1 Introducción

Uno de los problemas a los cuales se enfrentan las tecnologías de acceso inalámbrico es la forma en la cual los terminales de usuario realizan la selección del punto de acceso (AP) al cual se conectan, dado que el mecanismo de asociación utilizado no garantiza satisfacer las necesidades de calidad del servicio (QoS) requeridas por el usuario, generalmente, el mecanismo implementado de asociación de un terminal de usuario a un AP se realiza mediante la selección del AP desde el cual el usuario perciba un mayor nivel de potencia o en su defecto, el AP que se encuentre más cercano ^1),(2; sin embargo, no siempre el AP más cercano o del cual se percibe un mayor nivel de potencia es el adecuado para garantizar QoS desde la perspectiva del ancho de banda disponible que permita garantizar una tasa de transferencia de información requerida para un servicio, esto hace que si

todos los usuarios presentes en un área geográfica, toman la decisión de selección de AP bajo el criterio de mayor potencia recibida o menor distancia, realizarán su conexión a un mismo AP, haciendo que este se congestione y no opere a su capacidad aparente ², generando situaciones no deseadas como son la reducción del ancho de banda disponible por usuario, incremento de la interferencia, pérdida de paquetes, incremento de los tiempos de retardo y en general degradación de la calidad del servicio (QoS)^1),(3. De esta forma, la asociación entre usuarios y APs es de gran importancia en el funcionamiento de este tipo de redes, es por ello que un gran número de trabajos se han enfocado en este problema ^{4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),(11}.

Por lo anterior, identificar las regiones de eficiencia espectral en las cuales se satisface la QoS basado en restricciones de tasa de transferencia de información, es un aspecto relevante que permitirá un mejor aprovechamiento de los recursos radio disponibles, adicionalmente, la formulación de un algoritmo eficiente que permita satisfacer las necesidades de QoS en términos de la mínima capacidad requerida basada en restricciones de ancho de banda, permitirá mejorar los mecanismos actualmente utilizados de seleccióde AP. Este tipo de problemas es posible abordarlos desde la teoría de juegos ¹²⁾ , la cual permite modelar un escenario en el que los jugadores (usuarios) compiten por obtener unas ganancias (recursos); por lo tanto, la definición y análisis de las regiones de eficiencia espectral en las cuales se satisface la QoS es posible mediante la utilización de los conceptos de equilibrio.

En este artículo, se formula el problema de selección de AP como un juego no cooperativo, estático con información completa; la solución del juego propuesto se realiza desde la perspectiva de los equilibrios de Nash ¹³, Satisfacción y Eficiente de satisfacción¹⁴,permitiendo definir las regiones de eficiencia espectral en las cuales se satisfacen los requerimientos de QoS basados en capacidad bajo restricciones de ancho de banda requeridas por el servicio de usuario, formulando un algoritmo eficiente de selección de AP que permite resolver el problema de asociación de un terminal inalámbrico a un AP bajo el criterio de garantizar QoS en el escenario descrito en la sección II.

Este artículo se organiza de la siguiente manera: En la sección II se describe el modelo del sistema, luego en la sección III se define la metodología de la solución del juego de selección propuesto y se soluciona el juego, posteriormente en la sección IV se muestran los resultados obtenidos y finalmente en la sección V se plantean las conclusiones del trabajo.

2 Modelo del Sistema

El escenario considerado se muestra en la Figura 1 donde se representa un modelo de juego basado en la estructura de una red inalámbrica de 2 × 2 (i.e. 2 AP y 2 usuarios), el cual puede ser extensible a un escenario n × n ,

considerando las mismas características del escenario. Para definir el juego, se considera un canal de acceso múltiple (MAC) ¹⁵⁾ vectorial sin memoria, que se considera invariante en el tiempo mientras cada jugador selecciona su estrategia.

Figura 1: Modelo del juego basado en la estructura de una red inalámbrica 

Por facilidad se asume que cada enlace es simétrico y que características del canal y del enlace tales como atenuación asociada a la distancia, desvanecimiento y otros, se encuentran asociados a la ganancia de canal g, los usuarios en el escenario planteado se conectarán inalámbricamente a cualquiera de los AP disponibles; la selección del AP se realizará de acuerdo a la posibilidad que brinde cada AP de satisfacer las necesidades de tasa de transferencia de información requeridas por cada usuario.

El juego es denotado por (1)

()1

Donde I = {1, 2, ..., i, i + 1, ..., n} es el conjunto de jugadores (dispositivos de usuario) en la red, βi = {β_i,1, β_i,2, ..., β_i,k} es el espacio (conjunto) de estrategias ancho de banda asociado a la cantidad de canales k seleccionados por el jugador i que equivale a cada una de las posibles estrategias que tiene disponible cada jugador y U_i = u_i (β_i,k, β_−i,k ) es la función de utilidad con la que el jugador i al conectarse al punto de acceso p obtendrá los pagos de acuerdo a sus decisiones tomadas β_i,k .

La canalización disponible para los usuarios del juego planteado está basada en el estándar 802.11g, el cual ofrece un gran ancho de banda en el rango de frecuencia de 2,4 GHz con multiplexación OFDM ^16),(17. Esta banda de frecuencias comprende 11 canales disponibles que no son completamente independientes, un canal se superpone y produce interferencia hasta un canal a 4 canales de distancia. Por tal motivo con el fin de evitar las interferencias causadas por el solapamiento se definen las estrategias del juego como el ancho de banda disponible en el mejor de los casos por los tres canales 1, 6 y 11 los cuales se encuentran lo suficientemente separados para no presentar interferencia entre sí. Aclarando que cada jugador puede elegir como estrategias 1 canal (20MHz), 2 canales (40MHz) o 3 canales (60MHz). Entonces, el perfil de estrategia del juego para un usuario es el vector dado por (2).

()2

Donde βi = {20MHz, 40MHz, 60MHz} es el conjunto de todos los posibles anchos de banda (cantidad de canales) que un jugador puede utilizer como estrategia en el juego.

Para seleccionar una función que permita modelar el comportamiento de las tasas de transferencia de información de acuerdo con las características del canal, es necesario que esta relacione conceptos como capacidad, ancho de banda, potencia y ruido. Por tal motivo, en este trabajo, se define la función de utilidad para todos los jugadores como su eficiencia espectral, es decir, la relación entre su velocidad de transmisión de Shannon y el ancho de banda total disponible B (para este caso, B=60MHz, ancho de banda total disponible en 802.11g) en la red:

()3

Entre las variables que conforman (3) se encuentra la potencia P y asumiendo que el ruido presente en el canal se modela como una variable aleatoria independiente que sigue una distribución normal de media cero y varianza σ ² , luego la potencia del ruido se denota como σ ². En este caso, se considera que la máxima potencia que puede manejar el receptor, es un número entero de veces la potencia máxima de transmisión de un terminal de usuario, para el escenario puntual a trabajar, y sin perder generalidad se considera por simplicidad que ese número entero es 1 y que la potencia de entrada máxima (P in_max ) del AP es igual a la potencia emitida por una tarjeta de red inalámbrica de un computador portátil cercana a los 32mW.

Por otra parte se tiene la ganancia g_i,k que representa la ganancia de canal entre el usuario i y el punto de acceso p , donde características del canal tales como atenuación asociada a la distancia, desvanecimiento y otros se asocian al valor tomado.

3 Metodología de solución

Existen distintos conceptos de solución, basados en dos clases de argumentos, los argumentos de dominación y los argumentos de equilibrio, sin embargo los conceptos de solución que son aplicados en la solución del juego planteado se basan en argumentos de equilibrio como:

Una vez definido el modelo del juego, se realiza la búsqueda de las soluciones del mismo, guiado por los siguientes pasos de la estructura de solución propuesta:

A. Concepto de equilibrio

( Definición 1.(Equilibrio de Nash) NE: En el juego

, se dice que el perfil de estrategias puras es un NE si para cada jugador para todo bi. Es decir, para cada jugador i, es una respuesta óptima a . (¹²)

( Definición 2.(Equilibrio de Satisfacción)SE: En el juego

}, se dice que el perfil de estrategias puras es un SE si para todo i. (¹³)

( Definición 3. (Equilibrio Eficiente de Satisfacción) ESE: Define un mapeado ci : βi →ENT#091;0, 1ENT#093; para todo i considerando el juego luego se dice que para todo el perfil de estrategias puras es más costoso que si y solamente si . Luego un perfil de estrategias es un ESE sí y solamente si para todo i i,. (¹⁴)

B Existencia de los Equilibrios

Antes de iniciar la solución del juego planteado mediante la búsqueda de los puntos de equilibrios de Nash, es pertinente probar si efectivamente dichos puntos de equilibrios existen. Para esto, se cuentan con distintos teoremas con los cuales se puede comprobar o no tal existencia, e incluso la referencia (¹⁷) plantea una metodología estructurada para la determinación de la misma, indicando que teoremas aplicar según el tipo de juego con que se está trabajando. El teorema 1 ha sido aplicado para demostrar la existencia del NE y han sido demostrados en (¹⁸),(¹⁹).

( Teorema 1. Existencia del equilibrio de Nash (NE). Sea el juego,tal que, para todo jugador i , se cumple: βi es un subconjunto no vacío, compacto y convexo de un espacio Rk. Ui es continua en todo su dominio β = β1β2, ..., β3 y es cuasicóncava en la variable b1 . Si se cumple estas condiciones, ó el juego es finito existe al menos un EN en estrategias mixtas.¹²

( Teorema 2. Existencia de Satisfacción (SE). En el juego , sea el conjunto de acciones β_i un conjunto no vacío, convexo y compacto, y la correspondencia F (β_i ) es un grafo cerrado y un conjunto no vacío y convexo en el conjunto de acciones β_i . Entonces, el juego tiene al menos un SE.¹³

( Teorema 3. Existencia de Satisfacción Eficiente (ESE). En el juego , con βi un conjunto finito para todo i , funciones de costo ci : βi → ENT#091;0,1ENT#093; y un conjunto βSE no vacío, siempre tiene al menos un ESE.(¹⁴)

Como resultado de aplicar el teorema 1 sobre la función de utilidad definida en (3), dado que esta es continua en todo el dominio de estrategias y cuasicóncava, y el conjunto de estrategias βi,k es un subconjunto no vacío, compacto y convexo de un espacio Rk, y además el juego es finito, por lo tanto se dice que existe al menos un equilibrio de Nash para el juego planteado en estrategias mixtas.

C. Solución del Juego

1) Solución Mediante el Equilibrio de Nash

La utilidad (eficiencia espectral) para cada jugador, la cual se muestral en la Tabla 1, es denotada como uk, donde i: jugador, k : estrategia, y representa la utilidad obtenida por el jugador i al jugar una estrategia de ancho de banda k (cantidad de canales), y B es el ancho de banda máximo manejado por cada AP, para este caso 60MHz.

De la dinámica de mejor respuesta, se generan las siguientes condiciones mediante las cuales se evalúa el equilibrio de Nash para cada estrategia seleccionada por cada jugador, lo cual implica la selección de un AP.

Condición 1:

Condición 2:

Condición 3:

Tabla 1: Matriz de Utilidades para los usuarios 

Condición 4:

De acuerdo con las condiciones 1 a 4 se identifican 3 casos en los cuales se evalúa el equilibrio de Nash, los casos identificados son:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

El caso 1 identifica un escenario en el cual los dos usuarios tienen su mejor canal sobre el mismo AP, lo cual implica que los dos jugadores seleccionan el mismo AP para realizar su transmisión, y dado que el máximo ancho de banda manejado por cada AP es 60MHz, y denotando el máximo ancho de banda que un usuario puede seleccionar sobre un AP como (β_i,kmax = 60MHz), luego, en este caso los perfiles de estrategias son de la forma (( _{^{βi,k, β} i,kmax} − β_i,k )) o de la forma ((β_i,kmax − β_i,k, β_i,k )), donde, si g ₁₁ > g ₂₁ o g ₁₂ > g ₂₂ el equilibrio de Nash es (β_i,kmax, 0), pero si g ₁₁ < g ₂₁ o g ₁₂ < g ₂₂ el equilibrio de Nash es (0, β_i,kmax ), ya que el usuario que tenga el mejor canal seleccionará la estrategia que permite maximizar su utilidad, que en este caso es jugar β_i,kmax y dado que los dos jugadores seleccionan el mismo AP, el otro jugador no tiene otra alternativa más que no transmitir.

El caso 2 identifica un escenario en el cual los dos usuarios se pueden conectar a cualquier AP y se esperaría que si el jugador 1 se conecta al AP1 lo haga utilizando el máximo ancho de banda para maximizar su utilidad, por lo tanto, el jugador 2 se conectaría al AP2 utilizando el máximo ancho de banda, o viceversa; sin embargo, este caso es improbable, dado que las ganancias de canal son realizaciones de variables aleatorias que siguen distribuciones continuas, razón por la cual, la probabilidad que las ganancias sean exactamente iguales es igual a cero y por lo tanto el caso 2 no sea real.

El caso 3 identifica un escenario en el cual cada usuario se conecta a un AP diferente, por ejemplo el jugador 1 selecciona el AP1 y por lo tanto el jugador 2 selecciona el AP2, por lo tanto, la estrategia que maximiza la utilidad de cada jugador es seleccionar el máximo ancho de banda posible para cada AP el cual es (β_i,kmax = 60MHz).

Figura 2: Perfiles de estrategias del equilibrio de Nash 

En la Fígura 2, se muestran los perfiles de estrategias para cada escenario y las selecciones realizadas de acuerdo al escenario, de acuerdo a los equilibrios y selecciones, se procede a la realización del algoritmo que permite la selección del AP basado en las estrategias de ancho de banda que decida jugar.

2) Solución mediante el Equilibrio de Satisfacción

En el concepto de solución conocido como Equilibrio de Satisfacción (SE) el objetivo principal de cada jugador es satisfacer sus necesidades superando las tasas de transferencia requeridas para realizar cualquier tarea en la red, pudiendo elegir la estrategia que mejor le convenga a cada usuario de acuerdo a las obtenidas en la región de satisfacción.

En el algoritmo mostrado en 1, se implementa el principio de satisfacción de una forma sencilla; si el jugador se encuentra satisfecho (se satisface el umbral definido) mantiene la estrategia actual, en caso de no satisfacerse el umbral definido, se selecciona de forma aleatoria una estrategia del conjunto de estrategias, con la cual se reemplaza la estrategia actual.

En este caso siempre se estará buscando una estrategia cuando la utilidad sea menor al umbral requerido, y de esta manera una vez todos los jugadores se encuentran satisfechos, no existirá agente alguno que desee cambiar de estrategia, dado que se ha alcanzado la condición de equilibrio.

3) Solución mediante el Equilibrio de Satisfacción Eficiente

Similar al equilibrio de satisfacción, el concepto de solución conocido como Equilibrio de Satisfacción Eficiente (ESE) es el valor del ancho de banda para el cual la capacidad es el valor más pequeño dentro de las capacidades obtenidas en la región de equilibrios de satisfacción. Es decir, la capacidad y el ancho de banda seleccionado por este concepto de solución garantizan la calidad de servicio requerida por un usuario con un valor lo más cercano posible de la capacidad umbral, buscando la optimización de recursos.

En el algoritmo 2, se muestra una variación del concepto de solución anterior. En este caso siempre estará buscando la estrategia que supere o iguale y que más se aproxime al umbral requerido. Es decir, solo retorna la estrategia cuando encuentre una que cumpla con la condición establecida anteriormente. La función SeleccionarMínimo(SE) selecciona el equilibrio de satisfacción (SE) mínimo necesario con el cual se satisface los requerimientos del usuario en capacidad.

4 Resultados

En el modelo del juego, existe un número determinado de canales en paralelo, los cuales están limitados por el mismo nivel de potencia máxima. El objetivo principal es distribuir la potencia total entre los canales con el fin de maximizar la eficiencia espectral de cada uno de ellos. Este concepto asignación óptima de potencia en canales paralelos se realiza mediante el algoritmo de Water-Filling. ¹⁵

Generalizando el modelo del Sistema, se implementa un escenario de simulación con 10 APs y 60 usuarios los cuales son uniformemente distribuidos de manera aleatoria en un área cuadrada de 100mx100m como se muestra en la Figura 3. A pesar de que todos los APs son de libre acceso, la cobertura de cada uno es limitada, por lo que un equipo de usuario puede no tener la posibilidad de conectarse a cada AP.

En el escenario de simulación, los resultados numéricos se obtienen para diferentes valores de ganancia de canal, particularmente en las Figuras 4, 5 y 6 se grafica la eficiencia espectral para ganancias de canal iguales a 0.2, 0.4, 0.6 y 0.8, con una variación de la tasa de transferencia requerida de 512Kbps, 2Mbps y 10Mbps; se establece una potencia de transmisión de 32mW y se asume una potencia de ruido del orden de 100µW.

Figura 3: 10 APs y 60 Usuarios Aleatoriamente Distribuidos en un área Cuadrada de 100mx100m. 

En la Figura 4 se puede apreciar el comportamiento de los diferentes equilibrios para las diferentes ganancias de canal, cuando el umbral está dado para la capacidad requerida de 512Kbps, donde el NE garantiza satisfacer la capacidad requerida utilizando el 100 % de los recursos disponibles (ancho de banda de 60MHz), sin embargo, se evidencia en la región sombreada que corresponde a la zona de equilibrio de satisfacción, es posible satisfacer los requerimientos de tasa de transferencia para cualquiera de las otras dos posibles estrategias seleccionadas (20MHz o 40MHz), luego, el ESE permite reducir al mínimo los recursos requeridos de ancho de banda que permitan garantizar la tasa de transferencia requerida.

Figura 4: Equlibrio para Umbral 512Kbps/60MHz. 

En la Figura 5 se muestra el comportamiento de los diferentes equilibrios cuando el umbral corresponde a una capacidad requerida de 2Mbps, situación en la cual se presenta una asignación de recursos eficiente por medio del ESE, donde según los criterios de asignación de recursos propuestos por los tres equilibrios, es posible garantizar la capacidad requerida mediante la selección de cualquiera de las posibles estrategias de juego.

Figura 5: Equlibrio para Umbral 2Mbps/60MHz. 

En la Figura 6 se muestra el comportamiento de los diferentes equilibrios para una capacidad requerida de 10Mbps, en este caso, puede apreciarse que no todas las posibles estrategias que el jugador puede seleccionar son válidas para alcanzar el equilibrio, en otras palabras, para este caso particular es posible apreciar que se satisfacen los requerimientos impuestos sobre la capacidad solamente para las estrategias de 40MHz y 60MHz cuando la ganancia de canal es superior a 0.6, de la misma manera se evidencia que para una ganancia de canal igual a 0.4 la única estrategia posible para garantizar satisfacción es 60MHz y ninguna estrategia posible satisface el requerimiento de capacidad cuando la ganancia de canal es 0.2.En los

escenarios presentados en las Figuras 4, 5 y 6puede apreciarse que el ESE plantea una mejora significativa en la asignación de recursos radio, en el caso estudiado, ancho de banda, dado que para el caso observado en la Figura 4 la mejora porcentual en la asignación de recursos del orden de 33 % para la ganancia de canal de 0.8, de igual manera se aprecia la mejoría en las Figuras 5 y 6, donde el porcentaje de mejora es del orden del 30 % y 20 % respectivamente.

Figura 6: Equlibrio para Umbral 10Mbps/60MHz. 

Figura 7: Número de Usuarios que alcanzan el ESE vs Número de Iteraciones. 

En la Figura 7, se muestra el número de iteraciones requeridas para alcanzar el ESE para todos los usuarios cuando este existe, esta cantidad de iteraciones es aproximadamente igual al número de APs multiplicado por la cantidad de usuarios, comportamiento que se evidencia en los resultados de las múltiples simulaciones realizadas con diferente cantidad de APs y usuarios.

5 Conclusiones

En este artículo se identificaron las regiones de eficiencia espectral en las cuales se garantiza QoS basado en capacidad bajo restricciones de ancho de banda en redes inalámbricas IEEE 802.11, donde se puede apreciar que el Equilibrio de Nash no permite garantizar una eficiencia espectral ni energética, ya que las estrategias obtenidas como solución para cada uno de los usuarios corresponden al máximo ancho de banda y máximo nivel de potencia emitido por la tarjeta de red del terminal inalámbrico. De este modo se consumirá una alta potencia en el dispositivo lo que disminuiría el tiempo de duración de su batería si se utiliza este concepto de solución, a su vez se utilizará el máximo ancho de banda manejado por el AP al cual se asocia el usuario, lo cual redunda en minimizar la cantidad de usuarios asociados a un mismo AP. El equilibrio de Satisfacción permitiá definir las regiones de eficiencia espectral que permiten garantizar cumplimiento de QoS asociada al umbral de capacidad requerido y a la ganancia de canal, lo cual permite afirmar que el equilibrio de satisfacción no necesariamente existe y por consiguiente la existencia del Equilibrio Eficiente de Satisfacción se encuentra igualmente condicionada.Como trabajo futuro, se busca realizar un estudio más detallado de las regiones de eficiencia espectral de QoS involucrando restricciones de potencia y retardo, que permita proponer algoritmos eficientes de selección basadas en restricciones de potencia, ancho de banda y retardo.