n+g Ξ (x, y) E L_t, entonces

Corolario 4.12. Para cada 1 < t < a - 1

Note que el Corolario 4.12 muestra la igualdad en el cardinal de cuando m_i - n es el primer y último elemento de cada desierto L_t, para todo t = 1, 2..., a-1. Ahora veamos que cuando m_i-n es un elemento intermedio en el desierto L_t se tiene que el cardinal de es mayor o igual al de los extremos del desierto.

Demostración. Como m_i - n Ξ (x, y) es una laguna intermedia en el desierto L_t, entonces x = -1 - k para algún 1 < k < a - t - 2. Así, por el Teorema 4.11, #= a-t+k(a-t-k -1) y puesto que a-t-1-k > 0 se tiene el resultado.

Como consecuencia de los anteriores resultados hemos probado el siguiente teorema.

Teorema 4.14. Para i > n - g. Si m_i - n E L_t, entonces = a - t.

5 Códigos unipuntuales Hermitianos

Consideremos la curva Hermitiana H : y^q + y = x^q⁺¹ de género g = sobre _q² . Esta tiene q³+1 puntos racionales y semigrupo de Weierstrass en el punto infinito H = H(P) = (q, q+1). Claramente esta es una curva castillo.

Los códigos unipuntuales sobre la curva Hermitiana han sido estudiados por varios autores. En particular la distancia mínima de códigos unipuntuales Hermitianos fue establecida por Yang y Kumar en [18]. Nosotros utilizando los resultados de la sección anterior obtenemos una caracterización más práctica para determinar la distancia mínima de estos códigos.

Para cada m_i E H* consideremos el código C_{m_i} := C(H,D,m_iP) donde D es la suma de todos los q³ puntos _q-racionales de H diferentes de P. Claramente la longitud de C_{m_i} es n = q³ y la dimensión es k_{m_i} = i.

Para la distancia mínima d_{m_i} := d(C_{m_i}) sabemos que d_{m_i} < . Así, por el Teorema 4.10, d_{m_i} > mín{m_t : m_t > n-m_i} para i < n-g y por el Teorema 4.14, d_{m_i} > q - t para n - g < i < n, donde m_i = n + l_i-n+g y l_i-n+g E L_t, es decir l_i-n+g es una laguna en el t-ésimo desierto.

Nosotros referimos a la literatura para observar que en este caso la cota coincide con el valor exacto de la distancia mínima dmi de los códigos C_{m_i} . La nueva caracterización de los valores de la distancia mínima dmi para códigos Hermitianos son resumidos en la siguiente tabla.

Note que esta caracterización del valor exacto de la distancia mínima de códigos Hermitianos es más simple que las conocidas en la literatura (ver [18] y [9]) y resalta el hecho de que la distancia mínima sólo difiere de la cota Goppa cuando m_i = n - l_w para toda laguna l_w. Observe también que se puede construir un [64,53,8]-código sobre F16 que es un nuevo récord, según las tablas MinT [13].

6 Conclusión

Los códigos AG unipuntuales castillo contienen algunos de los más importantes códigos algebraico-geométricos estudiados en la literatura hasta la fecha. La distancia mínima de estos códigos puede ser acotada aplicando la llamada cota d*. Esta es una cota inferior para la distancia mínima que a diferencia de la cota orden se aplica sobre el código AG primario. Nosotros caracterizamos la cota d* para los códigos castillo en general y calculamos explícitamente esta cota en el caso particular de un semigrupo de Weierstrass generado por dos elementos consecutivos. Finalmente, para ilustrar estos resultados, estudiamos los códigos Hermitianos, obteniendo una caracterización más sencilla para su distancia mínima que las conocidas actualmente.

7 Agradecimientos

Los autores expresan su agradecimiento a los árbitros de la revista por sus valiosos aportes y sugerencias.

Referencias

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