1 Introducción

Sea K un cuerpo. Una K−álgebra A con unidad es un conjunto dotado de dos operaciones (A,+, ·) cumpliendo que:

1. es un anillo con unidad

2. es un K−espacio vectorial

3. para todo α ∈ K y para todos a, b ∈ A, α(ab) = (αa)b = a(αb).

Decimos que A es una K−álgebra finita si es una K−álgebra conmutativa con unidad y de dimensión finita como K−espacio vectorial. Denotaremos por dimK A a su dimensión como K−espacio vectorial.

Un homomorfismo de K−álgebras es una aplicación lineal entre dos K−álgebras tal que

El homomorfismo structural

es inyectivo ya que K es cuerpo. Por lo tanto 1 _K es parte libre en el K−espacio vectorial A y puedo extender {1 _A } a una base de A.

Si dim _K A = 2, tomamos γ ∈ A \ K, luego {1 _A, γ} es parte libre en A y por tanto {1 _A, γ} es una base del K−espacio vectorial A. Además como 1 · γ = γ · 1, se tiene que el anillo A es conmutativo. Sin embargo, para dimensiones superiores, las K−álgebras no son necesariamente conmutativas. Por ejemplo, el cuerpo de los números cuaterniónicos es una R−álgebra de dimensión cuatro que no es conmutativa. En este artículo estamos interesados sólo en K−álgebras conmutativas.

Las K−álgebras finitas han sido un tema de investigación permanente en álgebra conmutativa, ver por ejemplo ^{1), (2), (3)} y ⁽⁴. Nosotros presentamos aquí un estudio sistemático y con menos teoría especializada de ellas en comparación con las encontradas en los textos tradicionales de álgebra conmutativa ^{5), (6), (7), (8) y (9}.

Las K−álgebras son usadas en áreas muy diversas como representaciones de grupo, teoría de códigos, la ecuación de Yang-Baxter, álgebras de Hopf y las álgebras de Frobenius ¹⁰. Las K−álgebras no sólo son importantes en matemáticas, también encontramos en la literatura que se usan en otras áreas principalmente cuando el cuerpo K es el de los números complejos. Por ejemplo, las C∗−álgebras son fundamentales en física cuántica. En ¹¹ y ¹² se estudian algunas C∗−álgebras de dimensión finita donde se amplían resultados que se interpretan en mecánica cuántica. Además, en ¹³ y ¹⁴ se caracterizan ciertas C∗−álgebras cuyos resultados son relevantes para los fundamentos de la teoría cuántica.

Existen, salvo isomorfismos, tres álgebras de dimensión 2 sobre R:

Esto es debido a que en una extensión de grado 2 de R,

se pueden dar tres casos según x ² + bx + c tenga dos raíces imaginarias, dos raíces reales distintas o una raíz doble. Los conjuntos C, P, D son, respectivamente, los números complejos, los números paracomplejos y los números duales, ².

La teoría de funciones complejas es más estudiada que las otras dos. Algebraicamente, esto refleja el hecho de que C es un cuerpo, mientras que P y D no lo son pues P tiene divisores de cero y D tiene además elementos nilpotentes.

Las rectas proyectivas sobre las R−álgebras C, P, D generan las tres geometrías clásicas del plano, Moebius, Laguerre y Minkowski, ver ¹⁵. En general es poco lo que se conoce sobre las rectas proyectivas sobre las K−álgebras finitas. En ¹⁶ y ¹⁷ se estudió la interpretación proyectiva de estas métricas del plano real y en ¹ se hizo una clasificación de todas las R−álgebras finitas. ¹⁸ es un trabajo reciente sobre la geometría correspondiente a la R−álgebra tridimensional pero en general estudiar la geometría sobre R−álgebras finitas es un problema abierto.

Iniciamos este artículo probando que las K−álgebras finitas son suma directa de K−álgebras finitas locales. Luego mostramos que toda K−álgebra finita se descompone en forma única, salvo isomorfismos, en suma directa de K−álgebras finitas locales. Seguidamente caracterizamos la K−álgebra

finita local , mostramos que ciertas K−álgebras finitas son isomorfas y descomponemos la K−álgebra finita en K−álgebras finitas locales.

2 K−algebras finitas

Sea A una K−álgebra finita. Un ideal p es primo si p ƒ= (1) y si ab ∈ p entonces a ∈ p o b ∈ p y un ideal m es maximal si m ƒ= (1) y no existe ningún ideal a tal que m ⊂ a ⊂ (1). Esto es equivalente a decir:

Por tanto un ideal maximal es primo pero el recíproco no es cierto en general. El ideal cero es primo si y sólo si A es un dominio entero. Cada elemento de A que no es unidad está contenido en un ideal maximal ⁵.

A toda K−álgebra finita A podemos asociar un espacio topológico llamado el espectro primo de A, Spec(A), que consiste en el conjunto de todos sus ideales primos. También asociamos a A el espacio Max(A) que consiste en el conjunto de todos los ideales maximales de A. Existen K−álgebras finitas con exactamente un ideal maximal, por ejemplo, el cuerpo de los números complejos Una K−álgebra finita A que tiene exactamente un ideal maximal se llama K−álgebra finita local.

Sea Σ un subconjunto parcialmente ordenado por una relación ≤. Las siguientes condiciones en Σ son equivalentes, (⁵):

Cada sucesión creciente x1 ≤ x2 ≤ ... en Σ es estacionaria (es decir, existe n tal que xn = xn+1 = ...).

Cada subconjunto no vacío de Σ tiene un elemento maximal.

Si Σ es el conjunto de submódulos de un módulo M , ordenado por la relación ⊆, entonces (i) se denomina la condición de cadena ascendente y (ii) la condición maximal. Un módulo M que satisface una de estas dos condiciones equivalentes se denomina noetheriano (de Emmy Noether). Si Σ está ordenado por ⊇, entonces (i) es la condición de cadena descendente y (ii) la condición minimal. Un módulo M que satisface una de estas dos condiciones equivalentes se denomina artiniano (de Emil Artin).

Toda K−álgebra finita A es artiniana y noetheriana, ver (⁵). En la Proposición 2.2 vamos a obtener un primer resultado de estructura para este tipo de K−álgebras. Una prueba de esta proposición resulta como consecuencia del teorema de estructura de anillos de Artin, ver [5, Teorema 8.7]. Nosotros presentamos una demostración distinta y con menos teoría especializada. Para esto primero demostramos el Lema 2.1. Decimos que e ∈ A es idempotente si e2 = e.

Lema 2.1. Si A es una K−álgebra artiniana, entonces A es local si y sólo si los únicos idempotentes de A son 0 y 1.

Demostración. ⇒: Si A es una K−álgebra local de ideal maximal y e ∈ A es idempotente, entonces _^e2 = e. Luego, e − _^e2 = e(1 − e) = 0 y tenemos dos casos:

(i) Si e ∈ entonces 1 − e ∈/. Como A es local, 1 − e es inversible luego e(1 − e)

(1 − e) −1 = 0 y por tanto e = 0.

(ii) Si 1 − e ∈ entonces e ∈/. Como A es local, e es inversible entonces e (1 − e)e−1 = 0. Por tanto 1 − e = 0 y e = 1.

⇐: A es artiniana y sus únicos idempotentes son 0 y 1, sea un ideal maximal de A y sea a ∈ A con a ∈/. Si a es no inversible, aA es un ideal propio de A entonces

es una sucesión decreciente de ideales y como A es artiniana, A es estacionaria. Luego existe r tal que arA = ar+1A entonces ar ∈ ar+1A y existe λ ∈ A tal que ar = λar+1. Por tanto, ar(1 − λa) = 0 y

Entonces (λa)r es idempotente. Pero los únicos idempotentes de A son 0 y 1. Si

tenemos que a es inversible y esto es una contradicción. Si (λa)r = 0, entonces

Como a ∈/ m, λr ∈ pero es primo luego λ ∈ . Lo cual es un absurdo pues ar(1 − λa) = 0 implica que 1 − λa ∈ por tanto λ ∈/.

En consecuencia, para todo a ∈ A tal que a ∈/ tenemos que a es inversible y A es local.

Proposición 2.2. A es una K−álgebra finita si y sólo si A es una suma directa de K−álgebras finitas locales.

Demostración. ⇒: Si dimK A = 1 como K−espacio vectorial, A ≃ K luego A es local. Si dimK A > 1 y no tiene mas idempotentes que 0 y 1, por el Lema 2.1, A es una K−álgebra local finita. En caso contrario, existe e ∈ A idempotente, e ƒ= 1 y e ƒ= 0. Entonces

(i) eA es un subanillo de A ya que eA es un ideal y por tanto es subanillo. Además el uno de eA es e pues e(ea) = e ² a = ea, para todo ea ∈ eA.

(ii) Todo ideal de eA es ideal de A. En efecto, sea ideal de eA luego para todo α ∈ y para todo a ∈ A se cumple que eaα ∈ . Note que α = eb, b ∈ A. Entonces es ideal de A porque para todo α ∈ y para todo a ∈ A, se tiene que

Además, como A es artiniana, eA es artiniana ya que cualquier sucesión decreciente de ideales de eA es una sucesión decreciente de ideales de A y por tanto estacionaria.

(iii) eA y (1 − e)A son subespacios vectoriales de A y e(1 − e) = 0 entonces para todo a ∈ A, a = ea + (1 − e)a luego A = eA + (1 − e)A suma como K−espacios vectoriales. Además si β ∈ eA∩(1−e)A, β = ea = (1−e)b para a, b ∈ A entonces β = ea = e ² a = e(1 − e)b = 0.

En consecuencia, A es suma directa de eA y (1 − e)A como K−espacios vectoriales y tenemos el isomorfismo de K−espacios vectoriales

Tomando en eA × (1 − e)A la estructura product

pues 1 − e es también idempotente. Luego

como K−álgebras.

Puesto que eA y (1 − e)A son subespacios no nulos y dimK A es finita, se tiene que

es decir las dimensiones de eA y (1 − e)A son menores que la dimensión de A.

Si eA y (1 − e)A no tienen más elementos idempotentes que 0 y 1, por el Lema 2.1, eA y (1 − e) A son K−álgebras locales finitas. De lo contrario y como las dos álgebras son de dimensión menor que la de A seguimos el proceso inductivamente hasta obtener el resultado deseado.

⇐: Se comprueba sin dificultad.

En el ítem (ii) de la demostración de la Proposición 2.2, observe que si p ∈ Spec(eA), no necesariamente p ∈ Spec(A). Por ejemplo, sea A = R³ y e = (1, 1, 0) entonces eA = {(a, b, 0) : a, b ∈ R}. Un ideal primo de eA es m _eA = {(a, 0, 0) : a ∈ R} y m _eA no es ideal primo en A pues (0, 1, 0) y (0, 0, 1) no pertenecen a m _eA y su producto es cero.

Consideremos la K−álgebra finita Ai donde cada Ai es una K−álgebra finita local con ideal maximal Mi, i = 1, . . . , r. El Lema 2.3 presenta un isomorfismo entre cada Ai y el correspondiente anillo de fracciones o localización AMi , Mi ∈ Max(A), definido a continuación:

Diremos que un subconjunto S del anillo A es un sistema multiplicativo cuando 1 ∈ S y s, t ∈ S ⇒ st ∈ S. Se define en A × S la relación de equivalencia

En el conjunto cociente AS := A × S/ ∼ denotamos a la clase de equivalencia de (f, g) como y se definen las operaciones suma y producto como si fueran fracciones de Q:

Estas operaciones están bien definidas y hacen de AS un anillo conmutativo con unidad, donde el cero es , para s ∈ S y la unidad es , para s ∈ S. Más aún, se tiene un homomorfismo canónico de anillos dado por que en general no es inyectivo. Al anillo AS le llamamos anillo de fracciones o localización de A por S.

Lema 2.3. Sea A_i una K−álgebra finita donde cada A_i es una K−álgebra local finita. Para i = 1, . . . , r sea el ideal maximal de A_i . Entonces

(1) Max(A) = {M1, . . . , Mr} donde m_j con m_j = A_j, para todo y .

(2) Para todo i = 1, . . . , r se tiene que AMi ≃ Ai.

Demostración. (1) Es consecuencia de que los ideales maximales de una suma directa de r anillos tienen la forma Mi para todo i = 1, ..., r. Ver (1, Lema 1.2.6).

(2) Para todo i = 1, . . . , r,

Como Ai es local, bi es inversible y la aplicación

es un homomorfismo de anillos. Note que φi es inyectiva ya que si bi-1ai = 0, entonces existe tal que

y esto equivale a que

para Además, φ_i es sobreyectiva porque, para todo a_i ∈ A_i,existe

∈ AMi tal que

La siguiente proposición muestra que una K−álgebra finita se descompone en forma única, salvo isomorfismos, en suma directa de K−álgebras finitas locales.

Proposición 2.4. Sean y dos K−álgebras finitas donde A_i, B_j son K−álgebras locales finitas. Entonces A ≃ B como K−álgebras si y sólo si r = s y, después de reordenar los B_j , para todo i = 1, . . . , r se tiene que A_i ≃ B_i como K−álgebras.

Demostración. ⇒: Como por el Lema 2.3, Max(A) = {M ₁ , . . . , M_r } y para todo i = 1, . . . , r se tiene A_Mi ≃ Ai. Además, por hipótesis, luego por el Lema 2.3, Max(A) = {N ₁ , . . . , N_s } y para todo j = 1, . . . , s se tiene AN_j ≃ B_j . Entonces para todo i, existe j tal que M_i = N_j . Por tanto después de reordenar a los B_j, para todo i = 1, . . . , r,

⇐: Si para todo i = 1, . . . , r se tiene que es el isomorfismo entre A_i y B_i , entonces

es un isomorfismo.

En consecuencia, por la Proposición 2.4, estudiar la estructura de las K−álgebras finitas se reduce a estudiar la estructura de las K−álgebras locales finitas.

3 Caracterizaciones e isomorfismos

El ejemplo más simple de las K−álgebras finitas es el de las K−álgebras caracterizadas porque existe u ∈ A tal que 1 _{^{, u, . . . , un-1}} es base de A como K−espacio vectorial. Obviamente no toda K−álgebra finita esde este tipo, por ejemplo ya que todo elemento al cuadrado de esta álgebra es cero, luego no puede existir u ∈ A tal que 1, u, u ² sea base de A

como K−espacio vectorial.

Lema 3.1. La K−álgebra finita es local si y sólo si existe p(x) ∈ K(x), polinomio irreducible, tal que f (x) = p(x)n. En este caso su ideal maximal es y el cuerpo residual es .

Demostración. Los elementos de se escriben de forma única como con g(x) ∈ K[x] y grado(g) <grado(f ).

⇒: Si f (x) no es potencia de un irreducible, en particular f (x) no es irreducible, entonces f (x) = f ₁(x)f ₂(x) donde mcd(f ₁ , f ₂) = 1 por tanto existen g ₁ , g ₂ ∈ K(x) tales que g ₁ f ₁ + g ₂ f ₂ = 1 luego 1 − g ₁ f ₁ = g ₂ f ₂ y

Enconsecuencia, es idempotente y que y . Pues de lo contrario, si es decir es inversible pero esto es absurdo pues es un divisor de cero de A. Por la misma razón . Usando el Lema 2.1 tenemos que A no es local y esto es una contradicción que proviene de suponer que f no es irreducible.

⇐: Si g(x) ∈ A es idempotente entonces y esto equivale a que p(x) ⁿ divide a g(x)(1 − g(x)) luego

Por tanto, p(x)|g(x) o p(x)|(1−g(x)) pero no a los dos a la vez pues p(x) ∤ 1. Si p(x)|g(x) entonces p(x) ∤ (1−g(x)) y por tanto p(x) ⁿ |g(x) luego y si p(x)|(1 − g(x)) entonces p(x) ∤ g(x) y por tanto p(x)n|(1 − g(x)) luego . En consecuencia, por el Lema 2.1, A es local. Además como p(x) es irreducible, el ideal (p(x)) es maximal y contiene a (p(x) ⁿ ). Luego es el ideal maximal de A y su cuerpo residual es .

Lema 3.2. Sean f (x), g(x) ∈ K[x] tales que mcd(f, g) = 1. Entonces existe un isomorfismo de K−álgebras

dotando al producto cartesiano de estructura de K−álgebra con las operaciones suma y producto componente a componente.

Demostración. Para todo f (x) ∈ K[x], sea el ho momorfismo natural definido por . Entonces

es homomorfismo de K−álgebras y ya que h ∈ si y sólo si h ∈ y pues mcd(f, g) = 1. Además, es sobreyectiva. En efecto, sea , como f y g son primos entre si, existen c ₁ , c ₂ ∈ K[x] tales que c ₁ f + c ₂ g = 1, en .

La proposición siguiente presenta la descomposición en productos de K−álgebras locales y se demuestra usando iterativamente la prueba del Lema 3.2.

Proposición 3.3. Si es un producto de factores irreducibles distintos entonces

Lema 3.4. (1) Un homomorfismo de K−álgebras queda unívocamente determinado por .

(2) es un isomorfismo de K−álgebras si y sólo si con a, b ∈ K y a ƒ= 0.

Demostración. (1) Se sigue de que todo homomorfismo de álgebras está caracterizado por lo que le hace a sus generadores, en este caso a x.

(2) Es inmediato, pues todo isomorfismo de K[x] en K[x] preserva la graduación.

Definición 3.5. p(x) es equivalente a q(x), p(x) ∼ q(x), si y sólo si existen a, b ∈ K con a ƒ= 0 tales que q(x) = p(ax + b).

Proposición 3.6. (1) Si K = R, entonces los polinomios irreducibles de K(x) son equivalentes a x o x ² + 1.

(2) Si K es algebraicamente cerrado, entonces para todo p(x) irreducible, p(x) ∼ x.

Demostración. (1) En R[x], los polinomios irreducibles son lineales de la forma p(x) = ax + b con a ƒ= 0 o de grado dos de la forma ax ² + bx + c con b ² − 4ac < 0. Si p(x) = ax + b con a ƒ= 0, por definición, p(x) ∼ x. Además, note que ax ² + bx + c con b ² − 4ac < 0 es equivalente a que p(x) = (x − a′)² + (b′)² con b′ ƒ= 0. Luego,

(2) Si K es algebraicamente cerrado, los polinomios irreducibles p(x) son lineales y por definición, p(x) ∼ x.

Lema 3.7. Sea n ∈ N. Si p(x) ∼ q(x) entonces

Demostración. Como p(x) ∼ q(x), existen a, b ∈ K con a ƒ= 0 tales que q(x) = p(ax + b). Sea φ el homomorfismo

ya que para . Además, es sobreyectiva. Sea , por el Lema 3.4, existe ˜h(x) ∈ K[x] tal que h(x) = ˜h(ax + b) entonces .

El recíproco del Lema 3.7 no es cierto incluso bajo la hipótesis de que p(x) y q(x) sean irreducibles como lo prueba el ejemplo siguiente.

Ejemplo 3.8. Sean A = y . Entonces y son bases de A y B respectivamente como espacios vectoriales. Definimos el homomorfismo de álgebras

Note que .

Como induce un homomorfismo

Veamos que φ es un isomorfismo. En efecto, es inyectivo ya que si entonces a+b = 0, c = 0 y b+c = 0. Luego a = b = c = 0 y es inyectiva. Puesto que las álgebras tienen la misma dimensión, como espacios vectoriales, entonces se tiene el isomorfismo .

Observe que x3 + x2 + 2 ≁ y3 + 2y2 + 1 ya que no existe una transformación lineal que lleve un polinomio en el otro.

Corolario 3.9. (1) Si es producto de factores irreducibles distintos y p_i (x) ∼ q_i (x) para todo i = 1, . . . , r entonces

(2) En particular, si y K es algebraicamente cerrado entonces

Demostración. (1) Se tiene por la Proposición 3.3 y el Lema 3.7.

(2) Puesto que x − a_i ∼ x y por el item (1) tenemos el isomorfismo.

Corolario 3.10. Sea K = R.

Si n ∈ N y a, b ∈ R con b ƒ= 0 entonces

(2) Si f (x) ∈ R(x) entonces existen n ₁ , . . . , n_r, m ₁ , . . . , m_s tales que

Demostración. (1) Puesto que (x − a)² + b ² ∼ x ² + 1, por el Lema 3.7 tenemos el isomorfismo.

(2) Por la Proposición 3.6, existen n ₁ , . . . , n_r, m ₁ , . . . , m_s ∈ R tales que y por la Proposición 3.3 y el item (1) se sigue el resultado.

Observe que se presenta el problema de la unicidad de la descomposición. En el caso de cuerpos algebraicamente cerrados la descomposición es única y queda determinada por los números n ₁ , . . . , n_r es decir para todo f (x) ∈ K[x] existen n ₁ , . . . , n_r únicos con . En el caso real la situación es la misma como veremos mas adelante.

Lema 3.11. Para todos m, n enteros positivos,

Demostración. Por el Lema 3.1, el cuerpo residual de la R−álgebra es y el cuerpo residual de . Luego las álgebras no son isomorfas.

Lema 3.12. Si p(x) y q(x) son elementos irreducibles de R(x) las condiciones siguientes son equivalentes:

(1) p(x) ∼ q(x).

(2) para todo n ∈ N.

(3)

Demostración. (1) ⇒ (2) Se tiene por el Lema 3.7.

⇒ (3) Inmediato tomando n = 1. Entonces

(3) ⇒ (1) Puesto que p(x) y q(x) son irreducibles en R(x) entonces y en virtud del Lema 3.11, tenemos dos casos:

(i) p(x) ∼ x y q(x) ∼ x, entonces p(x) ∼ q(x).

(ii) p(x) ∼ x2 + 1 y q(x) ∼ x2 + 1, entonces p(x) ∼ q(x).

En consecuencia, para f (x) ∈ R(x), existen n1, . . . , nr, m1, . . . , ms únicos tales que . En el caso general lo que se puede decir es que:

Lema 3.13. Sean p(x) y q(x) elementos irreducibles de K[x]. Para todo si y solo si

Demostración. ⇒: Por el Lema 3.1, son álgebras locales con cuerpos residuales respectivamente. Además como entonces

⇐: Sea

Por el Lema 3.1, son álgebras locales con cuerpos residuals , y con ideales maximales respectivamente. Por hipótesis es un isomorfismo, es decir los cuerpos residuales de las álgebras locales son isomorfos y por tanto los ideales maximales también lo son. En consecuencia .

El ejemplo 3.8 muestra que K[x]/(p(x)) ≃ K[x]/(q(x)) no implica que p(x) ∼ q(x) entonces la descomposición que puede obtenerse f (x) = en componentes irreducibles induce un isomorfismo

pero p ₁(x), . . . , p_r (x) no están unívocamente determinados salvo transformaciones lineales.

4 Conclusiones

Las K−álgebras finitas, es decir las K−álgebras conmutativas conunidad de dimensión finita como K−espacio vectorial, han sido un tema muy estudiado en álgebra conmutativa, ver por ejemplo ^{1), (2), (3)} y ⁴, y en este artículo hemos hecho un estudio sistemático y sencillo de ellas en comparación con los encontrados en los textos tradicionales de álgebra conmutativa ^{5), (6), (7), (8} y ⁹. Iniciamos probando que las K−álgebras finitas son suma directa de K−álgebras locales finitas. Luego caracterizamos la K−álgebra local finite , mostramos que ciertas K−álgebras finitasson isomorfas e hicimos una descomposición de la K−álgebra finite en K−álgebras locales finitas.

Las K−álgebras son usadas en áreas muy diversas como representaciones de grupo, teoría de códigos, la ecuación de Yang-Baxter, álgebras de Hopf y las álgebras de Frobenius (¹⁰). Las K−álgebras no sólo son importantes en matemáticas, también se usan en otras áreas. Por ejemplo, las C∗−álgebras son fundamentales en física cuántica. En (¹¹), (¹²), (¹³) y (¹⁴) se estudian algunas C∗−álgebras donde se amplían resultados que se interpretan en la teoría cuántica.

Las rectas proyectivas sobre las R−álgebras finitas de dimensión dos, y generan las tres geometrías clásicas del plano, Moebius, Laguerre y Minkowski, ver ¹⁵. ¹⁸ es un trabajo reciente sobre la geometría correspondiente a la R−álgebra tridimensional pero en general estudiar la geometría sobre las R−álgebras finitas es un problema abierto.

Agradecimientos

Los autores desean agradecer a los árbitros de la revista por sus comentarios y sugerencias. Agradecemos al profesor José Manuel Aroca Hernandez-Roz de la Universidad de Valladolid (España) por sus enseñanzas y colaboración constante en la realización de este trabajo.